关于高级初中中学数学 勾股定理
初中数学 如何使用勾股定理计算三角形的面积
初中数学如何使用勾股定理计算三角形的面积
勾股定理是一个三角形的重要定理，它可以帮助我们计算三角形的边长和面积。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。
以下是使用勾股定理计算三角形面积的方法：
假设已知一个直角三角形ABC，其中直角边为AB，斜边为AC，直角边和斜边的长度分别为a，b，c。
方法1：使用勾股定理和面积公式
步骤1：根据勾股定理，可得到以下关系：
- a² + b² = c²
步骤2：根据三角形的面积公式，可得到以下关系：
-面积= (1/2) * 直角边1 * 直角边2
步骤3：将勾股定理中的等式代入面积公式，整理得到以下关系：
-面积= (1/2) * a * b
方法2：使用勾股定理和海伦公式
步骤1：根据勾股定理，可得到以下关系：
- a² + b² = c²
步骤2：根据海伦公式，可得到以下关系：
-面积= √[s * (s - a) * (s - b) * (s - c)]
其中，s为半周长，s = (a + b + c) / 2
需要注意的是，以上方法适用于直角三角形。
对于一般的三角形，我们可以先使用勾股定理判断是否为直角三角形，然后再进行计算。
通过以上方法，我们可以计算出三角形的面积。
在计算过程中，需要注意保持精度和正确使用长度单位。
初中数学勾股定理教案 初中数学勾股定理教案优秀3篇
初中数学勾股定理教案初中数学勾股定理教案优秀3篇初中数学勾股定理教案优秀3篇由作者为您收集整理，希望可以在初中数学勾股定理教案方面对您有所帮助。
初中数学勾股定理教案篇一一、教案背景概述：教材分析：勾股定理是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个直角的形的特点，转化为三边之间的数的关系，它是数形结合的榜样。
它可以解决许多直角三角形中的计算问题，它是直角三角形特有的性质，是初中数学教学内容重点之一。
本节课的重点是发现勾股定理，难点是说明勾股定理的正确性。
学生分析：1、考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正能仔细研究过三角尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。
2、以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对直角三角形三边关系的讨论，能激发学生的学习兴趣。
设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。
教学目标：1、经历用面积割、补法探索勾股定理的过程，培养学生主动探究意识，发展合理推理能力，体现数形结合思想。
2、经历用多种割、补图形的方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考能力以及语言表达能力等，感受勾股定理的文化价值。
3、培养学生学习数学的兴趣和爱国热情。
4、欣赏设计图形美。
二、教案运行描述：教学准备阶段：学生准备：正方形网格纸若干，全等的直角三角形纸片若干，彩笔、直角三角尺、铅笔等。
老师准备：毕达哥拉斯、赵爽、刘徽等证明勾股定理的图片以及其它有关人物历史资料等投影图片。
三、教学流程：（一）引入同学们，当你每天手握三角尺绘制自己的宏伟蓝图时，你是否想过：他们的边有什么关系呢？今天我们来探索这一小秘密。
认识勾股定理
认识勾股定理一、引言勾股定理是中学数学中最基本也最重要的定理之一，它被广泛应用于各个领域，如物理、工程学和金融等。
尽管这一定理的形式简单，但它的应用范围却非常广泛。
而在这篇文章中，我们将对勾股定理进行一番充分地探讨和剖析，以期让大家真正地理解和运用这个伟大的定理。
二、勾股定理的含义勾股定理也叫做“毕达哥拉斯定理”，它的基本概念就是：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
具体而言，如果我们将一个直角三角形的两条直角边分别标记为a和b，而斜边则标记为c，那么我们就可以用以下公式来表示它们之间的关系：$c^2=a^2+b^2$这个公式就是著名的勾股定理。
意思是说，如果我们对一个直角三角形的两条直角边的平方和取平方根，就可以得到斜边的长度。
这个公式的证明可以借助于几何或代数方法，但是无论如何，它都是中学数学中非常基础的内容。
三、勾股定理的应用勾股定理的应用非常广泛，它被广泛运用于物理、工程学和金融等领域。
例如，当我们需要计算一个汽车沿着一个直角拐角的路径行驶时，就需要使用勾股定理来计算距离和速度之间的关系。
同样，当我们需要设计一个建筑、桥梁或飞行器时，也需要用到勾股定理来计算各种距离、高度和角度之间的关系。
在金融领域，勾股定理被用来计算复杂的金融衍生品的价值和回报率等等。
四、勾股定理的历史勾股定理的历史可以追溯到公元前1500年的古埃及，当时这个定理被广泛应用于各种实际问题的解决中。
但是，最早将这个定理用于理论推导的人是古希腊哲学家毕达哥拉斯，因此这个定理也被称为“毕达哥拉斯定理”。
毕达哥拉斯定理的应用范围非常广泛，不仅在数学、工程学和物理等领域得到了广泛的应用，而且它的推导过程也被认为是历史上最为重要和深刻的数学思想之一。
五、结论总之，勾股定理是中学数学中最基本且最重要的定理之一。
它被广泛应用于各个领域，如物理、工程学和金融等。
通过对勾股定理的探讨和剖析，我们不仅可以加深对这个定理的理解，还可以了解它在实际问题中的应用。
初中数学 如何使用勾股定理证明勾股数的存在性
初中数学如何使用勾股定理证明勾股数的存在性要证明勾股数的存在性，我们需要使用勾股定理的逆定理，也称为勾股数定理。
该定理说明，如果存在整数a、b和c，满足勾股定理的条件，即a² + b² = c²，那么这组整数就可以被称为勾股数。
以下是证明勾股数存在性的步骤：步骤1：假设存在整数a、b和c我们首先假设存在整数a、b和c，满足勾股定理的条件，即a² + b² = c²。
步骤2：推导出两个方程根据我们的假设，我们可以得到两个方程：方程1：a² + b² = c²方程2：a、b和c互为素数（即它们没有除1和自身之外的公因数）步骤3：证明方程2我们需要证明方程2，即a、b和c互为素数。
为了证明这一点，我们可以使用反证法。
假设a、b和c不互为素数，那么它们存在一个公因数d，且d大于1。
那么我们可以将a、b 和c分别表示为a = dx，b = dy和c = dz，其中x、y和z是整数。
将这些表示代入方程1中，我们得到：(d²x² + d²y²) = d²z²d²(x² + y²) = d²z²可以观察到，方程左边是d²乘以一个整数，因此方程右边也必须是d²乘以一个整数。
这意味着z²也必须是一个整数。
然而，根据平方数的性质，唯有当z也是一个整数时，z²才是一个整数。
因此，我们得出结论：a、b和c互为素数。
步骤4：寻找勾股数的示例通过使用方程1和方程2，我们可以寻找勾股数的示例。
我们可以通过试验和计算来找到满足勾股定理的整数a、b和c的组合。
一些常见的勾股数示例包括(3, 4, 5)、(5, 12, 13)和(8, 15, 17)等。
例如，我们可以验证(3, 4, 5)是否满足勾股定理的条件：3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²步骤5：总结综上所述，我们通过假设存在整数a、b和c，满足勾股定理的条件，推导出了两个方程。
《勾股定理》优秀说课稿（精选5篇）
《勾股定理》优秀说课稿（精选5篇）《勾股定理》优秀说课稿篇1一、说教材勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。
教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。
据此，制定教学目标如下：1、理解并掌握勾股定理及其证明。
2、能够灵活地运用勾股定理及其计算。
3、培养学生观察、比较、分析、推理的能力。
4、通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和钻研精神。
教学重点：勾股定理的证明和应用。
教学难点：勾股定理的证明。
二、说教法和学法教法和学法是体现在整个教学过程中的，本课的教法和学法体现如下特点：1、以自学辅导为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让同学们主动参与学习全过程。
2、切实体现学生的主体地位，让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。
3、通过演示实物，引导学生观察、操作、分析、证明，使学生得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知的欲望。
三、教学程序本节内容的教学主要体现在学生动手、动脑方面，根据学生的认知规律和学习心理，教学程序设计如下：（一）创设情境以古引新1、由故事引入，3000多年前有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。
这样引起学生学习兴趣，激发学生求知欲。
2、是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？教师要善于激疑，使学生进入乐学状态。
3、板书课题，出示学习目标。
初中数学知识归纳勾股定理与勾股数
初中数学知识归纳勾股定理与勾股数初中数学知识归纳——勾股定理与勾股数在初中数学中，勾股定理与勾股数是非常重要的概念和工具。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，而勾股数则是满足勾股定理的三个整数。
本文将对勾股定理与勾股数进行详细的归纳和讨论。
一、勾股定理勾股定理是数学中的基础定理，它由古希腊数学家毕达哥拉斯提出并证明。
该定理表明在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
形式化表示为：a² + b² = c²其中，a和b表示直角三角形的两个直角边，c表示斜边，也称为“直角边”。
勾股定理在几何学中有着广泛的应用，它可以用于解决各种与直角三角形相关的问题。
利用勾股定理，我们可以求解直角三角形的边长、角度，以及判断是否为直角三角形等。
二、勾股数勾股数是指满足勾股定理的三个整数。
一般情况下，我们将勾股数表示为(a, b, c)，其中a、b和c是互质的正整数，并且满足a²+ b²= c²。
常见的勾股数有很多种，其中最简单的是(3, 4, 5)。
当a = 3，b = 4，c = 5时，满足3² + 4² = 5²，因此(3, 4, 5)是一个勾股数。
除了(3, 4, 5)外，还有(5, 12, 13)、(8, 15, 17)等许多勾股数存在。
勾股数的研究在数论中有着重要的地位，它们与素数、分数等数学概念密切相关。
同时，勾股数也被广泛应用于数学、物理、工程等领域，例如在计算机图形学中的三角形绘制、电子电路设计中的信号处理等。
三、勾股定理的应用勾股定理作为几何学中的基本工具，应用广泛。
下面我们将介绍一些常见的勾股定理应用场景。
1. 求解直角三角形的边长：利用勾股定理，可以根据已知的两条边求解第三条边的长度。
例如，如果一个直角三角形的一条直角边长为3，而另一条直角边长为4，那么可以根据勾股定理求解斜边的长度，即：3² + 4² = c²9 + 16 = c²25 = c²因此，c = 5。
中考备考：数学勾股定理常用的11个公式
【导语】勾股定理是中学数学中⽐较难的部分，下⾯，为⼤家整理⼀下初中数学勾股定理常⽤的11个公式，希望能帮到⼤家。
1、常见的勾股数及⼏种通式有 (1)(3,4,5),(6,8,10)…… 3n,4n,5n(n是正整数) (2)(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)…… 2n+1,2n^2+2n,2n^2+2n+1(n是正整数) (3)(8,15,17),(12,35,37)…… ^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1,[2(n+1)]^2+1(n是正整数) (4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2(m、n均是正整数,m>n) 2、勾股定理常见知识点 1、过两点有且只有⼀条直线 2、两点之间线段最短 3、同⾓或等⾓的补⾓相等 4、同⾓或等⾓的余⾓相等 5、过⼀点有且只有⼀条直线和已知直线垂直 6、直线外⼀点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平⾏公理经过直线外⼀点，有且只有⼀条直线与这条直线平⾏ 8、如果两条直线都和第三条直线平⾏，这两条直线也互相平⾏ 9、同位⾓相等，两直线平⾏ 10、内错⾓相等，两直线平⾏ 11、同旁内⾓互补，两直线平⾏ 12、两直线平⾏，同位⾓相等 13、两直线平⾏，内错⾓相等 14、两直线平⾏，同旁内⾓互补 15、定理三⾓形两边的和⼤于第三边 16、推论三⾓形两边的差⼩于第三边 17、三⾓形内⾓和定理三⾓形三个内⾓的和等于180" 18、推论1直⾓三⾓形的两个锐⾓互余 19、推论2三⾓形的⼀个外⾓等于和它不相邻的两个内⾓的和 20、推论3三⾓形的⼀个外⾓⼤于任何⼀个和它不相邻的内⾓ 3、勾股定理内容 直⾓三⾓形(等腰直⾓三⾓形也算在内)两直⾓边(即“勾”“股”短的为勾，长的为股)边长平⽅和等于斜边(即“弦”)边长的平⽅。
也就是说设直⾓三⾓形两直⾓边为a和b，斜边为c，那么a的平⽅+b的平⽅=c的平⽅a2+b2=c2。
勾股定理现发现约有500种证明⽅法，是数学定理中证明⽅法最多的定理之⼀。
勾股定理必背10个公式
勾股定理必背10个公式勾股定理是数学学科中最熟悉、最重要的定理之一，大多数学校都会给学生们讲解勾股定理。
它是几何学中解决三角形问题的最重要工具。
勾股定理指出，若三角形的三边分别是a，b，c，那么它们之间具有特定的关系：a＋b＝c。
尽管勾股定理有着悠久的历史，但今天仍然被经常使用。
有很多变种的勾股定理值得记住，它们中最值得注意的有十个。
首先，是勾股定理的一般形式：a＋b＝c。
其次是关于锐角三角形的定理：cosα＝b/c，sinα＝a/c，tanα＝a/b。
第三是关于直角三角形的定理：cosα＝a/c，sinα＝b/c，tanα＝a/b。
第四是关于等腰三角形的定理：2a＝b＋c。
第五是关于30°-60°-90°三角形的定理：a＝b/2，c＝b√3/2，tan30°＝1/√3，cos60°＝1/2，sin60°＝√3/2。
第六是关于45°-45°-90°三角形的定理：a＝b，c＝b√2，tan45°＝1，cos45°＝1/√2，sin45°＝1/√2。
第七是关于等边三角形的定理：a＝b＝c，cosα＝cosβ＝cosγ＝-1/3。
第八是关于半径R圆心角形的定理：tanα/2＝b/2R，cosα/2＝c/2R，sinα/2＝a/2R。
第九是关于梯形的定理：a＋(b＋c)＝2(a＋b＋c)。
第十是关于双曲线的定理：a－b＝c。
勾股定理是中学数学学习中必不可少的一部分，而上面提到的十个公式更是数学课堂上最基本的知识。
它们不仅在几何学中有着广泛的用途，而且也在统计学、概率论等方面都有着重要的应用。
尽管勾股定理的用途多种多样，但有一点是十分重要的：它们能够帮助我们快速有效地解决三角形问题。
若要求解三角形的边长、角度和面积，就可以针对相关的勾股定理，从中去确定相关参数。
总之，勾股定理是几何学中最重要的定理之一，被广泛应用于几何学、概率论等领域。
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年 级：
课 时 数：
学科教师：
学员姓名：
辅导科目： 数学
辅导时间：
课题
勾股定理
教学目的
1、勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即：a2+b2=c2）
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c 有关系 a2+b2=c2，那么这个三角形是 直角三角形。
练习
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（? ）
??? A．2，3，4???? B．3，4，6???? C．5，12，13???? D．4，6，7
2. 三角形的三边为 a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=8∶16∶17
B． a2-b2=c2
C．a2=(b+c)(b-c)
直角三角形的判定
例 1、 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A. b2=c2－a2 B. a∶b∶c=3∶4∶5
C. ∠C=∠A－∠B
D. ∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
例 2、三角形的三边长为 (a b)2 c2 2ab ，则这个三角形是（ ）
A. 等边三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 锐角三角形
例 3、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A 和∠BDC 都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标注 在图中，由此可知（ ）
A. ∠A 符合要求 B. ∠BDC 符合要求 C. ∠A 和 ∠ BDC 都符合要求 D. ∠A 和∠BDC 都不符合要求
例 4、如图己知 AB BC, AB 3, BC 4,CD 12, AD 13求四边形 ABCD 的面积
简单应用
例 1、一根旗杆在离地面米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 6 米处，则旗杆折断前高（ ）
A. 米
B. 米
C. 12 米
D. 8 米
例 2、如图，一架 25 分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子距墙底端 7 分米，如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分 米，那么梯子将平滑（ ）
A. 9 分米
A. 2
B. 4
C. 8
D. 4 2
4. 若直角三角形两条直角边长分别为 5 ㎝，12 ㎝，则斜边上的高为（ ）
A. 6 ㎝
B. 80 ㎝ 13
C. 8 ㎝
D. 60 ㎝ 13
5. 等腰三角形底边长 10，腰长为 13，则此三角形的面积为（ ）
A. 40
B. 50
C. 60
D. 70
6.直角三角形中两条直角边之比为 3：4，且斜边为 20cm，求（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长
练习
B
1. 若一直角三角形两边长分别为 12 和 5，则第三边长的平方为（ ）
A. 169
B. 169 或 119 C. 169 或 225
A D
C
2. 直角三角形的周长为 12，斜边长为 5，则面积为（ ）
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6
3. 如果一个等腰直角三角形的面积是 2，则斜边长的平方为（ ）
3、满足 a2 b2 c2 的三个正整数，称为勾股数。
教学内容
一、日校回顾
二、知识回顾
1. 勾股定理
如图所示，在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形 面积之间存在这样的关系：即 C 的面积＝B 的面积+A 的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直 角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理。
B.、一根旗杆在离地 9 米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 米处，旗杆折断之前有多高为_________。
（一）类型题目
题型 1、求最短距离。（折叠与展开）
例 1、如图，一只蚂蚁从点 A 沿圆柱表面爬到点 B，如果圆
柱的高为 8cm，圆柱的底面半径为 6 cm，那么最短
说明：上述几个公式用哪一个，取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。
三、知识梳理
1、勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：
（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2、如何判定一个三角形是直角三角形 （1） （2） 先确定最大边（如 c） （3）
（4） 验证 c 2 与 a 2 b2 是否具有相等关系
（5）
（6） 若 c 2 = a 2 b2 ，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若 c 2 ≠ a 2 b2
则△ABC 不是直角三角形。
3、勾股数 满足 a 2 b2 = c 2 的三个正整数，称为勾股数
的路线长是（
）
B
M
D C
A
B
第 19 题
A. 6cm B. 8 cm C. 10 cm D. 10 cm
A
例 2、如图，已知长方体的三条棱 AB、BC、BD 分别为 4，5，2，蚂蚁从 A 点出发沿长方体的表面爬行到 M 的最短路程
的平．方．是
。
练习
1、一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 B’点沿纸箱爬到 D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 说明： （1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了。 （2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。在没有特殊说明的情况下，
直角三角形中，a，b 是直角边，c 是斜边，但有时也要考虑特殊情况。 （3）除了利用 a，b，c 表示三边的关系外，还应会利用 AB，BC，CA 表示三边的关系，在△ABC 中，∠B＝90°，利
用勾股定理有 AB2 BC2 AC2 。
2. 利用勾股定理的变式进行计算
由 a2 b2 c2 ，可推出如下变形公式： （1） a2 c2 b2 ； （2） b2 c2 a2 （3） a c2 b2 （4） b c2 a2 （5） c a2 b2 （平方根将在下一章学到）
如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17
（5）7，24，25 （6）9, 40, 41
四、例题讲解
（一）基本知识
勾股定理求边长
例 1、如图所示，已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， CD⊥AB，若 AC＝4，BC＝3，求 CD 的长。 例 2、 如图所示，一棵 36 米高的树被风刮断了，树顶落在离树根 24 米处，求折断处的高度 AB。 例 3 、如图所示，在高为 3 米，斜坡长为 5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？若楼梯宽 2 米， 每平、方米地毯需 50 元，那么这块地毯需花多少元？ 例 4、如图，在△ABC 中，∠ACB=90o， CD⊥AB，D 为垂足，AC=6cm,BC=8cm. 求① △ABC 的面积； ②斜边 AB 的长；③斜边 AB 上的高 CD 的长。
D． a:b:c =13∶5∶12
3. 三角形的三边长为 (a b)2 c2 2ab ,则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形
D. 锐角三角形.
4、已知：如图，四边形 ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。
2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现将直角边 AD 折叠，使其落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长
B’ C A′
C’
D
AC 沿 直 线