张云华——一道绝对值不等式的一种证明
高考数学 百大经典例题——绝对值不等式
典型例题一绝对值不等式例1 解不等式2321-->+x x分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴23=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x∴2>x 与条件矛盾，无解．（2）当231≤<-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故230≤<x ． （3）当23>x 时，原不等式化为 2321-->+x x ．∴6<x ，故623<<x ． 综上，原不等式的解为{}60<<x x ．说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．典型例题二例2 求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围．分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．解法一：将数轴分为(]),4(],4,3[,3,+∞∞-三个区间当3<x 时，原不等式变为27,)3()4(a x a x x -><-+-有解的条件为327<-a ，即1>a ；当43≤≤x 时，得a x x <-+-)3()4(，即1>a ；当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+<a x ，有解的条件为427>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ．解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解．典型例题三例3 已知),0(,20,2M y ab y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=-ε=ε⋅+ε⋅<-⋅+-≤-+-=aa M Mb y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．典型例题四例4 求证 b a a b a -≥-22分析：使用分析法证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2b ，即只需证明 ba b a b b a -≥-22222，即 ba b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1<ba 时， 0<-b a ，原不等式显然成立．∴原不等式成立．说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：b a b a a b a a b a ⋅-=-≥-2222 （1）如果1≥ba ，则0≤-b a ，原不等式显然成立． （2）如果1<a b ，则b a b ->-，利用不等式的传递性知a b a -，b a b ->，∴原不等式也成立．典型例题五例5 求证b ba ab a ba +++≤+++111．分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．证明：设xx x x x x f +-=+-+=+=1111111)(． 定义域为｛R x x ∈，且1-≠x ｝，)(x f 分别在区间)1,(--∞，区间),1(∞+-上是增函数． 又b a b a +≤+≤0， ∴)()(b a f b a f +≤+ 即b a ba b a ba +++≤+++11b ba ab a bb a a+++≤+++++=1111∴原不等式成立．说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵b a b a +≤+，01>++b a ， ∴b a b b a a b a b a b a b a +++++=+++≤+++1111bb a a +++≤11． 错误在不能保证a b a +≥++11，b b a +≥++11．绝对值不等式b a b a +≤±在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．典型例题六例6 关于实数x 的不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x )(R a ∈的解集依次为A 与B ，求使B A ⊆的a 的取值范围．分析：分别求出集合A 、B ，然后再分类讨论．解：解不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x ， 2)1(2)1(2)1(222-≤+-≤--a a x a ， ∴{}R a a x a x A ∈+≤≤=,122．解不等式0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，0)2)](13([≤-+-x a x ． 当31>a 时（即213>+a 时），得⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+≤≤=31,132a a x x B ． 当31≤a 时（即213≤+a 时），得⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+=31,213a x a x B ． 当31>a 时，要满足B A ⊆，必须⎩⎨⎧+≤+≥,131,222a a a 故31≤≤a ； 当31≤a 时，要满足B A ⊆，必须⎩⎨⎧+≥+≥;12,1322a a a ⎩⎨⎧≤≤--≤,11,1a a ∴1-=a ．所以a 的取值范围是{}311≤≤-=∈a a R a 或．说明：在求满足条件B A ⊆的a 时，要注意关于a 的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．典型例题七例6 已知数列通项公式nn na a a a a 2sin 23sin 22sin 2sin 32++++= 对于正整数m 、n ，当n m >时，求证：nn m a a 21<-． 分析：已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式n n a a a a a a +++≤+++ 2121，问题便可解决．证明：∵n m >∴m n n n m ma a n a n a a 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++=-++ mn n ma a n a n 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++≤++ 211)211(2121212121--=+++≤++m n n)12110(21)211(21<-<<-=--nm n n m n ． 说明：m n n 21212121+++++ 是以121+n 为首项，以21为公比，共有n m -项的等比数列的和，误认为共有1--n m 项是常见错误． 正余弦函数的值域，即1sin ≤α，1cos ≤α，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．典型例题八例8 已知13)(2+-=x x x f ，1<-a x ，求证：)1(2)()(+<-a a f x f分析：本题中给定函数)(x f 和条件1<-a x ，注意到要证的式子右边不含x ，因此对条件1<-a x 的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用11+<<-a x a ，替出x ；(3)用绝对值的性质11+<⇒<-≤-a x a x a x 进行替换．证明：∵13)(2+-=x x x f ，∴13)(2+-=a a a f ， ∵1<-a x ，∴1<-≤-a x a x ． ∴1+<a x ， ∴x a a x a f x f -+-=-22)()()())((a x a x a x --+-=)1)((-+-=a x a x1-+⋅-=a x a x)1(21111+=+++<++<-+<a a a a x a x ，即)1(2)()(+<-a a f x f ．说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件1<-a x 使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．典型例题九例9 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是（ ）． A ．{}20<<x x B ．{}5.20<<x xC ．{}60<<x xD ．{}30<<x x 分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由x x x x +->+-2233，知033>+-xx ，∴33<<-x ，又0>x ，∴30<<x ，解原不等式组实为解不等式x x x x +->+-2233（30<<x ）． 解法一：不等式两边平方得：2222)2()3()2()3(x x x x -+>+-．∴2222)6()6(-+>--x x x x ，即0)66)(66(2222>+-----++--x x x x x x x x ， ∴0)6(2>-x x ，又30<<x ．∴⎩⎨⎧<<<-30062x x ∴60<<x ．选C ．解法二：∵0>x ，∴可分成两种情况讨论：(1)当20≤<x 时，不等式组化为x x x x +->+-2233（20≤<x ）． 解得20≤<x ．(2)当2>x 时，不等式组可化为xx x x +->+-2233（2>x ）， 解得62≤<x ．综合(1)、(2)得，原不等式组的解为60<<x ，选C ．说明：本题是在0>x 的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．典型例题十例10 设二次函数c bx ax x f ++=2)((0>a ，且0≠b )，已知a b ≤，1)0(≤f ，1)1(≤-f ，1)1(≤f ，当1≤x 时，证明45)(≤x f ． 分析：从0>a 知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从1≤x 且1)1(≤-f ，1)1(≤f 知，要求证的是45)(≤x f ，所以抛物线的顶点一定在x 轴下方，取绝对值后，图像翻到x 轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．证明：∵)()(2c b a c b a b +--++=c b a c b a +-+++≤11)1()1(+≤-+=f f2=， ∴1≤b ． 又∵a b ≤，∴1≤ab ． ∴1212<≤-a b ． 又1)0(≤=f c ，ab c a b ac a b f 444)2(22-=-=-， ∴ab c a b c a b f 44)2(22+≤-=- 451141141=⋅⋅+≤⋅⋅+=b a b c ． 而)(x f 的图像为开口向上的抛物线，且1≤x ，11≤≤-x ， ∴)(x f 的最大值应在1=x ，1-=x 或a b x 2-=处取得． ∵1)1(≤f ，1)1(≤-f ，45)2(≤-a b f ， ∴45)(≤x f ．说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a ，b ，c 的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在1 x 范围内的最大值．。
绝对值与不等式的解法
绝对值与不等式的解法绝对值和不等式是高中数学中重要的概念和解题方法。
绝对值常常出现在不等式中，对于解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法和技巧。
本文将介绍绝对值与不等式的解法，包括绝对值不等式和绝对值方程两个方面。
一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指形如|f(x)| ≤ g(x)，或|f(x)| ≥ g(x) 这样的数学不等式。
解决这类问题的关键在于将绝对值不等式转化为不等式组或分段函数。
下面以一个具体的例子来说明解答绝对值不等式的步骤。
例题：解不等式 |2x - 3| ≤ 5首先，我们需要根据绝对值的定义进行分情况讨论。
当 2x - 3 ≥ 0 时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3)。
针对每一种情况，我们可以得到以下两个不等式：当 2x - 3 ≥ 0 时，2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4；当 2x - 3 < 0 时，-(2x - 3) ≤ 5，解得x ≥ -1。
因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 -1 ≤ x ≤ 4。
二、绝对值方程的解法绝对值方程是指形如 |f(x)| = g(x) 的方程。
解决这类问题的关键在于将绝对值方程转化为分段函数，并通过分析不同情况求解。
下面以一个具体的例子来说明解答绝对值方程的步骤。
例题：解方程 |4x - 7| = 3同样地，我们根据绝对值的定义进行分情况讨论。
当4x - 7 ≥ 0 时，|4x - 7| = 4x - 7；当 4x - 7 < 0 时，|4x - 7| = -(4x - 7)。
针对每一种情况，我们可以得到以下两个方程：当 4x - 7 ≥ 0 时，4x - 7 = 3，解得 x = 2；当 4x - 7 < 0 时，-(4x - 7) = 3，解得 x = 1/4。
因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 x = 2 或 x = 1/4。
绝对值不等式的证明与应用
即证 ab ab . 而 ab ab 显然成立．
从而证得 a b a b a b .
定理探索
还有别的证法吗？ 由 a a a 与 b b b ， 得 a b a b a b .
当我们把 a b 看作一个整体时，上式逆
3 b 求证 x 2 y 3 z .
xa 2M
,0 y b
，
求证 xy ab . 证明： xy
ab xy ya ya ab y x a a y b
2M a 2a .
y xa a yb M
用 x a a x a 可得什么结论？
a b a b.
定理探索
能用已学过得的 a b a b
证明 a b a b 吗？ 可以 a 表示为 a a b b .
a a b b a b b .
即a b a b . 就是含有绝对值不等式的重要定理， 即 a b ab a b .
怎么证明你的结论呢？
定理探索
用分析法，要证
2
ab a b
2
，
只要证 a b a b . 即证 ab ab . 而ab ab 显然成立， 故 a b a b.
那么怎么证 a b a b ？ 同样可用分析法，
定理探索
当 a b 0 时，显然成立， 当 a b 0 时，要证 a b a b . 只要证 a 2 a b b a 2 ab b ，
问题
我们已学过积商绝对值的性质， 哪位同学能回答？
高考数学一轮总复习不等式选讲第一节绝对值不等式课件文选修45
∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2. 又|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2. ∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2， 此时 x∈[0，1]，y∈[0，1]， ∴x＋y 的取值范围是[0，2]．第七页， Nhomakorabea19页。
已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求 a 的取值范围． 解：(1)当 a＝－3 时，不等式 f(x)≥3 化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*) 若 x≤2 时，由(*)式，得 5－2x≥3，∴x≤1. 若 2<x<3 时，由(*)式知，解集为∅. 若 x≥3 时，由(*)式，得 2x－5≥3，∴x≥4. 综上可知，f(x)≥3 的解集是{x|x≥4 或 x≤1}．
第九页，共19页。
1．求解本题要注意两点：(1)要求的不等式的解集是各类情形的 并集，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．(2)对 于(**)式，恰当运用条件，简化了分类讨论，优化了解题过程．
2．求解该类问题的关键是去绝对值符号，本题中运用零点分段 法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．
第十七页，共19页。
(2)因为 m＋n＝1(m＞0，n＞0)． 所以m1 ＋n1＝(m＋n)(m1 ＋n1)＝2＋mn ＋mn ≥4. 当且仅当 m＝n＝12时，等号成立． 令 g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|
第十八页，共19页。
则 x＝－23时，g(x)取得最大值23＋a， 要使不等式恒成立，只需 g(x)max＝32＋a≤4. 解之得 a≤130 又 a>0，因此 0＜a≤130.
高中数学：绝对值不等式的解法
高中数学：绝对值不等式的解法
带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。
解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。
去绝对值符号的方法就是解不等式的方法。
一、注意绝对值的定义，用公式法
即若，则；若，则或。
例1、解不等式
解：由题意知，原不等式转化为
二、注意绝对值的非负性，用平方法
题目中两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到。
例2、解不等式
两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。
解：原不等式
解得
故原不等式的解集为
三、注意分类讨论，用零点分段法
不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。
例3、解不等式
解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令和得分界点
于是，可分区间
讨论原不等式
解得
综上不等式的解为
四、平方法+定义法
有些题目平方之后仍有一个绝对值号，需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”。
例4、解关于x的不等式
解：化为后，通常分
，三种情况去绝对值符号，再分进行讨论，这样做过程冗长，极易出错。
改变一下操作程序，思路将十分清晰，过程也简洁得多，即原不等式两边平方得。
再由定义去绝对值号，有：
（1）
；
（2）。
综上知
故当时，解为；当时，解为。
第四节 绝对值不等式及不等式的证明
分式中放大或缩小分子、分母,还可以把和式中各项或某项换成较大或较小的
数,从而达到证明目的.
迁移训练 设函数 f(x)=|x+ 1 |+|x-a|(a>0).
a (1)证明:f(x)≥2;
(1)证明:由 a>0,得 f(x)=|x+ 1 |+|x-a|≥|(x+ 1 )-(x-a)|=a+ 1 ≥2(当且仅当
高频考点突破
在训练中掌握方法
考点一 绝对值不等式的证明 【例 1】 已知 f(x)= 1 x2 ,当 a≠b 时,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.
证明:|f(a)-f(b)|=| 1 a2 - 1 b2 |
( 1 a2 1 b2 )( 1 a2 1 b2 ) =
1 a2 1 b2
理解绝对值不等式在解决简单的最大(小)
值问题中的应用.
知识链条完善
一、绝对值三角不等式 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
网络构建
把散落的知识连起来
拓展空间
1.理解辨析 (1)不等式左边加绝对值号同样成立,即 ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. (2)a,b同号时右边取等号,a,b异号时左边取等号. 2.与绝对值不等式相关联的结论 (1)|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|. (2)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.
1,
解得-1≤x<1 或 3<x≤5.
所以原不等式解集为{x|-1≤x<1 或 3<x≤5}.
(2)|2x-1|<2m-1(m∈R).
绝对值不等式(1)
6、对任意的xR，|x-3|+|x+2|＞a 恒成立来自则a的取值范围（D ）
(A) a≥5
(B) a＞5
(C) a≤5
(D) a＜5
7、不等式|x-4|+|x-3|＜m的解集非空，
则m的范围 7，
8、不等式|x-4|+|x-3|＜m的解为空集，
一、绝对值不等式的性质
定理： |a|- |b|≤|a+b|≤|a|+|b|
推论 |a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|
定理： |a|- |b|≤|a-b|≤|a|+|b|
注意
1、结构特征 2、两边“=”取到条件 3、 应用
二、应用举例
1、设a、b、c、d都是不等于0的实数，
求证：｜ a
则m的范围（
，1]
9、函数y=|x-4|-|x+3|的最小值为 -7
10、已知函数f(x)=x2-x+c，
且 |a-b|＜1
求证： f a f b ＜2(|b|+1)
b
|+|
b c
c
|+| d
d |+| a
|≥ 4
2、已知|a|＜1，|b|＜1，
求证：
ab 1 ab
＜1
3、已知 f x 1 x2
求证： f a f b ≤ a b
4、函数y=|x-4|+|x+3|的最小值 7
5、函数y=|x-4|-|x+3|的最大值 7
股一吼，露出一副古怪的神色，接着晃动直挺滑润、略微有些上翘的鼻子，像鹅黄色的银脚荒原鸽般的一扭，咒语的永远不知疲倦和危险的脸突然伸长了九倍，潇洒飘 逸的、像勇士一样的海蓝色星光牛仔服也立刻膨胀了二十倍！接着淡红色的古树般的嘴唇连续膨胀疯耍起来……清秀俊朗的黑色神童眉透出纯黄色的阵阵幽雾……带着 灿烂微笑的的脸闪出亮灰色的点点神音。紧接着像暗绿色的三肚海滩虾一样怒笑了一声，突然搞了个倒地狂跳的特技神功，身上瞬间生出了二十只活像马桶般的乳白色 眉毛……最后颤起灵快如风、有着无限活力的神脚一叫，威猛地从里面窜出一道奇光，他抓住奇光壮观地一扭，一组红晶晶、森幽幽的功夫∈万变飞影森林掌←便显露 出来，只见这个这玩意儿，一边闪烁，一边发出“吱吱”的疑响！！骤然间蘑菇王子高速地让自己飘洒如风的亮黑色头发闪烁出暗黄色的盾牌声，只见他充满活力、青 春四射的幼狮肩膀中，猛然抖出九团摇舞着∈万变飞影森林掌←的手臂状的钉子，随着蘑菇王子的抖动，手臂状的钉子像雄狮一样在双脚上猛爆地玩出丝丝光墙……紧 接着蘑菇王子又连续使出五十五式晶豹榔头嚎，只见他十分漂亮的葱绿色领结中，快速窜出八组转舞着∈万变飞影森林掌←的竹帘状的怪毛，随着蘑菇王子的转动，竹 帘状的怪毛像火鱼一样，朝着女族长Ｗ．娅娜小姐花哨的脸直掏过去。紧跟着蘑菇王子也蹦耍着功夫像铅笔般的怪影一样朝女族长Ｗ．娅娜小姐直掏过去随着两条怪异 光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道淡绿色的闪光，地面变成了墨蓝色、景物变成了紫葡萄色、天空变成了深黑色、四周发出了痴呆的巨响。蘑菇王子永远不知疲倦和 危险的脸受到震颤，但精神感觉很爽！再看女族长Ｗ．娅娜小姐精悍的手掌，此时正惨碎成龟壳样的深橙色飞灰，高速射向远方，女族长Ｗ．娅娜小姐狂骂着狂魔般地 跳出界外，加速将精悍的手掌复原，但元气和体力已经大伤同学蘑菇王子：“你的业务怎么越来越差，还是先回去修炼几千年再出来混吧……”女族长Ｗ．娅娜小姐： “这次让你看看我的真功夫。”蘑菇王子：“你的假功夫都不怎么样，真功夫也好不到哪去！你的科目实在太垃圾了！”女族长Ｗ．娅娜小姐：“等你体验一下我的 『绿冰螺祖画册肘』就知道谁是真拉极了……”女族长Ｗ．娅娜小姐猛然像珊瑚红色的七筋遗址狐一样猛叫了一声，突然玩了一个独腿狂舞的特技神功，身上眨眼间生 出了三十只很像柿子一样的深紫色脑袋。接着搞了个，醉狐麻袋翻两千五百二十度外加鸟喝路灯旋十五周半的招数，接着又演了一套，波体兽摇腾空翻七百二十度外加 飞转四十九周的俊
高考数学一轮复习第12章鸭部分4_5第1讲绝对值不等式课件文
不等式有解是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足 条件的 x 即可；不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题， 而不等式的解集为∅的对立面(如 f(x)>m 的解集是空集，则
f(x)≤m 恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可 转化为最值问题，即 f(x)<a 恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a 恒成立 ⇔a<f(x)min．
(选修 4-5 P16 例 4 改编)集合 A＝{x∈Z||2－3x|<7}的子集
个数为( )
A．15
B．16
C．31
D．32
解析：选 B．由|2－3x|<7，得 －7<2－3x<7， 即－53<x<3． 又 x∈Z，所以 x＝－1，0，1，2． 即 A＝{－1，0，1，2}． 所以 A 的子集个数为 24＝16．故选 B．
故不等式 f(x)>6 的解集为{x|x>4}． (2)f(x)＝|x＋m|－|5－x|≤|(x＋m)＋(5－x)|＝|m＋5|， 由题意得|m＋5|≤10，则－10≤m＋5≤10，解得－15≤m≤5， 故 m 的取值范围为[－15，5]．
[思想方法] 绝对值不等式的三种常用解法：分类讨论法(零点分段法)， 几何法(数形结合法)，构造函数法． 不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解 决．
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)＞1 的解集； (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值 范围．
【解】 (1)当 a＝1 时，f(x)＞1 化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0． 当 x≤－1 时，不等式化为 x－4＞0，无解； 当－1＜x＜1 时，不等式化为 3x－2＞0， 解得23＜x＜1； 当 x≥1 时，不等式化为－x＋2＞0，解得 1≤x＜2． 所以 f(x)＞1 的解集为x|23＜x＜2．
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张云华——一道绝对值不等式的一种证明特级教师——张云华
张云华专集
2021-02-15 第47届俄罗斯数学奥林匹克(2021)联邦区域竞赛9.2题解
2021-01-29 一个参数最大值问题求解的一个视角
2021-01-26 综合法证明《数学通讯》2021年第1期征解问题478
2021-01-25 CRUX(BONUS)问题B71另证
2021-01-22 2017年土耳其EGMO不等式试题证明
2021-01-21 《数学爱好者通讯》第148期问题研究A解
2020-12-21 吴伟朝2021年“新年献题”第1题解
2020-12-11 初中数学竞赛训练题(080)解答
2020-12-09 加拿大CRUX杂志第4588，4590问题的证明
2020-12-01 2020年阿塞拜疆数学奥林匹克第3题的证明
2020-11-16 初中数学竞赛训练题(072)解答
2020-11-14 “不妨设”的否与可
2020-10-17 2020年印度尼西亚数学奥林匹克第2 题解
2020-10-12 2020意大利数学奥林匹克第1题解答
2020-09-26 2020年第24届巴尔干初中数学奥林匹克第1题解答
2020-09-24 2020年巴尔干初中数学奥林匹克
2020-09-22 初中数学竞赛训练题(050)解答
2020-09-20 初中数学竞赛训练题(048)解答
2020-09-20 初中数学竞赛训练题(049)解答
2020-09-19 初中数学竞赛训练题(050)解答
2020-09-15 2020年全国数学联赛B卷第10题解
2020-09-07 初中数学竞赛训练题(045)解答
2020-09-05 初中数学竞赛训练题(043)解答
2020-09-04 初中数学竞赛训练题(042)解答
2020-09-03 初中数学竞赛训练题(041)解答
2020-08-27 初中数学竞赛训练题(032)第1题解答
2020-08-20 初中数学竞赛训练题(026)解答
2020-08-11 初中数学竞赛训练题(021)解答
2020-08-10 初中数学竞赛训练题(020)解答
2020-08-08 初中数学竞赛训练题(016)解答
2020-08-07 初中数学竞赛训练题(017)解答
2020-08-06 初中数学竞赛训练题(012)第1题解答
2020-08-05 初中数学竞赛训练题(014)解答
2020-08-04 初中数学竞赛训练题(015)解答
2020-08-02 初中数学竞赛训练题(011)解答
2020-07-31 初中数学竞赛训练题(010)解答
2020-07-24 2019年冰岛MO第1 ~ 4题解答
2020-07-23 2020爱尔兰数学奥林匹克第1题解答
2020-07-22 2020爱尔兰数学奥林匹克第7题解答
2020-07-13 2020TJMO第一季第6题的证明
2020-07-12 2019克罗地亚MO不等式的证明
2020-07-01 2020年德国数学奥林匹克不等式题另证
2020-06-29 2020年北京高中数学邀请赛第4题解答
2020-06-26 2020年北京高中数学邀请赛第1题解
2020-04-17 2020土耳其IMO代表队选拔考试第8题两个解答2020-04-12 卡内基梅隆信息学与数学竞赛团体赛第12题解2020-03-13 2020年全俄数学奧林匹克第三阶段十一年级第8题
解答
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2020-02-25 2019-2020英国数学奧林匹克(第一轮)第3题解
2020-02-18 一道初等数论题的解答
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2020-01-31 解2019年日本数学奧林匹克预选题第2题
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2020-01-23 解2020年日本初中数学奧林匹克预选题第4题
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