复变函数积分计算公式..
复变函数积分方法总结
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点 k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
∆zk 记∆zk=
zk- zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{∆Sk}(k=1,2…,n),当
它的内部完全含于 D，z0 为 C 内的任一点，有：
f(z0)=
例题：1）
2）
解：=2π isin z|z=0=0 解： =
=2πi
| = z=-i
解析函数的高阶导数：
解析函数的导数仍是解析函数，它的 n 阶导数为
f(n)(z0)=
dz(n=1,2…)
其中 C 为 f(z)的解析区域 D 内围绕 z0 的任一条正向简单闭曲线，而
Q(z0)
，则 z0 是 f(z)的一级极点，而且：
Res[f(z),z0]=
无穷远处的留数：
定义：扩充 z 平面上设 z= 为 f(z)上的孤立奇点，即 f(z)在 R< <+ 内解析，C 为圆环绕原点 z=0 的任一条正向简单闭曲线，则积分值
称为 f(z)在 z= 处的留数，记作
Res[f(z), ]=
+…]=
.
*
一个在 0< 级极点。
< 解析，同时
，则 z0 是 f(z)的 m
判断定理：（1）f(z)在 z0 的去心邻域 0<
<
，z0 是 f(z)
的 m 级极点的充要条件是可以表示成*的形式。（2）z0 是 f(z)的 m 级
极点的充要条件是
=.
复变函数的积分及柯西公式
f z dz u iv dx idy
c c
udx vdy i vdx udy
c c
f x t iy t z t dt
2
三、复变函数积分的性质
(1) f ( z )dz
C Cdz;
( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)
C
( 3) [ f ( z ) g( z )]dz f ( z )dz g( z )dz;
C C C
3
2.2 柯西定理
单连通区域的柯西定理：如果函数f(z)在闭单连通区域 中解析，则沿着中任何一个分段光滑的闭合围道c的积 分为：
2.1 复变函数的积分 一、积分的定义
y
C
f ( z )dz lim f ( k ) zk .
n k 1
n
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
o
x
1
二、复变函数积分公式
f z u x, y iv x, y z x iy , dz dx idy
复连通区域的柯西定理：如果函数f(z)是复连通区域中 的单值解析函数，则有：
4
2.3 不定积分
5
2.4 柯西公式
a,改记作z，积分变数用������表示，也可写作
推论： 1、模数原理：设f（z）在某闭区域上解析，则|f（z）|只 能在边界线 l 上取极大值。 2、刘维尔定理：如f（z）在全平面解析且有界，则f（z） 必为常数。
复变函数积分计算方法
一．复变函数积分计算方法：
1． 线积分法，udy vdx i vdy udx z f c c c ++-=⎰⎰⎰
)( 2． 参数方程法，就是将积分线段分成几段，每一段尽可能简单，并且可以用一个参数式表达出来。
参考课本37页例3.1（2） 3． 原函数法，要用此方法必须保证函数f(z)在单连通区域D 内解析，求出f(z)的原函数G
（z ），则)z ()z ()(00G G dt t f z z -=⎰
4． 柯西积分公式，)z (2z -z z)(00
if dz f c π=⎰，用这种方法的关键是找出函数)z (f ，有时候要进行一些变形。
二．课本难点
课本47页例3.10（2） 他在解答过程中，有一步是令2)z ()z (i e f z +=，开始看的时候很难看明白是为什么，后来细心一想，原来他用了一个很巧妙的变换：
2
2222)()z /()])(z [()1z (111i z i e i z i e dz e z c z c z c -+=-+=+⎰⎰⎰ 这样就可以凑成柯西积分公式的形式，令2)z ()z (i e f z +=，就可以轻松使用柯西积分公式求出答案。
作业题很多都要用到这个技巧。
三．错误更正
课本55页作业6（3）的答案是i e π，课本答案e π是错误的。
四．规律总结
在做作业过程中，我找到以下两个公式：
ishz iz =sin
ithz iz =tan
特别是z=1的时候，有sini=ish1,tani=ith1
上面的公式根据定义就可以证明。
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数与实变函数有很多相似之处，但也有着一些独特的性质和应用。
在实际问题中，经常会遇到求解复变函数的积分问题。
积分变换是一种通过对函数进行积分计算来求得更简单或者更易求解的函数的方法。
本文将介绍复变函数以及积分变换公式。
一、复变函数的定义和性质复变函数的定义：复变函数通常可以表示为 f(z) = u(x,y) +iv(x,y)，其中 u(x,y) 和 v(x,y) 是实变量 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。
复变函数可以看作二元实函数的推广。
在复变函数的定义中，x 和 y 是自变量，而 u 和 v 是因变量。
复变函数的性质：复变函数具有以下性质：1.可微性：类似于实变函数中的导数，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果复变函数f(z)在一些点z0处可导，则称f(z)在z0处可导。
2.全纯性：如果复变函数在一些区域上都可导，则称该函数在该区域上是全纯的。
3.古典解析性：如果复变函数在整个复平面上都可导，则称该函数是古典解析的。
4. 共轭性：对于复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，可以定义其共轭函数 f*(z) = u(x,-y) - iv(x,-y)。
共轭函数与原函数在实部上相等，虚部上相反。
5.奇函数和偶函数：如果复变函数f(z)满足f(-z)=-f(z)，则称f(z)是奇函数；如果f(-z)=f(z)，则称f(z)是偶函数。
积分变换通常是求解复变函数积分的一种方法。
常见的积分变换公式有：1.单连通域中的柯西定理：设f(z)在单连通域D上是全纯的，则对于D的任意闭合曲线C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是复变函数积分计算的基础。
2. 柯西-Goursat 定理：设 f(z) 在连通域 D 上是全纯的，则对于D 的任意简单闭合曲线 C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是柯西定理的推广形式，适用于连通域D。
复变函数poisson积分公式
复变函数poisson积分公式我们要证明的是复变函数中的Poisson积分公式。
首先，我们需要了解一些基本概念和公式。
设 f(z) 是定义在圆环域 R 上的复函数，其中 R 是由圆心在原点、半径分别为 r 和 R (0 < r < R) 的两个同心圆确定的环形区域。
Poisson积分公式表述为：对于z ∈ R，有∫_0^R f(ξ)e^(−ξz)dξ = (1/2π)∫_0^(2π) f(R, θ)e^(−Rzcos(θ))dθ其中，f(R, θ) 表示 f 在以原点为圆心、R 为半径的圆周上的值，z = x + yi (x, y ∈ R)。
现在我们要来证明这个公式。
第一步，我们考虑 f(z) 在以原点为圆心、R 为半径的圆周上的值。
根据复变函数的连续性，f(z) 在这个圆周上是连续的，所以我们可以将 f(R, θ) 表示为f(Re^(iθ))。
第二步，利用极坐标与直角坐标的关系，我们知道x = Rcos(θ)，y = Rsin(θ)，所以z = x + yi = Rcos(θ) + iRsin(θ)。
因此，e^(−Rzcos(θ)) = e^(−R^2cos(θ)^2)e^(−iR^2sin(θ)cos(θ))。
第三步，利用三角函数的性质，我们知道cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)，所以e^(−iR^2sin(θ)cos(θ)) = e^(−R^2sin(2θ)/2)。
第四步，根据定积分的性质和第三步的结果，我们可以得到：∫_0^R f(ξ)e^(−ξz)dξ = (1/2π)∫_0^(2π)f(Re^(iθ))e^(−R^2cos(θ)^2)e^(−iR^2sin(θ)cos(θ))dθ。
第五步，将e^(−iR^2sin(θ)cos(θ)) 展开，得到：e^(−iR^2sin(θ)cos(θ)) = e^(−R^2sin(2θ)/2) = cos(R^2sin(2θ)/2) + i sin(R^2sin(2θ)/2)。
复变函数柯西积分公式
复变函数柯西积分公式
柯西积分，即Cauchy Integral Formula，包括复变函数的一种重要的积分公式，是复变函数理论的基础。
柯西积分的出现极大地拓展了复变函数数学研究的视野，把它带入一个完整的复变函数空间，使科学家们能够有效地描述物理和复杂体系的运作。
柯西积分可以表示为：在复平面上的无界区域Ω中，若C为边界，a则是内部点，f（z）为一个连续的复变函数，则：
$$\oint_{C} f\left(z\right)dz=2 \pi i
\sum\left(f\left(a_{k}\right)\right)$$
其中，a_{k}为区域Ω内的根，且取出其中局部极小值。
因此，柯西积分也可以表述为，当根的改变对应的复变函数的值的积分之和。
此外，当区域Ω趋近于无界时，柯西积分也可以表示为简单的复变函数积分表达式。
柯西积分是复变函数研究中的基础，它被广泛用于使函数能够有效地描述物理和复杂体系的运作，以及用于解决合理的分析表示中的无限级数的和等问题。
由于柯西积分的出现，复变函数数学研究更加深入并常常被用于数学研究以及工程中，如信号处理、电磁学、电动学和更多其他领域。
复变函数积分计算公式
复变函数积分计算公式一、复变函数的积分定义复变函数f(z)的积分定义为：∫f(z)dz = ∫[u(x, y)dx - v(x, y)dy] + i∫[u(x, y)dy + v(x, y)dx]其中，u(x,y)和v(x,y)为复变函数f(z)的实部和虚部分别对x和y 的偏导数。
1.第一类曲线积分公式设C是定义在[a,b]上的光滑曲线，而f(z)是C上的复变函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(z(t))z'(t)dt其中，z(t)表示C上的参数方程，z'(t)表示z(t)对t的导数。
2.第二类曲线积分公式设C是封闭的简单光滑曲线，内部有有向单位法向量n，并设f(z)是C内的解析函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = 2πi Res[f(z), a]其中，a表示C内的任意一个孤立奇点，Res[f(z), a]表示f(z)在a 处的留数。
3.圆弧积分公式对于参数方程z(t) = a + re^(it)，其中t∈[θ1, θ2]，a为圆心，r为半径，则复变函数f(z)沿圆弧C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(a + re^(it))ire^(it)dt4.辐角积分公式设f(z)是C所在区域的解析函数，它在z=a处有极点，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = i∫R[f(z) - f(a)]dz其中，C是以a为圆心的环形曲线，R是C所围成的圆环区域。
5.亚纯函数积分公式设f(z)是C所在区域的亚纯函数，它在z=a处有一级极点∫f(z)dz = 2πiI(C, a)其中，I(C,a)为C围绕a的索引。
三、复变函数积分计算技巧1.选择适当的路径进行积分，常常选择直线、弧线或封闭曲线。
2.利用柯西-黎曼条件和柯西-黎曼方程进行变量转换和求导。
3.利用留数定理计算包括奇点与不同路径的积分。
4.利用对称性和奇偶性简化积分计算。
复变函数积分计算公式
复变函数积分计算公式复变函数积分计算是复变函数理论中的重要内容之一，是对复变函数在给定路径上的定积分进行求解的过程。
复变函数的积分计算公式可以通过两种方式得到：一是基于实变函数定积分的工具，如Cauchy-Riemann方程等，通过对实变函数的求解来得到复变函数的积分计算公式；二是利用复平面上的路径积分来进行计算和推导，通过考虑路径的参数化来得到计算公式。
下面将详细介绍这两种方式。
一、基于实变函数的工具1. Cauchy-Riemann方程：设复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)为实部和虚部，z=x+iy是复变量。
如果f(z)在其中一点满足Cauchy-Riemann方程，即u和v满足以下偏导数关系：∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x那么f(z)在该点处解析，且在该点处的积分计算公式为：∫ f(z) dz = ∫ (u(x,y)+iv(x,y)) (dx+idy) = ∫ (udx - vdy) + i∫ (vdx + udy)。
2.基于保守场的路径积分：设f(z)是复平面上的解析函数，且存在实部u(x,y)和虚部v(x,y)，则对于f(z)满足的路径积分公式：∫ f(z) dz = ∫ (udx - vdy) + i∫ (vdx + udy)其中路径积分沿着点A到点B的路径P进行计算，路径P上的起点为z1，终点为z2二、利用复平面上的路径积分1. 曲线的参数化：考虑路径积分时，首先需要对路径进行参数化。
一般来说，可以将路径P表示为z(t)=x(t)+iy(t)，其中x(t)和y(t)分别是t的函数，而t属于一些区间[a,b]。
这样，路径P上的积分计算问题就转化为对参数t的积分计算问题。
2.几种常见路径的积分公式：(1)闭合路径上的积分：如果路径P是一个闭合路径，且f(z)在P内解析，那么闭合路径上的积分计算公式为：∮ f(z) dz = 0其中∮表示对路径P上的积分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
l
f ( z )dz 0
证明：
l
f ( z )dz
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy ]
l l
[u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
应用格林公式： Q P Pdx Qdy ( ) dxdy l S x y
故将回路的积分，转化成面积分：
l1 l 2
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l1 l2
例：计算以下积分： （1）I1 Re zdz ,
L1
（2）I 2 Re zdz
L2
L2
1+i
o
L1
I1 [u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
l
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy ]
第二章
复变函数的积分
设在复数平面的某分段光滑曲线l上 定义了连续函数f ( z )在l上取一系列 zn (即终 点B), 把l分成 n 个小段,在每个小段
的分点z0 (即起点A)，z1 z2
zK 1 , zK 上任取一点 K ,作和:
f ( ) z
K 1 K
n
K
z K 1
l
A
A
B B
l2
D
C
l1
D C
复通区域内虽然包含奇点，但是 已经用闭合的曲线将这些奇点挖 去，所以，原来的复通区域已经 变成了单通区域，那么按单通区 域的柯西定理有：
l
l
f ( z )dz
AB l2
f ( z )dz f ( z )dz
l1 DC
/ /
B A
/
柯西定理的重要推论： f
(n)
n! 2 i
f ( ) d l ( z)n1
即解析函数可以求导任意多次。
根据柯西定理的推论： n! f ( ) (n) f d ，可有 n 1 l 2 i ( z ) n t
n
t 0
n! 2 i
l
e 1 d n 1 ( )
l
值只跟起点与终点有关,而与路径无关,因 此当起点z0固定时,这个不定积分就定义了 单值函数,记作：F ( z ) f ( )d
Z0 Z
若F ( z )在B上解析,且F ( z ) f ( z ), 则F ( z )
/
是f ( z )的一个原函数。
Z2
f ( )d F ( z2 ) F ( z1 )
n in C 2 n in i 0 n 1
R e d ( Re )
i
iR
2
0
e
i ( n 1)
d
I iR n 1 ei ( n 1) d 0 (n 1) (1) 0 2 I i d 2 i (n 1) (2) 0
柯西定理
（1）闭单通区域上的解析函数沿境界线的积 分值为零。 （2）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境 界线正方向的积分和为零。 （3）闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆 时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时 针方向积分之和。
（1）单通区域情况 所谓单通区域，即在其中作任何简 单的闭和围线，围线内的点都属于 该区域内的点。如果f（z）在单通 区域上解析，则沿该区域内任一光 滑闭合曲线积分有：
l l
l
f ( z )dz
(2)函数的和的积分等于各个函数积分的和； [ f ( z ) f ( z )] dz f ( z ) dz f ( z ) dz 1 2 1 2
l l
(3)反转积分路径，积分变号；
B
A
f ( z )dz f ( z )dz
B
A
(4)全路径上的积分等于各段上积分之和；
n K 1
n
把zK 和f ( z )都用实部和虚部表示出来： zK xK iyK , f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y) 则：
l
f ( z )dz [u ( x, y )dx v( x, y)dy]
l
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy]
l
f ( z )dz
v u u v ( )dxdy i ( )dxdy x y x y S S u u v u 按照C R条件， ， ， x y x y 所以积分项为零。
（2）闭复通区域情形 所谓复通区域，即函数在其中某些 点处并不解析，这些点称为奇点，为 了将这些点排除在外，常做一些适当 的闭合曲线将这些奇点挖去，形成带 “孔”的区域，即复通区域。
y
B
zn
K 1 z1
A z0 0
zK
x
于n 而且每一小段都无限缩短 时,如果这个和的极限存在,而且其 值与各个 K的选取无关,则这个和 的极限称为函数f ( z )沿曲线l从A到B 的路积分,记作： f ( z ) dz , 即 :
l
l
f ( z )dz lim f ( K ) z K z K 1
l
复变函数积分计算公式
l
f ( z )dz [u ( x, y )dx v( x, y ) dy ]
l
i [v( x, y )dx u ( x, y ) dy ]
l
该公式将复变函数的路积分转 化为两个实变函数的线积分.
一些常用的性质： (1)常数因子可以移到积分号外；
cf ( z)dz c
/
f ( z )dz 0
CD
f ( z )dz f ( z )dz
f ( z )dz 0
其中，沿割线两条边上的积分值相互抵消，故： f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l1 l2
2-3
不定积分
由柯西定理可知：若函数f ( z )在单通区域B 上解析，则沿B上任一路径l的积分 f ( z )dz
例：计算下式积分： I (z- ) dz
l
n
分析：若l不包含点，则积分值为零，若 包含点，则当n 0时，被积函数在l所围
区域内仍解析，只有当n 0时才成为奇点， 则在圆周上，z- =Re
i
现做一圆将点包围，圆心为，半径为C，
I
l
( z ) dz
n
R e Re id
x ( ) 1
2
综上所述: (1)n=-1且不包围a点时,则 1 也可以写成 2 i
l
dz 0 z
l
dz 0 z
l
(2)n=-1且包围a点时,则 1 即 2 i
dz 2 i z
l
dz 1 z
(3)n -1,则 ( z ) dz 0
n l
l
1 xdx i 1dy i 0 0 2
1 1
I 2 [u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
l
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy ]
l
1 xdx 0 2
1
可见,复变函数的积分值 不仅和积分的起点与终点有关 ，而且与积分路径有关，可以 用柯西定理来描述积分值与路 径的关系。
1 也可以写成 2 i 总结起来： 1 2 i 1 2 i
l
dz 0 z (l不包围 ) (l包围 )
l
0 dz z 1
n
l
( z ) dz 0 （n -1）
2-4
柯西公式
若（ f z）在闭单通区域 B 上解析，
-
-
l为 B 的境界线， 为 B内任一点， 则有柯西公式： 1 f ( z) f ( z )= dz 2 i l z