复变函数积分方法总结
复变函数积分计算
复变函数积分计算方法总结1、 一般计算方法：()(,)(,)f z u x y iv x y =+沿有向曲线C 的积分：()CCCf z dz udx vdy i udy vdx =-++⎰⎰⎰若有向光滑曲线C 可以表示为参数方程()()() ()z z t x t iy t t αβ==+≤≤，则：()[()]()Cf z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰2、 柯西积分定理：()f z 在简单闭曲线C 上和内部解析，则：()0Cf z dz =⎰由闭路变形原理可得重要积分：100, 012, 0()n C n dz i n z z π+≠⎧=⎨=-⎩⎰ 可以把各种简单闭路变为圆周进行积分。
3、 柯西积分公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：00()2()f z dz if z z z πΓ=-⎰高阶导数公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：()010()2()()!n n f z i dz f z z z n π+Γ=-⎰ 联系：柯西积分公式是高阶导数公式的特殊情况，高阶导数公式是柯西积分公式的推广。
4、 用洛朗级数展开式的-1次项系数计算积分00101()()() (r<) 2()n n n n C n f z f z c z z z z R c dz iz z π∞+=-∞=--<=-∑⎰，其中：其中C 为环域内任意围绕0z 的正向简单闭路。
当1n =-时，-1次项的系数为11()2Cc f z dz iπ-=⎰，因此1()2Cf z dz ic π-=⎰5、 用留数计算复积分 函数()f z 在点0z 的留数定义为:01Re [(),]()2Cs f z z f z dz iπ=⎰，即洛朗级数展开式中-1次项的系数。
复变函数积分计算方法
一．复变函数积分计算方法：
1． 线积分法，udy vdx i vdy udx z f c c c ++-=⎰⎰⎰
)( 2． 参数方程法，就是将积分线段分成几段，每一段尽可能简单，并且可以用一个参数式表达出来。
参考课本37页例3.1（2） 3． 原函数法，要用此方法必须保证函数f(z)在单连通区域D 内解析，求出f(z)的原函数G
（z ），则)z ()z ()(00G G dt t f z z -=⎰
4． 柯西积分公式，)z (2z -z z)(00
if dz f c π=⎰，用这种方法的关键是找出函数)z (f ，有时候要进行一些变形。
二．课本难点
课本47页例3.10（2） 他在解答过程中，有一步是令2)z ()z (i e f z +=，开始看的时候很难看明白是为什么，后来细心一想，原来他用了一个很巧妙的变换：
2
2222)()z /()])(z [()1z (111i z i e i z i e dz e z c z c z c -+=-+=+⎰⎰⎰ 这样就可以凑成柯西积分公式的形式，令2)z ()z (i e f z +=，就可以轻松使用柯西积分公式求出答案。
作业题很多都要用到这个技巧。
三．错误更正
课本55页作业6（3）的答案是i e π，课本答案e π是错误的。
四．规律总结
在做作业过程中，我找到以下两个公式：
ishz iz =sin
ithz iz =tan
特别是z=1的时候，有sini=ish1,tani=ith1
上面的公式根据定义就可以证明。
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结经营教育乐享选取日期复变函数积分方法总结数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法;就复变函数：z=x+iy i2=-1 ,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Rez,y=Imz; arg z=θθ称为主值-π＜θ≤π ,Arg=argz+2kπ ;利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ ,y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ;z=re iθ;1.定义法求积分：定义：设函数w=fz定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线,把曲线C 任意分成n 个弧段,设分点为A=z 0 ,z 1,…,z k-1,z k ,…,z n =B,在每个弧段z k-1 z k k=1,2…n 上任取一点k 并作和式S n =∑f(k )nk−1z k -z k-1= ∑f(k )nk−1z k 记z k = z k - z k-1,弧段z k-1 z k 的长度δ=max1≤k≤n {S k }k=1,2…,n,当 δ→0时,不论对c 的分发即k 的取法如何,S n 有唯一的极限,则称该极限值为函数fz 沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(k )nk−1z k设C 负方向即B 到A 的积分记作 ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时,fz 的积分记作∮f(z)dz cC 圆周正方向为逆时针方向 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线; 1 解：当C 为闭合曲线时,∫dz c =0. ∵fz=1 S n =∑f(k)n k−1z k -z k-1=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.2当C 为闭曲线时,∫dz c =0. fz=2z;沿C 连续,则积分∫zdz c 存在,设k =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）z k -z k-1 有可设k =z k ,则∑2= ∑Z n k−1（k −1）z k -z k-1因为S n 的极限存在,且应与∑1及∑2极限相等;所以S n = ∑1+∑2= ∑k−1n z k (z k2−z k−12)=b 2-a 2∴ ∫2zdz c=b 2-a 2定义衍生1：参数法：fz=ux,y+ivx,y, z=x+iy 带入∫f(z)dz c得： ∫f(z)dz c = ∫udx c - vdy + i ∫vdx c + udy 再设zt=xt+iyt α≤t ≤β∫f(z)dz c =∫f(z(t))z(t)́dt βα参数方程书写：z=z 0+z 1-z 0t0≤t ≤1；z=z 0+re i θ,0≤θ≤2π 例题1： ∫z 2dz 3+i 0积分路线是原点到3+i 的直线段解：参数方程 z=3+i t ∫z 2dz 3+i 0=∫[(3+i)t]2[(3+i)t]′dt 1=3+i 3∫t 2dt 1=6+263i例题2： 沿曲线y=x 2计算∫（x 2+iy ）dz 1+i解： 参数方程 {x =ty =t 2 或z=t+it 2 0≤t ≤1 ∫(x2+iy )dz 1+i 0=∫（t 2+it 2）(1+2it)dt 1=1+i [∫(t 2dt )dt 10 + 2i ∫t 3dt 1=-16+56i定义衍生2 重要积分结果： z=z 0+ re i θ ,0≤θ≤2π 由参数法可得：∮dz(z−z 0)n+1c =∫ire iθe i （n+1）θr n+12π0d θ=i r n ∫e −inθ1+i 0d θ ∮dz (z−z 0)n+1c={2πi n =00 n ≠0例题1：∮dz z−2|z |=1 例题2：∮dzz−12|z |=1解： =0 解 =2πi2.柯西积分定理法：柯西-古萨特定理：若fzdz 在单连通区域B 内解析,则对B 内的任意一条封闭曲线有：∮f(z)dz c=0 定理2：当f 为单连通B 内的解析函数是积分与路线无关,仅由积分路线的起点z 0与终点z 1来确定;闭路复合定理：设函数fz 在单连通区域D 内解析,C 与C 1是D 内两条正向简单闭曲线,C 1在C 的内部,且以复合闭路Γ=C+C 1所围成的多连通区域G 全含于D 则有：∮f(z)dz Γ=∮f(z)dz c +∮f(z)dz c1=0 即∮f(z)dz c =∮f(z)dz c1推论： ∮f(z)dz c=∑∮f(z)dz ckn k=1 例题：∮2z−1z 2−zdz cC 为包含0和1的正向简单曲线;解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C 内互不相交,互不包含的正向曲线c 1和c 2;∮2z−1z 2−zdz c=∮2z−1z (1−z)dz c1+∮2z−1z (1−z)dz c2=∮1z−1+1z dz c1+∮1z−1+1zdz c2=∮1z−1dz c1+∮1zdz c1+∮1z−1dz c2+∮1zdz c2=0+2πi+2πi+0=4πi原函数法牛顿-莱布尼茨公式：定理可知,解析函数在单连通域B 内沿简单曲线C 的积分只与起点z 0与终点z 1有关,即∫f()c d = ∫f()z1zd 这里的z 1和z 0积分的上下限;当下限z 0固定,让上限z 1在B 内变动,则积分∫f()z1zd 在B 内确定了一个单值函数Fz,即Fz= ∫f()z1zd 所以有 若fz 在单连通区域B 内解析,则函数Fz 必为B 内的解析函数,且F(z)́=fz.根据定理和可得∫f(z)z 1z 0dz = Fz 1 - Fz 0. 例题：求∫zcosz 1dz 解： 函数zcosz 在全平面内解析∴∫zcosz 10dz =zsinz |0i -∫sinz 1dz = isin i+cosz |0i =isin i+cos i-1 =ie −1−12i+e −1+12i-1=e -1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法,但是要注意复变适合此方法的条件; 柯西积分公式法：设B 为以单连通区域,z 0位B 中一点,如fz 在B 内解析,则函数f(z)z−z 0在z 0不解析,所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分∫f(z)z−z0dzc一般不为零; 取z0位中心,以δ>0为半径的正向圆周|z−z0|=δ位积分曲线cδ,由于fz的连续性,所以∫f(z)z−z0dzc =∫f(z)z−z0dzcδ=2πifz0：若fz在区域D内解析,C为D内任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,有：fz0=12πi ∮f(z)z−z0dz例题：1∮|z|2∮z(9−z2)(z+i)dz |z|=2解：=2π isin z|z=0=0 解：=∮z9−z2z−(−i)dz|z|=2=2πi z9−z2|z=-i=π5解析函数的高阶导数：解析函数的导数仍是解析函数,它的n阶导数为f n z0=n!2πi ∮f(z)(z−z0)n+1dzn=1,2…其中C为fz的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线,而它的内部全含于D.例题：∮e zz5dzcC:|Z|=1解：由高阶导数的柯西积分公式：原式=2πi14!e z4|z=π2=πi123.解析函数与调和函数：定义：1调和函数：如果二元实函数φx,y在区域D内具有二阶连续函数,且满足拉普拉斯方程：2φx 2+2φy 2=0,则称φx,y 为区域D 内的调和函数;若fz=u+iv 为解析函数,则u 和v 都是调和函数,反之不一定正确2共轭调和函数:ux,y 为区域内给定的调和函数,我们把是 u+iv 在D 内构成解析函数的调和函数vx,y 称为ux,y 的共轭调和函数;若v 是u 的共轭调和函数,则-u 是v 的共轭调和函数关系：任何在区域D 内解析的函数,它的实部和虚部都是D 内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数;求解方法：1偏积分法：若已知实部u=ux,y,利用C-R 方程先求得v 的偏导数u x =v y ,两边对y 积分得v=∫u x dy +g(x).再由u y =−v x 又得x ∫vx dy +g(x)́=- u y从而g(x)=∫[−u y−x∫ux dy]dx + Cv=∫u xdy + ∫[−u y−x∫ux dy]dx + C 同理可由vx,y 求ux,y.不定积分法：因为f(z)́=U x +i V x = U x -iU y = V y +iV X 所以fz=∫U (z )dz +c fz=∫V (z )dz +c线积分法：若已知实部u=ux,y,利用C-R 方程可得的dv=vxdx+vydy=-uydx+∫u xdy 故虚部为 v=∫−u ydx +（x ，y ）（x0，y 0，）u xdy +C该积分与路径无关,可自选路径,同理已知vx,y 也可求ux,y.例题：设u=x 2-y 2+xy 为调和函数,试求其共轭函数vx,y 级解析函数fz=ux,y+ivx,y 解：利用C-R 条件u x=2x+yu y=-2y+x2ux 2=22uy 2=-2所以满足拉普拉斯方程,有v x=−u y=2y-xv y=ux=2x+y所以v=∫(2y −x)dx +φ(y)=2xy- x 22+φ(y)v y=2x+φ(y)́=2x+y φ(y)́=y φ(y)=y 22+c vx,y=2xy- x 22+y 22+cfz=ux,y+ivx,y=122-i z 2+iC4.留数求积分：留数定义：设z 0为函数fz 的一个孤立奇点,即fz 在去心邻域、0<|z −z 0|<δ ,我们把fz 在z 0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c -1称为fz 在z 0处的留数,记为Resfz,z 0即Resfz,z 0=c -1 或者Resfz,z 0=12πi∮f (z )dz c C 为0<|z −z 0|<δ 留数定理：设函数fz 在区域D 内除有限个孤立奇点z 1z 2…z n,其中z k 表示函数f (z )的孤立奇点孤立奇点：定义：如果函数f (z )在z 0不解析,但在z 0某个去心邻域0<|z −z 0|<δ内解析,则称z 0为f (z )的孤立奇点; 例如1z 、e 1z都是以z=0为孤立奇点函数1(z+1)（z+2）以z=-1、z=2为孤立奇点..........在孤立奇点z=z 0的去心邻域内,函数f (z )可展开为洛朗级数 f (z )=∑c n ∞n=−∞（z−z 0）n洛朗级数中负幂项是否存在,若存在是有限项还是无限项,这对fz 在z 0处的奇异性将起着决定性的作用;讨论孤立奇点z 0的类型：：若函数fz 在孤立奇点z 0的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幂项,即对一切n<0有c n =0,则称z 0是fz 的可去奇点因为没有负幂项,即c -n =0,n=1,2.....故c -1=0;遇到函数fz 的奇点类型是可去奇点 ,一般对函数f (z )求积分一般为零判断可去奇点方法：⑴函数f (z )在某个去心邻域0<|z −z 0|<δ内解析,则z 0是f (z )的可去奇点的充要条件是存在极限lim z→z 0f （z ）=c 0,其中c 0是一复常数;⑵在⑴的假设下,z 0是fz 可去奇点的充要条件是：存在r ≤δ,使得fz 在0<|z −z 0|<r 内有界若函数fz 在孤立奇点z 0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负幂项,即有正整数m,c -m ≠0,而当n<-m 时c -n =0 则称z 0是fz 的m 级极点; 其洛朗展开式是：fz=c −m （z−z 0）m +c −m +1（z−z 0）m+1+…+c −1z−z 0+c 0+c 1z-z 0n+m +…+c 0z-z 0n+…这里c -m ≠0,于是在 0<|z −z 0|<δ有fz=c −m （z−z 0）m+c −m +1（z−z 0）m+1+…+c −1z−z 0+c 0+c 1z-z 0n+m +…+c 0z-z 0n +…=1(z−z 0)mφ(z).φ(z)一个在0<|z −z 0|<δ解析,同时φ(z)≠0,则z 0是fz 的m 级极点;判断定理：1fz 在z 0的去心邻域0<|z −z 0|<δ解析,z 0是fz 的m 级极点的充要条件是可以表示成的形式;2z 0是fz 的m 级极点的充要条件是lim z→z 0f(z)=∞.：若函数fz 在孤立奇点z 0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有无限个负幂项,则称z 0是fz 的本性奇点判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极限lim z→z 0f(z);函数在极点的留数：准则一：若z 0为一级极点,则 Resfz,z 0= lim z→z 0f (z )(z −z 0)准则二：做z 0为m 级极点,则 Resfz,z 0=1(m−1)!limz→z 0d m−1dzm−1{z-z 0mfz} 准则三：设fz=P(Z)Q(Z),Pz 以及Qz 都在z 0解析,如果Pz 0=0,Qz 0≠0,则z 0是fz 的一级极点,而且： Resfz,z 0=P(Z 0)Q(Z0)́ 无穷远处的留数：定义：扩充z 平面上设z=∞为fz 上的孤立奇点,即fz 在R<|z |<+∞内解析,C 为圆环绕原点z=0的任一条正向简单闭曲线,则积分值12πi ∮f (z )c −1dz 称为fz 在z=∞处的留数,记作 Resfz, ∞=12πi ∮f (z )c −1dz如果fz,在R<|z |<+∞内的洛朗展开式为fz,=∑c n z n∞n=−∞ 则有Resfz, ∞=-c -1如果fz 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点包括无穷远处在内设为z 1,z 2,…,z n ，∞则fz 在各奇点的留数总和为零,即 ∑Res[f(z)dz]n k=1+Resfz, ∞=0; Resfz, ∞=-Resf 1z 1z 2,0 例题：求下列Resfz, ∞的值 1fz=e zz 2−1 2fz=1z (z+1)4(z−4)解：1在扩充复平面上有奇点：±1,∞ ,而±1为fz 的一级极点且Resfz,1=lim z→1(z −1)f(z)=lim z→1e z z+1=12e Resfz,-1= lim z→−1(z −1)f(z)=lim z→1e z z−1=-12e −1 ∵Resfz, ∞ + Resfz,1 + Resfz,-1=0得∴Resfz, ∞=-{ Resfz,1+ Resfz,-1}= 12e −1+e =-sh1 2 由公式Resfz, ∞=-Resf 1z 1z 2,0,而1z 2f 1z = 1z (z+1)4(z−4)以z=0为可去奇点,所以 Resfz, ∞= -Resf 1z 1z 2,0=0 用留数定理计算积分：形如∫R(cosθ,sinθ)2π0d θ的定积分计算；其中R(cosθ,sinθ)为cos θ与sinθ的有理函数;故解这类题是就会联想到复变函数与三角变换的相关知识--欧拉公式,令z=e iθ,dz=izd θ=i e iθ d θ d θ=dz iz sin θ=12i e iθ−e −iθ=z 2−12iz cos θ(e iθ+e −iθ)= z 2+12iz 则∫R(cosθ,sinθ)2π0d θ=∮R[z 2+12iz ,z 2−12iz ]|z |dz iz =∮f (z )dz |z |其中fz= R[z 2+12iz ,z 2−12iz 1iz 然后又留数定理求的积分值为2πi ∑Res[f (z ),z k ]n k=1 其中z k k=1,2, …n 为fz 在单位圆周内的所有孤立奇点; 形如∫R(x)dx +∞−∞的积分计算;其中Rx 为x 的有理函数,且分母的次数至少比分子的高二次,Rx 在实轴上无孤立奇点;则∫R(x)dx +∞−∞=2πi ∑Res Rz,z k ,z k 为上半平面的所有奇点 形如∫R(x)e iax dx +∞−∞=2πi ∑Res R (x )e iax ，z k 其中k 为上半平面的所有奇点 5.总结：以上只是粗略的列举了计算复变积分的方法,还有许多细节性的问题没有一一列举;复变积分的算法对比实函数积分的计算方法,有很多相似的地方,较实函数积分要复杂些;复变的积分变换多是理解性的问题,多做题目可以提高思维的多样性,但容易造成思维定势;理解才是主要解题之道。
复变函数的积分总结
复变函数的积分总结引言复变函数积分是复分析的重要内容之一。
与实变函数不同的是，复变函数在积分时需要同时考虑实部和虚部，因此在处理复变函数的积分时需要注意一些特殊的性质和方法。
本文将对复变函数的积分进行总结，包括复积分的定义、性质和常见的积分方法。
复积分的定义复积分是对复变函数沿着曲线或者面积进行积分的操作。
复积分可以分为线积分和面积积分两种形式。
线积分对于复变函数f(z)，其在线段L上的线积分定义为：$$ \\int_L f(z)dz = \\int_a^b f(z(t))z'(t)dt $$其中z(t)是L上参数化曲线的方程，$t \\in [a, b]$。
线积分的结果是一个复数。
面积积分对于复变函数f(z)，其在有界连续曲线围成的区域D上的面积积分定义为：$$ \\int_D f(z)dz = \\iint_D f(z) dxdy $$其中z=x+iy，dxdy是区域D上的面积微元。
复积分的性质复积分具有一些重要的性质，它们在计算复积分时非常有用。
线积分的基本性质•线积分与路径无关：如果L1和L2是起点和终点相同的两条路径，且f(z)在路径间连续，则 $\\int_{L_1} f(z)dz = \\int_{L_2} f(z)dz$。
•线积分的线性性质：对于任意的复数c1和c2，以及复变函数f(z)和g(z)，有 $\\int_L (c_1f(z) + c_2g(z))dz = c_1\\int_L f(z)dz + c_2\\int_L g(z)dz$。
•同路径积分相等：如果L是起点为z1终点为z2的路径，且f(z)在L 上连续且有原函数F(z)，则 $\\int_L f(z)dz = F(z_2) - F(z_1)$。
面积积分的基本性质•面积积分与区域无关：如果D1和D2是相同的区域，且f(z)在区域D上连续，则 $\\int_{D_1} f(z)dz = \\int_{D_2} f(z)dz$。
复变函数积分方法总结()
4.4.1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为z1，z2，…，zn 则f(z)在各奇点的留数总和为零,即
+Res[f(z), ]=0;
4.4.2Res[f(z), ]=-Res[f( ) ,0]
例题：求下列Res[f(z), ]的值
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i²=-1，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ₁θ₁称为主值-π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。
∑1= (zk-zk-1)
有可设k=zk，则
∑2= (zk-zk-1)
因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以
Sn= (∑1+∑2)= =b2-a2
∴ =b2-a2
1.2定义衍生1：参数法：
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入 得：
= - vdy + i + udy
再设z(t)=x(t)+iy(t) ( ≤t≤ )
= +
=
= + + +
=0+2πi+2πi+0
复变函数-总结
所 以 vx,y1y22xy-1x2c. 于是
2
2
27
fzx2-y2xy i 1 2y22 xy-1 2x2 c
由f00( x y 0 0) c0 从而
fz x 2- y 2 x y i 1 2 y 2 2 x y - 1 2 x 2 1 - 2 i z 2
即为所求解析函数。
等价定义：
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 ,
那么
lim f (z)
zz0
运算性质：
limu(x, Axyxyl im xxyy0000 v(x,
y) y)
u0 v0
.
( 1 ) li (f m ( z ) g ( z ) ) lifm ( z ) lig ( m z )
例题1 一调和函数 ux,yx2-y2xy,
求一解析函数 fzuiv使 f00.
解：〔法一〕 ux2xy,uy-2yx
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v 2 x y d y
由 v x - u y 2x2 yy 12c y2x c 2 xy - x v x c2xyc-12xx2,c,
9
对复平面内任一
x3
点z, 用直线将z
除了复数的平面表 示方法外, 还可以
与N相连, 与球面
N(0,0,2r) 用球面上的点来表
相交于P点, 那么
示复数.
球面上除N点外
x3
的所有点和复平
面上的所有点有
P(x1,x2,x3)
一一对应的关系,
而N点本身可代
表无穷远点, 记 作 .这样的球面
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结复变函数是研究复平面上的函数的数学分支，复变函数的积分方法是复分析领域中的重要内容。
在复变函数的积分方法总结中，主要包括以下几个方面的内容：1.概念和基本定理复变函数的积分方法的基础是复积分的概念和基本定理。
首先，复数集合C上的曲线C是指满足连续可微的映射γ:[a,b]→C，其中[a,b]是实数区间。
定义复积分为∫Cf(z)dz=∫abf(γ(t))γ′(t)dt，其中f(z)是连续函数，γ′(t)是γ(t)的导数。
复积分的基本定理包括积分的线性性质、积分之间的关系，以及Cauchy-Goursat定理等。
其中，Cauchy-Goursat定理是指如果f(z)是一个整函数或者在一个简单连通域上解析，那么∫Cf(z)dz=0，其中C是C 上的任意闭曲线。
2.积分路径的选取在计算复积分时，积分路径的选取对结果有影响。
常用的积分路径包括曲线、圆周、分段积分路径等。
对于简单的曲线积分，可以用参数方程表示，然后利用Cauchy-Riemann方程求导，将积分转化为实数函数的定积分。
对于圆周积分，可以利用Cauchy积分定理化简积分表达式。
对于分段积分路径，可以将路径分成若干小段进行计算，然后累加结果。
3.积分的计算复变函数的积分计算可以用多种方法进行。
常用的方法包括换元法、分部积分法、变限积分法和奇偶性等。
对于换元法，可以通过变量替换将复积分转化为常数积分求解。
分部积分法可以通过求导和积分的关系将积分转化为另一种形式。
变限积分法是在计算积分时，将积分限进行变换，然后求导得到关于原积分的方程，从而解得原积分的值。
奇偶性是指其中一函数在定义域上的奇偶函数性质，利用奇偶性可以简化积分计算。
4.应用复变函数的积分方法在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
其中，应用最广泛的是在电动力学中的静电场和静磁场的计算中。
根据Maxwell方程组，可以通过计算积分来求解电场和磁场分布。
同时，在流体力学中，可以利用复变函数的积分方法来求解流体的流速分布和流量等问题。
(完整版)复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
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例题：求下列 Res[f(z), ]的值
（1）f(z)=
(2)f(z)=
解：（1）在扩充复平面上有奇点： 1， ，而
1 为 f(z)的一
级极点且 Res[f(z),1]=
=
=e
Res[f(z),-1]=
=
=-
∵Res[f(z), ] + Res[f(z),1] + Res[f(z),-1]=0 得
∴
复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作
为
cos
。
故解这类题是就会联想到复变函数与三角变换的相关知识--欧拉公
式，令 z= ,dz=izd =i d d =
sin = (
)=
cos
则
d=
=
其 中 f(z)=
]
然后又留数定理求的积分值为
2πi 的所有孤立奇点。
其中 zk（k=1,2, …n）为 f(z)在单位圆周内
形如
的积分计算。其中 R(x)为 x 的有理函数，且分母的
它的内部完全含于 D，z0 为 C 内的任一点，有：
f(z0)=
例题：1）
2）
解：=2π isin z|z=0=0 解： =
=2πi
| = z=-i
解析函数的高阶导数：
解析函数的导数仍是解析函数，它的 n 阶导数为
f(n)(z0)=
dz(n=1,2…)
其中 C 为 f(z)的解析区域 D 内围绕 z0 的任一条正向简单闭曲线，而
=0。
判断可去奇点方法：⑴函数 在某个去心邻域 0<
< 内解
析，则 z0 是 的可去奇点的充要条件是存在极限
=c0，其
中 c0 是一复常数; ⑵在⑴的假设下，z0 是 f(z)可去奇点的充要条件
是：存在 r≤ ，使得 f(z)在 0<
<r 内有界
极点：若函数 f(z)在孤立奇点 z0 的去心邻域内洛朗级数展开式中
Res[f(z),
]=-{
Res[f(z),1]+
Res[f(z),-1]}= (
)=-sh1
(2) 由 公 式 Res[f(z),
]=-Res[f( )
,0] ， 而
f( )=
以 z=0 为可去奇点，所以
Res[f(z), ]= -Res[f( ) ,0]=0
用留数定理计算积分：
形如
d 的定积分; <+ 内的洛朗展开式为
f(z),=
则有 Res[f(z), ]=-c-1
如果 f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）
设为 z1，z2，…，zn 则 f(z)在各奇点的留数总和为零,即 +Res[f(z), ]=0;
Res[f(z), ]=-Res[f( ) ,0]
解：利用 C-R 条件
=2x+y =-2y+x =2 =-2
所以满足拉普拉斯方程，有
= =2y-x = =2x+y
所以 v=
+ =2xy- +
=2x+ =2x+y
=y
= +c
v(x,y)=2xy-
+c
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)= (2-i) +iC
4.留数求积分：
留数定义：设 z0 为函数 f(z)的一个孤立奇点，即 f(z)在去心邻域、
求解方法： （1）偏积分法：若已知实部 u=u(x,y),利用 C-R 方程先求得 v
的偏导数 = ，两边对 y 积分得 v=
.再由 = 又得
+ =-
从而 =
dx + C
v=
+
不定积分法：
dx + C 同理可由 v(x,y)求 u(x,y).
因为 =Ux+i Vx= Ux-iUy= Vy+iVX
所以 f(z)=
式中只有无限个负幂项，则称 z0 是 f(z)的本性奇点
判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极
限
。
函数在极点的留数：
准则一：若 z0 为一级极点，则
Res[f(z),z0]= 准则二：做 z0 为 m 级极点，则
Res[f(z),z0]=
{(z-z0)mf(z)}
准则三：设 f(z)= ,P(z)以及 Q(z)都在 z0 解析，如果 P(z0) 0，
=b2-a2
∴
=b2-a2
定义衍生 1：参数法：
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入
得：
再设 z(t)=x(t)+iy(t)
=
- vdy + i
( ≤t≤ )
+ udy
=
参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+reiθ，(0≤θ≤2π)
例题 1：
积分路线是原点到 3+i 的直线段
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点?k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
?zk 记?zk= zk-
zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{?Sk}(k=1,2…,n),当
内两条正向简单闭曲线，C1 在 C 的内部，且以复合闭路 =C+C1 所围
成的多连通区域 G 全含于 D 则有：
=
+
=0
即
=
推论：
=
例题：
C 为包含 0 和 1 的正向简单曲线。
解： 被积函数奇点 z=0 和 z=1.在 C 内互不相交，互不包含的正向曲
线 c1 和 c2。
=
+
=
=
++
+
=0+2πi+2πi+0
+…]=
.
*
一个在 0< 级极点。
< 解析，同时
，则 z0 是 f(z)的 m
判断定理：（1）f(z)在 z0 的去心邻域 0<
<
，z0 是 f(z)
的 m 级极点的充要条件是可以表示成*的形式。（2）z0 是 f(z)的 m 级
极点的充要条件是
=.
本性奇点：若函数 f(z)在孤立奇点 z0 的去心邻域内洛朗级数展开
解：参数方程 z=（3+i）t
= =(3+i)3
=6+ i 例题 2： 沿曲线 y=x2 计算
解： 参数方程
或 z=t+it2 (0≤t≤1)
= =(1+i)
=- + i
定义衍生 2 重要积分结果： z=z0+ reiθ ，(0≤θ≤2π) 由参数法可得：
+ 2i
]
=
dθ=
dθ
=
例题 1：
例题 2：
=4πi
原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：
定理可知，解析函数在单连通域 B 内沿简单曲线 C 的积分只与起点
z0 与终点 z1 有关，即
=
这里的 z1 和 z0 积分的上下限。当下
限 z0 固定，让上限 z1 在 B 内变动，则积分
在 B 内确定了一
个单值函数 F(z),即 F(z)=
所以有
若 f(z)在单连通区域 B 内解析，则函数 F(z)必为 B 内的解析函数，
它的内部全含于 D.
例题：
C: =1
解：由高阶导数的柯西积分公式： 原式=2πi (ez)(4)|z= =
3.解析函数与调和函数：
定义：（1）调和函数：如果二元实函数 (x,y)在区域 D 内具有二 阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：
+ =0，则称 (x,y)为区域 D 内的调和函数。若 f(z)=u+iv 为解 析函数，则 u 和 v 都是调和函数，反之不一定正确 （2）共轭调和函数:u(x，y)为区域内给定的调和函数，我们把是 u+iv 在 D 内构成解析函数的调和函数 v(x,y)称为 u(x,y)的共轭调和 函数。若 v 是 u 的共轭调和函数，则-u 是 v 的共轭调和函数 关系：任何在区域 D 内解析的函数，它的实部和虚部都是 D 内的调和 函数；且虚部为实部的共轭调和函数。
0 时，
不论对 c 的分发即?k 的取法如何，Sn 有唯一的极限，则称该极限值为
函数 f(z)沿曲线 C 的积分为：
=
?zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)
.当 C 为闭曲线时，f(z)
的积分记作
(C 圆周正方向为逆时针方向)
例题：计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲
线。
（1） 解：当 C 为闭合曲线时， =0.
设 B 为以单连通区域，z0 位 B 中一点，如 f(z)在 B 内解析，则函数
在 z0 不解析，所以在 B 内沿围绕 z0 的闭曲线 C 的积分
一般
不为零。 取 z0 位中心，以 >0 为半径的正向圆周
= 位积
分曲线 ，由于 f(z)的连续性，所以
=
=2πif(z0)