17学年高中数学每日一题(3月20日_3月26日)理新人教A版选修2_2

3月20日 演绎推理高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆把下列推断写成三段论的形式：（1）因为ABC △三边的长依次为3，4，5，所以ABC △是直角三角形； （2）函数25y x =+的图象是一条直线； （3）()sin y x x =∈R 是周期函数． 【参考答案】见试题解析．【试题解析】（1）一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形，…………大前提ABC △三边的长依次为3，4，5，而222345+=， ……………………………………………小前提 ABC △是直角三角形．………………………………………………………………………………结论（2）一次函数()0y kx b k =+≠的图象是一条直线，……………………………………………大前提 函数25y x =+是一次函数， ………………………………………………………………………小前提 函数25y x =+的图象是一条直线． ………………………………………………………………结论 （3）三角函数是周期函数，…………………………………………………………………………大前提()sin y x x =∈R 是三角函数，………………………………………………………………………小前提 ()sin y x x =∈R 是周期函数．………………………………………………………………………结论【解题必备】（1）用三段论写演绎推理的过程，关键是明确大前提、小前提，大前提提供了一个一般性的原理，在演绎推理中往往省略，而小前提指出了大前提下的一个特殊情况，只有将二者结合起来才能得到完整的三段论．一般地，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．（2）演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确．（3）数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．1．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a ∈R ，结论是：20a >，那么这个演绎推理出错在 A ．大前提B ．小前提C ．推理过程D ．没有出错2．如图，已知在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC DA ==，AC 和BD 是梯形的对角线．用三段论证明：AC 平分BCD ∠，DB 平分CBA ∠．3．在数列{}n a 中，11a =并用三段论加以论证．1．A 【解析】根据实数的性质可知，200=，所以任何实数的平方都大于0是错误的，所以推理中的大前提是错误的，故选A ．2．【解析】∵等腰三角形两底角相等，（大前提）ADC △是等腰三角形，1∠和2∠是两个底角，（小前提） ∴12∠=∠．（结论）∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，（大前提）1∠和3∠是平行线AD 、BC 被直线AC 截得的内错角，（小前提） ∴13∠=∠．（结论）∵等于同一个角的两个角相等，（大前提） 21∠=∠，31∠=∠，（小前提） ∴23∠=∠，即AC 平分BCD ∠．（结论） 同理可证DB 平分CBA ∠． 3【解析】因为在数列{}n a 中，11a =……一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，（大前提）∵11a =（小前提）（结论） 21n a n =+．3月21日 综合法的应用高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆在ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：ABC △为等边三角形． 【参考答案】见试题解析．【试题解析】由A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+ ①． 因为A ，B ，C 为ABC △的内角，所以A B C ++=π ②． 由①②，得π3B =③， 由a ，b ，c 成等比数列，得2b ac = ④．由余弦定理及③，可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-． 将④代入，可得22a c ac ac +-=，即2()0a c -=， 因此a c =，从而有A C = ⑤． 由②③⑤，得π3A B C ===， 所以ABC △为等边三角形．2．已知x ，y ，z 都是正整数，且222z y x =+，用综合法证明：(,2)n n n x y z n n +<∈>*N ．1．【解析】因为0a >，0b >，且a b ≠， 所以()(1)1a b b ba a =+++1124,b a a b =++++>=， 所以4>+b a ．2．【思路分析】用综合法证明，即从给出的条件出发，【解析】∵x ，y ，z 都是正整数，∴n n n z y x ，，都是正整数，3月22日 分析法的应用高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆0)a <≥． 【参考答案】见试题解析．【试题解析】只需证7722a a +++<+< 只需证(7)(3)(4)a a a a +<++， 即证012<，因为012<0)a ≥． 综上所述，不等式得证．【解题必备】（1）在题目的已知条件和所需证明的结果间有较大的跳跃性时，运用分析法可以很好地找到解决问题的方向．一般有两种情况：①不易直接证明结论；②从结论显然能推出明显正确的条件． （2）分析法是“执果索因”，又叫逆推证法或执果索因法．分析法的书写形式一般为：要证……只需证……即证……得到一个明显成立的条件，所以结论成立．（3）分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等． （4）分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．1．已知0a >，0b >≥2．已知0>a ，用分析法证明：12a a+-．3．已知a b c >>且0a b c ++=1．≥只需证，即证(0a b -≥，因为0a >，0b >，a b -所以(0a b -≥≥ 2．【思路分析】本题为含根式型不等式并要求运用分析法证明，则从欲证的结论出发，寻找结论成立的充分条件，执果索因，步步推导，直到发现一个显而易见的结论为止．（注意基本不等式的应用）12a a+-，12a a≥+ ∵0>a ，故只要证即证222211142)2a a a a a a++≥+++++，从而只要证1)a a+，即证2212a a +≥12a a≥+-． 3．【解析】因为a b c >>且0a b c ++=，所以0a >，0c <，即证223b ac a -<，又()b a c =-+，从而只需证明22()3a c ac a +-<，即证()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->，所以()(2)0a c a c -+>3月23日 反证法（1）高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆用反证法证明命题：“,,,,1,1a b c d a b c d ∈+=+=R ，且1ac bd +>，则,,,a b c d 中至少有一个负数”时的假设为A ．,,,a b c d 至少有一个正数B ．,,,a b c d 全为正数C ．,,,a b c d 全都大于等于0D ．,,,a b c d 中至多有一个负数【参考答案】C【试题解析】根据命题的否定可知，所以用反证法证明命题：“,,,,1,1a b c d a b c d ∈+=+=R ，且1ac bd +>，则,,,a b c d 中至少有一个负数”时的假设为“,,,a b c d 全都大于等于0”，故选C ．【解题必备】（1）反证法是间接证明的一种基本方法．在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，这是应用反证法的依据．（2）反证法中的矛盾是指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾．（3）当命题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即“正难则反”．此外，涉及各种无限结论的命题宜选用反证法证明． 1．下列命题不适合用反证法证明的是A ．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B ．两个不相等的角不是对顶角C ．平行四边形的对角线互相平分D ．已知x ，y ∈R ，且2x y +>，求证：x ，y 中至少有一个大于12．已知实数x ，y ，0z > A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于23，试用反证法证明：,,a b c 中至少有一个不小于1．1．C 【解析】A 中命题条件较少，不易正面证明；B 中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．故选C ．2．C 【解析】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于62226++-，当且仅当x y z ==时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2．故选C ．3．【解析】假设,,a b c 均小于1，即1,1,1a b c <<<，则有3a b c ++<，所以假设不成立，故,,a b c 中至少有一个不小于1．3月24日 反证法（2）高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆若函数()f x 在区间[],a b 上的图象连续，()0f a <，()0f b >，且()f x 在[],a b 上单调递增，求证：函数()f x 在(),a b 内有且只有一个零点．【参考答案】见试题解析．【试题解析】因为函数()f x 在[],a b 上的图象连续，且()0f a <，()0f b >，所以()0)·(f a f b <， 所以()f x 在(),a b 内至少存在一个零点，设零点为x m =，则()0f m =，假设()f x 在(),a b 内还存在另一个零点x n =，即()0f n =，则n m ≠．若n m >，由()f x 在[],a b 上单调递增，可得()()f n f m >，即00>，矛盾；若n m <，由()f x 在[],a b 上单调递增，可得()()f n f m <，即00<，矛盾．因此假设不成立，故函数()f x 在(),a b 内有且只有一个零点． 【解题必备】（1）用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；③存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．（2）应用反证法证题时必须先否定结论．（3）反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．（4）对于“否定”型命题，显然从正面证明需要证明的情况太多，不但过程繁琐，而且容易遗漏，故可以考虑采用反证法．一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．（5）反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．需注意“至少有一个”的否定为“一个都没有”，“至多有一个”的否定为“至少有两个”．（6）当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单．1．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是________．2．已知实数a ，b ，c ，d 满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．3．已知0a >，0b >，且2a b +>，求证：1b a +和1a b+中至少有一个小于2．1．丙 【解析】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．2．【思路分析】对于含有“至少”、“至多”的命题的证明，经常用反证法证明．假设结论不成立，由,1=+=+d c b a 可得,,,[0,1]a b c d ∈．由条件中的和与积想到基本不等式，根据【解析】假设,,,[0,)a b c d ∈+∞， ,1=+=+d c b a ∴,,,[0,1]a b c d ∈，∴原假设不成立．故d c b a ,,,中至少有一个是负数．3．【思路分析】由题可知此题证明时宜采用反证法，首先假设两者都大于等于2，由此推出与已知矛盾的结论，从而说明假设不成立，从而得证．【解析】假设12b a +≥，12a b+≥， 因为0a >，0b >，所以12b a +≥，12a b +≥，所以222a b a b ++≥+，故2a b +≤，这与2a b +>矛盾，所以原假设不成立， 故1b a +和1a b+中至少有一个小于2．3月25日 数学归纳法高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★★☆ 设1()(1)n f n n n=+-，其中n 为正整数． （1）求()1f ，()2f ，()3f 的值；（2）猜想满足不等式0)(<n f 的正整数n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．【参考答案】（1）(11)f =，1(2)4f =，(2317)7f =-；（2）3≥n 且n ∈*N ，证明见解析． 【试题解析】（1）(11)f =，1(2)4f =，(2317)7f =-． （2）猜想：当3n ≥时，1()(1)0n f n nn =+-<．用数学归纳法证明如下： ①当3=n 时， ②假设当(3,)n k k k =≥∈*N 时猜想正确，即1()(1)0k f k k k =+-<，即1(1)k k k+<， 则当1n k =+时，1111(1)(1)(1)111k k k k k ++=+++++ 11(1)(1)11(1)11k k k k k k k k <+++<++=++ 1k <+， 所以11(1)11k k k ++<++，即11()(1)(1)011k f k k k +=-++++<成立． 由①②可知，当3n ≥且n ∈*N 时，1()(1)0n f n n n =+-<． 【解题必备】（1）一般地，利用数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）证明当n 取第一个值0n 0()n ∈*N 时命题成立； （2）假设当n k =0(,)k n k ≥∈*N 时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立．注意：（1）①数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能121n ++-1n k =+时，左边增加了A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项2．（1(3)n +++ （211n ++< 3．数列{}n a 满足n 1)n a + （1）写出2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明．1．D 【解析】当n k =121k ++-，当1n k =+时，不等式的左边为111112122121k k k k +++++++-+-，所以n k =变成1n k =+时，左边增加了1121k +++-，共有2k 项．故选D ．2．【解析】（1）①当1n =时，左边123410=+++==右边．②假设(n k k =∈N (3)k +++那么当1n k =+(3)4)(k k +++++=即当1n k =+时，等式成立．(3)n +++（2）①当1n =时，左边1=，右边2=，左边<右边，故当1n =时不等式成立．②假设当()n k k =∈*N 1k ++<那么当1n k =+11k +++因为2244441k k k k +<++2+<k故当1n k =+时，不等式也成立． 1n ++<3．（1（2【解析】（2，即1223a a a +=，解得2112a =，令3n =3120a =，令4n =4130a =．（2①当1n =②假设当()n k k =∈*N则当1n k =+故当1n k =+时结论成立．由①②可知，对一切n ∈*N3月26日 周日培优特训高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆ 已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）用反证法证明：()0f x =没有负数根．【参考答案】（1）见试题解析；（2）见试题解析．【思路分析】（1）由于函数23()111x x x f a a x x x -=+=+-++，而函数 (1)x y a a =>和函数31y x =-+在(1,)-+∞上都为增函数，可得函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）假设()0f x =有负数根为00(0)x x x <=，则有00311x a x +=+ ①，分0(1,0)x ∈-，0(,1)x ∈-∞-两种情况，分别根据031x +和01x a +的取值范围，可得①式不可能成立，综上可得假设不成立，命题得证．【试题解析】（1）函数23()111x x x f a a x x x -=+=+-++， 因为函数 (1)x y a a =>和函数31y x =-+在(1,)-+∞上都为增函数， 故函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（2）假设()0f x =有负数根为00(0)x x x <=，则有0()0f x =，即00311x a x +=+ ①． 由于函数1x y a =+在R 上是增函数，且012a +=，所以012x a +<． 由于函数31y x =+在(1,)-+∞上是减函数，当0(1,0)x ∈-时，0333101x >=++， 所以①式不可能成立； 由于函数31y x =+在(,1)-∞-上是减函数，当0(,1)x ∈-∞-时，0301x <+， 而011x a +>，所以①式不可能成立．综上可得，①式不可能成立，故假设不成立，故()0f x =没有负数根． 【解题必备】（1）利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立．（2）反证法作为一种证明方法，在高考中虽然很少单独命题，但是有时反证法的思路对判断、分析问题有独到之处，要求对高中所学知识系统化、网络化．1．（1）已知a ，(0,)b ∈+∞，x ，y ∈R ，求证： （2）若20<<a ，20<<b ，20<<c ，求证：(2)a b -，(2)b c -，(2)c a -不可能同时大于1．2．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441n n S a n +=--，n ∈*N ，且2a ，5a ，14a 构成等比数列．（1）证明：2a =（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<． 3．设实数0>c ，整数1>p ，n ∈*N ．（1）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p +>+1)1(； （2）若数列{}n a 满足p c a 11>，p n n n a pc a p p a -++-=111，证明：p n n c a a 11>>+． 1．【思路分析】（1）结合基本不等式即可证明；（2）假设(2)a b -，(2)b c -，(2)c a -同时大于1，利用反证法推出矛盾，从而否定假设得以证明．【解析】（1）因为a ，(0,)b ∈+∞，（2）假设(2)a b -，(2)b c -，(2)c a -同时大于1， 则1)2()2()2(1)2(1)2(1)2(>-⋅-⋅-⇒⎪⎭⎪⎬⎫>->->-a c c b b a a c c b b a ， 因为20<<a ，20<<b ，20<<c ， 所以(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b b c c a a a b b c c -⋅-⋅-=-⋅-⋅-这与1)2()2()2(>-⋅-⋅-a c c b b a 矛盾， 所以假设不成立，即(2)a b -，(2)b c -，(2)c a -不可能同时大于1．2．（1）见试题解析；（2）21n a n =-；（3）见试题解析．【解析】（1）当1n =时，21245a a =-，∴22145a a =+．∵0n a >，∴2a =（2）当2n ≥时，21411(4)n n S a n -=--- ①，21441n n S a n +=-- ②，由②-①，得22114444n n n n n a S S a a -+=-=--，∴2221()442n n n n a a a a +=++=+．∵0n a >，∴12n n a a +=+，∴当2n ≥时，数列{}n a 是公差2d =的等差数列．∵2a ，5a ，14a 构成等比数列，∴25214a a a =⋅，即22226)24(()a a a +=+，解得23a =．由（1）可知，212454a a =-=，∴11a =．∵21312a a -=-=，∴数列{}n a 是首项11a =，公差2d =的等差数列．∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．（3）12231111n n a a a a a a ++++11111335572121n n =++++⨯⨯⨯(-)(+) 11111111[(1)()()()]2335572121n n =⨯-+-+-++--+ 11(1)2211.2n =⨯-+< 故对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<． 【名师点睛】（1）分析法利于思考，方向明确；综合法不易达到所要证明的结论．分析法书写过程繁琐；综合法书写过程形式简洁，条理清晰．也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．（2）实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”（分析），从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径．3．【解析】（1）用数学归纳法进行证明．①当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+，原不等式成立．②假设(2,)p k k k =≥∈*N 时，不等式(1)1kx kx +>+成立． 当1p k =+时，12(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k k x x x x kx k x kx k x ++=++>++=+++>++，所以当1p k =+时，原不等式也成立． 综合①②可得，当1->x 且0≠x 时，对一切整数1p >，不等式px x p +>+1)1(均成立．（2）先用数学归纳法证明1p na c >． ①当1n =时，由题设p c a 11>知1p n a c >成立．②假设(1,)n k k k =≥∈*N 时，不等式1p ka c >成立． 由111p n n n p c a a a p p-+-=+，易知0,n a n >∈*N ．当1n k =+时，1111(1)p k k p k ka p c ca a p p p a -+-=+=+-． 由10p k a c >>可得111(1)0p kcp p a -<-<-<．由（1）中的结论得111()[1(1)]1(1)p p k p p p k k k ka cc cp a p a p a a +=+->+⋅-=．因此1p k a c +>，即11pk a c +>，所以1n k =+时，不等式1pn a c >也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式1p n a c >均成立． 再由111(1)n p n n a c a p a +=+-，可得11n naa +<，即1n n a a +<．综上所述，11,p n n a a c n +>>∈*N ．。