2017太原市百校联考数学及答案
山西省太原市2017届高三数学阶段测试(5月模拟)试题 理(扫描版)
山西省太原市2017届高三数学阶段测试（5月模拟）试题理（扫描版）太原五中高三数学一模理答案选择题：CDACB BCDCA CB填空题：13. 14. 120 15.41 16. 201717.解：（1）在BEC ∆中，据正弦定理，有sin sin BE CEBCE B =∠. ∵23B π∠=，1BE =，CE =，∴sin sin BE BBCE CE ∙∠===（2）由平面几何知识，可知DEA BCE ∠=∠，在Rt AED ∆中，∵2A π∠=，5AE =，∴cos DEA ∠===.∴cos EAED DEA ===∠.在CED ∆中，据余弦定理，有22212cos 7282()492CD CE DE CE DE CED =+-∙∙∠=+--=∴7CD =18.19.解：（Ⅰ）取线段CD 的中点Q ，连结KQ ，直线KQ 即为所求． 如图所示：（Ⅱ）以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得(0,0,0)A ，(0,0,2)E ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,1)F ，∴(2,2,2)EC =-，(2,0,2)EB =-，(0,2,1)EF =-， 设平面ECF 的法向量为(,,)n x y z =，得2220,20,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩取1y =，得平面ECF 的一个法向量为(1,1,2)n =， 设直线EB 与平面ECF 所成的角为θ，∴sin |cos ,|n EB θ=<>==20.解：（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为2c ，则1c =，因为(1,2A 在椭圆C上，所以122||||a AF AF =+=因此a =2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=．(Ⅱ)椭圆C 上不存在这样的点Q ,证明如下:设直线l 的方程为2y x t =+,设11(,)M x y ,22(,)N x y ,35(,)3P x ,44(,)Q x y ,MN 的中点为00(,)D x y , 由222,1,2y x tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得229280y ty t -+-=, 所以1229t y y +=,且22436(8)0t t ∆=-->, 故12029y y ty +==,且33t -<<由PM NQ =知四边形PMQN 为平行四边形,而D 为线段MN 的中点,因此,D 也是线段PQ 的中点, 所以405329y t y +==,可得42159t y -=,又33t -<<,所以4713y -<<-,因此点Q 不在椭圆上．21. 解：（Ⅰ）()11f x x '=+设切点为()00,x y ，则切线的斜率为011k x =+点()00,x y 在()()ln 1f x x =+上，()00ln 1y x ∴=+ ()000ln 1111x x x +∴=++，解得01x e =-∴切线的斜率为1e，∴切线方程为10x ey -+= （Ⅱ）()()()()21ln 12h x af x g x a x x x =+=++- ()()211,111x a a h x x x x x +-'=+-=>-++ 当10a -≥时，即1a ≥时，()()0,h x h x '≥在()1,-+∞上单调递增； 当01a <<时，由()0h x '=得，12x x ==故()h x在(1,-上单调递增，在(上单调递减，在)+∞上单调递增； 当0a <时，由()0h x '=得，()0x h x =在(上单调递减，在)+∞上单调递增. 当01a <<时，()h x有两个极值点，即12x x == 12120,1x x x x a ∴+==-，由01a <<得，1210,01x x -<<<< 由()()()2212222220202ln 10h x x h x x a x x x ->⇔+>⇔++-> 22211x a a x =-∴=-，即证明()()22222221ln 10x x x x -++->即证明()()22221ln 10x x x ++->构造函数()()()()21ln 1,0,1t x x x x x =++-∈，()()()12ln 10,t x x t x '=++>在()0,1上单调递增，又()00t =，所以()0t x >在()0,1x ∈时恒成立，即()()22221ln 10x x x ++->成立 212ln 0x x ∴->.22.选修4-4：坐标系与参数方程（1）曲线1C 的普通方程为22(2)(2)1x y -+-=，则1C 的极坐标方程为24cos 4sin 70ρρθρθ--+=，由于直线2C 过原点，且倾斜角为3π，故其极坐标为()3R πθρ=∈（或tan θ= （2）由24c o s 4s i n 703ρρθρθπθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩得：22)70ρρ-++=，故122ρρ+=，127ρρ=，∴121211||||||||||||OA OB OA OB OA OB ρρρρ+++===23. 选修4-5：不等式选讲23.解：（Ⅰ）记3,2,()|1||2|21,21,3, 1.x f x x x x x x ≤-⎧⎪=--+=---<<⎨⎪-≥⎩由2210x -<--<，解得1122x -<<，则不等式的解集为11(,)22-． (2) b h abb a h a h 2,,222≥+≥≥ 824)(4223=⨯≥+≥ab abab b a h∴ 2≥h。
山西省2017届高三3月联考数学(理)试题Word版含答案
D. 3,
2. 若复数 z 满足 zi zi
A.
11 i B.
22
1 ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的共轭复数为
11 i C.
22
11
11
i D.
i
22
22
3. 已知命题 p : t
t
，命题 q : sin xdx 1，则 p 是 q 的 0
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
问题，答对赢得一台老年戏曲演唱机，答错没有奖品，假设每人答对的概率均为
2 ，且每
3
个人回答正确与否相互之间没有影响， 用 表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数， 求 的
分布列和数学期望 .
19. （本题满分 12 分）如图，平面 ABEF 平面 CBED ，四边形 ABEF 为直角梯形，
AFE FEB 90 , 四边形 CBED 为等腰梯形， CD // BE , 且
A. 3 ： 1 B. 2 ： 1 C. 1:1 D.1:2
x
1 cos , x 1
10.
设函数 f x
2
，函数
x2 ,0 x 1
1
gx x
a x 0 ，若存在唯一的 x0，使得 h x min f x , g x 的最小值为
x
h x0 ，则实数 a 的取值范围是
A. a 2 B. a 2 C. a 1 D. a 1
bn .
33
（ 1 ）求数列 an ， bn 的通项公式；
（ 2 ）设 cn an bn ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn .
பைடு நூலகம்
18. （本题满分 12 分） 京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，某
山西省太原市2017届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案
太原市2016—2017学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,|12A B x x ==-≤≤，则A B = A. {}0,1 B. {}1,0,1- C. []1,1- D.{}12.设复数21iz i=+，则其共轭复数为 A. 1i -- B. 1i - C. 1i -+ D.1i +3.给出下列命题：①若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等差数列； ②若数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列； ③若数列{}{},n n a b 均为等差数列，则数列{}n n a b +为等差数列； ④若数列{}{},n n a b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅为等比数列 A. 1 B. 2 C. 3 D.44.设,αβ为两个不同的平面，l 为直线，则下列结论正确的是 A.//,l l ααβα⊥⇒⊥ B. ,//l l ααβα⊥⊥⇒ C. //,////l l ααββ⇒ D. ,//l l ααββ⊥⇒⊥5.已知sin 0αα=，则tan 2α=A.3 B. 3-6.执行如图所示的程序框图，输入1,5x n =-=，则输出s = A. -2 B. -3 C. 4 D.37.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是8.将函数()2cos sin f x x x x =+的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的一个递增区间是 A. 5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 4,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. ,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF =A. 1142AC BD +B. 1124AC BD +C. 1223AC BD +D. 2133AC BD +10. 已知平面区域()33,,32233x y D x y z x y x y x y ⎧⎫⎪⎪+≥⎪⎪==-⎨⎬-≤⎪⎪⎪⎪+≤⎩⎭，若命题()00",,"x y D z m ∃∈>为假命题，则实数m 的最小值为A. 34B. 74C. 214D. 25411.如图，正方体1111ABCD A BC D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是A. 56πB. 34πC. 23πD. 35π12.已知()22,01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. (),e -∞-C. (),e +∞D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.数据0.7,1,0.8,0.9,1.1的方差是 .14.七名同学战成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为 .15.已知数列{}n a 的前n 项和()221n n n S a n N *=-+∈，则其通项公式n a = .16.已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的对边，BC 边上的高为2a ，则cb的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且满足3455,,3a a a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()31log n n n b a a n N *+=⋅∈，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .18.（本题满分12分）如图，已知AD 是ABC ∆内角BAC ∠的角平分线. （1）用正弦定理证明：AB DBAC DC=； （2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长.19.（本题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D 处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格.（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢.问该约定对乙公平吗？请说明理由.（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D 处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A-G 下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D 处. 你认为该规定对甲、乙二人哪一个有力，请说明理由.20.（本题满分12分）如图，在六面体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别是棱1111,A B BC 的中点，平面ABCD ⊥平面11A B BA ，平面ABCD 平面11B C CB . （1）证明：1BB ⊥平面ABCD ；（2）已知六面体1111ABCD A BC D -3cos 5BAD ∠=，设平面BMN 与平面11AB D 相交所成二面角的大小为θ求cos θ.21.（本题满分12分）已知函数()()ln xx f x ax x a R e =-∈在1x =处的切线方程为()11.y bx b R e=++∈ （1）求,a b 的值； （2）证明：()2.f x e<（3）若正实数,m n 满足1mn =，证明 ：()112m nm n e e +<+.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
山西2017年中考模拟百校联考
山西省2017年中考模拟百校联考（三）理综物理试卷二、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑。
每小题3分，共30分）11. 对物理量的估测，是一种良好的学习习惯，也是学好物理的基本功之一。
下列估测数据符合实际的是A.—本物理课本所受重力约为400NB.雨滴从3m高的屋檐落到地面时间约为10sC.一般中学的课桌的高度约为0.8mD.—名中学生在游泳时所受浮力约为50N12. 2016年被认为是全球人工智能发展的元年，人工智能在不少领域已经超越人类的能力。
如图所示，在2017年最新一季《最强大脑》节目中，人工智能产品小度与听音神童孙亦廷在合唱团演唱过程中进行语音识别比赛，最终打成平局。
有关比赛中声的说法正确的是A.孙亦廷说话时不是声带振动产生声音B.现场观众能听到声音是靠空气传播C.小度发声的频率越高，响度越大D.合唱团所有成员发声的音色相同13. 寓言“刻舟求剑”的主人公找不到掉人江中的剑，是因为他选择的参照物是A.乘坐的船B.水中的剑C.岸边的山D.江中的水14. 电能的利用给我们的生产、生活提供了很多方便，但是，我们也必须学会安全用电，下列做法中可能会带来危害的是A.雷雨天气时，不要在大树下躲雨B.保险丝熔断后，要更换上新的同规格的保险丝C.将多个大功率用电器同时接在一个插座上D.使用试电笔时，必须用手接触到笔尾的金属体15.构建思维导图是整理知识的重要方法，如图是小明复习光学知识时构建的思维导图，图中I处可补充的现象是A.镜子中阳光的“自己”B.阳光下绿树的影子C. 岸上的人看到水中的“鱼”D. 湖水中青山的倒影16. 将肉片直接放人热油锅里爆炒，会将肉炒焦或炒糊，大大失去鲜味。
如图所示，山西过油肉在炒制时厨师预先将适量的淀粉拌入肉片中，再放到热油锅里爆炒，炒出的肉片既鲜嫩味美又营养丰富，对此现象说法错误的是A.附近能闻到肉香，体现了分子在不停地做无规则的运动B.附着在肉片外的淀粉糊有效防止了肉片里水分的蒸发C.在炒肉片过程中，肉片内能增加主要是通过热传递实现的D.在炒肉片过程中，肉片的温度升高，内能不变17.上个世纪中国女排的“五连冠”，曾经沸腾了一代人的热血！传承了女排精神的中国女排2016年经过顽强拼搏再次夺得里约奥运会冠军!如图是比赛的瞬间，下列说法正确的是A.排球在空中飞行时会受到惯性B.运动员向上跳起时重力势能减少C.排球在空中飞行过程中运动状态会改变D.奔跑的运动员不受摩擦力18. 19世纪20年代，以塞贝克为代表的科学家已经认识到:温度差会引起电流。
【山西省太原市】2017届高三模拟考试(一)数学(理科)试卷
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三、解答题.共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.已知 a,b,c 分别是 ABC 的内角 A, B,C 所对的边, a 2bcos B,b c . (1)证明： A 2B ； (2)若 a2 c2 b2 2asinC ,求 A . 18.某知名品牌汽车深受消费者喜爱,但价格昂贵.某汽车经销商退出 A, B,C 三种分期付款方式销售该品牌 汽车,并对近期 100 位采用上述分期付款的客户进行统计分析,得到如下的柱状图.已知从 A, B,C 三种分期 付款销售中,该经销商每销售此品牌汽车 1 辆所获得的利润分别是1 万元, 2 万元, 3 万元.现甲乙两人从该汽 车经销商处,采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆.以这100 位客户所采用的分期付款方式的频率 代替 1 位客户采用相应分期付款方式的概率.
(Ⅰ)求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率； (Ⅱ)记 X (单位：万元)为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润,求 X 的分布列和期望. 19.如图,在几何体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形, BE 平面 ABCD , DF∥BE , DF 2BE 2, EF 3.
B. 1 e2 2
1 C.
e
二、填空题.共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
D. 3 2e2
13.已知 a (1, 1),b (t,1) ,若 (a b)∥(a b) ,则实数 t
.
14.已知双曲线经过点 (1, 2 2) ,其一条渐近线方程为 y 2x ,则该双曲线的标准方程为
21.已知函数 f (x) 2ln x ax 4 f (2) (a R) 在 x 2 处的切线经过点 (4,ln 2) . x
山西省太原市2017届高三年级模拟试题(二)数学(文科)(含解析)
山西省太原市2017届高三年级模拟试题（二）数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）已知()211zi i =-+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点的坐标是（ B ） （A ）()2,2- （B ）()2,2 （C ）()2,2-- （D ）()2,2- （2）已知集合{}1,2,4A =，{}2log ,B y y x x A ==∈，则A B = （ C ） （A ）{}1,2 （B ）[]1,2 （C ）{}0,1,2,4 （D ）[]0,4（3）已知()2,1a = ，()1,1b =-，则a 在b 方向上的投影为（ A ）（A ）2-（B ）2 （C ）- （D （4）已知公比1q ≠的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，333S a =，则5S =（ D ） （A ）1 （B ）5 （C ）3148（D ）1116（5）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为15，则途中直角三角形中较大锐角的正弦值为（ B ）（A （B （C ）15 （D（6）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ D ） （A ）16 （B ）12 （C ）23 （D ）13（7）函数()ln xf x x=的图象大致为（ A ）（A ） （B ） （C ） （D ）（8）执行下面的程序框图，则输出S =（ B ） （A ）2 （B ）3- （C ）12-（D ）13（9）已知实数x ，y 满足条件370313010x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ C ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 （10）将函数()cos2f x x =的图象向右平移3π个单位得到()g x 的图象，若()g x 在2,6m π⎛⎫-- ⎪⎝⎭和53,6m π⎛⎫ ⎪⎝⎭上都单调递减，则实数m 的取值范围为（ A ） （A ）5,918ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （B ）,93ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （C ）5,1218ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）5,1812ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （11）已知双曲线2213x y -=的右焦点是抛物线()220y px p =>的焦点，直线y kx m =+与抛物线相交于A ，B 两个不同的点，点()2,2M 是AB 的中点，则AOB （O 为坐标原点）的面积是（ D ）（A） （B） （C（D）（12）已知()2xf x x e =⋅，若函数()()()21g x fx kf x =-+恰有三个零点，则下列结论正确的是（ D ）（A ）2k =± （B ）28k e = （C ）2k = （D ）2244e k e =+二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）（13）若命题“()10,,x x m x∀∈+∞+≥”是假命题，则实数m 的取值范围是 ()2,+∞ ． （14）已知4sin 5α=，2παπ<<，则sin 2α= 2425- ．（15）已知点O 是ABC ∆的内心，60BAC ∠=，1BC =，则BOC ∆面积的最大值为12． （16）已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BC ===，BD CD ==点E 是BC 的中点，点A 在平面BCD射影恰好为DE 的中点，则该三棱锥外接球的表面积为6011π． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()12n n n S +=，数列{}n b 满足()1n n n b a a n N *+=+∈． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若()()21n an n c b n N *=⋅-∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解析】（Ⅰ）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()()111222n n n n n n n a S S n ----=-=-=， 又11a =符合上式，n a n ∴=，121n n n b a a n +∴=+=+．（Ⅱ）()1212n an n n c b n +=-=⋅，()2341122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ①，()345122122232122n n n T n n ++=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ②，①-②得，()()234122241222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- ，()2124n n T n +∴=-⋅+（18）（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案a ：从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回甲袋中；方案b ；从装有2个红球，1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回乙袋中．2．抽奖的条件是，顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a 抽奖一次；满150元，可根据方案b 抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案a 抽奖三次或方案b 抽奖两次或方案a 、b 各抽奖一次），已知顾客A 在该商场购买商品的金额为250元． （Ⅰ）若顾客A 只选择方案a 进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；（Ⅱ）若顾客A 采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数（除0元外）．【解析】（Ⅰ）设“获奖金为15元”为时间B ，则()1212433339P B =⨯+⨯=． （Ⅱ）若按方案a 抽奖两次，则获奖金为15元的概率为11212433339p =⨯+⨯=，获奖金为30元的概率为2111339p =⨯=，若按方案a 、b 抽奖两次，则获奖金为15元的概率为3111339p =⨯=，获奖金为10元的概率为4224339p =⨯=，获奖金为25元的概率为5122339p =⨯=，故最有可能获得的奖金数为15元．（19）（本小题满分12分）如图（1），在平面六边形ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，且4AB =，2BC =，AE DE BF CF ====，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，分别沿直线AD ，BC 将ADE ∆，BCF∆翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF ．（Ⅰ）利用下列结论1或结论2，证明：E 、F 、M 、N 四点共面； 结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且仅有一个． 结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且仅有一个．（Ⅱ）若二面角E AD B --和二面角A F BC --都是60，求三棱锥E BCF -的体积．【解析】（Ⅰ）由题意，点E 在底面ABCD 的射影在MN 上，可设为点P ，同理，点F 在底面ABCD 的射影在MN 上，可设为点Q ，则EP ⊥面ABCD ，FQ ⊥面ABCD ，∴面EMP ⊥面ABCD ，面FNQ ⊥面ABCD ，又MN ⊂面ABCD ，MN ⊂面EMP ，MN ⊂面FNQ ，由结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且仅有一个，则E 、F 、M 、N 四点共面．（Ⅱ）若二面角E AD B --和二面角A F BC --都是60，则60EMP FNQ ∠=∠= ，易得1EM FN ==，则1cos 602MP EM ==，sin 60EP EM ==11112223423223E BCF ABCDEF E ABCD V V V --=-=⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯=．（20）（本小题满分12分）如图，曲线C 由左半椭圆()2222:10,0,0x y M a b x a b+=>>≤和圆()22:25N x y -+=在y 轴右侧的部分连接而成，A ，B 是M 与N 的公共点，点P ，Q （均异于点A ，B ）分别是M ，N 上的动点．（Ⅰ）若PQ 的最大值为4M 的方程；（Ⅱ）若直线PQ 过点A ，且0AQ AP += ，BP BQ ⊥，求半椭圆M 的离心率．【解析】（Ⅰ）由已知得：当P 为半椭圆与x 轴的左交点，Q 为圆与x 轴的右交点时，PQ 会取得最大值，即24a +=2a =，由图像可得()0,1A ，即1b =，故半椭圆M 的方程为()22104x y x +=≤．（Ⅱ）设直线PQ 方程为1y kx =+，(),P P P x y ，(),Q Q Q x y ，联立()22125y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 得()()221240k x k x ++-=，故2421A Q k x x k -+=+，2421Q k x k -∴=+，22411Q k k y k -++=+，又0AQ AP += ， 且(),1Q Q AQ x y =- ，(),1P P AP x y =- ，故02Q P Q P x x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，2241P k x k -∴=+，223411P k k y k -+=+， 又BP BQ ⊥，且(),1Q Q BQ x y =+ ，(),1P P BP x y =+ ，()()()()()()()()()222222224134124112111612011P Q P Q k k k k k x x y y k k k k -++-+--+++=+++=+-=++，解得34k =，故81,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入2221x y a +=解得283a =，故4e ==．（21）（本小题满分12分）已知函数()()22xf x e ax x a R =--∈．（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）当12e a <-时，证明：不等式()12ef x >-在()0,+∞上恒成立． 【解析】（Ⅰ）当0a =时，()2x f x e x =-，()2x f x e '=-，令()20xf x e '=-=解得ln 2x =，故当ln 2x =时，()f x 的最小值为()ln 222ln 2f =-． （Ⅱ）()22xf x e ax '=--，()12222102e f e a e ⎛⎫=-->---=⎪⎝⎭，()010f '=-<，故存在()00,1x ∈使得()00f x '=，令()22xh x e ax =--，则当()0,x ∈+∞时，()0221302xe h x e a e e ⎛⎫'=->--=->⎪⎝⎭， 故()h x 在()0,+∞单调递增，且()00h x =，0x x ∴=是()h x 的唯一零点，且在0x x =处()f x 取得最小值()()020000022x x f x e ax x e x ax =--=-+，又()00h x =即00220x e ax --=可得0012x e ax +=，()00000001122x x x x e f x e x e x ⎛⎫⎛⎫∴=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数：()12t t g t e t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1122t t g t e ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，二次求导可得()2t t g t e ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭，故当()0,1t ∈时，()0g t ''<，即()g t '在()0,1t ∈单调递减，则当()0,1t ∈时，()()00g t g ''<<，可得()12t t g t e t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()0,1t ∈单调递减， ()000012x x f x e x ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭在()00,1x ∈单调递减，()()10min 111122e f x f x e ⎛⎫∴=>--=- ⎪⎝⎭，得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，（其中ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()tan cos sin 1ραθθ⋅-=（α为常数，0απ<<，且2πα≠），点A ，B （A 在x 轴的下方）是曲线1C 与2C 的两个不同交点．（Ⅰ）求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求AB 的最大值及此时点B 的坐标．【解析】（Ⅰ）由2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩得cos 2sin x yϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩，平方，相加得1C ：2214x y +=，2C ：tan 10x y α⋅--=．（Ⅱ）将2C 化为参数方程：cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数），将2C 参数方程代入1C ，得2221cos sin 2sin 04t t ααα⎛⎫+-⋅=⎪⎝⎭，12222sin 1cos sin 4t t ααα+=+，120t t ⋅=， 222sin 811cos sin 3sin 4sin AB ααααα∴==++， 0απ<<，且2πα≠，()sin 0,1α∈，minAB ∴=B的坐标为133⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()210f x x m x m =++->．（Ⅰ）当1m =时，解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）当2,2x m m ⎡⎤∈⎣⎦时，不等式()112f x x ≤+恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（Ⅰ）当1m =时，()3,111212,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，由()3f x ≥解得1x ≤-或1x ≥．（Ⅱ）()1111211222f x x x m x x ≤+⇒++-≤+，2,2x m m ⎡⎤∈⎣⎦ ，且0m >， 111212121222m x x x m x x x ∴+≤+--⇒≤+---， 令()131,02212113,2x x t x x x x x x ⎧+<≤⎪⎪=+---=⎨⎪->⎪⎩，由题意得202m m m >⎧⎨<⎩，解得12m >， ()()2min 21t x t m m m ∴=≥⇒≤，112m ∴<≤．。
2017山西百校联考数学(1)
2017山西中考百校联考数学试卷（一）第I 卷 选择题（共30分）一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.下列四个数中，比-1小的数是 A ．-2 B.0 C. 12-D. 132.民间剪纸是中国古老的传统民间艺术。
它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱。
下列剪纸作品中，是轴对称图形的为3.下列运算错误的是A. 326()a a -= B. 22434a a a += C. 325236a a a =gD. 3232a a a ÷= 4.在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能相同的是5.高速路上赶时间超速而频频发生交通事故，这样给自己和他人的生命带来直接影响。
为了解车速情况，一名执法交警在高速路上随机测试了6辆小轿车的车速情况记录如下：则这6辆车车速的众数和中位数（单位：千米/时）分别是A.100，95B.100，100C.102，100D.100，103 6.“五一”小长假，小颖和小梅两家计划从“北京天安门”“三亚南山”“内蒙大草原”三个景区任意选择一景区游玩，小颖和小梅制作了如下三张质地大小完全相同的卡片，背面朝上洗匀后各自从中抽取一张来确定游玩景区（第一人抽完放回洗匀另一人再抽取），则两人抽到同一景区的概率是A.14 B. 13 C. 12 D. 237.如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BC 延长线上的一点， 已知∠BOD=100°，则∠DCE 的度数为 A.40° B. 60° C.50° D.80°8.不等式组3112260x x -⎧≤⎪⎨⎪--<⎩的解集在数轴上表示正确的是9.如图所示是一次函数y kx b =+在直角坐标系中的图象，通过观察图象我们就可以得到方程0kx b +=的解为1x =-，这一求解过程主要体现的数学思想是 A.数形结合 B.分类讨论 C.类比 D.公理化10.如图，在菱形ABCD 中，AB=4cm ,∠ADC=120°, 点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为 A.1 B.13 C. 12 D. 43第II 卷二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.分解因式：32___________a ab -=。
【全国市级联考】山西省太原市2017-2018学年高二下学期阶段性测评(期中)数学理试题(解析版)
2017～2018学年第二学期高二年级阶段性测评数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复平面内，点表示的复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:一般利用复平面内复数的几何意义(复数x+yi（x,y∈R）在复平面内与点（x,y）一一对应)解答即可.详解：由复数的几何意义得点(0,-1)表示的复数为0+(-1)×i=-i.故选D.点睛：本题涉及到的知识点是复数的几何意义，复数x+yi（x,y∈R）在复平面内与点（x,y）一一对应.2. 已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：一般先求导，再求.详解：因为所以，所以=cos0-1=1-1=0,故选A.点睛：注意基本初等函数的导数，，有些同学容易记错.3. 下列结论正确的是（）A. 归纳推理是由一般到个别的推理B. 演绎推理是由特殊到一般的推理C. 类比推理是由特殊到特殊的推理D. 合情推理是演绎推理【答案】C【解析】分析：直接利用归纳推理、演绎推理、类比推理和合情推理的定义分析判断.详解：对于A选项，由于归纳推理是从个别到一般的推理，所以A不正确；对于B选项，由于演绎推理是从一般到特殊的推理，所以B不正确；对于C选项，由于类比推理是从特殊到特殊的推理，所以C正确；对于D选项，由于合情推理是归纳推理和类比推理，所以D不正确.点睛：对于归纳推理、演绎推理、类比推理和合情推理的定义要理解掌握，不要死记硬背，要理解它们之间的区别和联系.4. 已知是复平面内的平行四边形，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数为（）A. B. C. D.【答案】D学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...详解：由题得A(-2，1),B(1，-1),C(2，2),设D(x,y)，则因为，所以，解之得x=-1,y=4.所以点D的坐标为（-1，4），所以点D对应的复数为-1+4i,故选D.点睛：本题方法比较多，但是根据求点D的坐标，是比较简单高效的一种方法，大家解题时，注意简洁高效.5. 已知推理：“因为所有的金属都能够导电，而铜能导电，所以铜是金属”.则下列结论正确的是（）A. 此推理大前提错误B. 此推理小前提错误C. 此推理的推理形式错误D. 此推理无错误【答案】C【解析】分析：一般利用三段论来分析解答. 如果三段论的大前提是范围对象A具有某性质，小前提应该是B元素属于范围对象A，结论是B具有某性质,这个推理的形式才是正确的.详解：已知推理的大前提是：因为所有的金属都能够导电，所以推理的小前提应该是说A材料是金属，结论是A能导电. 但是推理的小前提是说铜能导电，违背了三段论的推理要求，所以此推理的推理形式错误，故选C.点睛：三段论看似简单，但是遇到真正的问题，有些同学又比较含糊. 如果三段论的大前提是范围对象A具有某性质，小前提应该是B元素属于范围对象A，结论是B具有某性质,这个推理的形式才是正确的.6. 用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个不大于”时的假设为（）A. 三个内角中至多有一个不大于B. 三个内角中至少有两个不大于C. 三个内角都不大于D. 三个内角都大于【答案】D【解析】分析：一般利用命题的否定来解答，三角形的三个内角中至少有一个不大于的否定应该是三个内角都大于.详解：由于“三角形的三个内角中至少有一个不大于”的否定是“三个内角都大于60°”，故选D.点睛：利用反证法证明时，首先要假设原命题不成立，原命题的反面成立，所以这里涉及到命题的否定，命题的否定就是只否定命题的结论，命题的否命题是条件和结论都同时否定，这两个大家要区分开来.7. 复平面内，若与复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：复数对应的点在第四象限，就是说复数的实部大于零，虚部小于零，得到关于m的不等式组，解不等式组即得m的取值范围.详解：由题得，解之得0＜m＜1，故选B.点睛：本题解答主要是根据复数的几何意义来解答的，复数x+yi（x,y∈R）与复平面内的点(x,y)一一对应.8. 观察下列各式：，，，……，则的末两位数字为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意依次求出7的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定72018的末两位数．详解：根据题意得，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801，79=40353607…，发现：74k﹣2的末两位数字是49，74k﹣1的末两位数字是43，74k的末两位数字是01，74k+1的末两位数字是07，（k=1、2、3、4、…），∵2018=504×4+2，∴72018的末两位数字为49，故选D.点睛：要解答本题，一定要多列举找到规律，不能只写几个就下结论,所以本题列举了8个式子，这样总结的结论才更准确.9. 函数的单调递减区间是A. B.和 C. D.【答案】B【解析】分析：一般先求导得再解不等式得到它的解集，最后和定义域求交集，即可得到原函数的单调减区间.详解：由题得，令，所以x<1,因为x≠0，所以x＜1，且x≠0，所以函数的单调减区间为和，故选B.点睛：本题是一个易错题,容易漏掉函数的定义域,得到函数的减区间为,主要是因为没有考虑定义域{x|x≠0}.对于函数的任何问题，必须遵循定义域优先的原则，否则会出错.10. 已知函数在处的切线平行于轴，则的极大值与极小值的差为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求导，再求出，再解方程，求出a的值，再求函数的极大值和极小值，最后求极大值和极小值的差.详解：由题得，所以故a=0,所以，所以函数f(x)在（1，+∞）和（-∞，-1）上是增函数，在（-1,1）上是减函数.∴，∴的极大值与极小值的差为2+b+2-b=4,故选C.点睛：求函数的极值的一般步骤是：求定义域求导解方程列表下结论.11. 在直角坐标平面内，由曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出直线y=x和曲线xy=1的交点的横坐标，再利用定积分求出曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积.详解：联立xy=1和y=x得x=1,(x=-1舍).由题得由曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积为，故选A.点睛：求曲线围成的不规则的图形的面积，一般利用定积分来求解.12. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出函数f（x）的导数，问题转化为a≥在恒成立，令g（x）=，x∈，根据函数的单调性求出函数g(x)的最大值，即得实数a的范围．详解：：f（x）=（2a﹣1）x﹣cos2x﹣a（sinx+cosx），=2a﹣1+sin2x﹣a（cosx﹣sinx），若f（x）在递增，则≥0在恒成立，即a≥在恒成立，令g（x）=，x∈，则=，令＞0，即sinx＞cosx，解得：x＞，令＜0，即sinx＜cosx，解得：x＜，故g（x）在[0，）递减，在（，]递增，故g（x）max=g（0）或g（），而g（0）=1，g（）=，故a≥1，故选D．点睛：本题解答用到了分离参数的方法，把≥0在恒成立通过分离参数转化为a≥在恒成立,再求函数g（x）=，x∈的最大值.处理参数问题常用的有分类讨论和分离参数方法，如果分离参数不便，就利用分类讨论.大家要注意这两种方法的区别和联系.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知复数满足，则复数的共轭复数为__________．【答案】【解析】分析:先由题得到，再利用复数的除法化简得到z,最后求z的共轭复数.详解:由题得.所以z的共轭复数为2-i.故填2-i.点睛：本题主要考查复数的除法运算和共轭复数的概念，解题时，不要求出z就直接填进去了，主要还要求z的共轭复数.14. 若，则实数__________．【答案】【解析】分析：直接利用微积分基本原理化简已知，得到m的方程，求出m的值.详解：由题得，所以，∴m=2.故填2.点睛：本题主要考查微积分基本原理，关键是找到的原函数.15. “扫雷”游戏，要求游戏者找出所有的雷，游戏规则是：一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数学是，常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“”表示它的周围八个方块中有且仅有个雷.图乙是小明玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，在这七个方块中，有雷的方块为__________．【答案】ADFG【解析】分析：解答时，先确定F和G有雷，再确定C,D中必有一个有雷，这时再利用假设法否定C有雷D无雷，后面再确定A和B是否有雷.详解：第4行第7个数字2，所以F、G方块有雷. 第4行第6个数字4，说明E方块没有雷.由于第4行第4个数字3，说明C、D中必有一个有雷. 假设C有雷，D无雷. 由于第6行第7个数字2，所以第7行6、7、8、9都没有雷，第5个有雷，但是第6行第4 个数字2，这样第6行第4个数字周围就有3个雷，与题目矛盾，故C无雷，D有雷.由于第4行第3个数字1，所以B五雷，由于第4行第2个数字1，所以A有雷. 故有雷的是A、D、F、G.故填A、D、F、G.点睛：本题主要考查推理论证，在推理时主要要从简单的入手，再讨论复杂的，如果不能确定可以进行假设分析，找到矛盾和答案.16. 设函数，观察下列各式：，，，，…，，……，根据以上规律，若，则整数的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先归纳得到f n（x）=f（f n﹣1（x））=，再求出f n（）=，最后解不等式，得到n的最大值.详解：由题意，所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15…2n﹣1，第二部分的数分别是2，4，8，16…2n.∴f n（x）=f（f n（x））=，﹣1∴f n（）=．∴，∴，∴整数的最大值为9.故填9.点睛：本题主要考查归纳推理，所以归纳出f n（x）=f（f n﹣1（x））=是关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知复数，，，是实数，为虚数单位.（1）若，求复数，；（2）若，求复数，.【答案】(1)，；(2)，.【解析】分析：（1）把代入，得到关于a、b的方程，根据复数相等的概念得到关于a、b的方程组，解方程组即可求出复数、.(2) 把代入，得到关于a、b的方程，根据复数相等的概念得到关于a、b的方程组，解方程组即可求出复数，.详解：（1）∵，∴，∴∴，；（2）∵，∴∴，∴，.点睛：本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，属于基础题.18. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，求的值域.【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为；(2).【解析】分析：（1）先求导，再利用导数求函数的单调区间. (2)先写出函数在的单调区间，再根据函数的单调区间写出函数f(x)的值域.详解：（1）由题意得，，令，则或；令，则；∴的单调增区间为和，单调减区间为；（2）由（1）得在和上单调递增，在上单调递减，∵，，，，∴的值域为.点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调区间和函数的值域，属于基础题.19. 已知点，是椭圆的左右顶点，是椭圆上异与，的点，则直线与的斜率满足.（1）类比椭圆的上述结论，写出双曲线的相应结论，并证明；（2）请利用（1）的结论解决以下问题：已知点，是双曲线的左右顶点，是该双曲线上异与，的点，若直线的斜率为，求直线的方程.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）类比椭圆的上述结论，写出双曲线的相应结论,再证明.（2）先利用前面的结论得到再写出直线的点斜式方程化简即得直线的方程.详解：（1）已知点，是双曲线的左右顶点，双曲线上异与，的点，则直线与的斜率满足；证明：由题意得，，∴∵是双曲线上的点，∴，∴，∴直线与的斜率满足.（2）由（1）得，∵，∴，∵是双曲线的右顶点，∴，∴直线的方程为.点睛：本题主要考查类比推理的能力和圆锥曲线的基本运算，属于基础题.说明：请考生在（A）,（B）两个小题中任选一题作答.20. 已知数列满足，.（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）计算，，，根据计算结果，猜想. （2）用数学归纳法证明猜想的结论.详解：（1）当时，；当时，；当时，，由此猜想；（2）下面用数学归纳法证明，①当时，显然成立，②假设当时猜想成立，即，由题意得，∴当时猜想也成立；由①和②，可知猜想成立，即.点睛：在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.21. 已知数列的前项和为，且满足，.（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）计算，，，根据计算结果，猜想. （2）用数学归纳法证明猜想的结论.详解：（1）当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，由此猜想，（2）下面用数学归纳法证明，①当时，显然成立，②假设当时猜想成立，即，由题意得，∴，∴，∴当时猜想也成立，由①和②，可知猜想成立，即.说明：请考生在（A）,（B）两个小题中任选一题作答.22. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：在上至多有一个零点.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）先求导，再对a分类讨论，求函数的单调性.(2)对a分类讨论，根据函数的图像分析每一种情况函数在上零点个数，即得在上至多有一个零点.详解：（1）由题意得①当时，令，则；令，则，∴在上单调递减，在上单调递增；②当时，令，则或，（ⅰ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（ⅱ）当时，，∴在上单调递增；（ⅲ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）得当时，在和上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，∵，∴此时在上至多有一个零点；当时，在上单调递增，∴此时在上至多有一个零点；当时，在和上单调递增，在上单调递减；∴在处取得极大值，∵，∴此时在上至多有一个零点；综上所述，当时，在上至多有一个零点.点睛：对于函数的零点问题，一般利用图像法分析解答.一般先求导，再求出函数的单调区间、最值、极值等，再画图分析函数的零点情况.23. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）先求导，再对a分类讨论，求函数的单调区间. (2)对a分类讨论，作出函数的图像，分析出函数f(x)有两个零点所满足的条件，从而求出a的取值范围.详解:（1）由题意得①当时，令，则；令，则，∴在上单调递减，在上单调递增；②当时，令，则或，（ⅰ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（ⅱ）当时，，∴在上单调递增；（ⅲ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）得当时，在和上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，∵，∴此时不符合题意；当时，在上单调递增，∴此时不符合题意；当时，在和上单调递增，在上单调递减；∴的处取得极大值，∵，∴此时不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，∵，，∴在上有一个零点，（ⅰ）当时，令，当时，∵，∴在上有一个零点，∴此时符合题意；（ⅱ）当时，当时，，∴在上没有零点，此时不符合题意；综上所述，实数的取值范围为.点睛：对于含参的问题，注意分类讨论思想的运用. 本题的导数，由于无法直接写出函数的单调区间，所以必须要分类讨论.分类讨论时，要注意分类的起因、分类的标准、分类的过程和分类的结论.。
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…………………3 分
又 ∵ 点 D 是直线 AC 与抛物线的对称轴的交点，
∴ xD=1，yD=1+1=2.
∴ D 点的坐标为（1，2）.
…………………4 分
数学（一）答案 第 4 页 （共 5 页）
（2）四边形 MDND′为正方形，理由如下： ∵ 抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点， ∴ 令 y=0，则-x2+2x+3=0. 解得 x1=-1，x2=3. ∴A（－1，0），B（3，0）. ∴AD=姨22+22 =2姨 2 ，BD=姨22+22 =2姨 2 ，AB=1+3=4. 而（2姨 2 ）2+（2 姨 2 ）2=42， 即：AD2+BD2=AB2. ∴△ABD 为等腰直角三角形. ∴∠DAB=∠DBA=45°，∠ADB=90°. 由翻折可知：D′M=DM，DN=ND′，又 DM=DN， ∴ 四边形 MDND′为菱形. 而∠MDN=90°， ∴ 四边形 MDND′为正方形. 设 DM=DN=t，当点 D 落在 x 轴上的点 D′处时， ∵ 四边形 MDND′为正方形， ∴∠D′NB=90°.
（B，C）
C （C，A） （C，B）
D （D，A） （D，B） （D，C）
或画树状图如下：
开始
…………………4 分
D （A，D） （B，D） （C，D）
Ａ
Ｂ
Ｃ
ＤＢＣＤBiblioteka ＡＣＤ ＡＢＤ ＡＢＣ……………………………………6 分
所有可能出现的结果共有 12 种，且每种结果出现的可能性都相同，其中抽到 B 和 C
…………………8 分
…………………10 分
（1）
…………………3 分
（2）
…………………4 分
…………………7 分
18.（1）∴∠DPN=∠PDN，∴DN=PN. 同理：CN=PN. ∴CN=DN. （2）1.
数学（一）答案 第 1 页 （共 5 页）
…………………2 分 …………………3 分 …………………4 分 …………………7 分
根据题意可得：
…………………1 分
0x+y=300，
（60-45）x+（90%×30-25）y=3200，
…………………3 分
0x=200，
解得： y=100.
…………………4 分
答：该商场购进 LED 灯泡 200 个,普通白炽灯泡 100 个.
…………………5 分
（2）设商场购进 LED 灯泡 a 个，则购进普通白炽灯泡（120-a）个，商场的获利为 W 元，
解得：x=± 姨10 （舍去负值）.
∴PE=姨10 米，则 AE=3姨10 米. ∵∠CPF=∠PCF= 45°， ∴CF=PF.
…………………3 分
设 CF=PF=m 米，则 OC=（m+姨10 ）米，OA=（m-3姨10 ）米
在 Rt△AOC 中，tan75°= OC = m+姨10 ， OA m-3姨10
的情况共有 2 种．
…………………7 分
∴P（抽到
B
和
C）=
2 12
=
1 6
.
…………………8 分
20. 解：过点 P 作 PE⊥OB 垂足为点 E ，PF⊥OC 垂足为点 F，
∵i=1∶3，AP=10，
设 PE=x 米，则 AE=3x 米，
在 Rt△AEP 中，x2+（3x）2=102.
…………………2 分
…………………8 分
∴ 当 a=75 时，可得 W 的最大值为 1350.
…………………9 分
答：该商场购进 LED 灯泡 75 个,普通白炽灯泡 45 个，此时利润为 1350 元.
…………………10 分
22.（1）解：如图 1，过点 E 作 EP⊥BC，垂足为点 P，则四边形 ABPE 为矩形，
EH 与 CD 交于点 N．过点 E 作 EP⊥BC，垂足为点 P，
连接 EC．
由上面证明可知：CP=EP=1，AD∥BC，
∴∠EMP=∠AEF=60°，
…………………5 分
…………………7 分 …………………8 分
∴PM=
EP tan60°
＝
姨３ ３
.
∴BM=１－
姨３ ３
，CM=１＋
姨３ ３
.
图２
…………………2 分
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴ 抛物线的对称轴为：直线 x=1.
设直线 AC 的函数表达式为：y=kx+b（k≠0），
将 A（－1，0）、C（2，3）的坐标分别代入 y=kx+b 中，得：
0-k+b=0，
2k+b=3，
0k=1，
解得： b=1.
∴ 直线 AC 的函数表达式为：y=x+1.
…………………4 分
（2）∵△PEN ≌△AEM
∴AM=PN.
∵AM=CN，
数学（一）答案 第 3 页 （共 5 页）
∴PN=CN= １ PC. ２
易证四边形 EPCD 为矩形，
∴PC=DE=1，PN=CN=
１ ２
.
∴AM=PN=
１ ２
，BM=AB-AM=
１ ２
.
∴AM=BM．
（3）如图 2，当∠AEF=60°时，设 EF 与 BC 交于点 M，
∴PE=AB=1，∠AEP=90°.
∵AE=DE=
1 2
AD=1，
∴PE=AE.
…………………1 分
∵∠MEN=∠AEP =90°，
∴∠MEN-∠MEP =∠AEP-∠MEP.
∴∠PEN =∠AEM.
∵PE=AE，∠EPN=∠EAM=90°，
∴△PEN ≌△AEM.
…………………3 分
∴EM=EN.
∴EF
将边
BC
分成的两条线段的长度为
１－
姨３ ３
，１＋
姨３ ３
．（画出图形给 1 分）
…………………11 分
23. 解：（1）将 A（－1，0），C（2，3）的坐标分别代入 y=-x2+bx+c 中，得
0－１－b+c=0，
-4+2b+c=3，
…………………1 分
0b=2，
解得： c=3.
∴ 抛物线的函数表达式为：y=-x2+2x+3.
÷
b a2-2ab+b2
= -2b ·（a-b）2 （a+b）（a-b） b
=
-2（a-b） a+b
当 a=１，b=2 时，
原式＝
－２×（１－２） １＋２
＝
２ ３
．
17. 解：如图所示（画一个即可）
15． n2+1
…………………3 分 …………………4 分 …………………5 分 …………………7 分
…………………5 分
数学（一）答案 第 2 页 （共 5 页）
即：m+姨10 =tan75°·姨m-3姨10 姨， 解得：m≈14.3.
…………………6 分
∴OC=14.3+姨10 ≈14.3+3.2=17.5 米.
…………………7 分
答：介子推塑像的高度约为 17.5 米.
…………………8 分
21. 解：（1）设该商场购进 LED 灯泡 x 个,普通白炽灯泡 y 个，
19. 解：（1）被调查市民的人数为：90÷45%=200（人）， m=60÷200=30%，n=1-45%-30%-15%=10%.
…………………3 分
（2）持有 A、B 两类看法的市民共有： （45%+30%）×300=225（万人）. （3）列表如下：
A
B
C
A
（A，B） （A，C）
B （B，A）
…………………7 分 …………………8 分 …………………9 分
…………………11 分 …………………14分
数学（一）答案 第 5 页 （共 5 页）
根据题意可得：
W=（60-45）a+（30-25）（120-a），
W=10a+600.
…………………6 分
由题意得：10a+600≤［45a+25（120－a）］×30%，
解得 a≤75.
…………………7 分
∵k>0，W 随 a 的增大而增大
∴a=75，此时，购进普通白炽灯泡的数量为 120-75=45（个）.
山西中考模拟百校联考试卷（一）
数学参考答案及评分标准
一、选择题
1~5 ACDBB
6~10 BCAAD
二、填空题
11． a（a+b）（a-b） 12． 11° 13． 4.2 14． 4
三、解答题
16,（1）解：原式=-1-9× 2 +6× 2 93
=-1-2+4
=1.
（2）解：原式＝
（a-b）-（a+b） （a+b）（a-b）
在 Rt△D′NB 中，D′N=t，BN=2姨 2 -t，BD′=2， ∴t2+（2 姨 2 -t）2=22. ∴t1=t2= 姨 2 . 即：经过姨 2 s 时，点 D 恰好落在 x 轴上的 D′处. （3）存在. 符合条件的点 P 的坐标为：Ｐ（ 1 1，0），Ｐ（ 2 3，2）.
…………………5 分 …………………6 分