复变函数的积分及其计算方法
复变函数积分计算
复变函数积分计算方法总结1、 一般计算方法：()(,)(,)f z u x y iv x y =+沿有向曲线C 的积分：()CCCf z dz udx vdy i udy vdx =-++⎰⎰⎰若有向光滑曲线C 可以表示为参数方程()()() ()z z t x t iy t t αβ==+≤≤，则：()[()]()Cf z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰2、 柯西积分定理：()f z 在简单闭曲线C 上和内部解析，则：()0Cf z dz =⎰由闭路变形原理可得重要积分：100, 012, 0()n C n dz i n z z π+≠⎧=⎨=-⎩⎰ 可以把各种简单闭路变为圆周进行积分。
3、 柯西积分公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：00()2()f z dz if z z z πΓ=-⎰高阶导数公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：()010()2()()!n n f z i dz f z z z n π+Γ=-⎰ 联系：柯西积分公式是高阶导数公式的特殊情况，高阶导数公式是柯西积分公式的推广。
4、 用洛朗级数展开式的-1次项系数计算积分00101()()() (r<) 2()n n n n C n f z f z c z z z z R c dz iz z π∞+=-∞=--<=-∑⎰，其中：其中C 为环域内任意围绕0z 的正向简单闭路。
当1n =-时，-1次项的系数为11()2Cc f z dz iπ-=⎰，因此1()2Cf z dz ic π-=⎰5、 用留数计算复积分 函数()f z 在点0z 的留数定义为:01Re [(),]()2Cs f z z f z dz iπ=⎰，即洛朗级数展开式中-1次项的系数。
复变函数积分的概念与性质
在复数域内，任意两个封闭曲线的积分值相等，即积分与路径无关。这一性质在解决复 变函数问题时非常重要，因为它允许我们选择任意路径进行积分计算，而不影响最终结
果。
积分与函数运算的结合性
总结词
复变函数积分具有与函数运算的结合性 ，即对函数的积分可以与函数的运算同 时进行。
VS
详细描述
在进行复变函数积分时，我们可以将函数 的运算（如加法、乘法、指数等）与积分 操作结合进行。这一性质使得在解决复杂 的复变函数问题时，我们可以简化计算过 程，提高解题效率。
复变函数
定义在复数域上的函数，即对于每一 个复数$z$，都有一个实数或复数与 之对应。
复变函数的极限与连续性
极限
当复数$z$趋近于某一点时，复变函数$f(z)$的值的变化趋势。
连续性
如果对于复数域内任意一点$z$，当$z$趋近于该点时，$f(z)$的值都趋近于该点的极限值，则称函数在该点连续。
复变函数的积分
总结词
安培环路定律是描述磁场分布的重要定理，通过复变 函数积分可以得到电流产生的磁场分布。
详细描述
根据安培环路定律，磁场线与电流线相交，且穿过电流 线的磁通量等于零。通过复变函数积分，可以将磁场表 示为电流分布的函数，从而计算磁场强度、磁感应强度 等物理量。
波动方程的初值问题
总结词
波动方程是描述波动现象的基本方程， 通过复变函数积分可以求解波动方程 的初值问题。
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分可表示为 (int f(z(t)) |dz(t)| dt)，其中 (dz(t)) 是 (z(t)) 的微分。
极坐标法
要点一
总结词
利用复数在极坐标下的表示形式，通过计算极坐标下的面 积来计算复变函数的积分。
复变函数积分计算方法
一．复变函数积分计算方法：
1． 线积分法，udy vdx i vdy udx z f c c c ++-=⎰⎰⎰
)( 2． 参数方程法，就是将积分线段分成几段，每一段尽可能简单，并且可以用一个参数式表达出来。
参考课本37页例3.1（2） 3． 原函数法，要用此方法必须保证函数f(z)在单连通区域D 内解析，求出f(z)的原函数G
（z ），则)z ()z ()(00G G dt t f z z -=⎰
4． 柯西积分公式，)z (2z -z z)(00
if dz f c π=⎰，用这种方法的关键是找出函数)z (f ，有时候要进行一些变形。
二．课本难点
课本47页例3.10（2） 他在解答过程中，有一步是令2)z ()z (i e f z +=，开始看的时候很难看明白是为什么，后来细心一想，原来他用了一个很巧妙的变换：
2
2222)()z /()])(z [()1z (111i z i e i z i e dz e z c z c z c -+=-+=+⎰⎰⎰ 这样就可以凑成柯西积分公式的形式，令2)z ()z (i e f z +=，就可以轻松使用柯西积分公式求出答案。
作业题很多都要用到这个技巧。
三．错误更正
课本55页作业6（3）的答案是i e π，课本答案e π是错误的。
四．规律总结
在做作业过程中，我找到以下两个公式：
ishz iz =sin
ithz iz =tan
特别是z=1的时候，有sini=ish1,tani=ith1
上面的公式根据定义就可以证明。
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数与实变函数有很多相似之处，但也有着一些独特的性质和应用。
在实际问题中，经常会遇到求解复变函数的积分问题。
积分变换是一种通过对函数进行积分计算来求得更简单或者更易求解的函数的方法。
本文将介绍复变函数以及积分变换公式。
一、复变函数的定义和性质复变函数的定义：复变函数通常可以表示为 f(z) = u(x,y) +iv(x,y)，其中 u(x,y) 和 v(x,y) 是实变量 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。
复变函数可以看作二元实函数的推广。
在复变函数的定义中，x 和 y 是自变量，而 u 和 v 是因变量。
复变函数的性质：复变函数具有以下性质：1.可微性：类似于实变函数中的导数，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果复变函数f(z)在一些点z0处可导，则称f(z)在z0处可导。
2.全纯性：如果复变函数在一些区域上都可导，则称该函数在该区域上是全纯的。
3.古典解析性：如果复变函数在整个复平面上都可导，则称该函数是古典解析的。
4. 共轭性：对于复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，可以定义其共轭函数 f*(z) = u(x,-y) - iv(x,-y)。
共轭函数与原函数在实部上相等，虚部上相反。
5.奇函数和偶函数：如果复变函数f(z)满足f(-z)=-f(z)，则称f(z)是奇函数；如果f(-z)=f(z)，则称f(z)是偶函数。
积分变换通常是求解复变函数积分的一种方法。
常见的积分变换公式有：1.单连通域中的柯西定理：设f(z)在单连通域D上是全纯的，则对于D的任意闭合曲线C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是复变函数积分计算的基础。
2. 柯西-Goursat 定理：设 f(z) 在连通域 D 上是全纯的，则对于D 的任意简单闭合曲线 C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是柯西定理的推广形式，适用于连通域D。
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结经营教育乐享选取日期复变函数积分方法总结数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法;就复变函数：z=x+iy i2=-1 ,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Rez,y=Imz; arg z=θθ称为主值-π＜θ≤π ,Arg=argz+2kπ ;利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ ,y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ;z=re iθ;1.定义法求积分：定义：设函数w=fz定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线,把曲线C 任意分成n 个弧段,设分点为A=z 0 ,z 1,…,z k-1,z k ,…,z n =B,在每个弧段z k-1 z k k=1,2…n 上任取一点k 并作和式S n =∑f(k )nk−1z k -z k-1= ∑f(k )nk−1z k 记z k = z k - z k-1,弧段z k-1 z k 的长度δ=max1≤k≤n {S k }k=1,2…,n,当 δ→0时,不论对c 的分发即k 的取法如何,S n 有唯一的极限,则称该极限值为函数fz 沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(k )nk−1z k设C 负方向即B 到A 的积分记作 ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时,fz 的积分记作∮f(z)dz cC 圆周正方向为逆时针方向 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线; 1 解：当C 为闭合曲线时,∫dz c =0. ∵fz=1 S n =∑f(k)n k−1z k -z k-1=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.2当C 为闭曲线时,∫dz c =0. fz=2z;沿C 连续,则积分∫zdz c 存在,设k =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）z k -z k-1 有可设k =z k ,则∑2= ∑Z n k−1（k −1）z k -z k-1因为S n 的极限存在,且应与∑1及∑2极限相等;所以S n = ∑1+∑2= ∑k−1n z k (z k2−z k−12)=b 2-a 2∴ ∫2zdz c=b 2-a 2定义衍生1：参数法：fz=ux,y+ivx,y, z=x+iy 带入∫f(z)dz c得： ∫f(z)dz c = ∫udx c - vdy + i ∫vdx c + udy 再设zt=xt+iyt α≤t ≤β∫f(z)dz c =∫f(z(t))z(t)́dt βα参数方程书写：z=z 0+z 1-z 0t0≤t ≤1；z=z 0+re i θ,0≤θ≤2π 例题1： ∫z 2dz 3+i 0积分路线是原点到3+i 的直线段解：参数方程 z=3+i t ∫z 2dz 3+i 0=∫[(3+i)t]2[(3+i)t]′dt 1=3+i 3∫t 2dt 1=6+263i例题2： 沿曲线y=x 2计算∫（x 2+iy ）dz 1+i解： 参数方程 {x =ty =t 2 或z=t+it 2 0≤t ≤1 ∫(x2+iy )dz 1+i 0=∫（t 2+it 2）(1+2it)dt 1=1+i [∫(t 2dt )dt 10 + 2i ∫t 3dt 1=-16+56i定义衍生2 重要积分结果： z=z 0+ re i θ ,0≤θ≤2π 由参数法可得：∮dz(z−z 0)n+1c =∫ire iθe i （n+1）θr n+12π0d θ=i r n ∫e −inθ1+i 0d θ ∮dz (z−z 0)n+1c={2πi n =00 n ≠0例题1：∮dz z−2|z |=1 例题2：∮dzz−12|z |=1解： =0 解 =2πi2.柯西积分定理法：柯西-古萨特定理：若fzdz 在单连通区域B 内解析,则对B 内的任意一条封闭曲线有：∮f(z)dz c=0 定理2：当f 为单连通B 内的解析函数是积分与路线无关,仅由积分路线的起点z 0与终点z 1来确定;闭路复合定理：设函数fz 在单连通区域D 内解析,C 与C 1是D 内两条正向简单闭曲线,C 1在C 的内部,且以复合闭路Γ=C+C 1所围成的多连通区域G 全含于D 则有：∮f(z)dz Γ=∮f(z)dz c +∮f(z)dz c1=0 即∮f(z)dz c =∮f(z)dz c1推论： ∮f(z)dz c=∑∮f(z)dz ckn k=1 例题：∮2z−1z 2−zdz cC 为包含0和1的正向简单曲线;解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C 内互不相交,互不包含的正向曲线c 1和c 2;∮2z−1z 2−zdz c=∮2z−1z (1−z)dz c1+∮2z−1z (1−z)dz c2=∮1z−1+1z dz c1+∮1z−1+1zdz c2=∮1z−1dz c1+∮1zdz c1+∮1z−1dz c2+∮1zdz c2=0+2πi+2πi+0=4πi原函数法牛顿-莱布尼茨公式：定理可知,解析函数在单连通域B 内沿简单曲线C 的积分只与起点z 0与终点z 1有关,即∫f()c d = ∫f()z1zd 这里的z 1和z 0积分的上下限;当下限z 0固定,让上限z 1在B 内变动,则积分∫f()z1zd 在B 内确定了一个单值函数Fz,即Fz= ∫f()z1zd 所以有 若fz 在单连通区域B 内解析,则函数Fz 必为B 内的解析函数,且F(z)́=fz.根据定理和可得∫f(z)z 1z 0dz = Fz 1 - Fz 0. 例题：求∫zcosz 1dz 解： 函数zcosz 在全平面内解析∴∫zcosz 10dz =zsinz |0i -∫sinz 1dz = isin i+cosz |0i =isin i+cos i-1 =ie −1−12i+e −1+12i-1=e -1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法,但是要注意复变适合此方法的条件; 柯西积分公式法：设B 为以单连通区域,z 0位B 中一点,如fz 在B 内解析,则函数f(z)z−z 0在z 0不解析,所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分∫f(z)z−z0dzc一般不为零; 取z0位中心,以δ>0为半径的正向圆周|z−z0|=δ位积分曲线cδ,由于fz的连续性,所以∫f(z)z−z0dzc =∫f(z)z−z0dzcδ=2πifz0：若fz在区域D内解析,C为D内任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,有：fz0=12πi ∮f(z)z−z0dz例题：1∮|z|2∮z(9−z2)(z+i)dz |z|=2解：=2π isin z|z=0=0 解：=∮z9−z2z−(−i)dz|z|=2=2πi z9−z2|z=-i=π5解析函数的高阶导数：解析函数的导数仍是解析函数,它的n阶导数为f n z0=n!2πi ∮f(z)(z−z0)n+1dzn=1,2…其中C为fz的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线,而它的内部全含于D.例题：∮e zz5dzcC:|Z|=1解：由高阶导数的柯西积分公式：原式=2πi14!e z4|z=π2=πi123.解析函数与调和函数：定义：1调和函数：如果二元实函数φx,y在区域D内具有二阶连续函数,且满足拉普拉斯方程：2φx 2+2φy 2=0,则称φx,y 为区域D 内的调和函数;若fz=u+iv 为解析函数,则u 和v 都是调和函数,反之不一定正确2共轭调和函数:ux,y 为区域内给定的调和函数,我们把是 u+iv 在D 内构成解析函数的调和函数vx,y 称为ux,y 的共轭调和函数;若v 是u 的共轭调和函数,则-u 是v 的共轭调和函数关系：任何在区域D 内解析的函数,它的实部和虚部都是D 内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数;求解方法：1偏积分法：若已知实部u=ux,y,利用C-R 方程先求得v 的偏导数u x =v y ,两边对y 积分得v=∫u x dy +g(x).再由u y =−v x 又得x ∫vx dy +g(x)́=- u y从而g(x)=∫[−u y−x∫ux dy]dx + Cv=∫u xdy + ∫[−u y−x∫ux dy]dx + C 同理可由vx,y 求ux,y.不定积分法：因为f(z)́=U x +i V x = U x -iU y = V y +iV X 所以fz=∫U (z )dz +c fz=∫V (z )dz +c线积分法：若已知实部u=ux,y,利用C-R 方程可得的dv=vxdx+vydy=-uydx+∫u xdy 故虚部为 v=∫−u ydx +（x ，y ）（x0，y 0，）u xdy +C该积分与路径无关,可自选路径,同理已知vx,y 也可求ux,y.例题：设u=x 2-y 2+xy 为调和函数,试求其共轭函数vx,y 级解析函数fz=ux,y+ivx,y 解：利用C-R 条件u x=2x+yu y=-2y+x2ux 2=22uy 2=-2所以满足拉普拉斯方程,有v x=−u y=2y-xv y=ux=2x+y所以v=∫(2y −x)dx +φ(y)=2xy- x 22+φ(y)v y=2x+φ(y)́=2x+y φ(y)́=y φ(y)=y 22+c vx,y=2xy- x 22+y 22+cfz=ux,y+ivx,y=122-i z 2+iC4.留数求积分：留数定义：设z 0为函数fz 的一个孤立奇点,即fz 在去心邻域、0<|z −z 0|<δ ,我们把fz 在z 0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c -1称为fz 在z 0处的留数,记为Resfz,z 0即Resfz,z 0=c -1 或者Resfz,z 0=12πi∮f (z )dz c C 为0<|z −z 0|<δ 留数定理：设函数fz 在区域D 内除有限个孤立奇点z 1z 2…z n,其中z k 表示函数f (z )的孤立奇点孤立奇点：定义：如果函数f (z )在z 0不解析,但在z 0某个去心邻域0<|z −z 0|<δ内解析,则称z 0为f (z )的孤立奇点; 例如1z 、e 1z都是以z=0为孤立奇点函数1(z+1)（z+2）以z=-1、z=2为孤立奇点..........在孤立奇点z=z 0的去心邻域内,函数f (z )可展开为洛朗级数 f (z )=∑c n ∞n=−∞（z−z 0）n洛朗级数中负幂项是否存在,若存在是有限项还是无限项,这对fz 在z 0处的奇异性将起着决定性的作用;讨论孤立奇点z 0的类型：：若函数fz 在孤立奇点z 0的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幂项,即对一切n<0有c n =0,则称z 0是fz 的可去奇点因为没有负幂项,即c -n =0,n=1,2.....故c -1=0;遇到函数fz 的奇点类型是可去奇点 ,一般对函数f (z )求积分一般为零判断可去奇点方法：⑴函数f (z )在某个去心邻域0<|z −z 0|<δ内解析,则z 0是f (z )的可去奇点的充要条件是存在极限lim z→z 0f （z ）=c 0,其中c 0是一复常数;⑵在⑴的假设下,z 0是fz 可去奇点的充要条件是：存在r ≤δ,使得fz 在0<|z −z 0|<r 内有界若函数fz 在孤立奇点z 0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负幂项,即有正整数m,c -m ≠0,而当n<-m 时c -n =0 则称z 0是fz 的m 级极点; 其洛朗展开式是：fz=c −m （z−z 0）m +c −m +1（z−z 0）m+1+…+c −1z−z 0+c 0+c 1z-z 0n+m +…+c 0z-z 0n+…这里c -m ≠0,于是在 0<|z −z 0|<δ有fz=c −m （z−z 0）m+c −m +1（z−z 0）m+1+…+c −1z−z 0+c 0+c 1z-z 0n+m +…+c 0z-z 0n +…=1(z−z 0)mφ(z).φ(z)一个在0<|z −z 0|<δ解析,同时φ(z)≠0,则z 0是fz 的m 级极点;判断定理：1fz 在z 0的去心邻域0<|z −z 0|<δ解析,z 0是fz 的m 级极点的充要条件是可以表示成的形式;2z 0是fz 的m 级极点的充要条件是lim z→z 0f(z)=∞.：若函数fz 在孤立奇点z 0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有无限个负幂项,则称z 0是fz 的本性奇点判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极限lim z→z 0f(z);函数在极点的留数：准则一：若z 0为一级极点,则 Resfz,z 0= lim z→z 0f (z )(z −z 0)准则二：做z 0为m 级极点,则 Resfz,z 0=1(m−1)!limz→z 0d m−1dzm−1{z-z 0mfz} 准则三：设fz=P(Z)Q(Z),Pz 以及Qz 都在z 0解析,如果Pz 0=0,Qz 0≠0,则z 0是fz 的一级极点,而且： Resfz,z 0=P(Z 0)Q(Z0)́ 无穷远处的留数：定义：扩充z 平面上设z=∞为fz 上的孤立奇点,即fz 在R<|z |<+∞内解析,C 为圆环绕原点z=0的任一条正向简单闭曲线,则积分值12πi ∮f (z )c −1dz 称为fz 在z=∞处的留数,记作 Resfz, ∞=12πi ∮f (z )c −1dz如果fz,在R<|z |<+∞内的洛朗展开式为fz,=∑c n z n∞n=−∞ 则有Resfz, ∞=-c -1如果fz 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点包括无穷远处在内设为z 1,z 2,…,z n ，∞则fz 在各奇点的留数总和为零,即 ∑Res[f(z)dz]n k=1+Resfz, ∞=0; Resfz, ∞=-Resf 1z 1z 2,0 例题：求下列Resfz, ∞的值 1fz=e zz 2−1 2fz=1z (z+1)4(z−4)解：1在扩充复平面上有奇点：±1,∞ ,而±1为fz 的一级极点且Resfz,1=lim z→1(z −1)f(z)=lim z→1e z z+1=12e Resfz,-1= lim z→−1(z −1)f(z)=lim z→1e z z−1=-12e −1 ∵Resfz, ∞ + Resfz,1 + Resfz,-1=0得∴Resfz, ∞=-{ Resfz,1+ Resfz,-1}= 12e −1+e =-sh1 2 由公式Resfz, ∞=-Resf 1z 1z 2,0,而1z 2f 1z = 1z (z+1)4(z−4)以z=0为可去奇点,所以 Resfz, ∞= -Resf 1z 1z 2,0=0 用留数定理计算积分：形如∫R(cosθ,sinθ)2π0d θ的定积分计算；其中R(cosθ,sinθ)为cos θ与sinθ的有理函数;故解这类题是就会联想到复变函数与三角变换的相关知识--欧拉公式,令z=e iθ,dz=izd θ=i e iθ d θ d θ=dz iz sin θ=12i e iθ−e −iθ=z 2−12iz cos θ(e iθ+e −iθ)= z 2+12iz 则∫R(cosθ,sinθ)2π0d θ=∮R[z 2+12iz ,z 2−12iz ]|z |dz iz =∮f (z )dz |z |其中fz= R[z 2+12iz ,z 2−12iz 1iz 然后又留数定理求的积分值为2πi ∑Res[f (z ),z k ]n k=1 其中z k k=1,2, …n 为fz 在单位圆周内的所有孤立奇点; 形如∫R(x)dx +∞−∞的积分计算;其中Rx 为x 的有理函数,且分母的次数至少比分子的高二次,Rx 在实轴上无孤立奇点;则∫R(x)dx +∞−∞=2πi ∑Res Rz,z k ,z k 为上半平面的所有奇点 形如∫R(x)e iax dx +∞−∞=2πi ∑Res R (x )e iax ，z k 其中k 为上半平面的所有奇点 5.总结：以上只是粗略的列举了计算复变积分的方法,还有许多细节性的问题没有一一列举;复变积分的算法对比实函数积分的计算方法,有很多相似的地方,较实函数积分要复杂些;复变的积分变换多是理解性的问题,多做题目可以提高思维的多样性,但容易造成思维定势;理解才是主要解题之道。
《复变函数》第三章 复变函数的积分
y
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C zn1
1 A
2
z1
z2
k zk zk 1
o
x
4
n
n
作和式 Sn f ( k ) (zk zk1 ) f ( k ) zk ,
k 1
k 1
这里 zk zk zk1, sk zk1zk的长度,
记 m1kaxn{sk }, 当n 无限增加且 0 时,
如果不论对C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯
情况二 : 若 C 包围 点,
由上节例4可知, c (z )ndz 0.
31
四、小结与思考
通过本课学习, 重点掌握柯西－古萨基本定 理:
并注意定理成立的条件.
32
思考题
应用柯西–古萨定理应注意什么?
33
思考题答案
(1) 注意定理的条件“单连通域”.
反例: f (z) 1 在圆环域 1 z 3内;
线的限制, 必须记作 f (z)dz.
C
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第二节 柯西－古萨基本定理
一、问题的提出 二、基本定理 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
观察上节例1, 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
此时积分与路线无关. 观察上节例4, 被积函数当 n 0时为 1 ,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1
由此希望将基本定理推广到多连域中.
38
二、复合闭路定理
1. 闭路变形原理 设函数 f (z) 在多连通域内解析,
C 及 C1 为 D内的任意两条简 单闭曲线(正向为逆时针方向), A A
第二章复变函数的积分
第二章 复变函数的积分在微积分学中，微分法与积分法是研究函数性质的重要方法。
同样，在复变函数中，积分法也跟微分法一样是研究复变函数性质十分重要的方法和解决实际问题的有力工具。
§2.1 复变函数积分的概念一、复变函数的积分设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线。
若选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向，那么就把C 理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。
设曲线C 的两个端点为A 与B ，如果从A 到B 的方向作为C 的正方向，那么从B 到A 的方向就是C 的负方向，并把它记作-C 。
在今后的讨论中，常把两个端点中的一个作为起点，另一个作为终点。
除特殊声明外，正方向总是指从起点到终点的方向。
关于简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P 顺此方向沿该曲线前进时，临近P 点的曲线内部始终位于P 点的左方。
与之相反的方向就是曲线的负方向。
若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==，)(βα≤≤t （2.1） t 为实参数，则规定t 增加的方向为正方向，即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。
定义2.1 设函数)(z f w =定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为：B z z z z z A n n ==-,...,,,1210 在每个小弧段上任取一点k ζ（图3.1），作和∑=∆=nk k k n z f S 1)(ζ其中1--=∆k k k z z z ，记=∆k s 的长度，}Δ{max 1k nk s δ≤≤=。
当n 无限增加，且δ趋于零时，如果不论对C 的分法及k ζ的取法如何，当n S 有唯一极限，那么称这个极限值为函数)(z f 沿曲线C 的积分，记作∑⎰=→=nk k kδCz ζf dz z f 1Δ)(lim )( （2.2）图2.1C 称为积分路径，⎰Cdz z f )(表示沿C 的正方向的积分，⎰-C dz z f )(表示沿C的负方向的积分。
复变函数积分计算公式
复变函数积分计算公式一、复变函数的积分定义复变函数f(z)的积分定义为：∫f(z)dz = ∫[u(x, y)dx - v(x, y)dy] + i∫[u(x, y)dy + v(x, y)dx]其中，u(x,y)和v(x,y)为复变函数f(z)的实部和虚部分别对x和y 的偏导数。
1.第一类曲线积分公式设C是定义在[a,b]上的光滑曲线，而f(z)是C上的复变函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(z(t))z'(t)dt其中，z(t)表示C上的参数方程，z'(t)表示z(t)对t的导数。
2.第二类曲线积分公式设C是封闭的简单光滑曲线，内部有有向单位法向量n，并设f(z)是C内的解析函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = 2πi Res[f(z), a]其中，a表示C内的任意一个孤立奇点，Res[f(z), a]表示f(z)在a 处的留数。
3.圆弧积分公式对于参数方程z(t) = a + re^(it)，其中t∈[θ1, θ2]，a为圆心，r为半径，则复变函数f(z)沿圆弧C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(a + re^(it))ire^(it)dt4.辐角积分公式设f(z)是C所在区域的解析函数，它在z=a处有极点，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = i∫R[f(z) - f(a)]dz其中，C是以a为圆心的环形曲线，R是C所围成的圆环区域。
5.亚纯函数积分公式设f(z)是C所在区域的亚纯函数，它在z=a处有一级极点∫f(z)dz = 2πiI(C, a)其中，I(C,a)为C围绕a的索引。
三、复变函数积分计算技巧1.选择适当的路径进行积分，常常选择直线、弧线或封闭曲线。
2.利用柯西-黎曼条件和柯西-黎曼方程进行变量转换和求导。
3.利用留数定理计算包括奇点与不同路径的积分。
4.利用对称性和奇偶性简化积分计算。
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复变函数的积分及其计算方法
石睿
(北京林业大学工学院自动化10-1班,学号:101044118)
摘要：复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具,解析函数的很多重要性质都是通过复积分证明的。
本文主要介绍柯西定理和柯西积分公式。
关键词：柯西定理；柯西积分公式
引言：首先介绍复积分的概念、性质和计算法，然后介绍解析函数积分的柯西积分定理及其推广——复合闭路定理. 在此基础上，建立柯西积分公式，然后利用这一重要公式证明解析函数的导数仍然是解析函数这一重要结论.
复积分的概念：
设C 是平面上一条光滑的简单曲线，其起点为A ，终点为B 。
函数f(z)在C 上有定义。
把曲线C 任意分成n 个小弧段。
设分点为A=z 0,z 1,…,z n-1,z n =B,其中z k =x k +iyl k (k=0,1,2,…,n)，在每个弧段
zk-1zk 上任取一点ζk =ξk +i ηk ，做合式k n
k k n
k k k k
n Δz )f(ζ)z (z )f(ζ
S ∑∑==-⋅=-⋅=
1
1
1，其中
k k k k k y i x z z z ∆+∆=-=∆-1 。
记 当λ→0时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖与ζk 的选择，也不依赖对
C 的分法，那么就称此极限值为f(z)沿曲线C 自A 到B 的复积分，记作
复积分的计算方法：
复积分可以通过两个二元实变函数的线积分来计算
设
⎩⎨⎧==,)(,)(:t y y t x x C .βα≤≤t 则⎰⎰⎰'+'+'-'=β
α
β
α
t
t y t y t x u t x t y t x v i t
t y t y t x v t x t y t x u z z f C d )}()](),([)()](),([{d )}()](),([)()](),([{d )(
⎰'+'+=βαt t y i t x t y t x iv t y t x u d )}()()]}{(),([)](),([{ .d )()]([⎰'=β
αt t z t z f
即
⎰⎰
'=β
α
t t z t z f z z f C
d )()]([d )(
例1求
⎰-c n z z dz
)(0，C 为以z 0为中心，r 为半径的正向圆周，n 为整数
解：积分路径C 的参数方程为 |,|max 1k n
k z ∆=≤≤λ.)(lim d )(1
0k n
k k C z f z z f ∆⋅=∑
⎰
=→ζλ0(02π),
i z
z re θ
θ=+≤≤
⎰
-C
n z z dz
)
(0⎰=π20d θθθ
in n i e r ire ,d π
20
)1(1⎰---=
θθn i n e r i
当n=1时
⎰-C
n z z dz
)
(0⎰=π20d θi ;2i π= 当n ≠1时
⎰
-C
n z z dz )(0⎰---=-π20
1d ])1sin()1[cos(θθθn i n r i n ;0=
⎰=--r
z z n z z dz
0)(
0所以=⎩
⎨
⎧≠=.1,0,
1,2n n i π
结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关
柯西积分定理：
设函数f （z ）在单连通域D 内解析，则f （z ）在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分.
0d )(⎰=c
z z f 此定理为柯西—古萨基本定理 例1 求
d cos 0
2⎰
i
z z z π的值
解：
⎰
i
z z z π0
2
d cos ⎰=i z z π022d cos 21i
z π0
2sin 21
=)sin(212π-=.sin 212π-=
.
1 ,d 1
2 22曲线在内的任何正向简单闭为包含圆周计算积分例⎰
Γ=Γ--z z z z z
解：函数在复平面内有z=0和z=1两个奇点
=--⎰Γ
z z z z d 1
22⎰⎰--+--21d 12d 1222C C z z z z z z z z ⎰⎰⎰⎰+-++-=2
211d 1
d 11d 1d 11C C C C z z z z z z z z 0220+++=i i ππ.4i π=
柯西积分公式：
, )( 内处处解析在区域如果函数D z f D C 为,
闭曲线内的任何一条正向简单它的内部全含于D ，, 0内任一点为C z 那么
⎰-=
C dz z z z f i z f .)
(21)(0
0π
例1 ⎰⎰==⎪⎭⎫ ⎝
⎛-++44.d 3211
)2(;d sin 21(1)
z z z z z z z z i
π 解：（1）
⎰=4
d sin 21
z z z z
i
π, sin )( 在复平面内解析因为z z f =, 4 0内位于<=z z 由柯西积分公式
⎰=4
d sin 21z z z z
i
π0sin 221=⋅⋅=z z i i ππ=0 （2）
dz z z z ⎰=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-++4||3211
⎰⎰==-++=
4
4d 32d 11z z z z z z 2212⋅+⋅=i i ππ.6i π=
例2 .d )
1(1
2
1
2
⎰
=
-+i z z z z 计算积分
解：
⎰
=
-+2
12d )
1(1i z z z z ⎰
=
--+=
2
1d )
(1
i z z i
z i z z i z i z z i =+⋅
=)(12π2212i i ⋅=π.i π-=
例3 ;2
11 (1): ,d 14sin
2=+-⎰
z C z z z
C
其中计算积分π
解：⎰
=
+-2
1
12
d 1
4sin
)
1(z z z z
π
=⎰
=
++-2
11d 1
14sin
z z z z z
π
1
14sin 2-=-⋅
=z z z i ππ;2
2
i π=
;
2
1
1 (2)=-z
解：⎰
=
--2
112
d 1
4sin
)
2(z z z z
π
=⎰
=
--+2
11d 1
14sin
z z z z z
π
1
14sin 2=+⋅
=z z z i ππ;2
2
i π=
.
2 (3)=z
解：⎰
=
-
2
2
d
1
4 sin
)3(
z
z
z
z
π
=⎰
=
+
-
2
1
1
2
d
1
4
sin
z
z
z
z
π
⎰
=
-
-
+
2
1
1
2
d
1
4
π
sin
z
z
z
z
i
iπ
π
2
2
2
2
+
=.
2iπ
=
结论:
复变函数是一门很基本的课程，通过对复变函数的学习，我已经掌握了复积分的基本知识和解题方法，并感悟到了一些初步应用能力。
我会在今后的学习中继续提高基础知识的水平，学好这门课程。
参考文献
【1】复变函数与积分变换高等教育出版社
【2】复变函数科学初版社。