矩阵论文

矩阵分析在雷达信号波达方向估计中的应用摘要：本文介绍了矩阵分析在雷达信号波达方向估计中的应用，主要介绍了DOA 估计中常用的基于矩阵特征空间分解的MUSIC 算法的基本原理，并用MATLAB 对此算法性能进行了仿真。

关键词：矩阵分析 DOA 估计MUSIC 算法算法仿真 1、引言矩阵分析作为一种重要的数学工具，在信号与信息处理领域起着不可代替的作用。

矩阵分解是解决矩阵问题的重要方法之一，将一个矩阵分解为几个简单矩阵的乘积，有很强的技巧性和实用性。

比如在雷达信号波达方向估计常用的MUSIC 算法中涉及了较多的矩阵分解的知识。

2、矩阵分析在MUSIC 算法中的应用波达方向(DOA)估计的基本问题就是确定同时处在空间某一区域多个感兴趣的信号的空间位置(即多个信号到达阵列参考阵元的方向角)。

最早的也是最经典的超分辨率DOA 估计算法是著名的多信号分类(MulitPleSignalClassicfiaitno)法,简称MUSIC 算法,是一类经典的基于特征结构分析的空间谱估计[1,2]方法。

该方法是Scmhidt 和Bienveun 及Kopp 于1979年独立提出的,后来scmhidi 于1986年重新发表[3]。

MUSIC 算法基本原理及矩阵分析如下：阵列阵元数为M ，则信号()i S t 到达各阵元的相位差所组成的向量为()()()(M 1)11,,...,,...,i iTjw j w i i M i a e e a a θθθ---⎡⎤==⎡⎤⎣⎦⎣⎦ (1) 称为信号()i S t 的方向向量。

又知共有N 个信号位于远场，则在第K 个阵元上观测或接收信号()k x t 为：()()()()1Nk k i i k i x t a S t n t θ==+∑()k n t 表示第K 个阵元上的加性观测噪声。

将M 个阵元上的观测数据组成1M ⨯维数据向量：()()()()12,,...,TM x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦(2)类似地，定义1M ⨯维观测噪声向量：()()()()12,n ,...,n TM n t n t t t =⎡⎤⎣⎦ (3) 空间信号的1N ⨯维矢量： ()()()()12,s ,...,s TN s t s t t t =⎡⎤⎣⎦(4)定义空间阵列的M N ⨯维流型矩阵（也可称为方向矩阵）：()()()11,,...,M A a a a θθθ=⎡⎤⎣⎦(5)其中()(M 1)1,,...,i iTjw j w i a e e θ---⎡⎤=⎣⎦为第i 个信号的方向向量。

于是，窄带远场信号的DOA 数学模型为：()()(t)A()s X t n t θ=+ (6)阵列数据的协方差矩阵为：()()()()22HHH H S R E X t X t AE S t S t A IAR A Iσσ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦=+ (7)由于信号与噪声相互独立，数据协方差矩阵可以分解为与信号、噪声相关的两部分，其中()()Hs R E S t S t ⎡⎤=⎣⎦是信号的协方差矩阵。

信号的自相关矩阵s R 是Hermitian 矩阵 对R 进行特征分解有：1MHHi i i i R U Uu u λ===∑∑ (8)式中，[]1,...,M U u u =为特征向量组成的矩阵；[]1,...,Mdiag λλ=∑为特征值构成的对角矩阵。

分析已知，若将R 的M 个特征值按大小依次排列，则有：(9)其中，与前N 个大特征值()1,...,N λλ对应的特征向量张成的空间为信号子空间；另一部分与M-N 个小特征值()1,...,N M λλ+对应的特征向量张成的空间为噪声子空间。

即有：H HS S N N S N R U U U U =+∑∑ (10)式中，[]1,...,sN diag λλ=∑，[]1,...,N N M diag λλ+=∑。

因此，协方差矩阵R 的特征值分解也可写为22H H HS S S N N S R AR A I U U U U σσ=+=+∑ (11)这里假定H S AR A 满秩。

研究噪声子空间N U 和方向矩阵A 之间的关系。

由于2σ和N U 是协方差矩阵R 的特征值和对应的特征向量，故有特征方程2121......N N M λλλλλσ+≥≥≥===2N N RU U σ= (12)用N U 右乘22H H H S S S N N SR AR A I U UU U σσ=+=+∑有2H N S N N RU AR A U U σ=+可得：0H S N AR A U =由于假设S R 是非奇异的，故上式可等价为：0H N A U =这说明，矩阵A 的各个列向量与噪声子空间正交。

另外，还有一个重要结论：由于[],S N U U U =为酉矩阵，故有0H S N U U =。

0H S N U U =与0H N A U =比较可知：若S R 非奇异，则阵列方向矩阵与阵列输出向量的协方差矩阵的信号特征向量组成的子矩阵S U 所张成的子空间相同。

又知矩阵A 的各个列向量与噪声子空间正交，故有：(){}10,,...,H N N U a θθθθ=∈ (13)为了保证波达方向估计的一致性，通常假定阵列是无模糊的：对应于N 个不同的波达方向()1,...,i i N θ=的N 个方向向量构成一个线性独立集合()()(){}12,,...,N a a a θθθ。

如果方向向量()a ∙满足这一条件，并且S R 满秩的话，则H S AR A 也满秩，从而{}1,...,N θθ是满足上式所示关系的唯一可能解，它们也就可以用来对各信源的波达方向准确定位。

经典MUSIC 算法正是基于上述这个性质提出的，但考虑到实际接收数据矩阵是有限长的，即数据协方差矩阵的最大似然估计为：()()11L Hi R X t X t L ∧==∑ (14)对R ∧进行特征分解可以计算得到噪声子空间特征矢量矩阵N U ∧。

由于噪声的存在，()a θ与N U ∧并不能完全正交，也就是说式(13)并不成立。

因此，实际上求DOA 是以最小优化搜索实现的，即()()arg min HHMUSIC N NaU U a θθθθ∧∧= (15)所以，MUSIC 算法的谱估计公式为：()()()1MUSIC HH N N P a U U a θθθ∧∧=(16)与谱峰对应的所有的θ即给出波达方向的估计。

显然，()MUSIC P θ并不是任何意义下的真实谱。

严格来说，它只是信号方向向量与噪声子空间之间的距离。

尽管如此，它却能够在真实波达方向的附近出现谱峰，超分辨地准确表现各信号的波达方向。

由此，我们得到MUSIC 算法流程：（1）由阵列的接收数据得到数据协方差矩阵的估计R ∧；（2）对R ∧进行特征值分解；（3）由R ∧的特征值进行信号源数判断； （4）确定信号子空间S U ∧与噪声子空间N U ∧；（5）根据信号参数范围由式(16)进行谱峰搜素； （6）找出极大值点对应的角度就是信号入射方向。

对于上述的MUSIC ，还应该注意以下几点。

（1）非理性情况下得到协方差矩阵的特征值满足下式：(17)在此要采用有关信号源数估计的方法先判断信号源数。

（2）由HH S S N NU U U U I ∧∧+=。

由式(16)可以转化为如下形式：()()()1()MUSIC HH S S P a I U U a θθθ∧∧=- (18)上式说明利用噪声子空间进行信号参数的估计与利用信号子空间进行参数估计是一致的，但实际场合特别是信号源数未知或是估计错误时，两者估计性能会有差别。

（3）当方向向量属于信号子空间时，()HN aU θ∧是一个趋于零的值，所以得到的空间谱估计在信号源方向会产生很尖的“谱峰”，而其他地方相对平坦。

得到的MUSIC 算法有另一种归一化形式，即：()()()()()H MUSIC HH N N a a P a U U a θθθθθ∧∧=(19)3、MUSIC 算法性能仿真分析为了验证影响DOA 估计精度的影响因素，我们利用MATLAB 给出了计算机仿真结果。

将仿真数据用MUSIC 算法进行信号DOA 估计，并比较不同条件下的估计情况。

以下采样数均为1024，阵元间距均为2d λ=。

（1）信噪比对算法性能的影响阵元数目M=8，信号数目P=2，入射角为20,60-︒︒，信噪比分别为10,0dB dB 。

121......N N M λλλλλ+>>>>>图1 不同信噪比时MUSIC 谱图从图1可以看出，在其它条件相同的情况下，信噪比增大，MUSIC 谱的谱峰也随着增高，即DOA 估计越精准。

（2）阵元数对算法性能的影响阵元数目分别为M=8，M=4，信号数目P=2，入射角为20,60-︒︒，信噪比均为10dB 。

图2 不同阵元数时的MUSIC 谱图从图2可以知道，在其它条件相同的情况下，阵元数目越大，角度范围越小，DOA 估计的越精确。

-80-60-40-20020406080101010101010101010波达角（单位为度）空间谱不同信噪比时的MUSIC 谱图-80-60-40-20020406080101010101010101010波达角（单位为度）空间谱不同阵元数时的MUSIC 谱图（3）算法的角度分辨率阵元数目M=8，信号数目P=2，入射角为2,2-︒︒，信噪比均为10dB 。

图3 MUSIC 谱图从图3可以看出，当这两个信号的角度差变得很小时，此时只有一个谱峰，MUSIC 算法不能分辨出这两个信号，说明在其它条件相同的情况下，相邻信号的MUSIC 谱的分解率会随着角度的增大而有所降低。

结论：由算法仿真分析知，信噪比增大，MUSIC 谱的谱峰也随着增高，DOA 估计越精准；阵元数目越大，DOA 估计也越精确；相邻信号的MUSIC 谱的分解率随着角度的增大而会有所降低。

4、总结：本文介绍了矩阵分析在雷达信号波达方向估计中的应用，主要介绍了矩阵分析在雷达信号波达方向估计中常用的MUSIC 算法中的应用，通过对算法中涉及的矩阵分析知识的分析，对算法原理有了更深的理解，并通过MATLAB 仿真分析了算法的性能，仿真结果证明了算法的有效性，但此算法角度分辨率不是很高，仍需要改进，目前已有的改进算法有循环MUSIC 算法等。

参考文献[1]王宏禹,现代谱估计,东南大学出版社,1990.[2]肖先赐,现代谱估计,哈尔滨工业大学出版社,1992.[3]R.O.Schmidt,“MultiPleEmitterLoeationandSignalPar ameterEstimation,,,IEEETrans,onAntenna sandProPagation,Ma.r1986,VOI.34,PP.243-258.-80-60-40-2002040608010-110101102103104105波达角（单位为度）空间谱MUSIC 谱图程序：。