绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
图象恒在函数g (x )的图像的上方，求m 的取值范围．解：(1)不等式f (x )＋a －1>0，即|x －2|＋a －1>0，当a ＝1时，解集为x ≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)； 当a >1时，解集为全体实数R ；当a <1时，解集为(－∞，a ＋1)∪(3－a ，＋∞)．(2)f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立，又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，于是得m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)． 例5：设对于任意实数x ，不等式|x ＋7|＋|x －1|≥m 恒成立．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最大值时，解关解：(1)设函数f (x )＝|x ＋7|＋|x －1|()871=--≥，所以m ≤8.(2)由(1)知m 的最大值为8，故原不等式即为|x －3|≤2x ＋4.即－2x －4≤x －3≤2x ＋4.解得x ≥－13. 2f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5415=-≥|,f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)．绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤---≥---b x a x ---的几何意义是：数轴上表示点x 到a 的距离与到b 的距离之差，故b a b x a x b a -≤-+-≤--利用图像和几何意义解c b x a x ≤---或c b x a x ≥---的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤--<-=---b x b a b x a b a x a x b a b x a x 2a xb x ---的几何意义是：数轴上表示点x 到b 的距离与到a 的距离之差，故b a a x b x b a -≤-+-≤--利用图像和几何意义解c a x b x ≤---或c a x b x ≥---的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤++-<+-=---b x b a b x a b a x a x b a a x b x 2关键：零点分区间，越近越小。
A ．（﹣∞，4）B ．（﹣∞，1）C ．（1，4）D ．（1，5）解：由于4514≤---≤-x x ，故251<---x x 时，根据图像和分析口诀可得：262<-x ，故4<x ，选A 。
例8：已知函数f (x )＝|x －4|－|x －2|.(1)作出函数y ＝f (x )的图象；(2)解不等式|x －4|解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
2解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3.所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15，即18802+-≥x x ，故解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15，即221002+-≥x x ，故解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15，即12802+-≥x x ，故的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．A．（﹣∞，﹣2）B．（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） D．（﹣2，4）2．（2016•德州一模）不等式|x+1|﹣|x﹣5|＜4的解集为（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，﹣4）C．（4，+∞）D．（﹣4，+∞）3．（2015•上海模拟）不等式|2﹣x|≤1的解集是（）A．[﹣3，﹣1] B．[1，3] C．[﹣3，1] D．[﹣1，3]4．（2014秋•江西月考）若关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|≤a2﹣2a﹣1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1或a＞3 B．a＜0或a＞3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤35．（2015•聊城校级模拟）不等式|1﹣2x|＜3的解集是（）A．{x|x＜1} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＜﹣1或x＞2}6．（2015•合肥校级模拟）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，5] B．（﹣3，5）C．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）7．（2015•文登市二模）不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是（）A．B．C．D．8．（2015•德州二模）已知关于x的不等式|x﹣1|﹣|x+a|≥8的解集不是空集，则a的取值范围是（）A．a≤﹣9 B．a≥7C．﹣9≤a≤7D．a≤﹣9或a≥79．（2015•安徽模拟）不等式|x+2a|+|x﹣a|≥3对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣3，3] D．[﹣1，1]10．（2015春•恩施州期末）如果|x+1|+|x+9|＞a对任意实数x总成立，则a的取值范围是（）A．{a|a＞8} B．{a|a≤8}C．{a|a≥8}D．{a|a＜8}11．（2016•江西校级模拟）关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？12．（2016•白山三模）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．13．（2016•鹰潭一模）已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．14．（2016•陕西校级模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．15．（2016•葫芦岛一模）已知函数f（x）=|x﹣3|+|x+1|（1）求使不等式f（x）＜6成立的x的取值范围．（2）∃x0∈R，使f（x0）＜a，求实数a的取值范围．16．（2016•深圳一模）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．17．（2016•湘西州二模）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4解集为M（1）求M；（2）若不等式f（x）+a＜0有解，求a的取值范围．18．（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|（x∈R，a∈R）的值域为[﹣2，2]．（1）求实数a的值；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤m﹣m2，求实数m的取值范围．19．（2016•山西校级二模）已知关于x的不等式|x﹣|+|x﹣1|≥（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．20．（2016•吴忠模拟）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＜4）（1）若f（x）的最小值为3，求a的值；（2）当a=1时，若g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．21．（2016•合肥二模）已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a∈R）的最小值为a（1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）≤5．22．（2016•延安校级二模）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求出f（x）取最小值时x的取值范围；（Ⅱ）若不等式f（x）≤a（x+1）的解集为空集，求实数a的取值范围．。
绝对值不等式(高考版2)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（二） 例1：解不等式|23||3|4x x ++->；解：3339|23|3||||3||42222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为R 。
例2：3232≤-++x x解：3337|23|2||||2||32222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为φ。
解：（Ⅰ）()25212521213312≥-+≥-+-+-≥-+-=x x x x x x x f ，当仅当21=x 时，等号成立。
（Ⅱ）()()11--+>y y m x f ，由于2112≤--+≤-y y ，故()m x f 2>恒成立，即m 225>，故⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈45,m 。
解：（Ⅰ）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+--<-1312423x x x x x x ，令﹣x+4=4 或 3x=4，得x=0，x=34，所以，不等式 f （x ）≥4的解集是(][)+∞∞-,0,34；（Ⅱ）f （x ）在（﹣∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，f （x ）≥f （1）=3，由于不等式f （x ）＜|m ﹣2|的解集是非空的集合，所以，|m ﹣2|＞3，解之，m ＜﹣1或m ＞5，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．解：∵原方程有实根，Δ＝36－4[|a ＋2|＋|2a －1|]≥0，∴|a ＋2|＋|2a －1|≤9.①当a ≥12时，∵a ＋2＋2a －1≤9，∴12≤a ≤83.②当－2≤a ＜12时，∵a ＋2＋1－2a ≤9，∴－2≤a ＜12. 秒杀秘籍:()b x n a x m x f -+-=结论：在绝对值不等式中，系数大的决定不等式的最值。
绝对值之和只有最小值，并在大系数绝对值取到零点时取到最小值；书写过程：323221221≥-+≥-+-+-≥-+-x x x x x x③当a ＜－2时，∵－a －2＋1－2a ≤9，∴－103≤a ＜－2.综上所述，由①②③得a 的取值范围为108,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
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绝对值不等式绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x－6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12}(2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234x x -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1-2<x<1+2 解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4 解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝（2）分析 不等式可转化为-1≤234xx -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234xx -≤1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于2234xx -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2(x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0 ⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
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绝对值不等式绝对值不等式|a b^|a| |b|, |a - b卜|a | |b |基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b|y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5所以函数的最小值是5,没有最大值|y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y| < 5 得-5 < y < 5即函数的最小值是-5 ,最大值是5也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之和，显然当-2 < x < 3时，距离之和最小，最小值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差，当x< -2时，取最小值-5 ,当x> 3时，取最大值5［变题1 ］解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ；(2)| x2- 2x -6|<3 x ［思路］利用丨f(x) | <g(x) = -g(x)vf(x)vg(x) 和丨f(x)丨>g(x) = f(x)>g(x) 或f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：⑴原不等式等价于X+1>2—x或x+1<—(2 - x)1 1解得或无解，所以原不等式的解集是{ x | x>^}⑵原不等式等价于—3 X< X2—2x —6<3 X即『X2-2x-6>-3x (x2+ x-6>0 ”(x + 3)(x-2) > 0 xv-3 或x>2 { => { => 二*[x2-2x-6^3x l x2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 62< X<6所以原不等式的解集是{ X|2< X<6}2 2I 3x I1 .解不等式(1 )1 x-x 2-2 | >X2-3X-4 ; (2) x2：4 <1解：(1)分析一可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3X-4①或x-x 2-2<-(x 2-3X-4)②解①得：1- - 2 v X<1+ 2解②得：x>-3故原不等式解集为{ x | x>-3 }分析二Tl x-x 2-2 | = | x2-x+2 |17而 x -x+2 = (x-) + . >04 4所以| x-x 2-2 |中的绝对值符号可直接去掉 .故原不等式等价于 x 2-x+2>x 2-3X -4 解得：x>-3•••原不等式解集为{ x>-3 }3x(2)分析不等式可转化为-1 w 二 < 1求解，但过x - 4程较繁，由于不等式| x^X 4 w 1两边均为正，所以可平方后 求解.二 9x 2w (x 2-4) 2 (x 工土 2)=x 4-17x 2+16> 0二 x 2w 1 或 x 2> 16 =-1 w x w 1 或 x > 4 或 x w -4注意：在解绝对值不等式时，若I f(x) |中的f(x)的值 的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正 )，就可直 接去掉绝对值符号，从而简化解题过程 .第2变含两个绝对值的不等式［变题 2］解不等式(1) | x - 1|<| x + a | ; (2) | x-2 | +I x+3 I >5.［思路］(1 )题由于两边均为非负数，因此可以利用丨 f(x) I 〈| g(x) |= f 2(x) 〈 g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
高考数学一轮复习课时规范练67绝对值不等式(含解析)新人教A版理
课时规范练67 绝对值不等式基础巩固组1.(2020全国Ⅱ,理23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.2.(2021四川绵阳一诊)已知函数f(x)=|2x+1|-|2x-3|.(1)在如图所示的网格图中画出函数f(x)的图象;(2)若实数m满足f(2m-1)<f(2m+1),求m的取值范围.综合提升组3.已知函数f(x)=|x+1|+|2x-2|,g(x)=|x-1|+|x+3m|-m.(1)求函数f(x)的最小值;(2)对于任意x1∈R,存在x2∈R,使得f(x1)≥g(x2)成立,求实数m的取值范围.创新应用组4.(2021广西桂林模拟)已知函数f(x)=|2x-a|,g(x)=|x+2|.(1)若f(x)+2g(x)的最小值为2,求实数a的值;(2)若关于x的不等式f(x)+g(x)<6的解集为A,若[1,2]⊆A,求实数a的取值范围.答案：课时规范练1.解:(1)当a=2时,f (x )={7-2x ,x ≤3,1,3<x ≤4,2x -7,x >4.因此,不等式f (x )≥4的解集为{x |x ≤32或x ≥112}. (2)因为f (x )=|x-a 2|+|x-2a+1|≥|a 2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f (x )≥4.所以当a ≥3或a ≤-1时,f (x )≥4.当-1<a<3时,f (a 2)=|a 2-2a+1|=(a-1)2<4.所以a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).2.解: (1)由已知条件可得,f (x )={ -4,x ≤-12,4x -2,-12<x <32,4,x ≥32. 作出函数图象如图所示.(2)由(1)的图象可得,实数m满足-52<2m-1<32或-12<2m+1<72,解得-34<m<54.所以实数m 的取值范围为-34,54.3.解:(1)∵f (x )=|x+1|+|2x-2|={-3x +1,x <-1,-x +3,-1≤x ≤1,3x -1,x >1,∴f (x )min =f (1)=2,故当x=1时,f (x )取得最小值2.(2)由(1)得f (x )min =2,而g (x )=|x-1|+|x+3m|-m ≥|x-1-x-3m|-m=|1+3m|-m ,当且仅当x=1时,等号成立.由题意知,对任意x 1∈R ,存在x 2∈R 使得f (x 1)≥g (x 2)成立,则f (x )min ≥g (x )min ,即2≥|1+3m|-m ,所以{2+x ≥0,(2+x )2≥(1+3x )2,解得-34≤m ≤12, 即m 的取值范围为-34,12.4.解: (1)∵f (x )+2g (x )=|2x-a|+|2x+4|≥|2x-a-2x-4|=|-a-4|,当且仅当(2x-a )(2x+4)≤0时,等号成立,∴|a+4|=2,解得a=-2或-6.(2)由f (x )+g (x )<6得|2x-a|+|x+2|<6,当x ∈[1,2]时,|2x-a|+|x+2|=|2x-a|+x+2<6,即|2x-a|<4-x ,{2x -x <4-x ,2x -x >x -4,解得a-4<x<4+x 3, 由[1,2]⊆A ,∴{x +43>2,x -4<1,解得2<a<5,即a 的取值范围为(2,5).。
高考数学含绝对值不等式专题训练(一)
1、(长葛市第三实验高中2012届高三数学调研)已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++（1）解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈；（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围。
【解析】（1）不等式()10f x a +->，即210x a -+->。
当1a =时，不等式的解集是(,2)(2,)-∞+∞ ；当1a >时，不等式的解集为R ；当1a <时，即21x a ->-，即21x a -<-或者21x a ->-，即1x a <+或者3x a >-，解集为(,1)(3,)a a -∞+-+∞ 。
（5分）（2）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即23x x m ->-++对任意实数x 恒成立。
即23x x m -++>对任意实数x 恒成立。
由于23(2)(3)5x x x x -++≥--+=，故只要5m <。
所以m 的取值范围是(,5)-∞。
2、（濮阳市华龙区高级中学2012届高三数学上学期摸底）3、（哈尔滨市第六中学2011届高三数学第三次模拟）若关于x 的方程 243x x a a -++-=0有实根（1）求实数a 的取值集合A（2）若存在a A ∈，使得不等式22120t a t -+<成立，求实数t 的取值范围。
（1）0)3(416≥-+-=∆a a 即 2721≤≤-a所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=27,21A ---------5分（2）令212)(t t a a f ++-= 即 0)(m in <a f 即可 430127)27(2<<∴<+-=t t t f所以 4334<<-<<-t t 或----10分4、已知关于x 的不等式a a x x 2|||2|≥-+-.（I ）若1=a ，求不等式的解集；（II ）若不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围。
高中数学总复习专题76 不等式选讲(解析版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题76不等式选讲最新考纲1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b∈R)．2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.基础知识融会贯通1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3．不等式证明的方法(1)比较法①作差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为作商比较法． (2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法． (3)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．重点难点突破【题型一】绝对值不等式的解法【典型例题】已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +a |，g （x ）＝x +2．（1）当a ＝﹣1时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集； （2）设，且当，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝﹣1时，不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|x ﹣1|﹣x ﹣2＜0， （i ）当x 时，不等式化为﹣（2x ﹣1）﹣（x ﹣1）﹣x ﹣2＜0，解得0＜x ．（ii ）当x ≤1时，不等式化为2x ﹣1﹣（x ﹣1）﹣x ﹣2＜0，解得x ≤1，（iii ）当x ＞1时，不等式化为2x ﹣1+x ﹣1﹣x ﹣2＜0，解得1＜x ＜2 综上，原不等式的解集为（0，2）． （2）由﹣a ≤x ，得﹣2a ≤2x ＜1，﹣2a ﹣1≤2x ﹣1＜0， 又0≤x +aa ，则f （x ）＝﹣（2x ﹣1）+x +a ＝﹣x +a +1， ∴不等式f （x ）≤g （x ）化为﹣x +a +1≤x +2， 得a ≤2x +1对x ∈[﹣a ，）都成立，故a≤﹣2a+1，即a，又a，故a的取值范围是（，]．【再练一题】求不等式4﹣2|x+2|≤|x﹣1|的解集．【解答】解：①当x≤﹣2时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x，此时x；②当﹣2＜x＜1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x＜1；③当x≥1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤x﹣1，解得x，此时x≥1．综上，原不等式的解集为（﹣∞，]∪[﹣1，+∞）．思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．【题型二】利用绝对值不等式求最值【典型例题】已知函数f（x）＝|x+1|，g（x）＝2|x|+a．（1）当a＝﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝﹣1时，由f（x）≤g（x）得，|x+1|≤2|x|﹣1；x≤﹣1时，﹣x﹣1≤﹣2x﹣1，解得：x≤﹣1；﹣1＜x≤0时，x+1≤﹣2x﹣1，解得：﹣1＜x；x＞0时，x+1≤2x﹣1，解得：x≥2；∴不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x，或x≥2}；（2）存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），即存在x0∈R，使得|x0+1|≤|x0|；即存在x0∈R，使得|x0+1|﹣|x0|；设h（x）＝|x+1|﹣|x|，则h（x）的最小值为﹣1；∴1；即a≥﹣2；∴实数a的取值范围为：[﹣2，﹣∞）．【再练一题】已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≤9可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9，故，或，或；…解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1；…不等式的解集为[﹣2，4]；…（Ⅱ）易知B＝（0，3）；…所以B⊆A，又|2x﹣4|+|x+1|＜2x+a在x∈（0，3）恒成立；…⇒|2x﹣4|＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…⇒﹣x﹣a+1＜2x﹣4＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…故思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.(3)利用零点分区间法．【题型三】绝对值不等式的综合应用【典型例题】已知不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R．（1）求a的取值范围；（2）当a取得最小值时，请画出f（x）＝x+|x﹣a|的图象．【解答】解：（1）∵x+|x﹣a|≥x﹣x+a＝a，∴不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R等价于a≥1，a的取值范围是[1，+∞）（2）由（1）知a＝1，f（x）＝x+|x﹣1|，图象如下：【再练一题】设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥x+3，即|2x﹣4|+1≥x+3，则2|x﹣2|≥x+2，当x≥2时，解得x≥6，当x＜2，解得x，所以原不等式的解集为（﹣∞，）∪（6，+∞）（Ⅱ）由不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解可得：a≤2|x﹣2|﹣2|x+2|+1在实数范围内有解，令g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1，则a≤g（x）nax，因为g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1≤2|（x﹣2）﹣（x+2）|+1＝9，所以a≤g（x）max＝9，即a∈（﹣∞，9]．思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．【题型四】用综合法与分析法证明不等式【典型例题】用综合法或分析法证明：（1）求证2．（2）已知a+b+c＝1，a，b，c为正实数，证明8．【解答】证明（1）要证2，只需证明（）2＞（）2，即证明22，也就是证明42＞40，上式显然成立，故原结论成立．（2）（分析法）要证明8，∵a+b+c＝1，只要证明••8，∵，，，∴相乘可得；（综合法）∵a，b，c为正实数，∴，，，∴••8，∵a+b+c＝1，∴8．【再练一题】已知函数f（x）＝x3，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）证明：．【解答】证明：（1）∵x ∈[0，1]，∴x +1∈[1，2]． 要证明：f （x ）≥1﹣x +x 2，只要证明：x 3（x +1）+1≥（x +1）（1﹣x +x 2）， 只要证明：x 4≥0， 显然成立，∴f （x ）≥1﹣x +x 2； （2）∵1﹣x +x 2＝（x ）2，当且仅当x时取等号，∵f （），f （x ）≥1﹣x +x 2，∴f （x ），（2）∵0≤x ≤1，∴x 3≤x ， ∴f （x ）≤x ，设g （x ）＝x ，x ∈[0，1]，∴g ′（x ）＝10，∴g （x ）在[0，1]上单调递增， ∴f （x ）≤g （1）， 综上所述明． 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野． 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.基础知识训练1．已知()()0f x x a a =−>．（1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =−−的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n+的最小值．【答案】（1）6（2）2 【解析】解：（1）0a >，2aa ∴<，∴函数()()3222232x a x aa F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪−>⎪⎪⎛⎫=−+−=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫−<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2a x =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =−−+，()()22224x x x x −−+≤−−+=，4k ∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以当343n m m n =，即2n =，1m =时，123m n +最小值为2 2．选修4-5：不等式选讲 已知正实数,ab 满足2a b+=. ≤(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +−−≥恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ)3[,)2+∞. 【解析】(Ⅰ)22()262()212a b a b=+++≤+++=≤(Ⅱ)对正实数,a b 有a b +…所以2≤，解得1ab ≤，当且仅当a b =时等号成立． 因为对任意正实数,a b ，|1||3|x x ab +−−≥恒成立， 所以|1||3|1x x +−−≥恒成立．当1x ≤−时，不等式化为1(3)1x x −−−−≥，整理得41−≥，所以不等式无解； 当13x −<<时，不等式化为1(3)1x x +−−≥，解得332x ≤≤； 当3x ≥时，不等式化为1(3)1x x +−−≥，整理得41≥，不等式恒成立． 综上可得x 的取值范围是3[,)2+∞． 3．已知函数()||,f x x x a a R =+∈． （1）若()()111f f +−>，求a 的取值范围； （2）若0a <，对,(,]x y a ∀∈−∞−，不等式3(2)4f x y y a≤+++恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）30.1/mol L NaHCO ；（2）[)3,0−. 【解析】（1）由()()111f f +−>得111a a +−−>， 若1a ≤−，则111a a −−+−>，显然不成立； 若11a −<<，则111a a ++−>，12a >，即112a ＜＜； 若1a ≥，则111a a +−+>，即21>，显然成立， 综上所述，a 的取值范围是30.1/mol L NaHCO ． （2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需3))42((max min f x y ay ≤+++， 当(,]x a ∈−∞−时，()()f x x x a =−+，所以2()24maxa a f x f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭；因为223344a y y a +++≥−，所以23442a a ≤−，解得31a −≤≤，结合0a <，所以a 的取值范围是[)3,0−． 4．已知函数()3f x x =−. （1）解不等式()241f x x −+≤；（2）当()1f m ≤，()22f n ≤时，存在,m n R ∈，使得42131m n a −−>−，求实数a 的取值范围。
第一节 绝对值不等式--高考状元之路 (6)
第一节 绝对值不等式预习设计 基础备考知识梳理1．绝对值三角不等式定理1；如果a ，b 是实数，则|,|||||b a b a +≤+当且仅当 时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|,|||||c b b a c a -+-≤-当且仅当 时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式a x a x ><|||与的解集：)0(||)2(>≤+c c b ax 和)0(||>≥+c c b ax 型不等式的解法：;||c b ax c c b ax ≤+≤-⇔≤+①c b ax c b ax ≥+⇔≥+||②或.c b ax -≤+)0(||||)3(>≥-+-c c b x a x 和)0(||||>≤-+-c c b x a x 型不等式的解法，①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想，③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．典题热身1．(2011．玉溪模拟)设,,,0R b a ab ∈<那么正确的是( )||||.h a b a A ->+ ||||||.b a b a B +<- ||||.b a b a c -<+ ||||||||.b a b a D -<- 答案：C2．不等式3|1|1<+<x 的解集为 ( ))2,0.(A )4,2()0,2.( -B )0,4.(-c )2,0()2,4.( --D答案：D3．不等式x x 32|12|-<-的解集是 ( )}21|.{<x x A }5321|.{<≤x x B }53|.{<x x c }53|.{>x x D 答案：C4．若不等式4|3|<-b x 的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为答案：(5，7)5．已知关于x 的不等式0|5||2|>----k x x 的解集为R ，则实数A 的范围是答案：)3,(--∞课堂设计 方法备考题型一 绝对值不等式性质定理的应用【例1】,||m a x <-“且”m a y <-||是,,2||y x m y x ”（“<-）R m a ∈,的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件答案：A题型二 绝对值不等式的解法【例2】（2011．江苏高考）解不等式.3|12|<-+x x题型三 含参数的绝对值不等式问题【例3】若关于x 的不等式a x x ≤-++|1||2|的解集为,∅求实数a 的取值范围．题型四 绝对值不等式的证明问题【例4】设,)(2c bx ax x f ++=当1||≤x 时，总有,1|)(|≤x f 求证：.8|)2(|≤f随堂反馈1．已知α、β是实数，给出下列四个论断：①；||||||βαβα+=+②|;|||βαβα+≤-③;22||,22||>>βα④.5||>+βα以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，2．已知.4|1|)(,2|3|)(++-=---x x g x x f(1)若函数）x f (的值不大于1，求x 的取值范围；(2)若不等式1)()(+≥-m x g x f 的解集为R ，求m 的取值范围．3．（2011．福建高考）设不等式1|12|<-x 的解集为M.(1)求集合M;(2)若,,M b a ∈试比较1+ab 与b a +的大小．4．(2011．课标全国卷)设函数.1|42|)(+-=x x f(1)画出函数)(x f y =的图像；(2)若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取值范围．高效作业 技能备考1．(2011．陕西高考)若关于x 的不等式|2||1|||-++≥x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围是 答案：),3(|3,(+∞---∞2．（2010．福建高考）已知函数.||)(a x x f -=(1)若不等式3)(≤x f 的解集为},51|{≤≤-x x 求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若m x f x f ≥++)5()(对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．3．(2011．吉林省质检)设函数.21)(a x x x f +-+=(1)当5-=a 时，求函数)(x f 的定义域；(2)若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围．4．(2011．沈阳市质检)已知函数).|5||1(|log )(2a x x x f --+-=(1)当a=2时，求函数)(x f 的最小值；(2)当函数)(x f 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．5．（2011．银川一中月考）已知不等式.22|4||3|a x x <-+-(1)若,1=a 求x 的取值范围；(2)若已知不等式解集不是空集，求a 的取值范围．6．（2011．辽宁高考）已知函数.|5||2|)(---=x x x f(1)证明：;3)(3≤≤-x f(2)求不等式158)(2+-≥x x x f 的解集．7．（2011．常州模拟）设全集.R U =(1)解关于x 的不等式);(01|1|R a x ∈>-+-α(2)记A 为(1)中不等式的解集，集合+-=)3sin(|{ππx x B },0)3cos(3=-ππx 若B A C u )(恰有3个元素，求a 的取值范围，。
含绝对值不等式的解法练习题高一数学(含解析)
含绝对值不等式的解法练习题高一数学（含解析）含绝对值不等式的解法练习题高一数学含绝对值不等式的解法练习题1.不等式1|2x-1|2的解集是( )A.(- ,0)(1, )B.(- ,0)][1, ])C.(- ,0)[1, ]D.(-,- )[1, ]答案：B解析：原不等式等价于-2-1或12.解得-2.假如a0,那么下列各式中错误的是( )A. B.a+cb+c C.adbd D.a-cb-c答案：C解析：反例可举d=0.3.已知a1,则不等式|x|+a1的解集是( )A.{x|a-1C. D.R答案：D解析：由|x|+a1,得|x|1-a.∵a1,1-a0.故该不等式的解集为R.4.在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )A.{x|-2C.{x|-22}D.{x|x2或x-2}答案：C解析：由绝对值的几何意义易知.5.关于任意实数x,不等式|x|m-1恒成立,则实数m的取值范畴是_______ __________.答案：m1解析：|x|m-1对一切实数x恒成立,则m-1应不大于|x|的最小值,即m-10,得m1.6.|x-1||x+1|的解集是______________.答案：{x|x0}解析：原不等式可化为(x-1)2(x+1)2,解得x0.7.已知集合A={x||x+7|10},B={x|?|x-5|?2c},又AB=B,求实数c的范畴.解：先解|x+7|10,得x+710或x+7-10,有x3或x-17,即A={x|x3若x-17}.由AB=B得B A,对B讨论如下情形:(1)B= 有c(2)B 有c0,解|x-5|2c,得-2c解得c-11或c1.取c1,即0由(1)(2)知实数c的取值范畴是{c|c{c|0能力提升踮起脚,抓得住!8.已知集合M={x| 1},P={x|x-t0},要使MP= ,则t的取值范畴是( )A.{t|t1}B.{t|t1}C.{t|t1}D.{t|t1}答案：A解析：M={x|-11},P={x|xt},由MP= 知t1.9.若|x-4|+|x-3|A.aB.aC.aD.a3或a-4答案：B解析：由几何意义:|x-4|+|x-3|的最小值为1,则当a1时,原不等式的解集为空集.10.不等式|6-|2x+1||1的解集是________________.答案：{x|x-4或-3解析：原不等式等价于6-|2x+1|1或6-|2x+1|-1,又等价于-55或2x+17或2x+1-7.解之可得.11.不等式|x-2|+|x-3|9的解集是________________.答案：{x|-2解析：当x3时,原不等式为x-2+x-39,解得x7,即有3当23时,为x-2+3-x9,即19成立,即有2当x2时,为2-x+3-x9,解得x-2,即有-2综合得原不等式的解集为{x|37}{x|23}{x|-212.设A={x||2x-1|1},B={x||2x-a|1},AB= ,AB=R,求实数a的值.解：|2x-1|1 2x-11或2x-1-1,即x1或x0,即A={x|x1或x解|2x-a|1,得-11,即,即B={x| }.由AB= ,AB=R,图示如下:可得解得a=1.13.关于实数x的不等式|x- | 与|x-a-1|a的解集依次记为A与B,求使A B的a的取值范畴.解：由|x- | ,得- ,因此2aa2+1.由|x-a-1|a,得-ax-a-1a,则12a+1,要使A B,就必须即故a的取值范畴为2.拓展应用跳一跳，够得着!14.已知aR,则(1-|a|)(1+a)0的解集为( )A.|a|B.aC.|a|D.a1且a-1答案：D解析：(1)a0时,(1-|a|)(1+a)=(1-a)(1+a)a(2)a0时,(1+a)(1+a)=(1+a)20,且a-1.综合知a1,且a-1.15.已知关于x的不等式|x+2|+|x-3|答案：a5解析：∵|x+2|+|x-3|5恒成立,当a5时,|x+2|+|x-3|故要使|x+2|+|x-3|16.设不等式|x+1|-|x-2|k的解集为R,求实数k的取值范畴.解法一：依照绝对值的几何意义,|x+1|能够看作数轴上点P(x)到点A(-1)的距离|PA|,|x-2|能够看作是数轴上点P(x)到点B(2)的距离|PB|,则|x+1|-|x-2|=| PA|-|PB|.如图所示:当点P在线段AB上时,-3|PA|-|PB|3,当P在A点左侧时,|PA|-|PB|=-3,当P在B点右侧时,|PA|-|PB|=3,则不等式-3|x+1|-|x-2|3恒成立.故使原不等式的解集为R的实数k的取值范畴是k-3.解法二:令y=|x+1|-|x-2|课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
高考数学一轮经典例题含绝对值的不等式解法
2021届高考数学一轮经典例题 含绝对值的不等式解法 理例1 不等式|8－3x|＞0的解集是[ ]A B RC {x|x }D {83}．．．≠． 83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83答 选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是[ ]A ．3B ．2C ．－2D ．－5分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5．从而－5≤x ＜－2或者2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ．例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式施行同解变形．解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或者－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4 集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为2＜|2x －6|＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62⎧⎨⎩ 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4⎧⎨⎩解之得＜＜或＜＜．4x x 211212因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么[ ]A ．|a －b|＜|a|＋|b|B ．|a ＋b|＞|a －b|C ．|a ＋b|＜|a －b|D ．|a －b|＜||a|＋|b||分析 根据符号法那么及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ．例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，那么a ，b 的值是[ ]A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝－3D a b ．＝，＝1232分析 解不等式后比拟区间的端点．解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比拟可得．a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．⎧⎨⎩1232 答 选D ．说明：此题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为；∅若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x ＜m ．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为m m 1212∅{x|1－m ＜x ＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的HY ．例解不等式－＋≥．8 3212||||x x分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．解 注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先断定一下 分子或者者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式|6－|2x ＋1||＞1．分析 以通过变形化简，把该不等式化归为|ax ＋b|＜c 或者|ax ＋b|＞c 型的不等式来解．解 事实上原不等式可化为6－|2x ＋1|＞1①或者 6－|2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1|＜5，解之得－3＜x ＜2； 由②得|2x ＋1|＞7，解之得x ＞3或者x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x|x ＜－4或者－3＜x ＜2或者x ＞3}． 说明：此题需要屡次使用绝对值不等式的解题理论．例10 关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，那么实数a的取值范围是________．分析可以根据对|x＋2|＋|x－3|的意义的不同理解，获得多种方法．解法一当x≤－2时，不等式化为－x－2－x＋3＜a即－2x＋1＜a有解，而－2x＋1≥5，∴a＞5．当－2＜x≤3时，不等式化为x＋2－x＋3＜a即a＞5．当x＞3是，不等式化为x＋2＋x－3＜a即2x－1＜a有解，而2x－1＞5，∴a ＞5．综上所述：a＞5时不等式有解，从而解集非空．解法二 |x＋2|＋|x－3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的间隔之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a的取值范围为a＞5．解法三利用|m|＋|n|＞|m±n|得|x＋2|＋|x－3|≥|(x＋2)－(x－3)|＝5．所以a＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性．例11 解不等式|x＋1|＞2－x．分析一对2－x的取值分类讨论解之．解法一原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x0x12x x1x2⎧⎨⎩或②－＜∈2x0 x R⎧⎨⎩由①得≤＞或＜－x 2x 1212⎧⎨⎪⎩⎪ 即≤＞，所以＜≤；x 2x x 21212⎧⎨⎪⎩⎪ 由②得x ＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212分析二 利用绝对值的定义对|x ＋1|进展分类讨论解之． 解法二 因为|x 1| x 1x 1x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－⎧⎨⎩原不等式等价于：①≥＞或②＜＞x x x x x x ++-⎧⎨⎩+---⎧⎨⎩10121012 由①得≥＞即＞；x x -⎧⎨⎪⎩⎪11212 x 由②得＜－－＞即∈．x 112 x ⎧⎨⎩∅所以不等式的解集为＞．{x|x }12例12 解不等式|x －5|－|2x ＋3|＜1．分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为 x x 502x 3032－(x －5)＋(2x ＋3)＜1，得x ＜－7，所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－(x －5)－(2x ＋3)＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为 x －5－(2x ＋3)＜1， 解之得x ＞－9，所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值〞是根本策略． 例13 解不等式|2x －1|＞|2x －3|．分析 此题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22之，那么更显得流畅，简捷．解 原不等式同解于(2x －1)2＞(2x －3)2，即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9， 即8x ＞8，得x ＞1．所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．说明：此题中，假如把2x 当作数轴上的动坐标，那么|2x －1|＞|2x －3|表示2x到1的间隔大于2x到3的间隔，那么2x应当在2的右边，从而2x＞2即x ＞1．。
数学百大经典例题——绝对值不等式(新课标)
典型例题一例1解不等式x+1 A|2X—3 —2a（a 启0）分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念a=丿' ，将不等式中的绝对符号去-a（a c 0）掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解.去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论.3x = -1，令2x _3 = 0 ,••• x = 2，如图所示.(1 )当x _ -1时原不等式化为-(X • 1) • _(2x -3) - 2•x - 2与条件矛盾，无解.3（2 ）当-1：：：x 时，原不等式化为xT・-（2x-3）-2 .23•x 0 ,故0 ：x _23（3）当x 时，原不等式化为23x 1 2x -3 - 2 . • x 6，故x ：6 .2综上，原不等式的解为*0 ：：：x ：：：说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏.典型例题二例2求使不等式x -4 + x -3 va有解的a的取值范围.分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便.解法一：将数轴分为- ：：,3,[3,4],（4「：）三个区间7 — a 7 — a当x 3时，原不等式变为（4 -X）■ （3 -X）：：：a,x 有解的条件为3，即a 1 ;2 2当3 - x - 4时，得（4 -X）■ （x -3）：：：a，即a 1 ；+ 7 a+ 7a当x - 4时，得（x -4厂（x -3）：：： a，即x ，有解的条件为 4 • a 1 .2 2以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为解法二：设数X , 3, 4在数轴上对应的点分别为P , A , B ,如图，由绝对值的几何定义，原不等式PA +|PB va 的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a .因为AB =1，故数轴上任一点到 A 、B 距离之和大于（等于 1）,即x-4 + x-3>1，故当a>1时,x - 4 +|x -3 <a 有解.典型例题三分析：根据条件凑x - a, y - b . 证明： xy _ab =|xy _ ya + ya _ab= |y(x —a)+a(y —b)勻y|x —a +|a ，y —b cM说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法.典型例题四2 ,2a — b例4求证 _ 曰a - b分析：使用分析法证明••• a| >0，二只需证明，两边同除b 2，即只需证明2 2a -ba 2(-)2 -1 > a 2(-)2 abbb2bba >1时， a 2 (—)2 -1 a 2=(—)2 -1 > (-)2 _a ;当 a bbbbbb :::1时,例3已知x -a c —2My -b| £ 打，y E (0,M )，求证 xy — ab2Mba b 0，原不等式显然成立.•••原不等式成立.说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法•本例也可以一开始就用定理:a(1)如果—>1，则a-b 兰0，原不等式显然成立.b典型例题五分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们 联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明.x 1 x -11 证明：设f (X )1 --1+x 1+x1+xf (x)分别在区间(」：，-1)，区间(-1, •：：)上是增函数. 又 0 _ a b _ a | " |b , • f(a b) _ f (a b) 即 a +b|兰 l a | +|b | _ |a | + |b | 兰 |a| 十 |b |1 +|a +b | _1 +同 +冋 _1 +|a | +|b | 1 +|a |+|b | _ 1 +|a | 1 +|b |•••原不等式成立.说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误：••• a +b 兰 a +|b , 1 +a +b >0 ,...a +b 兰 l a [+|b [ _」a | _ + 川 兰」a l .忖_ .1+a+b 1+|a +b | 1+|a +b | 1+|a +b | 1+|a | 1 +|b |错误在不能保证1 +|a +b K 1 +a , 1 +|a +b K 1 + b .绝对值不等式 a ±b E|a +|b 在运用放缩法证明不等 式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活.放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结 构.典型例题六例5求证1b b a 2 -b 22—|b/ 一卩1 “laa ,b(2)如果b <1，则a l>|-b ，利用不等式的传递性知a_ £，b | >|a _ b ,•••原不等式也成立.定义域为{ x x E R ，且x 工一1},空0 JL 与x^3(a 1)x 2(3a 1) <0 (^ R)的解集依次为 _ 2 A 与B ，求使A 二B 的a 的取值范围.分析：分别求出集合A 、B ，然后再分类讨论.所以a 的取值范围是 A B 的a 时，要注意关于a 的不等式组中有没有等号，否则会导致误解.典型例题七例6已知数列通项公式 a^Sina - Sin2a -岂23翌亠'亠岂^匹 对于正整数 m 、n ,当m • n 时，求证:222 23 2n1am 一an 吒―.2n分析：已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式印乜2 •…鸟| |印| "禺"，"总，问题便可解决.例6关于实数x 的不等式x_(a 1)2 解：解不等式x(a 1)2 ... (a-1)2 -2 ，(a -1)... (a -1)2— ,22a zx za 2 1, a 三 R 二解不等式 x 2 -3(a 1)x 2(3a 1) _0 , [x -(3a 1)](x -2) _0 .1当a 时（即3a 1 2时），得B =』x 2 兰 x 兰3a +1, a a 」>.1当a 时（即3a • 1乞2时）,得3B =』x 3a+1Wx^2,aE — >.1 当a •-时，要满足 3A -B ,必须2；二2,故1兰a 兰3 ;a 2 +1 兰 3a +1,1当匕时，要满足必须鮎 23a+1, 2 Ka 2 +1;a <-1, —1兰aM1,说明：在求满足条件1 1尹ORJ21 1 1 1-（1 二）n （o ：：：1 二门）• 2“ 』 2* 2皿』11 11 1说明： 一T—r一是以 一T 为首项，以-为公比，共有 m -n 项的等比数列的和，误认为2n12n*22 m 2-T 2共有m -n -1项是常见错误.正余弦函数的值域，即 sin 叫<1 , cosq <1，是解本题的关键•本题把不等式、三角函数、数列、 n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目•如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同 样成立.典型例题八例 8 已知 f (x) =x 2 —x +13 , x —a c l ，求证：f (x) - f (a) v 2( a +1)分析：本题中给定函数f (x)和条件x-ac1 ,注意到要证的式子右边不含 x ,因此对条件x-ac1的 使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用a -1 ：：： x ：：： a • 1 ,替出x ； (3)用绝对值的性质 x -a | |x -a | ；：1—x ::: a 1 进行替换.证明：T f (x) =x 2「x 13 f (a)二 a 2「a 13 ,T x —a| <1，二 x 一 a| 勻 x —a c l .••• x < a +1 ,f (x) _f (a) = x 2 _a 2+a _x = (x —a)(x a) 一(x —a) =(x -a)(x +a T)二am -a n =sin(n 1)a si n(n 2)a 2n 1.....込sin(n +1)asin(n +2)a2^2=x —a x +a -1c|x +a T v x +|a +1 £a +1 +|a +1 =2( a +1),解法一：不等式两边平方得：(3 -X )2(2 x)2 (3 x)2(2 -x)2 .• (x 2 _x _6)2 (x 2 x —6)2，即(x 2 _x _6 x 2 x _6)(x 2 _ x — 6 _x 2 _ x 6) 0 ,2• x(6 —x ) 0，又 0 ：： x ：：3 .解法二：•/ x 0 ,•可分成两种情况讨论：3 — x 2 — x(1)当0：：：x 乞2时，不等式组化为 (0：：：x 乞2 ).3+x 2+x解得0 ： x 岂2 .3 _x x_2⑵当心时，不等式组可化为乔=药(5)，综合(1)、(2)得，原不等式组的解为 0 ：：：x ：：：，选C .说明：本题是在x 0的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在, 必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方.另一种方法则是分区间讨论，从 而去掉绝对值符号.当然本即 f(x) —f (a) ：：：2(a 1).说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运 用•分析中对条件 x —a <1使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用.典型例题九例9不等式组 x 0<3 —x 2 —x 的解集是(3 +x > 2 +x)•A .窗 0 : x ：：2 ?B. ： x 0 ：：： x ：：： 25分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法,3-x 3 x3 _ x ,知 . 0 , - 3：：：x ：；3，又 x 0 ,• 0 :: x ：：3，解原不等式组实为解不等式 3-x 2-x3 + x 》2 +x(0 ：： x ：： 3 ).f 2X 2 -6 <0 0 <x c3• 0 ：：： x ：：： -. 6 .选 C.题还可用特殊值排除法求解.典型例题十例 10 设二次函数 f (X) =ax ?+bx +c (a 〉0，且 b^O )，已知 b 兰a , f (0) <1, f(—1)兰 1, f (1) <1 , 5 当x <1时，证明f (x)兰上.4分析：从a>0知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从 x|E1且f(-1)|兰1 , f (1) <1知，要求证的是f(x)兰工，所以抛物线的顶点一定在x 轴下方，取绝对值后，图像翻到x 轴上方•因此抛物线的顶点4的取值非常重要，也是解这道题的关键所在.证明：•/ 2b =|(a+b+c) _(a _b+c)_ a b c | _|a -b c二 f(1)| 屮(-1) <1 1=2 ,••• b <1 .又••• b <a , • b <1 .af (丄)卜c - b 2 兰c +2a 丨4a 1 14a11而f(x)的图像为开口向上的抛物线，且x <1 ,•••| fg , | …，f(£Wf(-*)2a 4ac -b 2 b 2 ——c ■4a ' 又 c = f(0) <1 ,• f (x)的最大值应在x =1 ,x = T 或x —处取得.2a2a 2ba5••• f（x）乞5.4说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a，b，c的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在x乞1范围内的最大值.。