工程电磁场—矢量分析

工程电磁场
例 标量场 u M 3x2 z2 2yz 2zx ，
求过 M0 (0,
1 , 1) 点的梯度和梯度的模。 矢量
2
解 因为
u 6x 2z, u 2z, u 2x 2 y 2z
x
y
z
所以
gradu (6x 2z)ex 2zey 2(x y z)ez
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工程电磁场
等值面族（一般差 值相同）
坐标原点点电荷 q
电位表示式
r q
4 0 r
等位面方程
r q U 解得
4 0 r
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工程电磁场
r q
4 0U
按相同递增量
给定U 的不同数值
U1,U2,L L ,
得到同心球面 等值面与给定平面相交，得等值线
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工程电磁场
如 u x, y, z 在 x y 平面上的等值线方程为 u x, y U
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工程电磁场
当 u l
Mo
0，沿 l 方向是增加的
u 越大，增加得越快 l
当 u l
Mo
0 ，沿 l 方向是减小的
u 越大，减小得越快 l
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工程电磁场
当 l 指向 x 轴正方向时， u u l x
当 l 指向 y 轴正方向时， u u l y
当 l 指向 z 轴正方向时， u u l z
能否写成 两个矢量 的乘积？
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e工l 程cos电e磁x 场cosey cos ez
而 l 方向的单位矢量又可表示为
el
dl dl
dxex
dyey dl
dzez
dx dl
ex
dy dl
ey
dz dl
e zl
cos ex
cos ey
cos ez
l 的方向余弦：
而 l 方向的单位矢量又可表示为
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工程电磁场
1 G gradu M0 2ex 2ey 2( 2 1)ez
2ex 2ey ez
G 22 22 1 3
1．3 结束
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工程电磁场
1.4 矢量场的通量和散度
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工程电磁场 1． 矢量场的通量
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工程电磁场
ex ey ez A B= Ax Ay Az
Bx By Bz
en 与矢量 A 、 B 都垂直 单位矢量 A 、 B 、 en 成右手关系
： A 、 B 间的夹角
A B 的模：灰色四边形面积
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工程电磁场
A B 与 B A 模相等 方向相反
A B B A
A A 0 （ 0）
6）矢量的混合积
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工程电磁场
箭头的长度 表示矢量的大小， 箭头所指的方向 为矢量的方向：
矢量图
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工程电磁场
5．平行平面场
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工程电磁场 6．轴对称场
1．2 结束
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工程电磁场
几个重要物理量及公式
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工程电磁场
分析标量场的工具
标量场
方向导数 梯度 两个重要公式
矢量场
通量密度 散度
高斯定理
场是否有源
环量密度 旋度
偏导数 u , u , u 是 u 的特例。 x y z l
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工程电磁场
2．方向导数的计算
在直角坐标系中
设标量函数 u(x, y, z) 在 M0 (x0 , y0 , z0 ) 处可微，
则函数 u 在点 M0 处沿 l 方向的方向导数存在。
根据全微分概念
du u dx u dy u dz x y z
式 u u(M) u(M0 ) 的极限存在，
l
l
则称此极限值为函数 u M
在点
M
0
处沿
l
方向的方向导数，记作
u l
M0
。
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工程电磁场
u l
M0
lim u(M) u(M0 )
MMo
l
u du
= lim MMo l
dl
M0
方向导数：标量场函数在一点 M0 处
沿某一方向 l 对距离的变化率
dt du dt
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工程电磁场
3．矢量函数的积分公式
1） At dt [ Ax t dt]ex [ Ay t dt]ey [ Az t dt]ez
2） Atdt Bt C
（ Bt ： At 的原函数 C ：任意常矢量）
3） At Btdt Atdt Btdt 4） kAt dt k At dt （ k ：常数）
cos , cos , cos ： 方向余弦
cos Ax ； cos Ay ； cos Az
A
A
A
AM Acosex Acos ey Acos ez
场的分类： 时变场 恒定场 静态场
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工程电磁场 2．源点与场点
场源产生场 场源所在：源点 场量所在：场点
源点 P： x, y, z r
场点 三个坐标 x, y, z 确定
一个标量场
uM ux, y, z
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工程电磁场
一个矢量场表示为
AM Ax, y, z
Axex Ayey Azez Ax ,Ay , Az ：
A 在坐标轴上投影
ex,ey ,ez ：
x 、 y 、 z 方向单位矢量
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工程电磁场
， ， ：
A 与 x 、 y 、 z 方向之间的夹角 方向角
A•BC B•C A C • A B ABC BA•CC A•B
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工程电磁场 2．矢量函数的导数和微分公式
1）
dA dt
dAx dt
ex
dAy dt
ey
dAz dt
ez
2） dA dAxex +dAyey +dAzez
3） dC 0 （ C 是常矢量）
dt
4） d A B dA dB
斯托克斯 定理
场是否有旋
黄色：标量
红色：矢量
场的边界
唯一地确定场
(亥姆霍兹定理)
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工程电磁场 1.3 标量场的方向导数和梯度
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工程电磁场
在高等数学中 什么是导数？导数定义在哪个方向？
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量 的增量之商的极限。
方向导数的通俗解释是：我们不仅要知道函数在坐标轴方 向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其 他特定方向上的变化率（即方向导数） 。
该点的等值面且指向 u
增大的方向
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工程电磁场
4．梯度的运算规则
1） gradC 0 （ C 为常数）
2） gradCu Cgradu
3） gradu v gradu gradv
4） graduv ugradv vgradu
5）
grad(u v
)
1 v2
(vgradu
是 A 、 B 之间夹角 B cos ： B 在 A 方向上的投影 Acos ： A 在 B 方向上的投影
A•B B• A
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工程电磁场
C •A B C • AC •B
, 为实数，则
A•B A• B
A• A A2 AA A2
5）矢量的叉积
A B AB sin en
Ay Bz Az By ex + Az Bx Ax Bz ey Ax By Ay Bx ez
在直角坐标系中， 梯度的计算公式
gradu
G
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度运算是分析标 量场的工具 标量场的梯度是矢 量
沿着梯度方向，函数 u(x.y, z) 增加得最快
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工程电磁场
方向导数等于梯度 在该方向上的投影
u l
gradu • el
gradu
cos
梯度的方向垂直于 通过
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工程电磁场
5） C • Atdt C • Atdt
（ C ：常矢量）
6） C Atdt C Atdt
（ C ：常矢量）
（1．1 结束）
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工程电磁场
1.2 场的基本概念和可视化
14
工程电磁场
1．场的基本概念
“场“：物理量 空间 空间每一点 对应物理量一个值 标量场 如温度、能量、电位等 矢量场 如速度、力、电场、磁场等
等值线的例子
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工程电磁场
3．矢量场的矢量线
矢量场用矢量线来表示 矢量线上一点切线方向 与该点场矢量方向相同 矢量线稀密反映矢量大小
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工程电磁场
根据矢量线的定义，在矢量线上任一点的切向 矢量元dl与矢量场平行，即：
Adl 0
• 在直角坐标系中有
A Axex Ayey Azez dl dxex d yey dzez
思考：为何要求可微？
定义与计算方法的差别
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工程电磁场
得
u u x u y u z l M0 x l y l z l
将 l 方向的三个方向余弦表示式代入式
u l
M0
cos u x
M0
cos u y
M0
cos u z
M0
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工程电磁场
例 u x2 y2 z2 在M0 1, 1, 0 处
ugradv)
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