1菱形的性质与判定

1菱形的性质与判定基础闯关全练拓展训练1.(2019湖南益阳中考)下列性质中菱形不一定具有的性质是()A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形2.(2019山东聊城中考)如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是()A.AB=ACB.AD=BDC.BE⊥ACD.BE平分∠ABC3.如图,在菱形ABCD中,E是AB边上一点,且∠A=∠EDF=60°,有下列结论:①AE=BF;②△DEF是等边三角形;③△BEF是等腰三角形;④∠ADE=∠BEF,其中正确结论的个数是()A.3B.4C.1D.24.(2019青海中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD的高DH=.5.(2019江苏淮安中考)已知,如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为边CD、AD的中点,连接AE、CF,求证:△ADE≌△CDF.能力提升全练拓展训练1.3个全等的菱形按如图所示的方式拼合在一起,恰好得到一个边长相等的六边形,则菱形较长的对角线与较短的对角线长度的比值是()A.√15B.√10C.2√3D.√32.如图,O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点,E、F分别是OA、OC的中点.下列结论:①S△ADE=S△EOD;②四边形BFDE是菱形;③菱形ABCD的面积为EF·BD;④∠ADE=∠EDO;⑤△DEF是轴对称图形.其中正确的结论有()A.5个B.4个C.3个D.2个3.(2019山东滨州中考节选)如图,在▱ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于1BF的长为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长交BC于点2E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形.根据以上尺规作图的过程,求证:四边形ABEF是菱形.4.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.(1)求证:AD=BC;(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.三年模拟全练拓展训练1.(2019山西太原期中,4,★☆☆)菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A.对边平行B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直2.(2019河南郑州经纬中学第一次月考,4,★★☆)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O点,E,F 分别是AB,BC边的中点,连接EF,若EF=√3,BD=4,则菱形ABCD的周长为()A.4B.4√6C.4√7D.283.(2019江苏泰州泰兴黄桥东期中,5,★★☆)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A、D为圆心,以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;第二步,连接MN,分别交AB、AC于点E、F;第三步,连接DE、DF,则可以得到四边形AEDF的形状()A.仅仅是平行四边形B.是矩形C.是菱形D.无法判断4.(2019山西百校联考一模,10,★☆☆)如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E,F同时由A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F 的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为()A.1B.13C.12D.435.(2019河南郑州二中期中,13,★★☆)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE=.6.(2019河南平顶山期末,14,★★☆)如图,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD=4cm,∠ABC=30°,则长方形纸条的宽度是cm.7.(2019江苏扬州邗江一模,24,★☆☆)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.(8分)(1)求证:四边形BCFE是菱形;(2)若CE=6,∠BEF=120°,求菱形BCFE的面积.五年中考全练拓展训练1.(2019四川雅安中考,9,★★☆)如图,四边形ABCD的四边相等,且面积为120cm2,对角线AC=24 cm,则四边形ABCD的周长为()A.52cmB.40cmC.39cmD.26cm2.(2019河南中考,8,★★☆)如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D'的坐标为()A.(1,-1)B.(-1,-1)C.(√2,0)D.(0,-√2)3.(2019山东青岛中考,21,★★☆)已知:如图,在▱ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G、H,交BD于点O.(8分)(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.核心素养全练拓展训练1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5√3,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.(1)求证:AE=DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.2.邻边不相等的平行四边形纸片剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,称为第二次操作;……依此类推,若第n次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形,如图a,▱ABCD中,若AB=1,BC=2,则▱ABCD为1阶准菱形.(1)判断与推理:①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形;②小明为了剪去一个菱形,进行如下操作:如图b,把▱ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点A 落在BC边上的点F处,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.(2)操作、探究与计算:①已知▱ABCD的邻边长分别为1,a(a>1),且是3阶准菱形,请画出▱ABCD及裁剪线的示意图,并在图形下方写出a的值;②已知▱ABCD的邻边长分别为a,b(a>b),满足a=6b+r,b=5r,请写出▱ABCD是几阶准菱形.1菱形的性质与判定基础闯关全练拓展训练1.答案 C A.菱形的对角线互相平分,此选项不符合题意;B.菱形的对角线互相垂直,此选项不符合题意;C.菱形的对角线不一定相等,此选项符合题意;D.菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,此选项不符合题意.故选C.2.答案 D ∵DE ∥BC,EF ∥AB,∴四边形DBFE 是平行四边形,∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,又DE ∥BC,∴∠CBE=∠DEB,∴∠ABE=∠DEB,∴BD=DE,∴▱DBFE 是菱形.3.答案 A 连接BD,∵四边形ABCD 是菱形,∴∠A+∠ADC=∠A+∠ABC=180°,AB=AD,又∠A=60°,∴∠ADC=∠ABC=120°,△ABD 是等边三角形,∴AD=BD,∠ADB=∠ABD=∠A=60°,∴∠DBF=60°,∴∠A=∠DBF,∵∠ADE+∠EDB=∠ED B+∠BDF=60°,∴∠ADE=∠BDF,∴△ADE ≌△BDF(ASA).∴AE=BF,ED=FD,又∠EDF=60°,∴△DEF 为等边三角形.∴∠DEF=60°,∴∠AED+∠BEF=120°,∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°,∴∠ADE=∠BEF,由题意知BE 不一定等于BF.综上可知①②④正确,③不正确,故选A.4.答案 245 解析 ∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,OA=12AC=4,OB=12BD=3.在Rt △AOB 中,AB=√OA 2+OB 2=5.∵S 菱形ABCD =12AC ·BD=12×8×6=24,S 菱形ABCD =AB ·DH=5DH,∴5DH=24,解得DH=245.5.证明 ∵四边形ABCD 是菱形,∴AD=CD,∵E 、F 分别是CD 、AD 的中点,∴DE=1DC,DF=1AD,∴DE=DF,在△ADE 和△CDF 中,{DE =DF,∠D =∠D,DA =DC,∴△ADE ≌△CDF(SAS). 能力提升全练拓展训练1.答案 A 如图,设第一个菱形的另一个顶点为M,连接AC,BM,交于点O.由题意得AB=AF=2BM,∵四边形ABCM 是菱形,∴AC ⊥BM,OB=12BM,OA=12AC,∴AB=4OB,∴OA=√AB 2-OB 2=√15OB,∴AC=2OA=2√15OB,又BM=2OB,∴AC∶BM=√15∶1.即菱形较长的对角线与较短的对角线长度的比值是√15.2.答案 B ∵四边形ABCD 是菱形,∴BD ⊥AC,OA=OC,OB=OD.∵E 为OA 的中点,∴AE=OE,∵S △ADE =12AE ·OD,S △EOD =12OE ·OD,∴S △ADE =S △EOD ,故①正确.∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点,∴OE=12OA,OF=12OC,∵OA=OC,∴OE=OF,又OB=OD,EF ⊥BD,∴四边形BFDE 是菱形,故②正确.S 菱形ABCD =1AC ·BD,易知EF=1AC,∴S 菱形ABCD =EF ·BD,故③正确.由已知条件推不出∠ADE=∠EDO.∵四边形BFDE 是菱形,∴DE=DF,∴△DEF 为等腰三角形,∴△DEF 是轴对称图形,故⑤正确.3.证明 由作图过程可得AE 平分∠BAF,∴∠EAB=∠EAF,∵AD ∥BC,∴∠EAF=∠AEB,∴∠AEB=∠EAB,∴BE=AB,∵AB=AF,∴BE=AF.∵AF ∥BE,∴四边形ABEF 是平行四边形,∵AB=BE,∴四边形ABEF 是菱形.4.证明 (1)过点B 作BM ∥AC 交DC 的延长线于点M,∵AB ∥CD,∴四边形ABMC 为平行四边形.∴AC=BM=BD,∴∠BDC=∠M=∠ACD.在△ACD 和△BDC 中,{AC =BD,∠ACD =∠BDC,CD =DC,∴△ACD ≌△BDC,∴AD=BC.(2)连接EH,HF,FG,GE,∵E,F,G,H 分别是AB,CD,AC,BD 的中点,∴HE ∥AD,且HE=12AD,FG ∥AD,且FG=12AD,EG=12BC,∴HE ∥FG,且HE=FG,∴四边形HFGE 为平行四边形.由(1)知,AD=BC,∴HE=EG,∴▱HFGE 为菱形,∴线段EF与线段GH互相垂直平分.三年模拟全练拓展训练1.答案D菱形的对角线互相垂直,而平行四边形的对角线不一定互相垂直,故选D.2.答案C∵E、F分别是AB、BC边的中点,EF=√3,∴AC=2EF=2√3.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD且OA=OC,OB=OD,∴OA=√3,OB=2,∴AB=√OA2+OB2=√(√3)2+22=√7,∴菱形ABCD的周长=4AB=4√7.故选C.3.答案C根据作法可知:直线MN是线段AD的垂直平分线,∴AE=DE,AF=DF,∴∠EAD=∠EDA,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠EDA=∠CAD,∴DE∥AC,同理,DF∥AE,∴四边形AEDF是平行四边形,∵EA=ED,∴四边形AEDF为菱形.4.答案D连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠ADB=∠DBC=12∠ADC=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AD=BD,又∵△DEF是等边三角形,∴∠EDF=∠DEF=60°,又∵∠ADB=60°,∴∠ADE=∠BDF,在△ADE和△BDF中,{∠A=∠DBC=60°, AD=BD,∠ADE=∠BDF,∴△ADE≌△BDF,∴AE=BF,∵AE=t cm,CF=2t cm,∴BF=BC-CF=(4-2t)cm,∴t=4-2t,∴t=43.故选D.5.答案 125解析 ∵四边形ABCD 是菱形,∴OB=12BD=3,OC=12AC=4,AC ⊥BD,∴在Rt △BOC 中,BC=√OB 2+OC 2=5,∵OE ⊥BC,∴OE=OB ·OC BC =3×45=125. 6.答案 2解析 ∵AD ∥BC,AB ∥CD,∴四边形ABCD 是平行四边形,分别作BC,CD 边上的高AE,AF,如图所示.∵两纸条相同,∴纸条宽度相同,即AE=AF.∵AE ·BC=CD ·AF,∴CD=BC.∴平行四边形ABCD 为菱形,∴AB=AD=4 cm,∵∠ABC=30°,∴AE=12AB=2 cm.7.解析 (1)证明:∵D,E 分别是AB,AC 的中点,∴DE ∥BC 且2DE=BC,又∵BE=2DE,EF=BE,∴EF=BC,又EF ∥BC,∴四边形BCFE 是平行四边形,又∵BE=EF,∴四边形BCFE 是菱形.(2)∵∠BEF=120°,∴∠EBC=60°,∴△EBC 是等边三角形,∴BE=BC=CE=6.过点E作EG⊥BC于点G,∴∠BEG=30°,∴BG=1BE=3,2由勾股定理得EG=√62-32=3√3,∴菱形BCFE的面积为BC·EG=6×3√3=18√3.五年中考全练拓展训练1.答案A连接BD.∵四边形ABCD的四边相等,∴四边形ABCD为菱形,∵四边形ABCD的×24BD,∴BD=10cm,∴AB=√52+122=13cm,∴四面积为120cm2,对角线AC=24cm,∴120=12边形ABCD的周长为4×13=52cm.故选A.2.答案B由题意知菱形每8秒旋转一周,60秒旋转7周余4秒,4秒旋转180°,即旋转60秒后得到的图形与原图形关于原点中心对称,因为B(2,2),所以D(1,1),D关于原点对称的点D'的坐标为(-1,-1).故选B.3.解析(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠BAD=∠DCB.又∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF.(2)四边形BEDF是菱形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∵AE=CF,∴AD-AE=BC-CF,即ED=BF,∴四边形BEDF是平行四边形,∴OB=OD.又∵DG=BG,∴OG⊥BD.∴▱BEDF是菱形.核心素养全练拓展训练1.解析(1)证明:在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=2t,∴DF=t,又∵AE=t,∴AE=DF.(2)能.理由如下:∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF.又∵AE=DF,∴四边形AEFD为平行四边形.在Rt△ABC中,设AB=x,则由∠C=30°,得AC=2x,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,即x2+(5√3)2=4x2,解得x=5(负根舍去),∴AB=5.∴AC=2AB=10.∴AD=AC-DC=10-2t.由已知得点D从点C运动到点A的时间为10÷2=5(s),点E从点A运动到点B的时间为5÷1=5(s).若使▱AEFD为菱形,则需AE=AD,即t=10-2t,.符合题意.解得t=103故当t=10s时,四边形AEFD为菱形.3(3)①当∠EDF=90°时,ED∥BF,∵∠B=90°,∴∠AED=90°,在Rt△AED中,∠ADE=∠C=30°,∴AD=2AE,即10-2t=2t,解得t=5.符合题意.2②当∠DEF=90°时,由(2)知EF∥AD,∴∠ADE=∠DEF=90°.∵∠A=90°-∠C=60°,∴∠AED=30°.∴AE=2AD,即t=2(10-2t),解得t=4.符合题意.③当∠EFD=90°时,△DEF不存在.s或4s时,△DEF为直角三角形.综上所述,当t=522.解析(1)①2.②证明:由折叠知,∠ABE=∠FBE,AB=BF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥BF,∴∠AEB=∠FBE,∴∠AEB=∠ABE,∴AE=AB,∴AE=BF,∴四边形ABFE是平行四边形,又AE=AB,∴四边形ABFE是菱形.(2)①②10阶准菱形.。