绝对值不等式和不等式的证明

绝对值不等式和不等式的证明
【2011⋅新课标全国理，24】选修4—5：不等式选讲
设函数()3f x x a x =-+，其中0a >． (Ⅰ)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； (Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值．
【评注】对含含绝对值的题目，关键是去绝对值，取绝对值的方法可以平方，也可以通过分类讨论，平方时注意不等式平方的条件，分类讨论时要做到不重不漏．
【2010⋅新课标全国理，24】选修4-5，不等式选讲设函数
()241f x x =-+
（Ⅰ）画出函数()y f x =的图像
（Ⅱ）若不等式()f x ≤ax 的解集非空，求a 的取值范围。

【解析】
（Ⅰ）由于
252()23x x f x x -+<⎧=⎨
-≥⎩，，x 2则函数()y f x =的图像如图所示。

（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，当且仅当
1
2a ≥
或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交
点。

故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为
()122⎡⎫
-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，
，。

命题意图：本题主要考查含有绝对值的函数图象与性质以及不等式问题，考查利用数形结合解决问题的能力.
4．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：∑i ＝1
n
a i 2
·∑i ＝1
n
b i 2
≥∑i ＝1
n
c i 2
.
5．用向量递归方法讨论排序不等式．
6．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．
7．会用数学归纳法证明贝努利不等式： (1＋x )n >1＋nx (x >－1，n 为正整数)． 了解当n 为实数时贝努利不等式也成立．
8．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．
解集．
S4 这些解集的并集就是原不等式的解集． 解法2：构造函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |－c ，写出f (x )的分段解析式作出图象，找出使f (x )≤0(或f (x )≥0)的x 的取值范围即可．
解法3：利用绝对值的几何意义求解，|x －a |＋|x －b |表示数轴上点P (x )到点A (a )、B (b )距离的和．关键找出到A 、B 两点距离之和为c 的点，“≤”取中间，“≥”取两边．
注意这里c ≥|a －b |，若c <|a －b |，则|x －a |＋|x －b |≤c 的解集为∅，|x －a |＋|x －b |≥c 的解集为R.
若a >b >n >0，m >0，则
b －n a －n <b a <b ＋m
a ＋m
. 3、不等式的证明方法
（1）比较法：依据a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0来证明不等式的方法称作比较法．
1．一般形式：
设a 1、a 2、…、a n 、b 1、b 2、…、b n 为实数，则(a 12＋a 22＋…＋a n 2)12(b 12＋b 22＋…＋b n 2)1
2
≥|a 1b 1
＋a 2b 2＋…＋a n b n |.
其中等号成立⇔a 1b 1＝a 2
b 2＝…＝a n b n
(当某b j ＝0时，认为a j ＝0，j ＝1,2，…，n )．
【方法技巧提炼】
1.绝对值三角不等式定理的应用
对于绝对值三角不等式定理：|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，要从以下两个方面深刻理解： (1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时． (2)该定理可以推广为|a ＋b ＋c |≤|a |＋|b |＋|c |，也可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它们经常用于含绝对值的不等式的推证． 例1 f (x )＝|3－x |＋|x －2|的最小值为________． 解析：∵|3－x |＋|x －2|≥|3－x ＋(x －2)|＝1， ∴f (x )min ＝1.
2.绝对值不等式的解法
(1)形如|x ＋a |±|x －b |≥c 不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：
①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．
(2)上述不等式也可用|x －a 1|±|x －a 2|的几何意义去求解集． 3.绝对值不等式的证明
含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．
【新题预测演练】
1.【2012年河北省普通高考模拟考试】
选修4—5：不等式选讲
已知函数()|1||3|f x x x =-++．
（Ⅰ）求x 的取值范围，使()f x 为常函数；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()0f x a -≤有解，求实数a 的取值范围．
【解析】：
（Ⅰ）22,3
()1|3|4,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪
=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩
………..4分
则当[3,1]x ∈-时，)(x f 为常函数. ………..5分 （Ⅱ）由（1）得函数()f x 的最小值为4， ………..8分 则实数a 的取值范围为4a ≥. …..10分
3.【河南省2012年普通高中毕业班高考适应性测试】
选修4—5：不等式选讲 设函数()|31| 3.f x x ax =-++
（1）若a=1，解不等式()5f x ≤；
（2）若函数()f x 有最小值，求实数a 的取值范围。

（Ⅰ）1a =时，()|31|3f x x x =-++.
(),
,22250.
250a a x x x a x x a x ⎧⎧
<≥⎪⎪⎨
⎨⎪⎪--+≤-+≤⎩⎩或 ---------------------7分 即,,22.73a a x x a a x x ⎧⎧
≥<⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪≤≤-⎪⎪⎩⎩
或 因为0a >，所以不等式组的解集为,3a x x ⎧⎫
≤-⎨⎬⎩⎭
由题设可得13
a
-
=-，故 3.a =---------------------------10分
(II )若关于x 不等式()230f x t +-≤有解，求参数t 的取值范围. 解：
（Ⅰ）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3，x ＜－3，
－3x －3，－3≤x ≤0，x －3，x ＞0．
如图，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝7相交于
横坐标为x 1＝－4，x 2＝10的两点， 由此得S ＝[－4，10]． …6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x )的最小值为－3， 则不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解必须且只需－3＋|2t －3|≤0， 解得0≤t ≤3，
所以t 的取值范围是[0，3]．
…10分
7.【2012年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】
选修4-5：不等式选讲
10
－4 O
7 x
y
－3
6 －
3
已知函数()()R a x a x x f ∈---=12.
(Ⅱ)若关于x 的不等式)(x f >a 恒成立，求实数a 的取值范围．。