复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结精编WORD版
复变函数积分方法总结精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re iθ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点?k 并作和式S n =∑f (?k )nk −1(z k -z k-1)= ∑f (?k )n k −1?z k 记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即?k 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f (z )dz c=limδ 0∑f (?k )nk −1?z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c −.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
复变函数的积分
4i (cos i sin )d
0
2π
0.
第三章 复变函数的积分
1 例4 求 n 1 dz , C 为以 z0 为中心, r 为半 C (z z ) 0 y 径的正向圆周 n 为整数. ,
z
解: 积分路径的参数方程为
z0
o
r
z z0 re i
(0 2π ),
§3.1复变函数积分的概念 及其简单性质
1、 复变函数积分的定义与计算问题
2、复变函数积分的基本性质
第三章 复变函数的积分 光滑曲线的概念回顾:
对于简单曲线C : z x( t ) iy( t ) t 如果在 t 上, x( t ) 和 y( t ) 都是连续的, 且对于 t 的每一个值, 有 [x( t )]2 [y( t )]2 0,那末 称这曲线C为光滑的.
(2)
C
f ( z )dz {u(t ) iv(t )}{ x(t ) iy(t )}dt
f [ z(t )]z(t )dt .
第三章 复变函数的积分
计算 zdz , C : 从原点到点3 4i 的直线段. 例1 ： C
解： C的参数方程为: z (3 4i )t , 0 t 1
这里 zk zk zk 1 ,
B
记 = max |zk-zk-1|
y
k z k zk 1
(4)求极限
当 n 无限增加且 0 时,
A
C z n 1
1 2
如果不论对 C 的分法及 k 的 o x 取法如何, Sn有唯一有限的极限J , 则称f ( z )沿着C的正 向可积,极限值J 称为函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分,记为
复变函数积分计算
复变函数积分计算方法总结1、 一般计算方法：()(,)(,)f z u x y iv x y =+沿有向曲线C 的积分：()CCCf z dz udx vdy i udy vdx =-++⎰⎰⎰若有向光滑曲线C 可以表示为参数方程()()() ()z z t x t iy t t αβ==+≤≤，则：()[()]()Cf z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰2、 柯西积分定理：()f z 在简单闭曲线C 上和内部解析，则：()0Cf z dz =⎰由闭路变形原理可得重要积分：100, 012, 0()n C n dz i n z z π+≠⎧=⎨=-⎩⎰ 可以把各种简单闭路变为圆周进行积分。
3、 柯西积分公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：00()2()f z dz if z z z πΓ=-⎰高阶导数公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：()010()2()()!n n f z i dz f z z z n π+Γ=-⎰ 联系：柯西积分公式是高阶导数公式的特殊情况，高阶导数公式是柯西积分公式的推广。
4、 用洛朗级数展开式的-1次项系数计算积分00101()()() (r<) 2()n n n n C n f z f z c z z z z R c dz iz z π∞+=-∞=--<=-∑⎰，其中：其中C 为环域内任意围绕0z 的正向简单闭路。
当1n =-时，-1次项的系数为11()2Cc f z dz iπ-=⎰，因此1()2Cf z dz ic π-=⎰5、 用留数计算复积分 函数()f z 在点0z 的留数定义为:01Re [(),]()2Cs f z z f z dz iπ=⎰，即洛朗级数展开式中-1次项的系数。
复变函数积分计算方法
一．复变函数积分计算方法：
1． 线积分法，udy vdx i vdy udx z f c c c ++-=⎰⎰⎰
)( 2． 参数方程法，就是将积分线段分成几段，每一段尽可能简单，并且可以用一个参数式表达出来。
参考课本37页例3.1（2） 3． 原函数法，要用此方法必须保证函数f(z)在单连通区域D 内解析，求出f(z)的原函数G
（z ），则)z ()z ()(00G G dt t f z z -=⎰
4． 柯西积分公式，)z (2z -z z)(00
if dz f c π=⎰，用这种方法的关键是找出函数)z (f ，有时候要进行一些变形。
二．课本难点
课本47页例3.10（2） 他在解答过程中，有一步是令2)z ()z (i e f z +=，开始看的时候很难看明白是为什么，后来细心一想，原来他用了一个很巧妙的变换：
2
2222)()z /()])(z [()1z (111i z i e i z i e dz e z c z c z c -+=-+=+⎰⎰⎰ 这样就可以凑成柯西积分公式的形式，令2)z ()z (i e f z +=，就可以轻松使用柯西积分公式求出答案。
作业题很多都要用到这个技巧。
三．错误更正
课本55页作业6（3）的答案是i e π，课本答案e π是错误的。
四．规律总结
在做作业过程中，我找到以下两个公式：
ishz iz =sin
ithz iz =tan
特别是z=1的时候，有sini=ish1,tani=ith1
上面的公式根据定义就可以证明。
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复变函数积分方法总结The final revision was on November 23, 2020复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θθ称为主值 -π＜θ≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re iθ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点k 并作和式S n =∑f(k )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(k )nk−1z k 记z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max1≤k≤n {S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即k 的取法如何，S n有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(k )nk−1z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0. ∵f(z)=1 S n =∑f(k)nk−1(z k -z k-1)=b-a∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.(2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c存在，设k =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设k =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
复变函数积分方法总结()
4.4.1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为z1，z2，…，zn 则f(z)在各奇点的留数总和为零,即
+Res[f(z), ]=0;
4.4.2Res[f(z), ]=-Res[f( ) ,0]
例题：求下列Res[f(z), ]的值
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i²=-1，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ₁θ₁称为主值-π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。
∑1= (zk-zk-1)
有可设k=zk，则
∑2= (zk-zk-1)
因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以
Sn= (∑1+∑2)= =b2-a2
∴ =b2-a2
1.2定义衍生1：参数法：
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入 得：
= - vdy + i + udy
再设z(t)=x(t)+iy(t) ( ≤t≤ )
= +
=
= + + +
=0+2πi+2πi+0
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复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
复变函数与积分变换期末总结
复变函数与积分变换期末总结复变函数与积分变换是数学中重要的课程内容，对于理解和应用数学、物理、工程等领域都具有重要意义。
在这门课程中，我学习了复数、复变函数的性质和运算，并通过积分变换掌握了解析函数的积分和导数。
在期末总结中，我将对复变函数与积分变换的主要内容进行回顾和总结。
首先，我们先来介绍复数和复平面。
复数是由实部和虚部组成的数，通常用z = x + yi的形式表示。
其中，z是复数，x和y分别是实部和虚部。
我们可以将复数表示为在复平面上的点，实部与x坐标对应，虚部与y坐标对应。
复平面上的数可以进行加法、减法、乘法和除法的运算，这些运算保持了复数域的封闭性。
接着，我们讨论复变函数及其性质。
复变函数是将复数映射到复数的函数，即f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)分别是实部和虚部函数。
我们可以用几何矢量的形式表示复变函数，即f(z) =f(x + yi) = u(x, y) + iv(x, y) = ，f(z)，e^(iθ)。
其中，f(z)，表示复变函数的模，θ表示复变函数的幅角。
复变函数的导数和积分是复变函数研究的重要内容。
如果一个函数在其中一点处的导数存在，则称该函数在该点处可导。
在复分析中，复变函数的导数定义为极限的形式，即f'(z) = lim[(f(z+h)-f(z))/h]，其中h是一个趋近于0的复数。
利用导数的定义以及复变函数局部线性的特点，可以推导出复变函数的柯西-黎曼条件。
柯西-黎曼条件表示为∂u/∂x =∂v/∂y，∂v/∂x = -∂u/∂y。
满足柯西-黎曼条件的函数是解析函数。
通过解析函数的导数，我们可以得到解析函数的积分公式。
解析函数的积分只与积分路径有关，与路径的起点和终点无关。
这个性质称为路径独立性。
我们可以利用路径独立性，通过积分公式计算一些复变函数的实际积分。
积分公式包括柯西定理和柯西积分公式等。
柯西定理表示为∮ f(z)dz = 0，其中沿着封闭路径的积分等于0。
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复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re iθ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式S n=?(z k-z k-1)=??z k记?z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度={?S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即?k的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：=??z k设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。
（1）解：当C为闭合曲线时，=0.∵f(z)=1 S n=?(z k-z k-1)=b-a∴=b-a,即=b-a.(2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设?k=z k-1,则∑1= （）(z k-z k-1)有可设?k=z k，则∑2= （）(z k-z k-1)因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
所以S n= (∑1+∑2)==b2-a2∴=b2-a21.2 定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：= - vdy + i+ udy再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤)=参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π) 例题1：积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程z=（3+i）t=′=(3+i)3=6+i例题2：沿曲线y=x2计算（）解：参数方程或z=t+it2 (0≤t≤1)=（）=(1+i)+ 2i]=-+i1.3定义衍生2 重要积分结果：z=z0+ re iθ，(0≤θ≤2π)由参数法可得：=dθ=dθ（）=例题1：例题2：解：=0 解=2πi2.柯西积分定理法：2.1柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：=02.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。
2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与C1是D 内两条正向简单闭曲线，C1在C的内部，且以复合闭路Γ=C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有：=+=0ΓArray即=推论：=例题：C为包含0和1的正向简单曲线。
解：被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲线c1和c2。
=+==+++=0+2πi+2πi+0=4πi2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：定理2.2可知，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点z0与终点z1有关，即??= ??这里的z1和z0积分的上下限。
当下限z0固定，让上限z1在B内变动，则积分??在B内确定了一个单值函数F(z),即F(z)=??所以有若f(z)在单连通区域B内解析，则函数F(z)必为B内的解析函数，且=f(z).根据定理2.2和2.4可得= F(z1) - F(z0).例题：求解：函数zcosz在全平面内解析∴=zsinz-= isin i+cosz=isin i+cos i-1=i+-1=e-1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。
2.5柯西积分公式法：设B为以单连通区域，z0位B中一点，如f(z)在B内解析，则函数在z0不解析，所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分一般不为零。
取z0位中心，以>0为半径的正向圆周=位积分曲线，由于f(z)的连续性，所以==2πif(z0)：若f(z)在区域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，有：f(z0)=例题：1）2）解：=2π isin z|z=0=0 解：==2πi|z=-i=2.6解析函数的高阶导数：解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为f(n)(z0)=dz(n=1,2…)其中C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.例题：C:=1解：由高阶导数的柯西积分公式：原式=2πi(e z)(4)|z==3.解析函数与调和函数：定义：（1）调和函数：如果二元实函数(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：+=0，则称(x,y)为区域D内的调和函数。
若f(z)=u+iv为解析函数，则u和v都是调和函数，反之不一定正确（2）共轭调和函数:u(x，y)为区域内给定的调和函数，我们把是u+iv 在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。
若v是u的共轭调和函数，则-u是v的共轭调和函数关系：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。
3.1求解方法：（1）偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏导数=，两边对y积分得v=.再由=又得+=-从而=dx + Cv=+ dx + C同理可由v(x,y)求u(x,y).3.2不定积分法：因为=U x+i V x= U x-iU y= V y+iV X所以f(z)=+c f(z)=+c3.3线积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程可得的dv=dx+dy=-dx+故虚部为v=（，）（，，）+C该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解：利用C-R条件=2x+y =-2y+x =2 =-2所以满足拉普拉斯方程，有==2y-x ==2x+y所以v=+=2xy- +=2x+=2x+y=y =+cv(x,y)=2xy-+cf(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(2-i)+iC4.留数求积分：留数定义：设z0为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、0<<,我们把f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c-1称为f(z)在z0处的留数，记为Res[f(z),z0]即Res[f(z),z0]=c-1或者Res[f(z),z0]=C为0<<4.1留数定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1z2…z n,其中z k表示函数的孤立奇点4.2孤立奇点：定义：如果函数在z0不解析，但在z0某个去心邻域0<<内解析，则称z0为的孤立奇点。
例如、都是以z=0为孤立奇点函数（）以z=-1、z=2为孤立奇点..........在孤立奇点z=z0的去心邻域内，函数可展开为洛朗级数=（）洛朗级数中负幂项是否存在，若存在是有限项还是无限项，这对f(z)在z0处的奇异性将起着决定性的作用。
讨论孤立奇点z0的类型：：若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幂项，即对一切n<0有c n=0，则称z0是f(z)的可去奇点因为没有负幂项，即c-n=0,(n=1,2.....)故c-1=0。
遇到函数f(z)的奇点类型是可去奇点，一般对函数求积分一般为零判断可去奇点方法：⑴函数在某个去心邻域0<<内解析，则z0是的可去奇点的充要条件是存在极限（）=c0，其中c0是一复常数;⑵在⑴的假设下，z0是f(z)可去奇点的充要条件是：存在r≤，使得f(z)在0<<r内有界若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负幂项，即有正整数m，c-m0，而当n<-m时c-n=0则称z0是f(z)的m级极点。
其洛朗展开式是：f(z)=（）+（）+…++c0+c1(z-z0)n+m+…+c0(z-z0)n +…这里c-m0，于是在0<<有f(z)=[（）+（）+…++c0+c1(z-z0)n+m+…+c0(z-z0)n +…]=. * 一个在0<<解析，同时，则z0是f(z)的m级极点。
判断定理：（1）f(z)在z0的去心邻域0<<解析，z0是f(z)的m级极点的充要条件是可以表示成*的形式。
（2）z0是f(z)的m级极点的充要条件是=.：若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有无限个负幂项，则称z0是f(z)的本性奇点判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极限。
4.3函数在极点的留数：准则一：若z0为一级极点，则Res[f(z),z0]=准则二：做z0为m级极点，则Res[f(z),z0]={(z-z0)m f(z)}准则三：设f(z)=,P(z)以及Q(z)都在z0解析，如果P(z0)0，Q(z0)，则z0是f(z)的一级极点，而且：Res[f(z),z0]=4.4无穷远处的留数：定义：扩充z平面上设z=为f(z)上的孤立奇点，即f(z)在R<<+内解析，C为圆环绕原点z=0的任一条正向简单闭曲线，则积分值称为f(z)在z=处的留数，记作Res[f(z),]=如果f(z),在R<<+内的洛朗展开式为f(z),=则有Res[f(z),]=-c-14.4.1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为z1，z2，…，z n，则f(z)在各奇点的留数总和为零,即+Res[f(z),]=0;4.4.2Res[f(z),]=-Res[f(),0]例题：求下列Res[f(z),]的值（1）f(z)=(2)f(z)=解：（1）在扩充复平面上有奇点：1，，而1为f(z)的一级极点且Res[f(z),1]===eRes[f(z),-1]===-∵Res[f(z),] + Res[f(z),1] + Res[f(z),-1]=0得∴Res[f(z),]=-{ Res[f(z),1]+ Res[f(z),-1]}=()=-sh1(2) 由公式Res[f(z),]=-Res[f(),0]，而f()=以z=0为可去奇点，所以Res[f(z),]= -Res[f(),0]=04.5用留数定理计算积分：4.5.1形如d的定积分计算；其中为cos与的有理函数。