2019年全国高中数学联赛江苏赛区预赛市选试卷及答案
2019年全国高中数学联赛试题及解答
全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11a b+的值为________．答案：设连等式值为k ，则232,3,6k k ka b a b --==+=，可得答案108分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过2. 设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______．答案：33251b a +≤+=，33b a a a+≥+≥，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0-分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则2014122013a a a a =+++______． 答案：()1221n n n aa n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+⨯+⨯+++，乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为20152013．分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN与PC 之间的距离是________．答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________．答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+，可得△2PQF 三边长为7,21,2c c +，过2F 作高，利用勾股可得5c =． 分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为________．答案：sin sin APB APC S PABS PAC ∠=∠，又两角和为60最大，即AP 与(),1I 切于对称轴右侧2分析：平面几何最值、面积、三角函数、轨迹8. 设,,,A B C D 是空间中四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则,A B 之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______． 答案：总连法64种，按由A 到B 最短路线的长度分类．长度为1，即AB 连其余随意，32种； 长度为2，即AB 不连，ACB 或ADB 连，其余随意，ACB 连8种，故共88214+-=种 （一定注意,ACB ADB 同时连被算了2次，根据CD 是否连有2种情形）；长度为3，两种情形考虑ACDB ，ACDB 连、,,AB CB AD 均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案483644=分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目二、解答题（本大题共3小题，共56分）9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线24y x =的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为,Q R ． （1）证明：R 是一个定点；（2）求PQQR的最小值．答案：（1）设(),P a b ，()()1122,,,A x y B x y ，0,0a b ≠≠，()11:2PA yy x x =+，()22:2PB yy x x =+ 故,A B 两点均适合方程()2by a x =+，利用垂直，可得2a =-，故交点为定点()2,0（2）∵2a =-，故,2PO PR b bk k =-=-，设OPR α∠=，则α为锐角，1tan PQ QR α=，利用两角差 的正切公式，可得282PQ b QR b+=≥． 分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过10. （本题满分20分）数列{}n a 满足16a π=，()()*1arctan sec n n a a n N +=∈．求正整数m ，使得121sin sin sin 100m a a a ⋅⋅⋅=． 答案：由反函数值域，知,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2222132tan sec tan 1tan 3n n n n a a a +-==+==，1212112122311tan tan tan tan tan tan tan sin sin sin sec sec sec tan tan tan tan m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅=⋅==故3333m =分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练11. （本题满分20分）确定所有的复数α，使得对任意复数()121212,,1,z z z z z z <≠，均有()()221122z z z z αααα++≠++．答案：转换命题为计算存在12,z z 使得相等时的充要条件存在12,z z 使得相等，记()()2f z z z αα=++，()()()()()1212121220f z f z z z z z z z αα-=++-+-=， 则()()()1212122z z z z z z αα-=-++-，故12122222z z z z a ααα=++≥-->-， 故2α<； 若2α<，令12,22z i z i ααββ=-+=--，其中012αβ<<-，则12z z ≠，122i ααββ-±≤-+<，计算121212,2,2z z z z i z z i αββ+=--=-=-并代入，知()()12f z f z =．综上，满足条件的α为,2Z αα∈≥二试一、（本题满分40分）设实数,,a b c满足1a b c++=，0abc>．求证：14ab bc ca++<．a b c≥≥>，则1a≥1c≤．)ab bc ca c++-+⎭12c-，故有()()111122c c cc cc c⎛---≤-+-⎭⎝⎭由于1110,3333c-≥+≥>310c->，故原不等式成立．方法2：不妨设0a b c≥≥>，则13a≥c，设()()1f b ab bc ca ab c c=++=+-，()f b递增f⇔，()())()1f b ab a b a b⎛'=--=-⎝，()010f b'≥⇔≥⇔≤≥故()f b a；题目转化为21ac+=，a c≥，记()()222212g a a ac a a a=+-=+--()()262621g a a a⎫'=-+=-⎪⎭，由于13a≥1=，得1532a=，115,332a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时g'151,322⎫⎪⎝⎭时()g a在13或12max1124g g⎛⎫==⎪⎝⎭分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，集训队讲义上两种方法都训练过．二、（本题满分40分）在锐角三角形ABC中，60BAC∠≠，过点,B C分别作三角形ABC的外接圆的切线,BD CE，且满足BD CE BC==．直线DE与,AB AC的延长线分别交于点,F G．设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N．证明：AM AN=．答案：设△ABC三边为,,a b c，则BD CE a==，先计算AM，∵,BFD ABC BDF DBC BAC∠=∠∠=∠=∠，∴△BFD∽△CBA．由比例可知acDFb=，故BM BC bBDDF c==，故abBMb c=+，故由余弦定理知()2222cosab abAM c c A Bb c b c⎛⎫=+-⋅+⎪++⎝⎭222cosab abcc Cb c b c⎛⎫=++⎪++⎝⎭，整理可得此式关于,b c对称故可知22AM AN=分析：由于一旦,,a b c三边确定则图形固定，所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然GF ED三、（本题满分50分）设{}1,2,3,,100S =．求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同．答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共9921-个，显然满足题意； 另外归纳证对于{}1,2,3,,S n =，任取()123n n -≥个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的当3n =时，将7个非空子集分为三类：{}{}{}31,32,3，{}{}21,2，{}{}11,2,3．任取四个必有两个同类． 假设n k =时命题成立，当1n k =+时，如果取出的2k 个子集中至少有12k -个不含1k +，利用归纳假设知成 立；如果不含1k +的不足12k -，则至少有121k -+个含有1k +，而S 含有1k +的子集共2k 个，可以配成12k - 对，使得每对中除了公共元素1k +外，其余恰为1到n 的互补子集，这样，如果选出121k -+个，则必有两 个除1k +外不交，故命题成立． 综上，k 的最大值为9921-．分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过四、（本题满分50分）设整数122014,,,x x x 模2014互不同余，整数122014,,,y y y 模2014也互不同余．证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余．答案：不妨设()mod 2014i i x y i ≡≡，1,2,,2014i =．下面对i y 序列进行1007次调整从而构成i z 序列：若i i x y +与10071007i i x y +++模4028不同余，则1007,i i y y +不调整；否则，交换1007,i i y y +位置，1,2,,2014i =．下证，进行1007次调整后，得到的i z 序列一定满足条件． 任意挑选一列()1,2,,1007i i x z i +=，只需证其与10071007i i x z +++、()1,2,,1007,j j x z j j i +=≠、10071007j j x z +++模4028不同余即可由i z 构造方法，i i x z +与10071007i i x z +++不同余是显然的，因为不可能调整前后均同余，故只需看另两个； 首先，对于不同的,i j ，2i 与2j 模4028不同余，否则会导致()mod 2014i j ≡．若,i j y y 均未调整，则()2mod 2014i i x z i +≡，()100710072mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡，故成立；若,i j y y 均已调整，则()21007mod 2014i i x z i +≡+，()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，故成立； 若只有一个被调整过，不妨设i y 未调整、j y 已调整，则()2mod 2014i i x z i +≡， ()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，若()4028|21007i j --，则()1007|i j -，矛盾，故同样成立． 综上，构造的i z 序列满足条件．全国高中数学联赛试题及解答2014高中联赛试题分析从试题类型来看，今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数论16.7%，组合19.3%．这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大．一试第7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置．但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题．从图中不难看出，最值情况在相切时取到，剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题．其余填空题中，第1~6题和往年出题风格类似，第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决．放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够．一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也和往年类似，无需多说．第11题又再次爆了冷门，考了一道复数问题．联赛已经多年没有考复数的大题了，许多学生都没有准备．可以说，这次一下戳中了学生的罩门．相信本题最终的得分率不容乐观．而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了．一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题．而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题，这无疑又让此题失色不少．今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛中的热门，在历年联赛中多有出现．考虑到本题难度并不大，放在联赛加试第一题还是非常合适的．加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极端的情况下猜出答案，再进行证明．值得全国高中数学联赛试题及解答一提的是本题题干描述有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中，记最小元素为a ，两个最大元素为b 和c ．本句话中到底是指a 、b 、c 这3个数互不相同还是指a b ≠且a c ≠，无疑是容易让人误解的．希望今后联赛试题中能避免出现这种情况．加试第四题虽说考察的是数论中的同余知识，但更多考察的是构造法技巧，这也符合联赛加试中试题综合各方面知识的出题思想．从难度上来说本题难度不算太大，只要能从较小的数开始构造并寻找规律，找出2014的构造并不显得困难．但本题的出题背景无疑和以下题目相关：“n 为给定正整数，()122,,,n x x x 和()122,,,n y y y 均为1~2n 的一个排列，则112222,,,n n x y x y x y +++这2n 个数不可能模2n 互不同余．” 总的说来，本次联赛考察的知识点和往年比差别较大，但从试卷难度来说，和前两年是相当的．预计今年联赛的分数线可能比去年略低．。
2019年全国高中数学联赛模拟试题(一)参考答案
中；
……18 '
若 x 672 ，假若 x y ，只有 y 2x ，这种数 y 也已悉数被挖去，即 y X ，因此 X 不
是好集，这种 a 也不合要求． 综上所述， a 的最大值为 671 ．
…… 20 '
将 AN 方程与椭圆方程联立，得 b2 a2k 2 x2 2a3k 2 x k 2a2 a2b2 0
xA
xN
2a3k 2 b2 a2k2
, xN
ab2 a3k 2 b2 a2k2
yN
2kab2 b2 a2k2
,
AM
a
1 k 2
…… 9 ' ……12 '
AN
ab2 a3k 2 b2 a2k2
若 X 中存在 x y, x y ，因 x 672 ， y 2016 ，则 y 3x ；
若 x 672 ，如果 x y , x y ，只有 y 2x 或者 y 3x ，此时 y 的取值只能是：
y 2 672 1344 ， 或 者 y 3 672 2016 ； 由 于
1344 2(672 0), 2016 2(672 336) ， 这 说 明 ， 这 两 个 数 已 被 挖 去 ， 不 在 集 合 X
， AM
a cos
( ) ，…… 6 ' 2
因此
AM
AN
2a2b2 b2 cos2 a2 sin2
，…… 9 '
又据 AN ∥ CD ，则点 C, D 坐标为： C( OD cos, OD sin ) ，
D( OD cos, OD sin ) ，……12'
因为 C, D 在椭圆上，则
点 A, N 的坐标为 A(a, 0), N (a cos , b sin ) ，则直线 AN 方程为
2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)
全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分）1.已知向量()()1,3,3,1AP PB ==-，则向量AP 与AB 的夹角等于 ．解一：由题设(1,3)(3,1)0AP PB ⋅=⋅-=，且||||AP PB =，故APB ∆为等腰直角三角形，从而向量AP 与AB 的夹角等于4π. 解二：因为(13,31)AB AP PB =+=-+，所以2cos ,2AB AP <>=，所以向量AP 与AB 的夹角等于4π. 2.已知集合()(){}|10A x ax a x =-->，且,3a A A ∈∉，则实数a 的取值范围是 ．解：有题设，知(21)(2)0(31)(3)0a a a a -->⎧⎨--≤⎩所以：122133a a a ⎧><⎪⎨⎪≤≤⎩或所以1132a ≤<或23a <≤3.已知复数2cossin33z i ππ2=+，其中i 是虚数单位，则32z z += ． 解：有题设32664413cosisin cos isin i 333322z z ππππ+=+++=-4.在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且212,34OM PF PF PF ⊥=，则双曲线的离心率为．答案：5．5.定义区间[]12,x x 的长度为21x x -．若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 ．答案：3.6.若关于x 的二次方程()()221200mx m x m m +--+=>的两个互异的根都小于1，则实数m 的取值范围是 ．答案：37,.4⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭7.若3tan 43x =，则sin 4sin 2sin sin cos8cos4cos4cos2cos2cos cos x x x xx x x x x x x+++= ．答案： 3.8.棱长为2的正方体ABCD -1111A B C D 在空间坐标系O -xyz 中运动，其中顶点A 保持在z 轴上，顶点1B 保持在平面xOy 上，则OC 长度的最小值是 ．答案：6 2.- 9.设数列12321,,,,a a a a 满足：()111,2,3,,20n n a a n +-==，1721,,a a a 成等比数列．若1211,9a a ==，则满足条件的不同的数列的个数为 ．答案：15099．10.对于某些正整数n ，分数2237n n ++不是既约分数，则n 的最小值是 ．答案：17. 二、解答题：（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11.设数列{}n a 满足：①11a =，②0n a >，③2*11,.1n n n na a n N na ++=∈+ 求证：（1）数列{}n a 是递增数列；（2）对如图任意正整数n ，111.nn k a k=<+∑证明：（1）因为2111111,11n n n n n n n na a a a a na na ++++++-=-=++且0n a >， 所以10n n a a +->．所以*1,.n n a a n N +>∈ 所以数列{}n a 是递增数列．（2）因为111111,1n n n n n n a a a a na na n+++++-=<=+所以当2n ≥时，()()()112211111111122111.n n n n n nk a a a a a a a a n n k ---==-+-++-+<+++++--<+∑又1111,a =<+所以对任意正整数n ，111.nn ka k=<+∑12.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，直线:30.l x y a +-=若椭圆E ，原点O 到直线l 的距离为 （1）求椭圆E 与直线l 的方程；（2）若椭圆E 上三点()(),0,,,0P A b B a 到直线l 的距离分别为123,,d d d ， 求证：123,,d d d 可以是某三角形三条边的边长． 解：（1）由题设条件得222,ca b c a =⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩，从而2,1.ab =⎧⎨=⎩故所求的椭圆22:14x E y +=．直线:60.l x y +-=（2）设()2cos ,sin P θθ，则16d -+==其中tan 2.ϕ=1d ≤≤又23d d === 故21.d d >因为231,d d d +=+>≥ 131.d d d ++=>= 所以123,,d d d 可以是某个三角形的三条边的边长．13.如图，圆O 是四边形ABCD 的内切圆，切点分别为,,,,P Q R S OA 与PS 交于点1,A OB 与PQ 交于点1B ，OC 与QR 交于点1C ，OD 与SR 交于点1D ． 求证：四边形1111A B C D 是平行四边形．OD 1C 1B 1A 1SRQPDCBA证明：连接,.PR QSBA因为圆O 是四边形ABCD 的内切圆，所以OA 是SAP ∠的平分线，且.AP AS = 在△ASP 中，由三线合一，点1A 是线段PS 的中点． 同理点1B 是线段PQ 的中点，所以11//A B SQ ．同理1111//A D B C ．所以四边形1111A B C D 是平行四边形． 14.求满足373x x y y -=-的所有素数x 和.y 解：满足题设条件的素数只有5, 2.x y == 假设5,y ≥则()736365365436543265206706152015611.y y y y y y y y y y y y y y y y y y -≥-≥+-≥++->++++++=+ 所以，()633731,x x x y y y >-=->+即()21.x y >+又因为()()()37332|111x x x y y y y y y -=-=-++，且x 为素数， 而()221111,y y y y y x -<<+<+<+<从而()()()32\|111,x y y y y -++ 这与73|x y y -矛盾．所以 5.y <因为y 是素数，所以2,y =或 3.y =当2y =时，3120x x -=，即()()255240,x x x -++=所以 5.x = 当3y =时，343216023 5.x x -==⋅⋅ 所以2,x =或3x =，或 5.x =经检验，2x =，或3x =，或5x =时，34323 5.x x -≠⋅⋅ 所以满足条件的素数只有5, 2.x y ==。
2019全国高中数学联赛试题(含答案)4
一一、填空题（本题共 10 小小题，每小小题 7 分，共 70 分．要求直接将答案写在横线上．）
1．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{ x| x－a≥1}，且 A∩ B＝{x|x≥3}，则实数
a 的值是
．
答案：2．
解：A＝{x|x≥2 或 x≤1}，B＝{ x| x≥a＋1}．又又 A∩ B＝{x|x≥3}，故 a＋1＝3，
．
673
答案：1512．
解：由 f(n＋4)－f(n)≤2(n＋1)，得
f(n＋12)－f(n)≤f(n＋12)－f(n＋8)＋f(n＋8)－f(n＋4)＋f(n＋4)－f(n)
≤2[(n＋9)＋(n＋5)＋(n＋1)]＝6(n＋5)．
又又 f(n＋12)－f(n)≥6(n＋5)，
所以 f(n＋12)－f(n)＝6(n＋5)，故 f(n＋4)－f(n)＝2(n＋1)．
A1 B1
E
D1
C1
所以体积
＝
．
又又 A1E＝2ED1，DF＝2FC，所以 CG＝1ED1＝1， 39
所以
＝
＝1×1×10×1×1＝ 5 ．
32 9
27
D A
F
B
CG
7．设 f(x)是定义在 Z 上的函数，且对于任意的整数 n，满足足 f(n＋4)－f(n)≤2(n＋1)，
f(n＋12)－f(n)≥6(n＋5)，f(－1)＝－504，则 f(2019) 的值是
8
8
10．设 f(x)＝2x3＋8x2＋5x＋9，g(x)＝2x2＋8x＋1．当 n∈ N*时，则 f(n) 与 g(n) 的最大大公因数
2019年全国高考试题数学江苏卷附答案详解
2019年全国高考试题数学江苏卷I 卷一、填空题1.已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x R =>∈，则A B = .答案：{1,6}2.已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 . 答案：23.右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 . 答案：54.函数y =的定义域是 . 答案：{1,7}-5.已知一组数据6，7，8，9，10，则该组数据的方差是 . 答案：536.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 . 答案：7107.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 .答案：y = 解析：由题知0,11692>=-b b，所以2=b，所以渐近线方程为y = 8.已知*{|()}n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和，若2340a a a +=，427S =，则n S 的值是 . 答案：169.如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是 . 答案：10解析：因为121212131313111=⨯⨯===∆∆-C C EC S S C C S ECS VV ABCD BCD ABCD BCD BCDE10120121121=⨯==-V V BCD E10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点， 则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 .答案：4解析：由题设)4,(xx x P +，0>x 所以424222422|4|=⋅≥+=++=x x x x x x x d11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(,1)e --（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 . 答案：(,1)e12.如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O ，若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 .13.已知tan 23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是 .答案：10解析： 法一32tan 1)tan 1(tan )4tan(tan -=+-=+αααπαα，解得2tan =α或31-ααααααααπα2222cos sin sin cos cos sin 22)2cos 2(sin 22)42sin(+-+=+=+102tan 1tan 1tan 2222=+-+=ααα 法二 令y x =+=4,παα，则y tan 2tan 3-=α，22)sin(=-x y 则,cos sin 2cos sin 3x y y x -=22sin cos cos sin =-x y x y解得1023sin cos ,52cos sin =-=y x y x 则102sin cos cos sin )42sin(=+=+y x y x πα 14.设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数，当(0,2]x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >，若在区间(0,9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8不同的实数根，则k 的取值范围是 .答案：1[3解析：当]2,0(∈x 时,2)1(1)(--==x x f y 等价于)0(1)1(22≥=+-y y x又)(x f 是周期为4的奇函数,可作出)(x f 在(0.9]上的图象 因为当]2,1(∈x 时,21)(-=x g 且)(x g 的周期为2由图可知:当]8,7(]6,5(]4,3(]2,1(⋃⋃⋃∈x 时, )(x f 与)(x g 的图象有2个交点 由已知, )(x f 与)(x g 的图象在区间(0,9]上有8个交点所以当]9,8(]7,6(]5,4(]3,2(]1,0(⋃⋃⋃⋃∈x 时, )(x f 与)(x g 的图象有6个交点 又当]1,0(∈x 时,)2()(+==x k x g y 表示的直线恒过定点)0,2(-A ,且斜率0>k又)(x g 的周期为2及)(x f 的图象可知:当]7,6(]3,2((⋃∈x 时, )(x f 与)(x g 的图象无交点 所以当]9,8(]5,4(]1,0(⋃⋃∈x 时, )(x f 与)(x g 的图象有6个交点 由)(x f 与)(x g 的周期性可知]1,0(∈x 时, )(x f 与)(x g 的图象有2个交点如图,当线段)10)(2(≤<+=x x k y 与圆弧)10,0(1)1(22≤<≥=+-x y y x 相切时8111|3|22=⇒=+=k k k d 又0>k .所以42=k (此时恰有1个交点) 当线段)10)(2(≤<+=x x k y 过点B(1、1)时,31==AB k k (此时恰有2个交点) 结合图形分析可知:k 的取值范围是)42,31[ 二、解答题15.在ABC D 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .（1）若3a c =，b =2cos 3B =，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B p+的值. 解答：（1）22222222cos 292363b ac ac B c c c c c c=+-?+-创??（2）sin cos cos sin 22A B BB a b ===，sin()cos 2B B p +==16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =.求证：（1）11//A B 平面1DEC ； （2）1BE C E ^. 解答：（1）证明：“直三棱柱111ABC A B C -，∴四边形11ABB A 是平行四边形，∴11//A B AB又∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点，//DE AB ，∴11//A B DE ， 又DE Ì平面1DEC ，111A B DEC Ë， ∴11//A B 平面DEC .（2）证明：∵直三棱柱111ABC A B C -，.∴1AA ^平面ABC ，又∵BE Ì平面ABC ，∴1AA BE ^，又∵AB BC =，E 是AC 的中点，∴AC BE ^，∵1AC AA A =I ，AC Ì平面11ACC A ，1AA Ì平面11ACC A ， ∴BE ^平面11ACC A ，又1EC Ì平面11ACC A ，∴1BE C E ^.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为(1,0)F -，2(1,0)F .过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AG ，并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连结DF .已知152DF =. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标.解：(1)设椭圆C 的焦距为2c因为F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c=1.又因为DF 1=25,AF 2⊥x 轴,所以23221212=-=F F DF DF 因此2a=DF 1+DF 2=4,从而a=2;由b 2=a 2-c 2,得b 2=3因此,椭圆C 的标准方程为13422=+y x (2)解法一 由(1)知,椭圆13422=+y x ,a=2 因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4因为点A 在x 轴上方,所以A(1,4);又F 1(-1,0),所以直线AF 1:y=2x+2由⎩⎨⎧=+-+=16)1(2222y x x y 得5x 2+6x-11=0,解得x=1或511-=x 将511-=x 代入22+=x y ,得 512-=y ,因此)512,511(--B 又F 2(1,0),所以直线BF 2:)1(43--=x y由()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=13414322y x x y ，得013672=--x x ，解得1-=x 或713=x ，又因为E 是线段2BF 与椭圆的交点，所以1-=x ,将1-=x 代入)1(43-=x y ，得23-=y ，因此，⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,1E解法二 由（1）知，椭圆13422=+y x ，如图，连接1EF 因为a BF 22=,a EF EF 221=+ ,所以EB EF =1,从而.1B E BF ∠=∠因为B F A F 22=,所以B A ∠=∠,所以E BF A 1∠=∠,从而A F EF 21// , 因为x AF ⊥2轴,所以x EF ⊥1轴;因为()0,11-F ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x x ，得23±=y ，又因为E 是线段2BF 与椭圆的交点，所以.23-=y 因此得又因为E 是线段BF2与椭圆的交点,所以3因此E(-1,-),由⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,1E 18.如图、一个湖的边界是圆心为O 的绩、湖的一侧有一条直线型公路l 、湖上有桥AB （AB 是湖O 的直径）、规划在公路l 上选两个点P 、Q 、并修建两段直线的道路PB 、QA 、规划要求：线段PB 、QA 上的所有点O 的距离不小于圆O 的半径，已知点A ，8到直线l 的距离分为AC 和BD （C ，D 为垂足）（单位：百米）（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明雅由： （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点简的距离. 解答：解法一 (1)过A 作AE⊥B D,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8 因为PB⊥AB,所以os∠PBD=sin∠ABE=54108==,所以15cos =∠=PBDBD PB 因此道路PB 的长为15(百米)(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B.E)到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求若Q 在D 处,连结AD,由(1)知1022=+=ED AE AD ,从而0257AB 2AD cos 222>=⋅-+=∠ BD AB AD BAD所以∠BAD 为锐角所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,因此Q 选在D 处也不满足规划要求 综上,P 和Q 均不能选在D 处 (3)先讨论点P 的位置当∠OBP<90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求; 当∠OBP≥90°时,对线段PB 上任意一点F,OF≥OB,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求 设1P 为l 上一点,且P 1B⊥AB由(1)知.P 1B=15.此时PD=P 1 B sin P 1BD=P 1Bcos∠EBA=95315=⨯ 当∠OBP>90°时,在△PP 1B 中.PB>P 1B=15 可知,d≥15再讨论点Q 的位置由(2)知,要使得15≥QA ,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求 当QA=15时,21322=-=AC QA CQ ,此时,线段QA 上所有点到O 的距离均不小于圆O 的半径 综上,当PB⊥AB,点Q 位于点C 右侧,且213=CQ 时,d 最小, 此时PQ 两点间的距离21317+=++=CQ CD PD PQ 因此, d 最小时,PQ 两点间的距离为21317+ (百米) 解法二 (1)如图,过O 作OH⊥l ,垂足为H以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l 的方程为9=y ,点A.B 的纵坐标分别为3，-3 因为AB 为圆O 的直径,AB=10.所以圆O 的方程为25y x 22=+ 从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB 的斜率为43 因为PB⊥AB,所以直线PB 的斜率为34-直线PB 的方程为32534--=x y所以P(-13,9),153)(94)(-1322=+++=PB因此道路PB 的长为15(百米)(2)①若P 在D 处,取线段BD 点一点)0,4(-E ,则EO=4<5,故P 选在D 处不满足规划要求 ②若Q 在D 处,连结AD,由(1)知D(-4,9) A(4,3),所以线段AD:)44(643≤≤-+-=x x y 在线段AD 上取点)415,3(M ，因为543)415(32322=+<+=OM所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,因此Q 选在D 处也不满足规划要求综上,P 和Q 均不能选在D 处 (3)先讨论点P 的位置当∠OBP<90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求; 当∠OBP≥90°时,对线段PB 上任意一点F 、OF≥OB,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求设1P 为l 上一点,且P 1B⊥AB ,由(1)知.P 1B=15.此时PD=P 1 B sin P 1BD=P 1Bcos∠EBA=95315=⨯ 当∠OBP>90°时,在△PP 1B 中.PB>P 1B=15 可知,d≥15再讨论点Q 的位置由(2)知,要使得15≥QA ,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求 当QA=15时,21322=-=AC QA CQ ,此时,线段QA 上所有点到O 的距离均不小于圆O 的半径 综上,当PB⊥AB,点Q 位于点C 右侧,且213=CQ 时,d 最小, 此时PQ 两点间的距离21317+=++=CQ CD PD PQ 因此, d 最小时,PQ 两点间的距离为21317+ (百米) 19.设函数))()(()(c x b x a x x f ---=，)('x f 为()f x 的导函数. （1）若a b c ==，(4)8f =，求a 的值；（2）若a b ¹，b c =，且()f x 和()f x ¢的零点均在集合{3,1,3}-中，求()f x 的极小值； （3）若0a =，01b <?，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M <. 解答：（1）易知3()()f x x a =-，由8)4(=f 解得4=a . （2）易知2()()()f x x a x b =--， )32)((3)('ba xb x x f +--= 令0)('=x f 得32,ba xb x +== 由}3,1,3{32,,-∈+b a b a 易知213a b+=，则3a =，3b =-， 则2()(3)(3)f x x x =-+，=)('x f 3(3)(1)f x x x ¢=+-，0)('=x f 得1,3-=x所以()f x 的极小值为(1)32f =-（3）可知()(1)()f x x x x b =--，b x b x x f ++-=)1(23)('2因为10≤<b ，所以03)12(2>+-=∆b所以)('x f 有两个不同的零点，设为)(,,2121x x x x <311,3112221+-++=+--+=b b b x b b b x所以)(x f 的极大值)(1x f M = 法一：121311)1()(bx x b x x f M ++-==9)1(9)1(2)913)()1(23(121121+++-+-++-=-b b x b b b x b x b x322)1(2729)1(27)1)(1(2++++++-=--b b b b b b b322)1(27227)1()1(227)1(+++-++=-b b b b b b27427227)1(≤++≤b b 法二：因为10≤<b ，所以)1,0(1∈x当)1,0(1∈x 时，2)1()1)(()(-≤--=x x x b x x x f 令2)1()(-=x x x g ，)1,0(1∈x ，)1)(31(3)('--=x x x g 由0)('=x g 得31=x所以31=x 时，)(x g 的极大值即最大值274)31()(max ==g x g所以)1,0(∈x 时，274)()(≤≤x g x f ，因此274≤M 法三：①当1b =时，2()(1)f x x x =-， =)('(31)(1)f x x x ¢=--，此时易知14()327M f ==，成立； ②当01b <<时；32()(1)f x x b x bx =-++，=)('x f 2()32(1)f x x b x b ¢=-++，由于(0)0f b ->，031)31('<-=b f ，01)1('>-=b f (1)10f b ¢=->， 则存在121013x x <<<<，0)(')('21==x f x f ，且易知1()M f x =， 由=)('x f 221111132()32(1)021x x f x x b x b x -¢=-++=?-， 则223232111121111111113232()(1)(1)2121x x x x M f x x b x bx x x x x x --==-++=-++--22111(1)12x x x -=-， 令1112(,1)3t x =-?，则22422111(1)12111(2)121616x x t t t t x t t--+==-+-.令211()(2)16g t t t t =-+，1(,1)3t Î，)('t g 2221(31)(1)()(0)16t t g t t --¢=<， 则14()()327g t f <=，则427M <； 综上可知427M <成立，证毕. 20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列*{}()n a n N Î满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M 一数列”；（2）已知数列*{}()n b a N Î满足：11b =，1122n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和. ①求数列{}n b 的通项公式：②设m 为正整数，若存在“M －数列”*{}()n c n N Î、对任意正整数k 、当k m £时，都有1k kk c b c +＃成立，求m 的最大值.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k kq k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立． 因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分． 解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-13； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na =+*,ab ∈N ，求223a b -的值.本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24n n n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n =02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-． 因为*,a b ∈N，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=⨯-=-=-． 23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12．X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======． （2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =≤因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB ，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。
2019年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品
各省数学竞赛汇集高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为，则直线的斜率为___12____.6、已知a 是正实数，lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为____________.8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.（*n N ∈）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b C c B a +=（2）22sin cos cos 2C A Ba bc+=+12、已知,a b为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
2019年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题Word版含答案
2019年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）1.若数列{}n a 满足*+∈+==N n a a a a n n n ,232,2111，则2017a 的值为 ． 2.若函数()()()b ax x x x f ++-=221对于任意R x ∈都满足()()x f x f -=4，则()x f 的最小值是 ．3.在正三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别是侧棱11,CC BB 上的点，BD BC EC 2==，则截面ADE 与底面ABC 所成的二面角的大小是 ．4.若13cos 2cos cos 3sin 2sin sin =+x x x x x x ，则=x ．5. 设y x ,是实数，则9422244+++y x y x 的最大值是 ． 6. 设 ,3,2,1,,,2121=+++=∈+++=*m a a a S N n n a m m n ,则201721,,,S S S 中能被2整除但不能被4整除的数的个数是 ．7. 在直角平面坐标系xOy 中，21,F F 分别是双曲线()01222>=-b b y x 的左、右焦点，过点1F 作圆122=+y x 的切线，与双曲线左、右两支分别交于点B A ,，若AB B F =2，则b 的值是 ．8. 从正1680边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形，其中正多边形的个数为 ．二、解答题9.已知R y x ∈,，且y x y x ≠=+,222，求()()2211y x y x -++的最小值. 10.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆13:22=+y x C 的上顶点为A ，不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，且.0=⋅（1）直线l 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.（2）过Q P ,两点分别作椭圆的切线，两条切线交于点B ，求BPQ ∆面积的取值范围.11.设函数().!1!2112n n x n x x x f ++++= （1）求证：当()*∈+∞∈N n x ,,0时，()x f e n x >；（2）设*∈>N n x ,0，若存在R y ∈使得()()y n n x e x n x f e 1!11+++=，求证：.0x y <<2019年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题参考答案与评分标准加试1. 已知圆O 的内接五边形ABCDE 中AD 与BE 相交于点CF F ,的延长线交圆O 于点P ，且.ED BC CD AB ⋅=⋅求证：.AE OP ⊥2.设y x ,是非负实数，22,+++=+=y x b y x a ，若b a ,是两个不相邻的整数，求b a ,的值，3.平面上n 2个点()N n n ∈>,1，无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意12+n 条线段染成红色.求证：三边都为红色的三角形至少有n 个.4.设n 为正整数，nn b a n =++++131211 ， 其中n n b a ,为互素的正整数，对素数p ，令集合{}n p a p N n n S ,*∈=， 证明：对每一个素数5≥p ，集合p S 中至少有三个元素.2019年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题答案 1.30261 2. 16- 3. 045 4.Z k k ∈,π 5.146.2527.1 二、解答题9.解：因为222=+y x ，所以()()422=-++y x y x ， 所以()()()()()()()222222114111y x y x y x y x y x y x -++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-++ ().111412=+≥ 当0,2==y x 时，()().11122=-++y x y x 所以()()2211y x y x -++的最小值为.1 10.解：（1） 因为0=⋅，所以.⊥直线AQ AP ,与x 轴平行时，P 或Q 与A 重合，不合题意.设1:+=kx y PA ，则.11:+-=x k y QA 将1+=kx y 代入3322=+y x ，得().063122=++kx x k 所以2262, 1.1313P P k x y k k =-=-++ 同理.361,3622+-=+=k y k k x Q Q所以，直线:P P Q P Q P y y x x l y y x x --=--,即()()()()()()k x k k x k y k y k l Q Q 63163121312131:2222++++=-++-++， 化简得.2141:2--=x k k y l 直线l 纵截距是常数21-，故直线l 过定点.21,0⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2）由 （1） ，223116k k k AP ++=，同理，.31622++=k k AQ 所以 ()()()()()()()()222222222222222223313131363131136+++++⋅+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⋅+=k k k k k k k k k k PQ()()().3103115151362242462++++++=k k k k k k 不妨设0>k ，令k k t 1+=，则2≥t ，可化得()()22222431236++=t t t PQ ， 即 .4312622++=t t t PQ 设()00,y x B ，则切点弦PQ 的方程是3300=+y y x x ，又Q P ,在2141:2--=x k k y l 上，所以20-=y ， 从而().21320kk x -= 所以B 到PQ 的距离.122316121213222222+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t k k k k d 因此的面积().43294312612232121232222+=++⨯+⨯=⨯⨯=t t t t t t t PQ d S 令t u 1=，则210≤<u ，化得().34293u u S +=当210≤<u 时，u u 343+递增， 所以23403≤+<u u ，即49≥S ，当且仅当21=u ，即1,2==k t 时，等号成立， 故BPQ ∆的面积S 的取值范围是.,49⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞ 11.解： （1） 用数学归纳法证明如下：（ⅰ）当1=n 时，令()()11--=-=x e x f e x f x x ，则()()+∞∈>-=',0,01x e x f x 恒成立， 所以()x f 在区间()+∞,0为增函数，又因为()00=f ，所以()0>x f ，即().1x f e x >（ⅱ）假设k n =时，命题成立，即当()+∞∈,0x 时，()x f e k x >，则1+=k n 时，令()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++-=-=++121!11!1!211k k x k x x k x k x x e x f e x g ， 则()()0!1!2112>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-='x f e x k x x e x g k x k x ，所以()x g 在区间()+∞,0为增函数， 又因为()00=g ，所以()()+∞∈>,0,0x x g 恒成立，即()()+∞∈>+,0,1x x f e k x ，所以1+=k n 时，命题成立.由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设可知，*∈∀N n ，当()+∞∈,0x 时，().x f e n x > （2）由（1）可知()x f e n x 1+>，即()()()()11!11!11++++>++n n y n n x n x f e x n x f ， 所以1>y e ，即0>y ，下证：.x y < 下面先用数学归纳法证明：当().,!1!11!211,012*-∈+-++++<>N n e x n x n x x e x x n n x （ⅰ）当1=n 时，令()xx e xe x F -+=1，则()()+∞∈>=',0,0x xe x F x ， 所以()x F 在区间()+∞,0单调增，又()00=F ，故()0>x F ，即.1x x xe e +<（ⅱ）假设k n =时，命题成立，即当()+∞∈,0x 时，().!1!11!21112k k k x e x k x k x x e +-++++<- 则当1+=k n 时，令()()x x k k e e x k x k x x x G -++++++=+12!11!1!211 ， ()()()0!11!11!1!211112>+>-++++++='++x k x x k x k e x k e e x k e x k x x x G ， 所以()x G 在区间()+∞,0上为增函数，又()00=G ，故()0>x G ，即()()+∞∈++++++<+,0,!11!1!21112x e x k x k x x e x k k x . 由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设，可知当()+∞∈,0x 时，(),!11!1!21112x n n x e x n x n x x e +++++++< 对*∈N n 成立， 所以()()x n n y n n x e x n x n x x e x n x n x x e 1212!11!1!211!11!1!211++++++++<++++++= ， 从而x y e e <即x y <，证毕.复赛加试答案1.证明：连接.,PE PA因为五边形ABCDE 内接于圆O ，所以EDF ABF DEF BAF ∠=∠∠=∠,,所以EDF ABF ∆∆~, 所以.FDFB ED AB = ① 同理，BFPF BC PE =, ② .PFDF PA DC = ③ 由①⨯②⨯③得.1=⋅⋅PADC BC PE ED AB 因为ED BC CD AB ⋅=⋅,所以.1=⋅ED DC BC AB 所以PA PE =，即点P 是弧AE 的中点，所以.AE OP ⊥2.解：因为b a ,是不相邻的整数， 所以()()()y y x x y x y x a b -++-+=+-+++=-≤22222 .32222222222<=+≤+++++=y y x x 由于a b -是整数，所以.2=-a b设Z n n b n a ∈+=-=,1,1，即122,1+=+++-=+n y x n y x ， 则122,1+=+-+--=--n y x y x n y x y x ， 则122,1+-=+-+--=-n y x y x n y x y x ， 于是1122,112+-++=+--+-=n y x n x n y x n x ， 从而()()()()()()y x n x n y x n x n -++=++-+-=-221212,112， 故()().2121++=+-x n n x n 又因为()().2222=-+x x ① 令x t =，得()1212++-=+n n t n x ，代入①得 ()()01212222=-----n n t n n nt ， 于是()()()()()()n n n n n n n n n n n n n n t x 221141281412222-+±-=--+-±-==， ()()()nn n n n n x n y 22111-+±-=--=， 因此，2≥n ，并且()()()211-+≥-n n n n n ，即0122≤--n n ，解之得2121+≤≤-n ，从而212+≤≤n ，且Z n ∈，故.2=n所以.3,1==b a3. 证明：首先证明一定存在红色三角形（三边均为红色的三角形为红色三角形，下同）. 设从顶点A 出发的红色线段最多，由A 引出的红色线段为k AB AB AB ,,,21 ，则.1+≥n k若k B B B ,,21 中存在两点，不妨设为21,B B 使线段21B B 为红色线段，则21B AB ∆为红色三角形，若k B B B ,,,21 相互之间没有红色线段相连，则从()k i B i ,,2,1 =出发的红色线段最多有k n -2条，所以这n 2个点红色线段最多有()()[]()().142212221222+<=-+≤-=--+-+n n k n k k n k k n k n k k 与题设矛盾，所以存在以A 为顶点的红色三角形，下面用数学归纳法证明，（1）当2=n 时，平面上有四个点D C B A ,,,中两两连线共有6条，其中有5条为红色，只有一条非红色，设为,AB则ACD ∆与BCD 均为红色三角形，命题成立，（2）假设k n =时，命题成立，即至少存在k 个红色三角形，当1+=k n 时，有22+k 个点，且有()112++k 条红色线段， 一定存在一个红色三角形，设为.ABC ∆考察从C B A ,,引出的红色线段分别记为()()()C d B d A d ,,条，不妨设()()().C d B d A d ≤≤ 若()()22+≤+k B d A d ，则除去点B A ,余下的k 2个点之间至少有()()11211222+=+-++k k k ,由归纳假设可知存在至少k 个红色三角形，再加上ABC ∆至少有1+k 个红色三角形，若()()32+≥+k B d A d ，则()()()53+≥++k C d B d A d ,故从C B A ,,出发向其它12-k 个点引出红色线段至少有13-k 条，因为()().1213k k k =---这()13-k 线段至少有k 对线段有公共点（不包括C B A ,,）故至少存在k 个红色三角形，再加上ABC ∆，则至少有1+k 个红色三角形，所以1+=k n 时命题也成立，由（1）（2）可知，当N n n ∈>,1时，n 2点之间的12+n 条红色线段至少可组成n 个红色三角形.4.证明：引理：设5≥p 为素数，k 为非负整数，令k k s t p kp kp kp =-++++++112111 ， 其中k k s t ,为互素的正整数，那么.2k t p引理的证明： 因为()()()∑∑∑-=-=-=-++⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=+=111111*********p i p i p i k k i p kp i kp p k i p kp i kp i kp S t , 令()()∑-=-++=111p i i p kp i kp A , 因为素数5≥p ，由Fermat 小定理，以及()()p p k k k mod 0121≡-+++ ,其中 21-≤≤p k ，有()()()()A p kp kp kp p 1121--+++ ()()()()()()()∑∑-=---=--≡-++-+++=1122111121p i p p p i p i p i i p kp i kp p kp kp kp ().mod 01131142p i ip i p p i p ≡-≡-≡∑∑-=--=- 所以()()()()().1211*-∈=-+++N M pM A p kp kp kp p 即()()()()().12121212--++++=p k k p kp kp kp M p k S t 因为()()()()()11212,1=-+++-p p kp kp kp p ， 所以k t p 2，引理证毕， 由引理得，12-p a p ，所以1-p a p ， 从而()p S p p ∈-1，又∑∑∑∑∑-=---=-=-=-=--+⋅=++==1011101111112121111112p k k k p p p k p i p i p i p p s t b a p i kp i p i b a ， 因为k p t p a p 212,-，所以12-p a p从而.12p S p ∈-因为()1112-<-<-p p p p ，所以集合p S 中元素至少有3个.。
2019年全国高中数学联赛江苏赛区预赛市选试题及参考答案
2019年年全国⾼高中数学联赛江苏赛区市级选拔赛参考答案与评分细则⼀一、填空题（本题共10⼩小题，每⼩小题7分，共70分．要求直接将答案写在横线上．）1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ＝{x |x －a ≥1}，且A ∩B ＝{x |x ≥3}，则实数a 的值是．答案：2．解：A ＝{x |x ≥2或x ≤1}，B ＝{x |x ≥a ＋1}．⼜又A ∩B ＝{x |x ≥3}，故a ＋1＝3，解得a ＝2．2．已知与三条直线x ＋y ＝1，x ＋ay ＝2，x ＋2y ＝3都相切的圆有且只有两个，则所有可能的实数a 的值的和为．答案：3．解：由题意知，这三条直线中恰有两条平⾏行行时符合题意，故a ＝1或2，从⽽而实数a 的值的和为3．3．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不不同的数，并从⼩小到⼤大排成⼀一数列列，此数列列为等⽐比数列列的概率为．答案：121．解：满⾜足条件的等⽐比数列列共有4个：1，2，4；1，3，9；2，4，8；4，6，9．故所求概率P ＝4C 39＝121．4．设a ，b ∈[1，2]，则a 2＋b 2ab的最⼤大值是．答案：52．解：因为a ，b ∈[1，2]，所以(2a －b )(a －2b )≤0，展开得a 2＋b 2≤52ab ，即a 2＋b 2ab ≤52．且当a ＝1，b ＝2，或a ＝2，b ＝1时，a 2＋b 2ab ＝52，所以a 2＋b 2ab的最⼤大值为52．5．在矩形ABCD 中，AC ＝1，AE ⊥BD ，垂⾜足为E ，则(AD →·AE →)(CB →·CA →)的最⼤大值是．答案：427．解：如图，设∠CAB ＝θ，AC ＝1，AE ⊥BD ，AB则AB ＝cos θ，AD ＝sin θ，AE ＝sin θcos θ，于是(AD →·AE →)(CB →·CA →)＝sin 2θ·cos 2θ·sin 2θ＝12sin 2θ·2cos 2θ·sin 2θ≤12(sin 2θ＋2cos 2θ＋sin 2θ3)3＝427，等号当且仅当sin 2θ＝2cos 2θ，即tan θ＝2时成⽴立，故最⼤大值为427．6．在棱⻓长为1的正⽅方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 在A 1D 1上，点F 在CD 上，A 1E ＝2ED 1，DF ＝2FC ，则三棱锥B －FEC 1的体积是．答案：527．解：如图，过F 作EC 1的平⾏行行线交BC 的延⻓长线于G ，则FG ∥平⾯面BEC 1．从⽽而G 与F 到平⾯面BEC 1的距离相等，所以体积＝．⼜又A 1E ＝2ED 1，DF ＝2FC ，所以CG ＝13ED 1＝19，所以＝＝13×12×109×1×1＝527．7．设f (x )是定义在Z 上的函数，且对于任意的整数n ，满⾜足f (n ＋4)－f (n )≤2(n ＋1)，f (n ＋12)－f (n )≥6(n ＋5)，f (－1)＝－504，则f (2019)673的值是．答案：1512．解：由f (n ＋4)－f (n )≤2(n ＋1)，得f (n ＋12)－f (n )≤f (n ＋12)－f (n ＋8)＋f (n ＋8)－f (n ＋4)＋f (n ＋4)－f (n )≤2[(n ＋9)＋(n ＋5)＋(n ＋1)]＝6(n ＋5)．⼜又f (n ＋12)－f (n )≥6(n ＋5)，所以f (n ＋12)－f (n )＝6(n ＋5)，故f (n ＋4)－f (n )＝2(n ＋1)．因此f (2019)＝(f (2019)－f (2015))＋(f (2015)－f (2011))＋…＋(f (3)－f (－1))＋f (－1)＝2(2016＋2012＋…＋4＋0)－504＝2020×504－504＝2019×504．所以f (2019)673＝1512．8．函数f (x )＝x 2＋xx 2－3的值域是．A 1C DAEBD 1B FC 1G答案：(32，＋∞)．解：原函数的定义域是(－∞，－3］∪［3，＋∞)．当x ∈［3，＋∞)时，函数f (x )＝x 2＋xx 2－3为增函数，所以f (x )≥3；当x ∈(－∞，－3］时，f (x )＝x 2＋x x 2－3＝x (x ＋x 2－3)＝3xx －x 2－3＝31+1－3x2，因为x ∈(－∞，－3］，所以1≤1＋1－3x 2＜2，32＜31+1－3x 2≤3．故原函数的值域是(32，＋∞)．9．已知△ABC 中，AC ＝8，BC ＝10，32cos(A －B )＝31，则△ABC 的⾯面积是．答案：157．解：由正弦定理理，得10sin A ＝8sin B ＝2sin A －sin B ＝18sin A +sin B，由32cos(A －B )＝31，可得tanA +B2＝9tan A －B 2＝9·1－cos(A －B )1＋cos(A －B )＝9·163＝37，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝2tanA ＋B 21＋tan 2A ＋B2＝378，即△ABC 的⾯面积S ＝157．另解：由题设知，∠BAC ＞∠B ，作∠BAD ＝∠B ，D 在线段BC 上．则∠CAD =∠A －∠B ．设AD ＝x ，则BD ＝x ，DC ＝10－x ，由余弦定理理，得(10－x )2＝x 2＋64－2×8x ×3132，解得x ＝8，则DC ＝10－x ＝2，由此可得cos C ＝18，sin C ＝378，则△ABC 的⾯面积S ＝157．10．设f (x )＝2x 3＋8x 2＋5x ＋9，g (x )＝2x 2＋8x ＋1．当n ∈N *时，则f (n )与g (n )的最⼤大公因数(f (n )，g (n ))的最⼤大值为．答案：55．ABC Dx解：(f (n )，g (n ))＝(2n 3＋8n 2＋5n ＋9，2n 2＋8n ＋1)＝(4n ＋9，2n 2＋8n ＋1)＝(4n ＋9，2n 2－17)＝(4n＋9，4n 2－34)＝(4n ＋9，－9n －34)＝(4n ＋9，－n －16)＝(55，n ＋16)≤55．当n ＝39时，(55，n ＋16)＝(55，55)＝55．因此(f (n )，g (n ))的最⼤大值为55．⼆二、解答题（本⼤大题共4⼩小题，每⼩小题20分，共80分）11．在平⾯面直⻆角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－9＝1(a ＞3)．（1）过椭圆C 的左焦点，且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若MN ＝9，求实数a 的值；（2）若直线l ：xa ＋y a －3＝1与椭圆C 交于A ，B 两点，求证：对任意⼤大于3的实数a ，以AB 为直径的圆过定点，并求定点坐标．解：（1）记椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－9＝1的左焦点为F ，则点F 的横坐标为－3．因为过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，MN ＝9，所以M (－3，92)，N (－3，－92)，……………………5分从⽽而9a 2＋814(a 2－9)＝1．解得a 2＝36或a 2＝94．因为a ＞3，所有a ＝6．……………………10分（2＋y a －3＝1，＋y 2a 2－9＝1得A (a ，0)，B (－3，a 2－9a)．……………………15分从⽽而以AB 为直径的圆的⽅方程为(x －a )(x ＋3)＋y (y －a 2－9a )＝0，即(x ＋y ＋3)a 2－(x 2＋3x ＋y 2)a－9y ＝0．由＋y ＋3＝0，2＋3x ＋y 2＝0，9y ＝0，＝－3，＝0．故以AB 为直径的圆过定点(－3，0)．……………………20分12．在数列列{a n }中，已知a 1＝1p ，a n ＋1＝a n na n ＋1，p ＞0，n ∈N *．（1）若p ＝1，求数列列{a n }的通项公式；（2）记b n ＝na n ．若在数列列{b n }中，b n ≤b 8(n ∈N *)，求实数p 的取值范围．解：（1）因为a n ＋1＝a n na n ＋1，a 1＝1p ＞0，故a n ＞0，1a n ＋1＝1a n＋n ，因此1a n ＝(n －1)＋(n －2)＋…＋1＋p ＝n 2－n ＋2p 2，即a n ＝2n 2－n ＋2p ．因为p ＝1，所以a n ＝2n 2－n ＋2．……………………5分（2）b n ＝na n ＝2nn 2－n ＋2p ．……………………10分在数列列{b n }中，因为b n ≤b 8(n ∈N *)，所以b 7≤b 8，b 9≤b 8≤828＋p，≤828＋p ，解得28≤p ≤36．……………………15分⼜又b n ＝2nn 2－n ＋2p ＝2n ＋2p n －1，且7＜56≤2p ≤72＜9，所以b n 的最⼤大值只可能在n ＝7，8，9时取到．⼜又当28≤p ≤36时，b 7≤b 8，b 9≤b 8，所以b n ≤b 8．所以满⾜足条件的实数p 的取值范围是[28，36]．……………………20分13．如图，在凸五边形ABCDE 中，已知∠ABC ＝∠CDE ＝∠DEA ＝90°，F 是边CD 的中点，线段AD ，EF 相交于点G ，线段AC ，BG 相交于点M ．若AC ＝AD ，AB ＝DE ，求证：BM ＝MG ．证明：因为AC ＝AD ，F 是边CD 的中点，连AF ，则AF ⊥CD ．⼜又∠CDE ＝∠DEA ＝90°，故四边形AEDF 是矩形．……………………5分ABCDEF MG（第13题图）所以△ACF ≌△ADF ≌△EFD ．因此∠EFD ＝∠ACF ，从⽽而EF ∥AC ．……………………10分⼜又因为AB ＝DE ，所以△ACB ≌△EFD ，因此△ACB ≌△ACF ，故AB =AF ，CB =CF ．连BF ，BF 交AC 于N ，AC 垂直平分线段BF ，BN ＝NF ．………15分线段AC ，BG 相交于点M ，因为EF ∥AC ，由平⾏行行截割定理理，BM ＝MG ．……………………20分14．如图，P k (k ＝1，2，3，…，100)是边⻓长为1的正⽅方形ABCD 内部的点．E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，记d 1＝∑100k =1EP k ，d 2＝∑100k =1FP k ，d 3＝∑100k =1GP k ，d 4＝∑100k =1HP k ．证明：d 1，d 2，d 3，d 4中⾄至少有两个⼩小于81．证明：如图建⽴立坐标系，以点F ，H 为焦点作经过点A 的椭圆．由对称性，正⽅方形ABCD 为椭圆的内接正⽅方形．P k (k =1，2，3，…，100)在正⽅方形ABCD 内部，则也在椭圆内部．……………………5分椭圆⻓长轴⻓长2a ＝AH ＋AF ＝1+52＜1.62，延⻓长HP k 交椭圆于点Q k ，连FQ k ，则HP k ＋FP k ＜HP k ＋P k Q k ＋FQ k ＝HQ k ＋FQ k ＜1.62，其中k ＝1，2，3，…，100．………………15分所以d 2＋d 4＝∑100k =1HP k ＋∑100k =1FP k ＝∑100k =1(HP k ＋FP k )＜162，所以min{d 2，d 4}＜81．同理理min{d 1，d 3}＜81．所以d 1，d 2，d 3，d 4中⾄至少有两个⼩小于81．……………………20分BACDFHG E P 1P 100P k（第14题图）ABCDEF MG（第13题图）N。
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2019年年全国⾼高中数学联赛江苏赛区市级选拔赛参考答案与评分细则
⼀一、填空题（本题共10⼩小题，每⼩小题7分，共70分．要求直接将答案写在横线上．）1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ＝{x |x －a ≥1}，且A ∩B ＝{x |x ≥3}，则实数a 的值是．
答案：2．
解：A ＝{x |x ≥2或x ≤1}，B ＝{x |x ≥a ＋1}．⼜又A ∩B ＝{x |x ≥3}，故a ＋1＝3，
解得a ＝2．
2．已知与三条直线x ＋y ＝1，x ＋ay ＝2，x ＋2y ＝3都相切的圆有且只有两个，则所有可能的实数a 的值的和为．
答案：3．
解：由题意知，这三条直线中恰有两条平⾏行行时符合题意，故a ＝1或2，
从⽽而实数a 的值的和为3．
3．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不不同的数，并从⼩小到⼤大排成⼀一数列列，此数列列为等⽐比数列列的概率为．答案：121
．
解：满⾜足条件的等⽐比数列列共有4个：1，2，4；1，3，9；2，4，8；4，6，9．
故所求概率P ＝4C 39＝1
21
．
4．设a ，b ∈[1，2]，则
a 2＋
b 2
ab
的最⼤大值是．
答案：52
．
解：因为a ，b ∈[1，2]，所以(2a －b )(a －2b )≤0，展开得a 2
＋b 2
≤5
2ab ，即a 2＋b 2ab ≤52
．
且当a ＝1，b ＝2，或a ＝2，b ＝1时，a 2＋b 2ab ＝52，所以a 2＋b 2ab
的最⼤大值为5
2．
5．在矩形ABCD 中，AC ＝1，AE ⊥BD ，垂⾜足为E ，则(AD →·AE →)(CB →·CA
→
)的最⼤大值是．
答案：427
．
解：如图，设∠CAB ＝θ，AC ＝1，AE ⊥BD ，
A
B
D
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则AB ＝cos θ，AD ＝sin θ，AE ＝sin θcos θ，于是(AD →·AE →)(CB →·CA →
)＝sin 2θ·cos 2θ·sin 2θ
＝1
2
sin 2θ·2cos 2θ·sin 2θ≤12(sin 2θ＋2cos 2θ＋sin 2θ3
)3＝427，等号当且仅当sin 2θ＝2cos 2θ，即tan θ＝2时成⽴立，故最⼤大值为4
27
．
6．在棱⻓长为1的正⽅方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 在A 1D 1上，点F 在CD 上，A 1E ＝2ED 1，DF ＝2FC ，则三棱锥B －FEC 1的体积是．
答案：527
．
解：如图，过F 作EC 1的平⾏行行线交BC 的延⻓长线于G ，
则FG ∥平⾯面BEC 1．
从⽽而G 与F 到平⾯面BEC 1的距离相等，所以体积
＝
．
⼜又A 1E ＝2ED 1，DF ＝2FC ，所以CG ＝13ED 1＝1
9，
所以
＝
＝13×12×109×1×1＝5
27
．7．设f (x )是定义在Z 上的函数，且对于任意的整数n ，满⾜足f (n ＋4)－f (n )≤2(n ＋1)，f (n ＋12)－f (n )≥6(n ＋5)，f (－1)＝－504，则f (2019)
673
的值是．
答案：1512．
解：由f (n ＋4)－f (n )≤2(n ＋1)，得
f (n ＋12)－f (n )≤f (n ＋12)－f (n ＋8)＋f (n ＋8)－f (n ＋4)＋f (n ＋4)－f (n )
≤2[(n ＋9)＋(n ＋5)＋(n ＋1)]＝6(n ＋5)．
⼜又f (n ＋12)－f (n )≥6(n ＋5)，
所以f (n ＋12)－f (n )＝6(n ＋5)，故f (n ＋4)－f (n )＝2(n ＋1)．
因此f (2019)＝(f (2019)－f (2015))＋(f (2015)－f (2011))＋…＋(f (3)－f (－1))＋f (－1)
＝2(2016＋2012＋…＋4＋0)－504＝2020×504－504＝2019×504．
所以
f (2019)
673
＝1512．8．函数f (x )＝x 2＋x
x 2－3的值域是
．
A 1
C D
A
E
B
D 1
B F
C 1
G。