复积分的几种算法
高等数学 第四章 第三节 分部积分法
（再次使用分部积分法）u x , e x dx dv
x e 2( xe e ) C .
2 x x x
结论
若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 x arctan xdx . 2 x dv 解 令 u arctan x , xdx d
微分部分
积分部分
+
x
2
cos x
sin x
cos x
sin x
2x
2
结束
0
+
2 2 x cos xdx x sinx 2 x cos x 2 sinx C
例13 求积分 x e dx .
微分部分
2
x
竖式算法
选 u x 2 , v' e x
积分部分
+
x
2
e
x
2x
sec x tan x tan x sec xdx
2
sec x tan x (sec 2 x 1) sec xdx
这是一个 sec x tan x (sec 3 x tan x )dx 循环积分
sec x tan x I ln cos x
1 解出I即可 I (se cx tan x lncos x ) C 2
2 x e e
2 x2
x2
C.
例9
解：原式 x ln(1 x ) xd ln(1 x )
2 2
求 ln( x 1)dx
2
2x x ln( 1 x ) x dx 2 1 x
归纳二重积分的计算方法
归纳二重积分的计算方法摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算前言二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.1. 预备知识1.1二重积分的定义]1[设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有()1,niii i f J ξησε=∆-<∑,则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),DJ f x y d σ=⎰⎰,其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域.1.2二重积分的若干性质1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),Dkf x y d σ⎰⎰(),Dk f x y d σ=⎰⎰.1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且()()[,,]Df x yg x y d σ±⎰⎰()(),,DDf x y dg x y d σσ=±⎰⎰⎰⎰.1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且1.3在矩形区域上二重积分的计算定理设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =⨯上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),dcf x y dy ⎰存在,则累次积分(),b dacdx f x y dy ⎰⎰也存在,且(),Df x y d σ⎰⎰(),bdacdx f x y dy =⎰⎰.同理若对每个[],y c d ∈,积分(),baf x y dx ⎰存在,在上述条件上可得2.求的二重积分的几类理论依据二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算X -型区域: ()()(){}12,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤Y -型区域: ()()(){}12,,D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V . 解：设圆柱底面半径为a ,两个圆柱方程为 222x y a +=与222x z a +=.只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积. 第一卦限部分的立体式以z =,以四分之一圆域D : 为底的曲顶柱体,所以于是3163V a =. 另外,一般常见的区域可分解为有限个X -型或Y -型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质1.23求得即可.2.2 二重积分的变量变换公式定理: 设(),f x y 在有界闭域D 上可积,变换T : (),x x u v =, (,)y y u v =将平面uv 由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy 平面上的闭区域D ,函数(),x x u v =,(,)y y u v =在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ()()(),,0,x y J u v u v ∂=≠∂, (),u v ∈∆,则()()()()(),,,,,Df x y dxdy f x u v y u v J u v dudv ∆=⎰⎰⎰⎰.用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化. 例1 求x y x yDedxdy -+⎰⎰,其中D 是由0x =,0y =,1x y +=所围区域.解 为了简化被积函数,令u x y =-,v x y =+.为此作变换T :1()2x u v =+,1()2y u v =-,则()11122,011222J u v ==>-. 即111100111()2224x y u u v x yvv v De e edxdy e dudv dv e du v e e dv ---+-∆-==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例2 求抛物线2y mx =，2y nx =和直线y x β=，y x α=所围区域D 的面积()D μ(0,0)m n αβ<<<<．解D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰．为了简化积分区域，作变换T ： 2u x v =，uy v=．它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域[][],,m n αβ∆=⨯．由于()234212,01uu v v J u v u v vv-==>-，(),u v ∈∆， 所以2.3 用极坐标计算二重积分定理: 设(),f x y 在有界闭域D 上可积,且在极坐标变换T ：cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩0r ≤<+∞，02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域D 与r θ平面上区域∆对应，则成立()(),cos ,sin (,)Df x y dxdy f r r J r drd θθθθ∆=⎰⎰⎰⎰．其中cos sin (,)sin cos r J r r r θθθθθ-==．当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为()22,f x y 时，采用该极坐标变换．二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：（i ）若原点O D ∉，且xy 平面上射线θ=常数与D 边界至多交与两点，则∆必可表示成12()()r r r θθ≤≤，αθβ≤≤，于是有类似地，若xy 平面上的圆r =常数与D 的边界多交于两点，则∆必可表示成12()()r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤，所以2211()()(,)(cos ,sin )r r r r Df x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=⎰⎰⎰⎰.（ii ）若原点为D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆可表示成0()r r θ≤≤，02θπ≤≤.所以2()(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdrπθθθθ=⎰⎰⎰⎰.(iii)若原点O 在D 的边界上,则∆为0()r r θ≤≤,αθβ≤≤, 于是例1 计算22()xy DI e d σ-+=⎰⎰,其中D 为圆域: 222x y R +≤.解 利用极坐标变换,由公式得2220(1)Rr R I re dr e ππ--==-⎰⎰.与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换：T ：cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩ 0r ≤<+∞，02θπ≤≤， cos sin (,)sin cos a ar J r abr b br θθθθθ-==．如求椭球体2222221x y z a b c++≤的体积时，就需此种变换．2.4利用二重积分的几何意义求其积分当(,)0f x y ≥时，二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰在几何上就表示以(,)z f x y =为曲顶，D 为底的曲顶体积．当(,)1f x y =时，二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰的值就等于积分区域的面积．例6计算：DI σ=，其中D ：22221x y a b +≤．解因为被积函数z =0≥，所以I 表示D为底的z =由平行xoy 面的截面面积为()(1)A x ab z π=-，(01)z ≤≤，根据平行截面面积为已知的立体体积公式有2.5 积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算 ２.５１利用变量代换计算设D 为有界闭域，它的边界曲线，()t αβ≤≤且{}(,),()D x y a x b c y y x =≤≤≤≤，当x a =时，t α=；当x b =时，t β=。
几种数值积分算法的误差分析
Sn
h 6
f
n1
(a) 2
k 1
f
n
(xk ) 4
k 1
f
(
x k
1
)
2
f
(b)
（3）复化Cotes求积公式
h
n1
3
n1
n1
Cn
90
7
f
(a) 32( (
k 0
f
(
x k
1
)
4
f
(xk
4
))
12
k
0
(
x k
1、Newton-Cotes求积公式的误差分析
（1）梯形公式的截断误差 （2）辛普森公式截断误差 （3）柯特斯公式截断误差
RT
f ( ) (b a)3, 12
(a,b)
RS
(b a)5 2880
f
(4) ( ), (a,b)
RC
2(b a) 945
(b
一、几种数值积分的算法
1、Newton-Cotes求积公式
（1）梯形公式（n=1）
b f (x)dx T b af (a) f (b)
a
2
（2）Simpson（辛普森）公式（n=2）
b
f (x)dx S
a
b
6
a
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)
（3）Cotes公式（n=4）
b
复变函数的学习要点
第一章 复数与复变函数的学习要点复变函数论是分析学的一个分支，称为复分析．复变函数论中所涉及的函数是自变量与因变量均取复数的函数，称为复变函数．复变函数论主要研究的对象，是在某种意义下可导（或可微）的复变函数，这种函数通常称为解析函数．为了建立研究解析函数的理论基础，我们首先要对复数域和复变函数有一个清晰的认识．本章主要介绍复数的基本概念、复数的基本运算（即四则运算，乘方与开方运算，共轭运算）、复数的三角表示与指数表示（统称极坐标表示）、平面拓扑（即平面点集）的一般概念及其复数表示、复变函数的极限与连续．另外，为了研究的需要，在本章我们还将引入复球面与无穷远点．学习要点及基本要求1．熟悉复数的三种常用的表示（代数、几何和极坐标表示），理解复数的模和幅角的含义，并知道复数0为什么不定义幅角．2．熟练掌握复数的基本运算（四则运算、乘方和开方、复数的共扼），并理解它们的几何意义．掌握复数相等的两种规定：设111i z re θ=，222i z r e θ=，则1212Re Re z z z z =⇔=且12Im Im z z =；1212z z r r =⇔=且122()k k θθπ=+∈（或12z z =且12Arg Arg z z =）． 3．掌握并理解有关复数的如下等式和不等式，并能利用它们解决一些简单的几何问题（例如12arg z z 表示向量2z 到向量1z 的夹角等）． 121212z z z z z z -≤±≤+，Re ,Im Re Im z z z z z ≤≤+；1Re ()2z z z =+，1Im ()2z z z i=-，2z z z =⋅； 1212Arg Arg Arg z z z z ⋅=+，1122Arg Arg Arg z z z z =-（其中12,0z z ≠）；1Arg Arg z z =-，Arg Arg z z =-，1Arg z n=（其中0z ≠）． 4．掌握直线和圆周方程的如下几种常用的复数表示：直线的几种复数表示：（1）一般形式： 0z z d ββ++=，其中β是不为零的复常数，d ∈．（2）过两点,()a b a b ≠的直线：Im 0z a b a-=-（复数方程）； ()z a t b a =+-，t -∞<<+∞（复参数方程）．若限制01t ≤≤，则上面的参数方程为连接两点,()a b a b ≠的直线段的参数方程．（3）两点,()a b a b ≠的连线段的垂直平分线：z a z b -=-或1z a z b -=-． 圆周的几种复数表示：（1）一般形式：0az z z z d ββ⋅+++=，其中β是复常数，,a d ∈，2ad β>．（2）不共线三点,,a b c 所确定的圆周：Im 0a zc z a bc b--=--． （3）以0z 为心，R 为半径的圆周：0z z R -= （复数方程）， 0i z z R e θ=+⋅，02θπ≤≤或πθπ-≤≤（复参数方程）． （4）以两点,()a b a b ≠为对称点的圆周：z a r z b-=-，(0,1)r r >≠． 5．理解复数在球面上的几何表示（即单位球面上的球极投影），非正常复数∞的几何表示（即单位球面上的北极点），复平面和扩充复平面的几何表示（即分别为复球面去掉北极点和复球面），并掌握复数与其球极投影点的坐标之间的如下关系：设z ∈，(,,)Z x y u 为z 在复球面222:1S x y u ++=上的球极投影，则1x iy z u+=-（已知(,,)Z x y u ，可求z ）， 22221(1)11z zx z z z y i z z u z ⎧+⎪=⎪+⎪+⎪=⎨+⎪⎪-⎪=⎪+⎩（已知z ，可求(,,)Z x y u ）． 6．会用复数来表示一些平面点集，并会判断一个平面点集是否区域、单连通区域和多连通区域．7．理解简单（闭）曲线、光滑曲线和分段光滑曲线的含义．8．掌握复变函数的极限和连续的概念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如，极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性．9．正确理解并熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）．另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下：复变函数()f z 在点集E ⊂上一致连续⇔对任意两个点列n z ，n z 'E ∈，只要0()n n z z n '-→→∞，总有lim ()()0n n n f z f z →∞⎡⎤'-=⎣⎦． 复变函数()f z 在点集E ⊂上不一致连续⇔存在两个点列n z ，n z 'E ∈，虽然0()n n z z n '-→→∞，但 lim ()()0n n n f z f z →∞⎡⎤'-≠⎣⎦． 10．掌握讨论0lim ()z z z Ef z →∈不存在的如下有效方法： 设l 是点集E ⊂中过0z 的一条曲线（0z 是E 的聚点），1l 和2l 是点集E 中过0z 的两条不同曲线，若0lim ()z z z l f z →∈不存在或01lim ()z z z l f z →∈，02lim ()z z z l f z →∈都存在但极限值不相等，则0lim ()z z z E f z →∈一定不存在．第二章 解析函数的学习要点解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用．本章，首先，从复变函数的导数或可微的概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件——柯西—黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质及函数值的算法——尤其是多值函数的分支函数的函数值的算法（即已知初值求终值的计算公式提供的算法）．学习要点及基本要求1．能正确地理解复变函数可微（可导）和解析的概念，并弄清下面几种关系：● 在一点连续，可微与解析的关系（可微⇒⇐连续；解析⇒⇐可微）；● 可微与解析两个概念之间的联系和差异；● 可微和解析与复变函数的实部、虚部两个二元实函数可微之间的联系和差别（进而体会实部、虚部两个二元实函数所满足的柯西—黎曼条件的作用）．2．熟习复变函数导数和解析的运算法则（如四则运算法则，复合函数的求导法则）．3．能熟练运用实部、虚部两个二元实函数所满足的条件来讨论具体函数的可微性和解析性；能熟练地运用复变函数导数和解析的运算法则，并借助一些已知的解析函数来判断某些复变函数的解析性．下面列举的几类具体函数，其可微性和解析性情况及讨论方法希望大家要熟习： ● ()f z z =；()f z z =；()Re f z z =；()Im f z z =都在上处处连续但处处不可微，从而它们都在上处处不解析． ● 2()f z z =；2()Re f z z =在都在上处处连续但仅在原点0z =可微，从而它们都在上处处不解析；2()f z z a =-；2()Re ()f z z a =-在都在上处处连续但仅在一点z a =可微，从而它们都在上处处不解析． ● ()f z c ≡（常函数）；多项式函数101()n n n P z a z a z a -=+++；指数函数z e ；正弦和余弦函数sin z 和cos z ；双曲正弦和余弦函数cosh z 和sinh z 都在上解析（即都是整函数，所谓整函数是指在上解析的函数）．● 有理函数101101()n n n m m ma z a z a R zb z b z b --+++=+++；正切、余切、正割和余割函数（即tan z 、cot z 、sec z 和csc z ）都在其自然定义域内解析． 4．熟练掌握函数可微和解析的充要条件以及在可微情况下，函数导数用实或虚部的偏导数来计算的计算公式：函数()f z u iv =+在点z x iy =+可微，则()u v u u v v v u f z i i i i x x x y y x y y∂∂∂∂∂∂∂∂'=+=-=+=-∂∂∂∂∂∂∂∂． 理解柯西—黎曼条件在函数可微或解析中的地位和作用，并能熟练地运用柯西—黎曼条件判别给定的函数的可导性和解析性．5．归纳区域内解析函数为常函数的若干等价条件，并达到下面的目的：● 通过体验这些等价条件的证明进一步体会柯西—黎曼条件在讨论解析函数性质中的作用．● 通过这些等价条件，利用逆向思维的思想（反证法），简洁的判断某些函数的不解析性，例如，z ，Re z ，Im z ，z e ，sin z 等都在复平面上不解析；一般地，若()f z 在区域D 内解析，且()f z 不恒为常数，则Re ()f z ，Im ()f z ，()f z 等都在D 内不解析．6．熟练地掌握几类初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数，有理函数，复指数函数，复三角函数，复双曲函数以及这些函数经过有限次的四则运算或函数的复合所得的函数），以及这些函数的主要性质．7．通过幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数学习，达到下面的目的：（1）初步了解和体会研究初等多值函数的基本思想（即将其分支函数单值化）；初步掌握将初等多值函数单值化的基本方法（即寻找支点——产生多值的客观原因，再取连接支点的适当支割线——消除多值实现原因的方法）；（2）了解支点的特点（即动点单独围绕支点变化时，函数值会发生变化）——这是判断支点的依据，了解支割线的特点（即将函数的定义范围沿支割线割开，能限制动点在割开的定义范围内不可能再围绕各支点变化）——这是作支割线的依据，并理解它们在将多值函数单值化中的作用；（3）知道多值解析函数的含义（即在单值化区域内，每个分支函数都是单值解析函数），据此说明为什么教材中涉及的具体多值函数除幅角函数外，其他的都是多值解析函数．8．熟练掌握将幅角函数，对数函数，一般幂函数（包括根式函数w =）以及稍复杂一点的两类常用根式类函数w 和w分出它们的单值分支函数，并会利用下面列举的已知初值在连续变化的意义下求终值的公式，快速地求出满足初值条件要求的单分支函数在另一指定点处的函数值．五类已知初值在连续变化意义下求终值的公式（注意：这些公式也是判断支点的手段；这些公式中后面的四类在今后的函数值的计算中经常用）：（1）一般公式（2个）：● 设()f z 是某多值函数在区域G 内的分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定，比如G 是单值化区域，()f z 就是单值的，否则()f z 就是多值的），01,z z G ∈，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，若已知()f z 在0z 点的值为0()f z （称为初值），则此分支函数在另一点1z 处的值1()f z （称为终值）要按下面的公式计算：10()()()C f z f z f z =+∆其中()C f z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，()f z 的连续改变量．● 在上述公式中，若进一步还有()0f z ≠（z G ∈），则借助复数的极坐标表示以及下面的幅角类函数的已知初值求终值的公式，还可得下面的一般公式：设()f z 是某多值函数在区域G 内的分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），且()0f z ≠（z G ∈），01,z z G ∈，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，若已知()f z 在0z 点的值为0arg ()00()()i f z f z f z e =（称为初值）， 则此分支函数在另一点1z 处的值1()f z （称为终值）还可按下面的公式计算：0arg ()arg ()11()()C i f z i f z f z f z e e ∆=⋅，其中0arg ()i f z e 是初值0arg ()00()()i f z f z f z e =中的因子0arg ()i f z e ，arg ()C f z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg ()f z 的连续改变量．（2）幅角类函数的公式（2个）：● 设arg z 是幅角函数rg A z 在区域{}\0G ⊂内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知arg z 在某一点0z G ∈的值为0arg z ，则此分支函数在另一点1z G ∈的值1arg z 要按下面的公式计算：10arg arg arg C z z z =+∆其中01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg C z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg z 的连续改变量．● 设()f z 在区域G 内连续，且()0f z ≠，arg ()f z 是rg ()A f z 在区域G 内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知arg ()f z 在某一点0z G ∈的值为0arg ()f z ，则此分支函数在另一点1z G ∈的值1arg ()f z 要按下面的公式计算：10arg ()arg ()arg ()C f z f z f z =+∆其中01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg ()C f z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg ()f z 的连续改变量．（3）对数类函数的公式（2个）：● 设ln ln arg z z i z =+（称为确定分支的结构表示）是对数函数Ln z 在区域{}\0G ⊂内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知ln z 在某一点0z G ∈的值为000ln ln arg z z i z =+，则此分支函数在另一点1z G ∈的值1ln z 要按下面的公式计算：110ln ln arg arg C z z i z i z =+∆+其中{}00arg Im ln z z =，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线， arg C z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg z 的连续改变量．● 设()f z 在区域G 内连续，且()0f z ≠，ln ()ln ()arg ()f z f z i f z =+是Ln ()f z 在区域G 内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知ln ()f z 在某一点0z G ∈的值为000ln ()ln ()arg ()f z f z i f z =+，则此分支函数在另一点1z G ∈的值1ln ()f z 要按下面的公式计算：110ln ()ln ()arg ()arg ()C f z f z i f z i f z =+∆+其中{}00arg ()Im ln ()f z f z =，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg ()C f z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg ()f z 的连续改变量．（4）根式类函数的公式（2个）：● arg zi n e =（称为确定分支的结构表示）是根式函数在区域{}\0G ⊂内的0z G ∈0arg z i n e =，则此分支函数在另一点1z G ∈要按下面的公式计算：0arg argC z z i i n n e e ∆⋅其中0arg z i n e 0arg z i n e =中的因子0arg z i n e ，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg C z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg z 的连续改变量．● 设()f z 在区域G 内连续，且()0f z ≠arg ()f z i n e =是根式类函数在区域G 0z G ∈的值为0arg ()f z i n e ，则此分支函数在另一点1z G ∈要按下面的公式计算：0arg ()arg ()C f z f z i i n n e e ∆=⋅其中0arg ()f z i n e 0arg ()f z i n e 中的因子0arg ()f z i ne ，01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg ()Cf z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg ()f z 的连续改变量．特别，取()()f z P z =（多项式函数）或()()f z R z =（有理函数）时，上述公式就是两类常用根式类函数分值函数已知初值求终值的公式．（5）一般幂函数的公式：● 设ln arg z i zz e e ααα=⋅（称为确定分支的结构表示）是一般幂函数在区域{}\0G ⊂内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知z α在某一点0z G ∈的值为00ln arg 0z i z z e e ααα=⋅，则此分支函数在另一点1z G ∈的值1z α要按下面的公式计算：10ln arg arg 1C z i z i z z e e e αααα∆=⋅⋅其中0arg i z e α是初值00ln arg 0z i z z e e ααα=⋅中的因子0arg i z e α（具体可用00arg 0ln i z z z e e ααα=计算），01,C z z G =⊂是G 内从0z 到1z 的任一条有向简单曲线，arg C z ∆表示当动点z 沿C 从0z 连续变到1z 时，arg z 的连续改变量．9．在8涉及的计算中，幅角的连续改变量的计算是关键，下面列举的幅角连续改变量的计算公式是具体计算中常用的（希望熟练掌握）：设C 是一条有向简单曲线，1()f z 和2()f z 在C 上连续，且1()0f z ≠，2()0f z ≠，则 1212arg ()()arg ()arg ()C C C f z f z f z f z ∆=∆+∆；1122()arg arg ()arg ()()C C C f z f z f z f z ∆=∆-∆；11arg ()C C f z n∆=∆． 特别，取1101()()()()m k k m f z P z a z a z a ==--，则注意到0arg 0C a ∆=，有11011arg ()arg ()()arg()m mk k C C m i C i i f z a z a z a k z a =∆=∆--=∆-∑ 取1101101()()()()()()()m n k k m n a z a z a P z f z Q z b z b z b ββ--==--，则注意到0arg 0C a ∆=，0arg 0C b ∆=，有111011101()arg ()arg()()()argarg()arg().()()mn C C k k m nm C i C i j C j i j n P z f z Q z a z a z a k z a z b b z b z b βββ==∆=∆--=∆=∆--∆---∑∑第三章 复积分的学习要点复变函数的积分（以下简称为复积分）是研究解析函数的重要工具之一．用这种工具我们可以证明解析函数的许多重要性质．例如，解析函数导数的连续性，解析函数的无穷可微性等，这些表面看起来只与微分学有关的命题，都可用复积分这一工具得到比较好地解决．另外，对解析函数，我们完全可以通过函数的连续性，再结合函数的适当积分特征（积分与路径无关）来加以刻画，从而使对解析函数研究摆脱以往过份依赖实、虚部二元实函数，受数学分析知识的限制这种尴尬的境地，为解析函数的研究开辟了新的途径和新的思路．实际上，解析函数的许多进一步研究，正是在有了积分定义法之后，才得以进一步深入．学习要点及基本要求1．能正确地理解复变函数积分的定义，掌握复积分与实、虚部二元实函数所产生的两个第二型曲线积分的关系，从而真正理解为什么复积分虽具有形式上的一元性，但实质上是与二元实函数的第二型线积分联系在一起的，具有第二型线积分的特点．复积分与实积分的具体关系如下：函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+定义在平面有向光滑或逐段光滑曲线C 上，则()f z 沿C 可积或()d Cf z z ⎰存在⇔(,)d (,)d Cu x y x v x y y -⎰和(,)d (,)d Cv x y x u x y y +⎰都存在．此时还有()d (,)d (,)d (,)d (,)d CCCf z z u x y x v x y y i v x y x u x y y =-+⋅+⎰⎰⎰．2．熟练掌握复积分的若干基本性质以及基本性质的应用（比如：利用积分的估值性，估计复积分的模，证明一些与积分有关的极限问题等）．3．熟练掌握复积分计算的两种基本方法——参数方程法和牛顿－莱布尼兹公式法，并能用这两种方法熟练计算复积分．● 熟记复积分的参数方程计算公式：记积分路径C （C 为光滑曲线）的参数方程为：()z z t =，0t t T ≤≤，其中00()z z t =，()Z z T =()f z 在积分路径C 上连续，则()d [()]()d T Ct f z z f z t z t t '=⋅⎰⎰，其中右边定积分上、下限要根据曲线C 的方向确定．另外为了能用上述公式顺利地进行计算，还要能正确写出一些常见曲线的参数方程，例如：（1）连接两点1z 和2z 的直线段12z z 的参数方程：121()z z z z t =+-，01t ≤≤． （2）圆周0z z ρ-=的参数方程0i z z e θρ=+，02θπ≤≤或πθπ-≤≤． ● 熟记复积分的牛顿－莱布尼兹公式：设函数()f z 在区域D 内连续，0z ，Z D ∈，C 是区域D 内从0z 到Z 的任意积分路径（要求是光滑或逐段光滑的曲线），若()f z 在区域D 内存在原函数()F z （即()()F z f z '=，z D ∈），则0()d ()d ()()()Z Zz z Cf z z f z z F z F Z F z ∆===-⎰⎰．这里值得注意的是：10 用牛顿－莱布尼兹公式计算积分的关键是：找到被积函数()f z 在包含积分路径C 的某区域内的原函数．20 当()F z 为某多值函数在包含积分路径C 的某单值化区域内的单值解析分支函数时，()F Z 的值一般不能随便取，要根据0()F z 的值（常常作为初值）以及z 沿C 从0z 连续变到Z 来确定（即分支函数的已知初值求终值的公式来确定）．4．熟悉并掌握几个常用典型的积分：① 若C 是平面上的一条围线，a C ∉，记()I C 表示C 的内部，()W C 表示C 的外部，则()1()1()2,1d 0()0nCa I C n a I C n a W C n Zi z z a π∈=∈≠∈∈⎧⎪=⎨-⎪⎩⎰，，，，， ． ② 若C 是平面上以a 为心，R 为半径的一段圆弧，其参数方程为：i z a R e θ=+⋅， （1202θθθπ≤≤≤≤），方向是θ从1θ到2θ（即θ增加的方向或逆时针方向），则2121(1)(1)111(),1d 1(),()(1)当当i n i n nCn n n i z e e z a n R θθθθ---=≠⋅-⎧⎪=⎨⋅--⎪-⎩⎰．特别，当C 为整个圆周z a R -=时，此时02θπ≤≤，112,1d 0,()nCn n i z z a π=≠⎧=⎨-⎩⎰当当． ③0d Cz Z z =-⎰，221d ()2C z z Z z =-⎰，其中C 为从0z 到Z 的任意光滑或逐段光滑曲线．特别当0z 与Z 重合（0Z z =），即C 为简单闭曲线时，d 0Cz =⎰，d 0Cz z =⎰．④ 要学会善于利用积分曲线的方程，对被积函数进行简化，例如当积分曲线为圆周2z R =时，可利用22R z z z ==⋅对被积函数进行简化等．5．了解并熟悉柯西（积分）定理的各种形式，理解各种形式的条件和结论的含义，理解为什么积分与路径无关能成为单连通区域内解析函数的积分特征；熟练掌握运用各种形式的柯西（积分）定理计算复积分的方法（理解各种形式的柯西定理在计算积分中所起的作用）；初步掌握利用复积分来解决某些定积分问题的方法，体会这种方法的基本思路：即先选择适当的复积分，通过复积分的方法计算出积分的值，然后再利用参数方程法将复积分转化为实积分，通过比较实部和虚部，达到解决实积分的目的）．初步掌握利用柯西定理来解决解析函数的原函数的存在性问题，关注以下三个要点：生的变上限函数．内的一个原函数．一个原函数；当解析函数在此区域内的积分与路径有关时，它一定没有原函数，此时变上限函数是多值函数．附：定理3.3 若函数()f z 在单连通区域D 内解析，0z D ∈为取定的一点，则区域D 定义的变上限函数0()()d Z z F z f ξξ=⎰在D 解析，且为()f z 在D 内的原函数，即()()F z f z '=，z D ∈．定理3.4 若函数()f z 在单连通区域D 内连续，且积分与路径无关，0z D ∈为取定的一点，则区域D 定义的变上限函数0()()d Z z F z f ξξ=⎰在D 解析，且为()f z 在D 内的原函数，即()()F z f z '=，z D ∈．问题思考：若解析函数()f z 在某多连通区域D 内的变上限函数0()()d Z z F z f ξξ=⎰是多值函数（即()f z 在D 内的积分与路径有关），试用考虑如何将0()()d Z z F z f ξξ=⎰在D 内单值化？并由此再体会第二章中，为什么将多值函数单值化时，要用割线将定义域割开，其道理是什么？6．能正确地理解柯西（积分）公式的含义，掌握其证明的方法及其如下统一形式：设D 为有界区域，C 为其边界，若()f z 在D 解析，在闭区域D D C =+上连续（即()f z 可以连续到C 上），则(),1()d 20,C f z zD f i z z D D Cξξπξ∈⎧⎪=⎨-∉=+⎪⎩⎰其中1()d 2C f i zξξπξ-⎰也称为柯西型积分．并能熟练地应用柯西（积分）公式或其统一形式来计算复积分或某些其它的值（如()f z 在某一点的导数值等）．7．熟练掌握解析函数的高阶导数公式，并能熟练地运用高阶导数公式来计算复积分或证明某些定积分问题（如：220(21)!!cos d 2(2)!!n n n πθθπ-=⋅⎰等）．8．掌握解析函数的无穷可微性、复积分的柯西不等式、关于整函数的刘维尔定理及其刘维尔定理的简单应用（如：证明某些整函数为常函数，证明代数学基本定理等）． 9．掌握莫勒拉定理以及解析函数的积分定义法． 10．归纳复积分()d Cf z z ⎰的常用计算方法：当C 是非封闭简单曲线时，主要有下面的方法：① 利用C 的参数方程，将复积分()d Cf z z ⎰化为关于参数的定积分；② 补充适当积分路径与原积分路径合成封闭曲线，再用柯西定理或柯西公式以及参数方程法．此时要求补充的积分路径尽可能简单，以便在补充的积分路径上的复积分计算起来比较容易；③ 利用复积分的牛顿—莱布尼兹公式． 当C 是简单闭曲线时，主要有下面的方法：① 利用C 的参数方程，将复积分()d Cf z z ⎰化为关于参数的定积分；② 利用柯西定理或柯西（积分）公式或高阶导数的积分公式． ③ 利用教材第3章习题3的第11或12题． 11．单连通区域内积分与路径无关的两种说法：设D 是单连通区域，函数()f z 定义在D 上，则下面的两种说法是等价的：①对于D 内任意两点0z ，1z ，以及D 内任意一条以0z 为起点，1z 为终点的简单曲线C ，总有()d Cf z z ⎰的值只与0z 和1z 有关，而与D 内从0z 到1z 的简单曲线C 无关（即积分与路径无关）．②对于D 内任意的简单闭曲线C ，总有()d 0Cf z z =⎰．注意：这两种说法也适合于多连通区域的情形．第四、五章 复级数的学习要点复级数也是研究解析函数的一种重要的工具，实际上，解析函数的许多重要性质，还需要借助适当的级数才能得到比较好的解决。
复合函数方法-概述说明以及解释
复合函数方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：复合函数方法是数学中一种重要的思维工具和求解技巧。
在数学分析、微积分、线性代数等领域中，复合函数方法被广泛运用于问题的求解和理论的推导中。
本文旨在系统地介绍复合函数方法的基本理论和应用，探讨其在不同领域的优势和发展前景。
复合函数是指由两个或多个函数相互作用而形成的一种新函数。
通过将一个函数的输出作为另一个函数的输入，复合函数方法可以将原来的问题转化为更简单的形式，从而更方便地分析和解决。
复合函数方法的关键思想在于将复杂问题分解成若干个简单的部分，通过逐步推导和组合，最终得到整体问题的解决方案。
本文将首先介绍复合函数的定义和基本性质，包括复合函数的可交换性、结合性以及复合函数和原函数之间的关系。
在此基础上，将进一步探讨复合函数方法在实际问题中的应用。
例如，在微积分中，通过对一次函数和多项式函数进行复合，可以求解复杂的函数极限、导数和积分；在线性代数中，复合函数方法可以用于分析线性变换和矩阵运算等。
复合函数方法的应用不仅限于数学学科，还广泛应用于物理学、工程学以及经济学等其他领域。
复合函数方法的优势在于它能够将复杂问题简化为易于理解和处理的形式，从而提高问题求解的效率。
通过灵活地选择合适的函数进行复合，可以将复杂问题转化为熟悉的基本函数形式，从而更容易应用数学工具和技巧进行推导和计算。
此外，复合函数方法还能够将不同领域的知识和技巧进行有机结合，促进学科之间的交叉与融合。
展望复合函数方法的发展，我们可以预见其在未来的科学研究和工程实践中将发挥更加重要的作用。
随着科学技术的不断进步和学科的不断发展，我们将面临更加复杂和多样化的问题。
复合函数方法将继续在这些问题的求解和理论研究中发挥重要的作用，并为我们提供更有力的工具和思维方式。
综上所述，复合函数方法是一种重要的数学思维工具和求解技巧。
通过将原问题转化为更简单的形式，复合函数方法能够提高问题求解的效率和精确度，并促进学科之间的交叉与融合。
周线上复积分的几种算法
（． ） １１
定 理 ２ （ 西 积 分 公 式 及 高 阶 导 数 公 式 ）： 区 域 Ｄ 的 边 界 是 周 线 （ 复 周 线 ） 函 数 ｚ ［～］ 柯 设 或 Ｃ， ）在
Ｄ 内解 析 ， Ｄ ： Ｄ ＋Ｃ连 续 ， 有 在 则
１ ） ｚ ＝ ） （ ∈ Ｄ） ｚ （． １２）
式 、 数 定 理 、 数 留 数 定 理 都 是 与 周 线 积 分 有 关 的 重 要 定 理 ， 此 周 线 上 的复 积 分 的算 法 灵 活 多 样 ． 留 对 因 根 据 被 积 函数 的牦 ， 当运 用 相 关 定 理 ， 用 适 当 方 法 ， 得 积 分 计算 变 得 简 捷 高 效 ． 恰 选 使
摘
要： 通过典型例题 ， 当运用复变函数论 中有关复积分的基本理论与 方法， 恰 系统地给 出了周线上 的复
积分 的八 种不 同的 计算 方 法 ． 关键词 ： 复积 分 ； 变量 变换 ； 西积 分 定理 ； 西积 分公 式 ； 柯 柯 留数 定理 ； 对数 留数 定理 中图 分类 号 ： １４ ５ 文 献标 识码 ： 文章 编 号 ： ７ —７０ ２ １ ）２ ０ ７０ Ｏ ７ ． Ａ １ ４１３ （００ ０ － ０ － ６ ０ ３
复 积 分 是 复 分 析 的重 要 内容 和研 究 工 具 ， 积 分 的计 算 显 得 特 别 重 要 ． 周 线 上 的复 积 分 又 是 特 复 而 殊 积 分 路 径 （ 滑 或 逐 段 光 滑 的 简 单 闭 曲线 ） 的 复 积 分 ， 变 函数 论 中 的柯 西 积 分 定 理 、 西 积 分 公 光 上 复 柯
Ａｂ ｔａ ｔ ｈ ｏ ｇ ｈ ｙ ｉａ ａ ｌ ｑ ｅ ｔｏ ｓｒ ｃ ：Ｔ ｒ ｕ ｈ ｔ ｅ ｔ ｐ ｃ ｌ ｓ ｍｐ ｅ ｕ ｓｉ ｎ，ａ ｒ ｐ ａ ｅｙ ａ ｐ ｉｄ ｔ ｅ ｒ ｌ ｔｄ ｃ ｍｐ ｅ ｎ ｅ ｒ ｌｅ ｅ ｐｐ ｏ ｒ ｔｌ ｐ ｌｅ ｈ ｅａｅ ｏ ｌ ｘ ｉ ｔｇ ａ ｌ— ｉ ｍｅ ｔｒ ｈ ｏ ｙ ａ ｄ ｔ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｈ ｏ ｌｘ ｖ ｒａ ｌ ｕｎ ｔｏ ｎ ａ ｙ ｔ ｅ ｒ ｎ ｈ ｔ ｏ ｆｔ ｅ ｃ ｍｐ ｅ ａ ｂ ｅ ｆ ｃｉｎ－ｈ ｓｓ ｓｅ ｔｃ ｌ ｉ ｅ ｎ ｔ ｅ ｃ ｎ ｏ ｒ ｉ ａ ｙ ｔｍａ ｉａ ｌ ｇｖ ｎ ｏ ｈ ｏ ｔｕ ｙ
数学实验题目2 Romberg积分法
数学实验题目2 Romberg 积分法摘要考虑积分()()b aI f f x dx =⎰欲求其近似值，可以采用如下公式：（复化）梯形公式 110[()()]2n i i i hT f x f x -+==+∑ 2()12b a E h f η-''=- [,]a b η∈ （复化）辛卜生公式 11102[()4()()]6n i i i i hS f x f x f x -++==++∑4(4)()1802b a h E f η-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ [,]a b η∈ （复化）柯特斯公式 111042[7()32()12()90n i i i i hC f x f x f x -++==+++∑31432()7()]i i f xf x +++6(6)2()()9454b a h E f η-⎛⎫=- ⎪⎝⎭[,]a b η∈ 这里，梯形公式显得算法简单，具有如下递推关系121021()22n n n i i h T T f x -+==+∑因此，很容易实现从低阶的计算结果推算出高阶的近似值，而只需要花费较少的附加函数计算。
但是，由于梯形公式收敛阶较低，收敛速度缓慢。
所以，如何提高收敛速度，自然是人们极为关心的课题。
为此，记0,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化梯形积分结果，1,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化辛卜生积分结果，2,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化柯特斯积分结果。
根据李查逊（Richardson ）外推加速方法，可得到1,11,,0,1,2,40,1,2,41m m k m km k m k T T T m -+-=-⎛⎫=⎪=-⎝⎭可以证明，如果()f x 充分光滑，则有,lim ()m k k T I f →∞= （m 固定）,0lim ()m m T I f →∞=这是一个收敛速度更快的一个数值求积公式，我们称为龙贝格积分法。
常用算法--几种数字积分法
几种常用的数字积分方法（微分方程的数字解）2－5数字积分法1 欧拉法（折线法）设一阶微分方程)y ,t (f ydxdy == 00y )t (y = 由图可知，过（t 0, y 0）点的斜率为)y ,t (f y000= 如果1t 离0t 很近，即t ∆ 很小，曲线y(t)可用切线来近似，其切线方程 )t t )(y ,t (f y y 0000-+=其微分方程在t=t 1 时，可近似表示为 )t t )(y ,t (f y y )t (y 0100011-+==重复上述近似过程，当2t t =时， )t t )(y ,t (f y y )t (y 1211122-+== 则有一般近似公式))(,()(111n n n n n n n t t y t f y y t y -+==+++如果令n n 1n h t t =-+，称为计算步矩，则n n n n 1n 1n h )y ,t (f y y )t (y ⋅+==++ (1) 这就是欧拉法数字积分的递推计算公式。
由公式可看出，只要我们给出方程的初值（t 0, y 0）以及相应的步距，逐步进行递推就可获得微分方程的近似数字解。
欧拉法的计算是十分简单的，其计算误差正比于2h ，由此，要获得高精度解，必须减小步距，但这使得计算次数增加，又由于计算机的字长有限，h 减小得过小，将引图2-5-1图2-5-2入舍入误差，所以此方法的精度提高有限，实际应用中较少采用。
2 梯形法（预报――校正法）欧拉法精度低，却给我们一些启发，对微分方程),(y t f y= 可改写成ττ+=⎰d )y ,(f y )t (y t0t 0当 1t t = 时，则⎰+=1t t01dt ))t (y ,t (f y )t (y从此式可以看出，要求得 )t (y 1 的值，等式右边中含有未知函数，所以不能得到)t (y 1的值，但如果我们用已知的函数值)t (y 0来代替)t (y ，用不变取代变化的函数，即⎰⎰≈11t t 00t t dt ))t (y ,t (f dt ))t (y ,t (f实际上右边是一个矩形面积)t t ())t (y ,t (f dt ))t (y ,t (f 0100t t 10-∙=⎰则)y ,t (f h y y 00001∙+=递推公式为)y ,t (f h y y n n n n 1n ∙+=+用此矩形的面积的算法，其计算误差是显然的（欧拉法），为了提高精度，我们可以用梯形面积来取代矩形的面积，即01021t t h )f f (dt ))t (y ,t (f 1∙+=⎰则010101h )f f (y y ∙++= 递推形式为)f f (h 21y y 1n n n n 1n +++∙+=或)]y ,t (f )y ,t (f [h 21y y 1n 1n n n n n 1n ++++∙+=应用上式求积分，产生了新的问题，即在计算1n y +时，要用1n y +，而1n y +不知，则)y ,t (f 1n 1n ++是未知的，要获得1n y +，通常可用迭代方法，即在n t 与1n t +之间迭代多次，使其计算的1n y +逐步收敛于)t (y 1，即)y ,t (f h y y n n n n 01n ∙+=+)]y ,t (f )y ,t (f [h 21y y 01n 1n n n n n 11n ++++∙+=)]y ,t (f )y ,t (f [h 21y y 1k 1n 1n n n n n k 1n -++++∙+= 如果序列k 1n y +极限存在，则当∞→k 时，)t (y y 1n k 1n ++→，要保证上述极限存在，只要选取h 小到一定程度，就能得到满足。
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复积分的几种算法
摘要
复积分的计算方法按照积分路径分为闭合积分路径和非闭合积分路径两类。
当给定起点、终点的积分路径（非闭合积分路径）的复积分，若被积函数在某一个包含起点、终点在内的单连通区域内解析，可以采用不定积分法，找到被积函数的原函数；若积分路径参数方程易写出，可以采用参数方程法，写出路径参数方程，确定起点和终点所对应的参数值，从而确定积分的上、下限；闭合积分路径的复积分，主要观察被积函数的在闭合路径中有几个奇点：若没有奇点，运用柯西积分定理，积分值为零；若只有一个奇点，可以运用柯西积分公式或者柯西留数定理；若有若干个奇点，可以运用柯西留数定理，或者先借助柯西积分定理挖去奇点，再利用柯西积分定理或柯西积分公式来计算。
1) 化为实、虚部两个二元实函数
若函数),(),()(y x iv y x u z f +=沿曲线C 连续，则
⎰)(z f 沿
C 可积分，且
⎰⎰⎰
++-=C
C
C
udy vdx i vdy udx dz z f )(.
2) 参数方程法
设有光滑曲线C ：)(),()()(βα≤≤+==t t iy t x t z z ，又设)(z f 沿C 连续.令
[][][])()()(),()(),()(t iv t u t v t v iv t y t x u t z f +=+= 则[]⎰⎰=C
dt t z t z f z f β
α
)(')()(
3) 不定积分法
如果在单连通区域D 内函数)(z f 解析，则沿D 内任意曲线L 的积分
ζζd f L
⎰
)(只与其
起点和终点有关.当起点0z 固定时，这积分就在D 内定义了一个变上限z 的单值函数，我们把它记成变上限积分
ζζd f z F z z ⎰=0
)()( ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∈∈D z D z 0动点定点 （3.1） 设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，则由（3.1）定义的函数)(z F 在D 内解析，且)()('z f z F =.称函数)(z F 为)(z f 的一个不定积分或原函数. （不定积分法）如果)(z F 为)(z f 在单连通区域D 内的任意一个原函数，则
⎰
-=z
z z F z F d f 0
)()()(0ζζ ),(0D z z ∈
4) 柯西积分定理
a ）设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一闭曲线（不必是简单的），
则
0)(=⎰C
dz z f .
b ）设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，则)(z f 在D 内积分与路径无关.即对D 内任意两点0z 和1z ，积分⎰
1
)(z z z f 之值，不依赖于D 内连线起点0z 与终点1z 的曲线.
5) 复周线柯西积分定理
设D 是由复周线，所围成的界多连通区域_
10...n C C C C +++=-)(z f 在D 内解析，在C D D +=_
上连续，则
0)(=⎰C
dz z f ，或写成⎰⎰⎰++=0
1
)(...)()(C
C C n
dz
z f dz z f dz z f （沿外界积分等于沿内边界积分之和） 6) 形如
⎰-C
d z f ξξξ)
(的复积分，且z =ξ是被积函数z f F -=ξξξ)()(在C 内部的唯一奇点，运用柯西积分公式
（柯西积分公式）设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数)(z f 在D 内解析，在
C D D +=_
上连续，则有⎰-=
C d z f i z f ξξξπ)
(21)( （D z ∈）,即⎰=-C
z if d z f )(2)(πξξξ 7) 形如
⎰
+π
ϕϕ20
0)Re (d z f i 的复积分，运用解析函数平均值定理
（解析函数平均值定理）如果函数)(z f 在圆R z <-||0ζ内解析，在闭圆R
z ≤-||0ζ上面连续，则⎰
+=
π
ϕ
ϕπ
20
00)Re (21
)(d z f z f i 即)(2)Re (020
0z f d z f i πϕπ
ϕ=+⎰
8) 形如
⎰+-C
n d z f ξξξ1)()
( （n=1,2，…）的复积分，且z =ξ是被积函数1)()()(+-=n z f F ξξξ在C 内部的唯一奇点，运用解析函数的无穷可微性
（解析函数的无穷可微性）设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=_
上连续，函数)(z f 在区域D 内有各阶导数，且有
⎰+-=C n n d z f i n z f
ξξξπ1)
()()(2!)( （D z ∈，n=1,2，…） 即⎰=-+C
n n n z if d z f !)
(2)()()(1
πξξξ （D z ∈，n=1,2，…） 9) 形如
⎰C
dz z f )(的复积分，且被积函数)(z f 在C 内有一个或若干个奇点，运用柯西留数
定理
（柯西留数定理）)(z f 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除n a a a ,...,,21外解析，
在闭域C D D +=_
上除n a a a ,...,,21外连续，则
∑⎰===n
k a z C
z f s i dz z f k
1
)(Re 2)(π
柯西留数定理是最实用的求复积分的方法，实际上柯西积分定理和柯西积分公式都是柯西留数定理的特殊情形，而运用柯西留数定理的关键在于如何准确快速地求出被积函数
)(z f 的在C 内的所有奇点的留数。
而在计算孤立奇点a 的留数时，我们只关心其洛朗展示
中
a
z -1
这一项的系数，所以应用洛朗展示求留数是最基础的方法。
下面，简单介绍求留数的方法。
我们将孤立奇点分成三类，分别为可去奇点，极点，本质奇点。
函数在有限可去奇点处的留数为零；对于极点,若a 为)(z f 的一阶极点，则)()(lim ]),([Re z f a z a z f s a
z -=→；
若a 为)(z f 的n 阶极点（2≥n ），n
a z z z f )
()
()(-=
ϕ，其中)(z ϕ在点a 解析，0)(≠a ϕ，
则)!
1()
(]),([Re )1(-=
-n a a z f s n ϕ. 对于本质奇点，若a 为)(z f 的本质奇点，求出)(z f 在a 点的
洛朗展示中
a
z -1
这一项的系数，就是)(z f 在有限本质奇点a 处的留数。
若积分路径C 内包含)(z f 的所有的有限奇点，则可以先求)(z f 在无穷奇点∞处的留数。
运用定理，如果函数)(z f 在扩充z 平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点），设为n a a a ,...,,21，∞，则)(z f 在各点的留数总和为零。
于是
)(Re )(Re 1
z f s z f s z n
k a z k
∞
===-=∑.对于)(Re z f s z ∞
=，我们令
z
t 1=
，可以最终得到]1
)1([Re )(Re 20t t f s z f s t z =∞=-=.
参考文献
[J]钟玉泉，《复变函数论》，出版地：高等教育出版社，2012年
[J]张天德，孙娜，《复变函数论辅导及习题精解》，出版地：延边大学出版社，2012年。