第一章矢量分析与场论基础题解
第一章矢量分析与场论-
z
（·x0 y0 z0）
z （0 0 z0）
·
O
xO
y x
x
· z
r （r0
0 0
）
O
y
三种正交系的相互关系 z
r·
（）
x
X=cos = rsin cos Y=sin = rsin sin Z=rcosθ r2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2 = rsin = arc tg(y/x) = arc cos(z/r) y cosα = (x/r) cosβ = (y/r) cos = (z/r) cos2α +cos2β +cos2 = 1
0≤ ＜∞ =C；是一Z轴为轴心半径为C的柱面 圆柱 ,,z 0≤ ＜2 =C；是一过Z轴的半平面（子午面）
-∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面
球面 r,,
0≤r ＜∞ 0≤ ≤
0≤ ≤2
r=C；是一O点为中心C为半径的球面 =C；O为顶点Z为中心轴C为半顶角
的圆锥面 =C；是一过Z轴的半平面（子午面）
○
1.5 源点、场点、矢径、距离矢量
1.6 矢量的初等运算
矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除
且以各矢量同在某一点为前提
设：A = Axex + Ay ey + Az ez ， B = Bxex + By ey + Bz ez
加 减
A±B = (Ax± Bx ) ex + (Ay ±By ) ey + ( Az ± Bz ) ez
第一章 矢量分析与场论
标量场和矢量场 矢量场的初等运算 矢量场的微、积分 梯度、散度、旋度 亥姆霍兹定理 场的图示法
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
电磁场与电磁波》第1章矢量分析
aˆx
Ay | A|
aˆ y
Az |A
|
aˆz
cos aˆx cos aˆy cos aˆz
方向角与方向余弦：
, ,
Az
A
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax , cos Ay , cos Az
| A|
| A|
| A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
A B C (Ax Bx Cx )aˆx (Ay By Cy )aˆy (Az Bz Cz ) aˆz
其结果是一标量。
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A B B A A(B C) A B AC
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
aˆx aˆy 0, aˆx aˆx 1,
有两矢量点积：
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
Ax Ay Az
Cx Cy Cz
A (B C) Bx By Bz
Cx Cy Cz
b.矢量三重积：
A(BC) B(AC) C(A B)
例2： 设
r1 2aˆx aˆy aˆz , r2 aˆx 3aˆy 2aˆz r3 2aˆx aˆy 3aˆz , r4 3aˆx 2aˆy 5aˆz
说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止 了，意味着闭合面内存在负源或称沟。
c. 如果闭合曲面上的总通量
0
说明穿入的通量等于穿出的通量。
3. 散度： a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
b.表达式：
divF lim S F dS
c.散度的计算：
第01章 矢量分析和场论基础
r e ze z ，如图1-10所示。
柱坐标与直角坐标之间的关系（见图1-10~11）。
x cos y sin z z
x2 y2 arctg y x zz
取值范围
0 0 2 z
A
(1-15)
显然矢量投影为： Al A el
Ax A e x , Ay A e y , Az A e z
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
3. 矢量的矢积
矢量的矢积也称叉积，其定义为
A B A B sin n
(1-17)
式中 n 是一垂直于由矢量 A 和 B 构成的平面的单位 矢量，并遵循右手螺旋法则，见图1-3。 矢量的矢积不满足交换律；由图1-3可以看出，矢量 矢积交换满足如下关系 (1-18) A B B A
(1-47)
利用其逆变换也可得柱坐标分量的直角坐标表达式。
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
三、球坐标系 球坐标系中任一点P在球坐标系下的坐标为( r , , )， 其中 r 为位置矢量 r 的大小，如图1-15所示。
r re r 位置矢量 正交单位矢量为( er , e , e )，并服从右手法则。在 球坐标系下，er , e , e 都是空间坐标点的函数。
Z
Z
Y
Y
X
X
图1-4 温度场分布示意图
图1-5 电场分布示意图
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
1.4 常用正交曲线坐标系 一、直角坐标系 直角坐标系由三个相互垂直的有向线段构成，三直 线称为X、Y和Z轴，三个单位矢量 ex、ey 和 ez相互 垂直，分别表示X、Y和Z轴的方向。 位置矢量 r xe x ye y ze z ，如图1-6所示。
第1章 矢量分析与场论基础
ex e y e y ez ez ex 0 ex ex e y e y ez ez 1
（4）矢量的矢积（叉积） 两矢量的叉积是一个矢量，其大小为两个矢量的大小与它们之
用单位矢量 en 表示。
间夹角 的正弦之积，它的方向垂直于包含两个矢量的平面，
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
10
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为
正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称
为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角 坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
B B
A B
矢量的减法
A
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
6
（2）标量乘矢量
B sA ex sAx e y sAy ez sAz
第1章 矢量分析与场论基础
17
（3）圆柱坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换
r柱 r球 sin r球 r柱 z 2
2
z r cos r柱 z
arctg
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
18
1.3场的基本概念和可视化 1场的概念 “场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间 的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。 例如，温度场、能量场、电位场是标量场；电场、磁场、流速场与 重力场都是矢量场。 定义了场量的空间点称为场点。
一矢量分析与场论基础
ˆ A ds A n ds s s
如果S是一个封闭面, 则
A ds
S
表示A穿过封闭面的通量。 若Ψ＞0, 表示有净通量流出, 这说明S 内必定有矢量场的源; 若Ψ＜0, 表示有净通量流入, 说明S内有洞 (负的源)。 通过封闭面的电通量Ψe等于该封闭面所包围的自由电
引入
u u u ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u x y z ux y z x y z x y z
则
u ˆ ul ˆ | u |c o s ( u , l ) l
u l
| u |
ˆ A B n AB sin a AB
它不符合交换律。 由定义知,
A B ( B A )
并有
ˆ ˆy ˆ ˆ ˆ ˆ x x y z z 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆy ˆ ˆ ˆ x y z ,y z xz ,ˆ x
故
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B ( x A y A z A )( x B y B z B ) x y z x y z
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选 定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 n ˆ 的方 向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, 向。
ˆ 取为封闭面的外法线方 n
图 1 -4 开曲面上的面元
将曲面S各面元上的A· ds相加, 它表示A穿过整个曲面S的通量,
0
x y z x r3 y r3 z r3
q z y x ˆ 3 3 y ˆ 3 x 4 0 y r z r z r x y x z ˆ 3 3 z 3 r x r y r
第一章矢量分析与场论
0.2 标量场和矢量场
场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确 定的标量值或矢量. . 例如,在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等.
形象描绘场分布的工具---场线 -标量场---等值线(面). -. 其方程为
矢量场---矢量线 -其方程为
• 矢量函数的面积分与体积分的互换。 • 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。
0.5 矢量场的环量与旋度
一、矢量场环量 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分
Γ=
∫ A ⋅ dl
L
环量
该环量表示绕线旋转趋势的大小。
图0.4.1 环量的计算
例：流速场
图0.4.2 流速场
水流沿平行于水管轴线方向流动 Γ=0，无涡旋运动
≠0 ∇ × F = ? =0
∇⋅F = ?
∇⋅F = ?
=0 ∇ × F = ? ≠0
0.7 三种特殊形式的场
1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都 相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。 2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同， 即 F=f(r,Φ)，则称这个场为轴对称场。 3,球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即
流体做涡旋运动 Γ≠0，有产生涡旋的源
二、矢量场的旋度 在直角坐标系中，设
A = Axe x + A ye y + Aze z ,
则环量可写成： 由斯托克斯公式：
Γ =
∫
L
A⋅L =
∫ (A
L
工程电磁场-基本概念
1
1 2 0
C1
100 ,
得 C1
100
1 2 0
代入 C1 和 C2
x2
1
100 x
（V）
20
20
d
x
1
E
dx
ex
0
100
2
0
e
x
（V m）
第三章 恒定电场的基本原理
1、体电流密度的定义式 2、电流密度与电场强度的关系 3、电源中电场强度的表达式 4、电荷守恒原理的表达式 5、导电媒质分界面衔接条件的标量表达式 6、恒定电场边界条件的分类
量为
场点坐标 (r,, z)是不变量，源点坐标 (0,, z) 中 z 是变量，统一用θ表
示
总的电场强度 若为无限长直导线
习题 2-1
（3）静电场环路定理
由电位计算电场强度，是求梯度的运算，也就是求微分 的运算
在静电场中，任意一点的电场强度E 的方向总是沿着
电位减少最快方向，其大小等于电位的最大变化率。
有些金属或化合物当温度降到某一临界数值
后， ，变为超导体, J E 不再适用。
3、电源中电场强度的表达式
作用于单位电荷上的局外电场力定义为局外电
场强度，记为 Ee 。 电源中总的电场强度 ET EC Ee 。
在电源以外的区域，只存在库仑电场。
总的电场强度 ET EC 。
4、电荷守恒原理的表达式
1、体电流密度的定义式
将单位时间内流过某个面积 S 的电荷量
定义为穿过该面积的电流，用 I 表示 I lim q dq t0 t dt
电流的单位是安（培）（A）。1 安＝1 库秒。 电荷在空间体积中运动，形成体电流。
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第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1413211cos 222=++=α，1423212cos 222=++=β，1433213cos 222=++=γ； 又有 500=+=∂∂M M z y x u ，400=+=∂∂M M z x y u ，300=+=∂∂M M x y z u据方向导数的定义，可得 142214332415cos cos cos 0000=⨯+⨯+⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-7 设有标量场u xy z =-22，求u 在点(.,.,20101.0)-处沿该点至(.,.,3010 -1.0)方向的方向导数。
在点(.,., 1.0)2010-沿什么方向的方向导数达到最大值？其值是多少？解 点(.,.,2010 1.0)-至点(.,.,3010 -1.0)的方向余弦为 ()()()3111112323c o s 222=--+++--=α，()()()3211112311cos 222=--+++-+=β，()()()3211112311cos 222-=--+++---=γ；又有220-==∂∂M M y xu，420==∂∂M M x yu ，220-=-=∂∂M M z zu据方向导数的定义，可得 3103222412cos cos cos 0000=⨯+⨯+⨯-=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M zuy u x u l u当方向余弦均为1时，方向导数达到最大值，即沿z y x e e e G 242-+-=方向导数达最大值，()()6224242222==-++-=G1-8 求下列标量场的∇u1）u xy =2；2）u x y =+22；3）u y x =e sin ；4）u x y z =234； 5）u x y z =-+323222解 据 z y x zuy u x u u e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇，可得1） y x x y u e e 22+=∇ 2） y x y x u e e 22+=∇ 3） y x x x y e y e u e e cos sin +=∇4） z y x z y x z y x z xy u e e e 33242243432++=∇ 5） z y x z y x u e e e 646+-=∇1-9 求标量场u xyz x x y =-+222在点(.,., -2.0)-1030处的梯度。
解 ()()z y x x y z x xz xy yz u e e e 222222++++-=∇，则所求梯度为()()z y x z y x M u e e e e e e 1234121462120+-=++-+--=∇1-10 求标量场223),(y x y x u +=具有最大方向导数的点及方向，所求的点满足x y 221+=。
（提示：最大的方向导数就是在点(,)x y 处的梯度，模最大，且满足x y 221+=，即求条件极值。
） 解 y x y x y x y ux u u e e e e 26+=∂∂+∂∂=∇，22436y x u +=∇，将21x y -±=代入，可得 ()43214362222+=-+=∇x x x u ，即 []43222+=∇x u ，当1±=x 、0=y 时，有6max ±=∇u ，即点()0,1-和()0,1为满足条件的点，又()x u e 60,1-=∇-，()x u e 60,1=∇，即最大方向导数的方向分别为x e ±1-11 设r e e e r =++x y z r n x y z , =, 为正整数， 1）求∇∇∇r r f r n 2,,(),2）证明∇=∙（a r a a ),(是常矢量）解 1） ()()r e e e 22222222=++=++∇=∇z y x z y x z y x r()()()()z y xn n nz y x z y x n zy xr e e e2222122222222++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∇=∇-rnr r nrn n r r 2122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-== ()()()()rr f r r f r r f r f rr '='=∇'=∇-12） 证明 设 z z y y x x a a a e e e a ++=，则 z a y a x a z y x ++=⋅r a ，因此，可得 ()()z z y y x x z y x a a a z a y a x a e e e r a ++=++∇=⋅∇，证毕。
1-12 设S 为上半球面x y z a 2222++=≥ (z 0),其法向单位矢量e n 与z 轴的夹角为锐角，求矢量场r e e e =++x y z x y z 沿e n 所指的方向穿过S 的通量。
（提示：注意r 与e n 同向）解 将r e e e =++x y z x y z 用球坐标表示，则在S 面上有n a e r =，因此，可得3222d a a a sππ=⨯=⋅⎰s r1-13 求均匀矢量场A 通过半径为R 的半球面的通量。
（如图1-1所示）解 设半球面的方程为x y z a 2222++=≥ (z 0),则矢量A 通过S 面的通量等于矢量A 通过S 面在0=z 的平面上的投影的通量，因此，2d R A sπ=⋅⎰s A1-14 计算曲面积分y x x z x z yz y z y xy x Sd d )12(d d )2(d d )2(22+-+-+-=Φ⎰⎰,其中S 是球心在原点，半径为a 的球面外侧。
解 设z y x x z yz y xy x e e e A )12()2()2(22+-+-+-=，根据散度定理，可得()()32234d 1222222d d d d )12(d d )2(d d )2(a v x z z y y x v y x x z x z yz y z y xy x vv sSπ=+-+-+-=⋅∇=⋅=+-+-+-=Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰A sA1-15 求矢量场A 从内穿出所给闭曲面S 的通量：1）A e e e =++x y z x y z 333，S 为球面x y z a 2222++= 2）A e e e =-++-++-+（x y z y z x z x y x y z )()()，S 为椭球面x a y b z c2222221++= 解 1） 根据散度定理，可得()()522222512d 43d 333d d a r r r v z y x v avvsππ=⨯=++=⋅∇=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰A s A 2）()()abc abc v v vv s ππ4343d 111d d =⨯=++=⋅∇=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰A s A1-16 求下列空间矢量场的散度：1）A e e e =-+-+-()()()2332z y x z y x x y z 2）A e e e =-+++-()()()3232322x yz y yz xyz xz x y z解 1） 0=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇z A y A x A zy x A2） xz xy z y x zA y A x A zy x 63622-+++=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A1-17 求div A 在给定点处的值：1）A e e e =++x y z x y z 333在M （1.0，0.0，-1.0)处； 2）A e e e =-+422x xy z x y z ,在M （1.0，1.0，3.0）处； 3）A r r e e e ==++xyz x y z x y z ()在M （1.0，3.0，2.0）处。
解 1） 222333z y x z A y A x A zy x ++=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A ，则633=+=⋅∇M A 2） z x z A y A x A zy x 224+-=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A ，则8624=+-=⋅∇M A3） ()[]xyzxyz xyz xyz z y x xyz zA y A x A z y x zy x 6222=++=++⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇e e e A ， 则362316=⨯⨯⨯=⋅∇M A1-18 求标量场u x y z =342的梯度场的散度。