电磁场理论 第一章 矢量分析

电场和磁场都是矢量场， 电场和磁场都是矢量场，因此我 们先学习分析矢量场和标量场问题的 数学工具——矢量分析。 矢量分析。 数学工具 矢量分析
●标量场的方向导数和梯度 ●矢量场的通量和散度 ●矢量场的环量和旋度 ●亥姆霍茨定理
1.场的概念 1.场的概念
1.1 矢性函数
模和方向都不变的矢量称为常矢， 如某物体所受到的重力。 而在实际问题中遇到的更多的是 模和方向或两者之一会发生变化的矢 量，这种矢量我们称为变矢，如沿着 某一曲线物体运动的速度v等。
直角坐标系中散度的计算公式 divA = ∇⋅ A = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az ∂x ∂y ∂z
三、散度的物理意义 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。 ◇ 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。 散度代表矢量场的通量源的分布特性。 ◇ 散度代表矢量场的通量源的分布特性。
∇• A = 0 (无源） (无源 无源） ∇ A
∫
c
A ⋅ dl
∆S = n∆S
P
C
环量的计算
A
过点P 作一微小曲面∆S,它的边界曲线记为 它的边界曲线记为C,面的法线方与曲线绕向成右手 ◇ 过点 作一微小曲面 它的边界曲线记为 面的法线方与曲线绕向成右手 螺旋关系。 收缩至P 点附近时 螺旋关系。当∆S 收缩至 点附近时,存在极限 lim
∫
c
Α ⋅dl ∆S
∂u ∂n
可得
∂u = grad u ⋅ el ∂l
∂u ∂x = grad u ⋅ ex ∂u ⇒ = grad u ⋅ e y ∂y ∂u = grad u ⋅ ez ∂z
在直角坐标系中梯度的计算公式
∂u ∂u ∂u grad u = ex + ey + ez = ∇u ∂x ∂y ∂z
亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理： 亥姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。 散度 惟一地确定
矢量A的通量源密度 矢量 的通量源密度 已知 矢量A的旋度源密度 矢量 的旋度源密度 场域边界条件 在电磁场中
电荷密度ρ 电流密度J 电流密度 （矢量惟一地确定） 矢量惟一地确定） 场域边界条件
∆S → 0
该极限值与∆S 的形状无关，但与 的方向 有关。称为矢量场 A 在P 的形状无关，但与∆S的方向 有关。称为矢量场 的方向n ◇ 该极限值与 点沿n 方向的环量密度 点沿 方向的环量密度 2. 旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。 用 rot A 表示 ∫ c Α ⋅ d l = (ro tA ) ⋅ e li m n 它与环量密度的关系为 ∆S → 0 ∆S
u + ∆u N
u + ∆u − u ∆u ∂u = lim = lim PM ∂l ∆u → 0 ∆u → 0 PM
en
M
el
P
u
方向的方向 为标量场 u ( x , y , z , ) 在P点沿 el 方向的方向 点 性导数。 有关。 性导数。其大小与方向 el 有关。
梯度
大小： 大小：最大方向性导数 标量场 u ( x , y , z , ) 在P点的梯度是一个矢量 点的梯度是一个矢量 方向： 方向：最大方向性导数所在的方向 由方向性导数的定义可知： ◇ 由方向性导数的定义可知：沿等值 的方向性导数最大。 面法线 en 的方向性导数最大。 故 grad u = en
3.矢量场的通量 3.矢量场的通量 和散度
3.1 矢量场的通量
3.2 矢量场的散度
矢量场的通量 散度
一、通量 定义矢量 沿有向曲面S 定义矢量 A 沿有向曲面 的面积分 Φ = ∫ S A ⋅ dS 穿过有向曲面S 为矢量 A 穿过有向曲面 的通量 若S 为闭合曲面
S2
+)
• • •
d iv A d τ
∫
n2 n1 n1=-n2
V
∫
S
A ⋅d S
高斯定理
∫
S
A⋅ dS = ∫ divA τ = ∫ ∇⋅ Adτ d
v v
式中S为 式中 为 τ 的外表面 • 该公式表明了区域 τ 中场 与边界 上的场 之间的关系。 中场A与边界 的场A之间的关系 与边界S上 之间的关系。
亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。 亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。
第一章结束
主要内容： 主要内容：
1. 矢量分析 2. 静电场 3. 恒定电流的电场 4. 恒定磁场 5. 静态场的解
实验内容
实验一 实验二 实验三 静电场模拟 螺线管磁场的测量 电磁波传导演示
课程学习要点
一、建立空间概念 二、高等数学基础 三、微观思维方式 四、理解主要定理 五、掌握分析方法
第一章 矢量分析
c
∫ ∫
=
c1 c2
A ⋅ d l = ( ∇ × A ) ⋅ d S1
A ⋅ dl = (∇ × A ) ⋅ dS2
• • •
∫
c
Α ⋅dl ∆S
∆S → 0
(ro tA ) ⋅ e n
+)
∫
c
A ⋅ dl = (∇ × A ) ⋅ dS
∫
c
A ⋅ dl
∫
S
(∇ × A ) ⋅ dS
对于有限大面 ， 对于有限大面积S，可将其按如图方 式进行分割， 式进行分割，对每一小面积元有
其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向 e e e 单位矢量。 (黑板作图)
矢性函数的求导与积分
1.2 标量场和矢量场
在许多科学问题中，常常需要 研究某种物理量在某一空间区域 的分布情况和变化规律，为此， 在数学上引入场的概念。
标量场
空间某一区域定义一个标量函数, 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间位置的变 标量函数 化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。 化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。
∇ A = ρ>0 (正源) (正源 正源)
(负 ∇ • A = − ρ <0 ( 负 源 )
在矢量场中， 在矢量场中，若∇• A= ρ≠0，称之为有源场，ρ 称为(通量)源密度；若矢量 ，称之为有源场， 称为(通量)源密度； 场中处处∇ 场中处处∇• A=0，称之为无源场。 ，称之为无源场。
四、高斯定理(散度定理) 高斯定理(散度定理)Φ=二Fra bibliotek散度∫
s
A ⋅ dS
矢量场的通量
的闭合面∆S 所围区域 ∆ τ 以任意方式缩小为点 时, 通量与 以任意方式缩小为点P 如果包围点P 的闭合面 体积之比的极限存在， 点的散度。 体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场A 在P 点的散度。即
d iv A = lim
∆τ → 0
1 ∆τ
∫
s
A ⋅ dS
4.矢量场的环量 4.矢量场的环量 和旋度
4.1 矢量场的环量
4.2 矢量场的旋度
矢量场的环量 旋度 矢量场的环量
一、环量 定义矢量场A沿空间有向闭合曲线 的积分 定义矢量场 沿空间有向闭合曲线C的积分 沿空间有向闭合曲线 为A的环量 的 二、旋度 1. 环量密度
d iv A = lim
∆τ → 0
1 ∆τ
∫
S
A ⋅ dS
对于有限大体积 τ ，可将其按如图 方式进行分割， 方式进行分割，对每一小体积元有
d iv A ∆ τ = lim
∆τ → 0
∫
S
A ⋅ dS
d iv A ∆ τ 1 = d iv A ∆ τ 2 =
∫ ∫
S1
A ⋅ d S1 A ⋅ dS2
如速度场,电场、磁场等。 如速度场,电场、磁场等。
1.3 标量场的等值面和 矢量场的矢量线
2.标量场的方向 2.标量场的方向 导数和梯度
2.1 标量场的方向导数
3.标量场的方向导数
2.2 标量场的梯度
标量场的梯度
一、 方向性导数与梯度 等值面：标量场中量值相等的点构成的面。 等值面：标量场中量值相等的点构成的面。 u ( x , y , z ) = c 方向性导数 ◇ 考虑标量场中两个等值面 u , u + ∆ u 的变化率。 ◇ 定义标量函数 u( x, y, z) 沿给定方向 el 的变化率。
斯托克斯定理
∫l A⋅ dl = ∫
S
(∇× A) ⋅ dS
4.3 斯托克斯定理
例题：
5.三种坐标系 5.三种坐标系
5.1 直角坐标系
5.2 圆柱坐标系
5.3 球坐标系
6.亥姆霍兹定理 6.亥姆霍兹定理
6.1 矢量场的分类
6.2 亥姆霍兹定理
电磁场理论
教学参考书目
[1]《电磁场与电磁波》 [1]《电磁场与电磁波》 谢处方 等编 [2]《电磁学》 [2]《电磁学》 赵凯华 编 高等教育出版社 1999.6 高等教育出版社 1985.6 机械工业出版社 2000.8 电子工业出版社 2001.1 科学出版社 2001.8 [3]《电磁场与电磁波》 [3]《电磁场与电磁波》周克定 等译 [4]《电磁场理论基础》 [4]《电磁场理论基础》牛中奇 等编 [5]《工程电磁场基础》 [5]《工程电磁场基础》 孙敏 等编
设 t 是一数性变量，A 为变矢，对 A 于某一区间G[a，b]内的每一个数值 t ， A 都有一个确定的矢量A(t)与之对应， A 则称A为数性变量t的矢性函数。记为 A
而 G 为 A 的定义域。
矢性函数A(t)在直角坐标系中的 A 三个坐标分量都是变量 t 的函数，分 别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则矢性函 A A A 数A(t)也可用其坐标表示为 A