人教版初中数学勾股定理知识点
勾股定理知识点总结大全
勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。
具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。
这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。
二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。
几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。
常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。
2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。
通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。
三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。
例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。
勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。
2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。
而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。
这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。
3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。
初中数学要点概括：勾股定理及其逆定理
初中数学要点概括：勾股定理及其逆定理要点概括一、勾股定理：1.勾股定理内容：假如直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那样a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
２.勾股定理的证明：勾股定理的证明办法非常多，容易见到的是拼图的办法用拼图的办法验证勾股定理的思路是：（1）图形进过割补拼接后，只须没重叠，没空隙，面积不会改变；（2）依据同一种图形的面积不一样的表示办法，列出等式，推导出勾股定理。
4.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数目关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具备这一特点。
二、勾股定理的逆定理1.逆定理的内容：假如三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那样这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是不是是直角三角形的一种要紧办法，它通过数转化为形来确定三角形的可能形状，在运用这肯定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可觉得是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那样以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.使用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是为直角三角形的一般步骤：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是不是相等，若相等，则说明是直角三角形。
三、勾股数可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.四、一个要紧结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足两个较小面积和等于较大面积。
五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。
容易见到考法（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）应用勾股定理打造方程；（3）实质问题中应用勾股定理及其逆定理。
人教版初中数学勾股定理高频考点知识梳理
(每日一练)人教版初中数学勾股定理高频考点知识梳理单选题1、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．答案：D解析：利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．解: A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故12ab+12ab+12c2=12(a+b)2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，ab+c2=(a+b)2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故4×12C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，a(a+b)+b2=c2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；4×12D、四个小图形面积和等于大正方形面积，2ab+a2+b2=(a+b)2，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．2、如图，点A表示的实数是（）A．√3B．−√3C．√5D．−√5答案：D解析：根据勾股定理可求得OA的长为√5，再根据点A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数．解：如图，∵OB=√22+12=√5，OA=OB，∴OA=√5，∵点A在原点的左侧，∴点A在数轴上表示的实数是-√5．故选：D．小提示：本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．3、以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（）A．2、3、4B．5、5、6C．2、√3、√5D．√2、√3、√5答案：D解析：根据勾股定理的逆定理得出选项A、B、C不能构成直角三角形，D选项能构成直角三角形，即可得出结论．解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；B、52+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；C、22+（√3）2≠（√5）2，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；D、（√2）2+（√3）2=（√5）2，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故正确．故选D．小提示：本题考查了勾股定理的逆定理；在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2答案：A解析：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，对式子a+b=14两边平方，再根据勾股定理得到ab的值，即可求解．解：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，∴a2+b2=c2=100∵a+b=14∴(a+b)2=142，即a2+2ab+b2=196∴2ab=96∴S△ABC=1ab=24cm22故选A小提示：此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定ab的值．5、如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB= 9，BC=6，则FC′的长为（）A．3B．4C．4．5D．5答案：D解析：设FC′=x，则FD=9−x，根据矩形的性质和勾股定理列式即可求出答案.设FC′=x，则FD=9−x．∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点．∴AD=BC=6，C′D=3，在Rt△PC′D中，由勾股定理得FC′2=FD2+C′D2，即x2=(9−x)2+32，解得x=5．故选D．小提示：本题考查的是矩形的性质和勾股定理，能够熟练运用所学知识是解题的关键.6、有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）A．5B．√7C．√5D．5或√7答案：D解析：分4是直角边、4是斜边两种情况考虑，再根据勾股定理计算即可．解：当4是直角边时，斜边=√32+42=5；当4是斜边时，另一条直角边=√42−32=√7；故选：D．小提示：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．7、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2答案：A解析：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，对式子a+b=14两边平方，再根据勾股定理得到ab的值，即可求解．解：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，∴a2+b2=c2=100∵a+b=14∴(a+b)2=142，即a2+2ab+b2=196∴2ab=96∴S△ABC=1ab=24cm22故选A小提示：此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定ab的值．8、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．答案：D解析：利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．解: A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故12ab+12ab+12c2=12(a+b)2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故4×12ab+c2=(a+b)2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，4×12a(a+b)+b2=c2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、四个小图形面积和等于大正方形面积，2ab+a2+b2=(a+b)2，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．填空题9、（2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是．答案：6cm2解析：先根据勾股定理得到AB=10cm，再根据折叠的性质得到DC=DC′，BC=BC′=6cm，则AC′=4cm，设DC=xcm，在Rt△ADC′中根据勾股定理列方程求得x的值，然后根据三角形的面积公式计算即可．∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm，∵将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C′点，∴△BCD ≌△BC′D ，∴∠C=∠BC′D=90°，DC=DC′，BC=BC′=6cm ，∴AC′=AB -BC′=4cm ，设DC=xcm ，则AD=（8-x ）cm ，在Rt △ADC′中，AD 2=AC′2+C′D 2，即（8-x ）2=x 2+42，解得x=3，∵∠AC′D=90°，∴△ADC′的面积═12×AC′×C′D=12×4×3=6（cm 2）． 考点：折叠的性质，勾股定理点评：折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分．10、如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为____．答案：45°解析：利用勾股定理可求出AB 2，AC 2，BC 2的长，进而可得出AB 2=AC 2+BC 2，AC =BC ，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC 为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC =45°．解：连接AC ，根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=45°．所以答案是：45°．小提示：本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键．11、如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑________米．答案：0.5解析：结合题意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，∴AC=√AB2−BC2=√2.52−1.52=2（米）.∵BD=0.5米，∴CD=2米，∴CE=√DE2−CD2=√2.52−22=1.5（米），∴AE=AC-EC=0.5（米）．故答案为0.5.点睛：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．12、我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为__________．答案：x2−（x−3）2＝82解析：设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．解：设绳索长为x尺，根据题意得：x2−（x−3）2＝82，所以答案是：x2−（x−3）2＝82．小提示：本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．13、我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为__________．答案：x2−（x−3）2＝82解析：设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．解：设绳索长为x尺，根据题意得：x2−（x−3）2＝82，所以答案是：x2−（x−3）2＝82．小提示：本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．解答题14、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；（2）若DC=4，∠DAC=30°，求AD的长．答案：（1）证明见解析；（2）4√3解析：（1）根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的性质得到∠B=∠C，根据等腰三角形的判定定理证明；（2）根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理计算即可．解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∵BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．∴∠B=∠C．∴AB=AC．（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC．在Rt△ADC中，∠DAC=30°，∴AC=2DC=8，AD=√AC2−DC2=√82−42=4√3小提示：本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，用勾股定理解三角形，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15、已知△ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边△ABD和等边△BCE．（1）连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；（2）若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN；（3）若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=√2，如图3，则BM=．（直接写出结果）．答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）√22解析：（1）由等边△ABD和等边△BCE．AB=DB，BC=BE，可推得∠ABE=∠DBC，可证△ABE≌△DBC(SAS)，由性质证出AE=CD即可；（2）延长AN使NF=AN，连接FC，由N为CD中点，可得CN=DN，可证△ADN≌△FCN(SAS)，可得CF=AD=AB，∠NCF=∠NDA，可求∠DAC=120°，可推出∠ACF=60°，可证△ABC≌△CFA(SAS)，由性质得CE= BC=AF=2AN即可；（3）过E作EG⊥BE，交AM延长线于G由AB⊥BC，∠BAC=60°，DB=√2，求出AC=2√2，由勾股定理得：BC=√AC2−AB2=√6，可求出∠EBM =30°，求得∠G= =60°=∠CAB，可证△CAB≌△BGE（AAS）由性质得GE=AB=DB=√2，利用30°角的直角边与斜边关系得BG=2GE=2√2，再证△AD≌△GME（AAS），得AM=GM可求得BG= 2BM+AB=2√2即可．（1）证明：∵等边△ABD和等边△BCE．AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∴∠ABE=∠DBC，△ABE≌△DBC(SAS)，∴AE=CD；（2）延长AN使NF=AN，连接FC，∵N为CD中点，∴CN=DN，又∠AND=∠FNC，△ADN≌△FCN(SAS)，∴CF=AD=AB，∠NCF=∠NDA，∵∠BAC=60°，∠DAB=60°，∴∠DAC=120°，∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=∠ACD+∠ADN=60°，∴∠BAC=∠ACF，∵AC=CA，△ABC≌△CFA(SAS)，∴CE=BC=AF=2AN；（3）过E作EG⊥BE，交AM延长线于G，∴AB⊥BC，∠BAC=60°，DB=√2，∴AC=2√2，由勾股定理得：BC=√AC2−AB2=√6，∴∠EBM=180°-∠ABC-∠CBE=30°，∴∠G=180°-∠GBE-∠BEG=60°=∠CAB，∵BC=EB，∴△CAB≌△BGE（AAS），∴GE=AB=DB=√2，∴BG=2GE=2√2，∵∠DAM=60°=∠G，又∵∠AMD=∠GME，∴△AD≌△GME（AAS），∴AM=GM，∴GM=AB+BM，∴BG=BM+GM=2BM+AB=2√2，∴2BM+√2=2√2，∴BM=√2．2．所以答案是：√22小提示：本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段中点，线段和差，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理应用，线段中点，线段和差计算是解题关键．。
人教版初中数学勾股定理知识点汇总
(每日一练)人教版初中数学勾股定理知识点汇总单选题1、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．试判断△ABC 的形状（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形答案：A解析：已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．解：a2+b2-c2+338=10a+24b+26c，a2-10a+25+b2-24b+144-c2-26c+169=0，原式可化为（a-5）2+（b-12）2-（c-13）2=0，即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的），而52+122=132符合勾股定理的逆定理，故该三角形是直角三角形．故选A.小提示：本题考查因式分解的应用，解题关键是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．2、如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1､S 2､S 3；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为S 4､S 5､S 6．其中S 1=16,S 2=45,S 5=11,S 6=14，则S 3+S 4=（ ）A ．86B ．64C ．54D ．48答案：C解析：分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系．同理，得出S 4、S 5、S 6的关系，即可得到结果．解：如图1，过点E 作AB 的垂线，垂足为D ，∵△ABE 是等边三角形，∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x ，∴AD=BD=12AB=12x ， ∴DE=√AE 2−AD 2=√32x ，∴S 2=12×x ×√32x =√34AB 2， 同理：S 1=√34AC 2，S 3=√34BC 2， ∵BC 2=AB 2-AC 2， ∴S 3=S 2-S 1，如图2，S4=12×(12AB)2π=π8AB2，同理S5=π8AC2，S6=π8BC2，则S4=S5+S6，∴S3+S4=45-16+11+14=54．小提示：本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．3、在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A．5B．6C．7D．8答案：A解析：直接根据勾股定理求解即可．解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为√32+42=5，故选A．小提示：本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4、如图，已知ABCD 是长方形纸片，CD =3，在CD 上存在一点E ，沿直线AE 将△AED 折叠，D 恰好落在BC 边上的点F 处，且S △AFB =6，则△AED 的面积是（ ）．A ．253B ．256C ．43D ．23答案：B解析：根据面积求出BF 、AF 、CF ，设DE 为x ，列方程求出即可．解：ABCD 是长方形纸片，∴AB=CD=3，∵ S △AFB =12AB ⋅BF ，∴6=12×3⋅BF ， ∴BF=4，∴AF=√AB 2+BF 2=5，∴AF=AD=BC=5，CF=1，设DE 为x ，EF=DE=x ，EC=3-x ，x 2=(3-x)2+1，解得，x= 53，∴S ΔAED =12AD ⋅ED =12×5×53=256，故选：B ．小提示：本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．5、如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）A．11cmB．2√34cmC．（8+2√10）cmD．（7+3√5）cm答案：B解析：要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将长方体展开,连接AB′，则AB′最短.∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6 cm，∴AB′=√102+62=2√34cm.故选B..6、如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A．√6B．2√2C．2√3D．3√2答案：A解析：把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝√3，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝√AH2+CH2=√(√3)2+(√3)2=√6，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，{∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为√6，综上所述，AE+BF的最大值为√6．故选：A．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．7、如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?（）A．4B．8C．9D．7答案：D解析：先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和.解：楼梯的水平宽度=√52−32=4，∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和，∴地毯的长度至少为：3+4=7米，故选D.小提示：本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键.8、如图，P，Q分别是BC，AC上的点，过点P作PR⊥AB于点R，作PS⊥AC于点S，若AQ=PQ，PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②QP//AR；③△BRP≅△CSP，正确的是（）A．①③B．②③C．①②D．①②③答案：C解析：根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证ΔAPR≅ΔAPS(HL)，可证得AS=AR，QP//AR成立．解：如图示，连接AP，∵PR=PS，∴AP是∠BAC的平分线，∴ΔAPR≅ΔAPS(HL)∴AS=AR，①正确．∵AQ=PQ∴∠BAP=∠QAP=∠QPA∴QP//AR，②正确．BC只是过点P，并没有固定，明显ΔBRP≅ΔCSP③不成立．故选：C．小提示：本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，熟悉相关性质是解题的关键．填空题9、如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为__________．答案：√192解析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长．解：连接DE，∵D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴DE ∥AC ，DE=12AC ． ∵ΔABC 是等边三角形，且BC=4，∴∠DEB=60°，DE=2．∵EF ⊥AC ，∠C=60°，EC=2，∴∠FEC=30°，EF=√3．∴∠DEG=180°-60°-30°=90°．∵G 是EF 的中点，∴EG=√32． 在RtΔDEG 中，DG=√DE 2+EG 2=(√32)2=√192． 故答案为√192． 小提示：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键．10、如图，在△ABC 中，已知AB =AC =4，BC =6，P 是BC 边上的一动点（P 不与点B ，C 重合），连接AP ，∠B =∠APE ，边PE 与AC 交于点D ，当△APD 为等腰三角形时，PB 的长为____.答案：2或103解析：分三种情况进行讨论：①当AP=PD时，易得△ABP≌△PCD．②当AD=PD时，根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求得答案．③当AD=AP时，点P与点B重合．∵AB=AC=4，∴∠B=∠C∵∠B=∠APE，∠APC=∠B+∠BAP=∠APE+∠CPE∴∠BAP=∠CPE①当AP=PD时，△ABP≌△PCD，则PC=AB=4，故PB=2．②当AD=PD时，∴∠PAD=∠APD．∵∠B=∠APD=∠C，∴∠PAD=∠C，∴PA=PC．如图，过P作PH⊥AC于H，过A作AG⊥BC于G，∴CG=3，∴AG=√AC2−CG2=√42−32=√7，∴CH=2．设PC=x，∴S ΔAPC =12AG ⋅PC =12AC ⋅PH ，∴√7x =4PH ，∴PH =√74x ． ∵PC 2=PH 2+CH 2，∴x 2=(√74x)2+4， 解得x =83（负值舍去），∴PC =83，∴PB =103．③当AD =AP 时，点P 与点B 重合，不合题意．综上所述，PB 的长为2或103. 小提示：此题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．11、如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为________．答案：2.5m解析：设木棒的长为xm ，根据勾股定理可得：x 2=22+1.52，解得x=2.5．故木棒的长为2.5m ．故答案为2.5m ．12、（2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，AC =8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是 ．答案：6cm 2解析： 先根据勾股定理得到AB=10cm ，再根据折叠的性质得到DC=DC′，BC=BC′=6cm ，则AC′=4cm ，设DC=xcm ，在Rt △ADC′中根据勾股定理列方程求得x 的值，然后根据三角形的面积公式计算即可．∵∠C=90°，BC=6cm ，AC=8cm ，∴AB=10cm ，∵将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C′点，∴△BCD ≌△BC′D ，∴∠C=∠BC′D=90°，DC=DC′，B C=BC′=6cm ，∴AC′=AB -BC′=4cm ，设DC=xcm ，则AD=（8-x ）cm ，在Rt △ADC′中，AD 2=AC′2+C′D 2，即（8-x ）2=x 2+42，解得x=3，∵∠AC′D=90°，∴△ADC′的面积═12×AC′×C′D=12×4×3=6（cm 2）． 考点：折叠的性质，勾股定理点评：折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分．13、公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为5，那么12大正方形的面积是_____．答案：169．解析：由题意知小正方形的边长为7．设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，运用正切函数定义求解．解：由题意知，小正方形的边长为7，设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，则tanθ＝短边：长边＝a：b＝5：12．a，①所以b＝125又以为b＝a+7，②联立①②，得a＝5，b＝12．所以大正方形的面积是：a2+b2＝25+144＝169．故答案是：169．小提示：本题主要考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积是解题的关键.解答题14、如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是多少？答案：130cm解析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解：如图所示，∵它的每一级的长宽高为20cm，宽40cm，长50cm，∴AB=√502+[2(20+40)]2=130cm，答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．小提示：本题考查的是平面展开－最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答本题的关键．15、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE.答案：△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AE解析：由勾股定理分别求得AE、AB、BE的值，再证明AE2+AB2=BE2，即可证明AB⊥EA．如图，连接BE.因为AE2=12＋32=10，AB2=12＋32=10，BE2=22＋42=20，所以AE2＋AB2=BE2，所以△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AE.小提示：本题考查在网格中运用勾股定理及其逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．。
(人教版初中数学)平面直角坐标系与勾股定理
寒假专题——平面直角坐标系与勾股定理学习目标：能熟练运用勾股定理的知识解决平面直角坐标系中计算题.知识回顾：1. 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c那么a2+b2=c2C a B即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.22公式变形：c a b=+22=-a c b22=-b c a注：（1）必须是在直角三角形中才能使用勾股定理计算边长.（2）分析明白题目中的直角边和斜边.2. 平面直角坐标系在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常,两条数轴分别置于水平位置与铅直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x轴或横轴,铅直的数轴叫做y轴或纵轴,x轴和y轴统称坐标轴,它们的公共原点O称为直角坐标系的原点.两条坐标轴把平面分成四个部分：右上部分叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象很.注：坐标轴上的点不在任何一个象限内.y 3 2 1-1 -2-3-3 -2 -1 O 1 2 3 x 第二象限第一象限 第三象限 第四象限对于平面内任意一点P,过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线,垂足在x 轴、y 轴上对应的数a 、b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标,有序数对（a,b ）叫做点P 的坐标.这里的字母a 、b 表示由点P 向两个坐标轴作垂线,垂足在相应坐标轴上对应的实数,它们可正可负.但在使用勾股定理计算时我们都取坐标的绝对值进行计算.【典型例题】例1. 点M （3,0）到点N （-2,0）的距离是__________点,M 到点P （0,2）的距离是____________.x解：连结PM,因为x ⊥y, ∴△OPM 是Rt △ ∵OM=3,OP=2,由勾股定理得： PM OM OP =+=+=+=2222329413答案：513，x例2. 射线OP 在直角坐标系的位置如图所示,若OP=6,∠POx=30°,则P 点坐标为_____________.yP30°O x解：过P 作PM ⊥Ox,垂足为M 在Rt △OPM 中∠==POx OP 306°，∴==PM OP 12330（直角三角形中°所对直角边等于斜边的一半）由勾股定理得： OM OP PM =-=-=-==2222633692733() 点在第一象限，故点坐标为，P P 333答案：()333，x例3. 如图所示,在等腰梯形ABCD 中,已知AD=6,AB=4,∠ABC=60°,请建立恰当的坐标系,写出各顶点的坐标.B C解（一）：以B 为坐标原点,BC 在x 轴的正半轴建立坐标系 则B 点坐标为（0,0） 过A 作AM ⊥BC,得Rt △ABM ∠=ABC 60° ∴∠=BAM 30° AB =4∴==BM AB 122由勾股定理得： AM AB BM =-=-=-==2222421641223() A A 点在第一象限，故点坐标为，223AD =6()∴D 点坐标为，823过D 作DN ⊥BC,得Rt △DCN ≌Rt △ABM,得矩形AMND ∴====CN BM AD MN 26， BC BM MN CN =++=10∴C 点坐标为（10,0）()()()()∴A B C D 、、、四点坐标分别为，，，，，，，22300100823x解（二）：以A 为坐标原点,AD 在x 轴的正半轴建立坐标系,则A 点坐标为（0,0） AD =6∴D 点坐标为（6,0） ∵在Rt △ABP 中 ∠=ABC 60° ∴∠=BAP 30° AB =4∴==BP AB 122由勾股定理得： AP AB BP =-=-=22224223() B B 在第三象限，故点坐标为，--223过D 作DQ ⊥BC,得Rt △DCQ ≌Rt △ABP,得矩形APQD ∴====CQ BP AD PQ 26， ∴=+=+=PC PQ QC 628 () C C 点在第四象限，故点坐标为，823-()()()()∴---A B C D 、、、四点坐标分别为，，，，，，，0022360823x注：求出相对应线段的长度后,要特别注意该点所在的象限,对应的横纵坐标的符号要写正确.例4. 等腰直角三角形的直角顶点C 在y 轴的负半轴上,斜边AB 在x 轴上,且点A 、点关于坐标原点对称，点在点的左侧，直角边，则顶点、、B A B AC A B C=2的坐标分别是什么？解：根据题意画图,得Rt △AOC ≌Rt △BOC,且都为等腰Rt △ 设OA=OC=OB=x,由勾股定理得 OA OC AC 222+=()x x 2222+=222x = x 21= x =1∴===OA OB OC 1∵A 点在x 轴负半轴,则A 点坐标为（-1,0） B 点在x 轴正半轴,则B 点坐标为（1,0） C 点在y 轴负半轴,则C 点坐标为（0,-1）yA OB xC例5. （提高题）如图所示,已知边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中,位于x 轴上方,OA 与x 轴正半轴的夹角为60°,则B 点坐标为______________.yBF AC 60°O x解：过B 作BE ⊥y 轴,垂足为E ∵OA 与x 轴的夹角为60° ∴∠=FOA 30° 在Rt △OAF 中,OF=2AF 由勾股定理得： AF OA OF 222+=()AF AF 22222+= AF AF 2244+= 342AF =AF 243=AF =233∴=-=BF OF 2233433，在Rt △BEF 中又° ∠=∠=BFE AFO 60 ∴∠=EBF 30°∴==-EF BF 121133，OE OF EF =+=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+433113313由勾股定理得：BE EF BF 222+=BE222 11332233 +-⎛⎝⎫⎭⎪=-⎛⎝⎫⎭⎪()BE2231=-∴=-BE31() B B点在第二象限，故点坐标为，1313-+x答案：() 1313 -+，【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 已知x轴上一点A（3,0）,y轴上一点B（0,b）,且AB=5,则b的值为_________.2. 如图所示,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴的夹角为60°,且点A坐标为（-2,0）,点B在x轴上方,设AB=a,那么点B的横坐标为______________.3. 如图所示,△AOB为正三角形,点A、B的坐标分别为（2,a）（b,0）,求a、b的值及△AOB的面积.x4. 如图所示,OA=10,OB=6,∠=∠=xOA xOB 60135°，°,求AB 两点坐标.yABx O5. 已知菱形的边长为2,其中一个内角的度数为60°,建立适当的直角坐标系,写出各顶点的坐标.【试题答案】 1. ±42. a a -⎛⎝⎫⎭⎪4232， 提示：过B 作BC x ⊥轴得Rt △ABC 3. a b ==234，,S AOB ∆=43 4.()A B ()5533232，，，- 提示：分别过A 、B 向x 轴作垂线.5. 若以菱形对角线为坐标轴（如图所示）,对角线交点为原点,建立坐标系得A （0,1）,()()()B C D --300130，，，，，,此题答案不唯一.yAO x B DC。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理，也是初中数学学习的重点内容之一。
它描述了直角三角形中三条边的关系，并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。
本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。
一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是：“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。
”这就是我们通常所说的勾股定理。
勾股定理的公式可以表示为：a² + b² = c²其中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表直角三角形的斜边。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。
几何证明：通过图形的构造和推理来证明勾股定理。
一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形，然后计算正方形的面积，从而证明等式成立。
代数证明：通过数学计算和变换来证明勾股定理。
一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算，然后将其相加和化简，最终得到等式成立的结果。
三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理，还有着广泛的应用。
1. 解决三角形的边长和角度问题：通过勾股定理，我们可以已知两条边长来求解第三条边长，或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。
2. 判断三角形的形状：我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，从而进一步研究和分析三角形的性质。
3. 解决几何问题：勾股定理还可以应用于解决一些几何问题，例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。
四、勾股定理的推广除了直角三角形，勾股定理还可以推广到其他形状的图形。
1. 平方和定理：平方和定理是勾股定理的推广，它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。
2. 多边形的对角线：在多边形中，通过某个顶点可以连接其他顶点，形成对角线。
对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。
3. 空间中的勾股定理：在空间几何中，勾股定理可以推广到三维空间，描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。
全】人教版初中数学八年级下册知识点总结
全】人教版初中数学八年级下册知识点总结一、二次根式二次根式是指形如a（a≥0）的式子。
其中，a被称为被开方数。
最简二次根式是指被开方数中不含开方开的尽的因数或因式，且不含分母的二次根式。
如果两个二次根式的被开方数相同，那么它们就是同类二次根式。
二次根式具有一些性质，如a（a＞0）的平方根是a，a的平方根和-a的平方根相等。
二、勾股定理勾股定理指的是直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c时，a²＋b²＝c²。
应用勾股定理可以求出直角三角形的第三边长，或者判断一个三角形是否为直角三角形。
勾股定理的逆定理是指如果三角形三边长a,b,c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。
勾股数是指能够构成直角三角形的三边长的三个正整数，常见的勾股数有3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等。
直角三角形还有一些其他的性质，需要我们认真研究和掌握。
1.直角三角形的两个锐角互余，即∠A+∠B=90°。
2.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即BC=AB/2.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=AB=BD=AD，其中D为AB的中点。
4.三角形面积公式为AB•CD=AC•BC。
5.直角三角形的判定有三种：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理也可以判定直角三角形。
6.命题是对某件事情做出判断的完整句子，分为真命题和假命题。
7.定理是用推理的方法判断为正确的命题，证明是判断命题正确性的推理过程。
8.证明命题的一般步骤是根据题意画出图形，写出已知和求证，找出由已知推出求证的途径并写出证明过程。
9.三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半，有多种作用和常用结论。
10.数学口诀有助于记忆和理解数学知识，如“勾股三角形，斜边是对角线”等。
人教版初中数学公式大全
人教版初中数学公式大全
初中数学公式一：勾股定理
1勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c 的平方，即a^2+b^2=c^2
2勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系
a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形
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初中数学公式二：四边形基本性质
3定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360°
4多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°
5推论任意多边的外角和等于360°
初中数学公式三：平行四边形
6平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
7平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
8推论夹在两条平行线间的平行线段相等
9平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
10平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
11平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
12平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
13平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形。
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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，221
4()2
ab b a c ⨯+-=，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221
422
S ab c ab c =⨯+=+
大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222
a b c +=
方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，211
2S 222
ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证
17.2 勾股定理的逆定理
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直
角三角形. 3、互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称
a ，
b ，
c 为一组勾股数
常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等 例、在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ． 错解
由勾股定理，得
诊断 这里默认了∠C 为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b ＞a 时，∠B 可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．
当∠B 为直角时，
例、已知Rt △ABC 中，∠B=RT ∠，
，
c= b. 错解 由勾股定理，得
b
a c
b
a
c c
a
b
c
a
b
c
b
a H
G F E
D
C
B A
a b
c
c
b
a
E
D C
B
A
诊断 这里错在盲目地套用勾股定理“a 2＋b 2=c 2”．殊不知，只有当∠C=Rt ∠时，a 2＋b 2=c 2才能成立，而当∠B=Rt ∠时，则勾股定理的表达式应为a 2＋c 2=b 2．
正确解答 ∵∠B=Rt ∠， 由勾股定理知a 2＋c 2=b 2．
∴b=22
c a +=22(22)(2)+=10
例、若直角三角形的两条边长为6cm 、8cm ，则第三边长为________． 错解 设第三边长为xcm ．由勾股定理，得x 2=62＋82．
x=22
68+=3664+=10
即第三边长为10cm ．
诊断 这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．
正确解法 设第三边长为xcm ． 若第三边长为斜边，由勾股定理，得
x=22
68+=3664+=10(cm)
若第三边长为直角边，则8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得
x=22
86-=28=27(cm)
因此，第三边的长度是10cm 或者27cm.
例、如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=
1
2
BC=23AD.又RT △ABC 的
周长是(6+23)cm.求AD ．
错解 ∵△ABC 是直角三角形，
∴AC:AB:BC=3:4:5
∴AC ∶AB ∶BC=3∶4∶5． ∴AC=
312(6+23)=33+，AB=412(6+23)=6233+，BC=5
12
(6+23)=
1553
6
+ 又∵
12AC AB •=1
2
BC AD • ∴AD=AC AB BC •=33623
231553
++⨯
+ =
(33)2(33)5(33)
+•++=2
5(3+3)(cm) 诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形
的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．
正确解法∵AM=
23
3
AD ∴MD=222(
3)3AD AD =3AD 又∵MC=MA ，∴CD=MD ．
∵点C 与点M 关于AD 成轴对称． ∴AC=AM ，∴∠AMD=60°=∠C ． ∴∠B=30°，AC=
1
2
BC ，AB=3BC
∴AC+AB+BC=1
2
BC+3BC+BC=6+23.
∴BC=4．
∵1
2BC=233AD ， ∴AD=1
2233
BC
=3(cm)
例、在△ABC 中，a ∶b ∶c=9∶15∶12， 试判定△ABC 是不是直角三角形．
错解 依题意，设a=9k ，b=15k ，c=12k(k ＞0)． ∵a 2＋b 2=(9k)2＋(15k)2=306k 2，c2=(12k)2=144k 2， ∴a 2＋b 2≠c 2．∴△ABC 不是直角三角形．
诊断 我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．
正确解法 由题意知b 是最长边．设a=9k ，b=15k ，c=12k(k ＞0)． ∵a 2＋c 2=(9k)2＋(12k)2=81k 2＋144k 2=225k 2． b2=(15k)2=225k 2，∴a 2＋c 2=b 2． ∴△ABC 是直角三角形．
例、已知在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是中线，AE 是高．求证：AB 2－AC 2=2BC·DE 错证 如图． ∵AE ⊥BC 于E ， ∴AB 2=BE 2＋AE 2， AC 2=EC 2＋AE 2．
∴AB 2－AC 2=BE 2－EC 2 =(BE ＋EC)·(BE －EC) =BC·(BE －EC)．
∵BD=DC ， ∴BE=BC －EC=2DC －EC ． ∴AB 2－AC 2=BC·(2DC －EC －EC)=2BC·DE ．
诊断 题设中既没明确指出△ABC 的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．∴高AE 既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.
，
正确证明由读者自己完成．
例、已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，
b=
2
4
n
-1，c=
24
4
n+
(n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.
错证1∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时a=4，b=3，c=5．∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，
∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．
由勾股定理知△ABC是直角三角形．
正解∵a2+b2=n2+(
2
4
n
-1)2=n2+
4
16
n
-
2
2
n
+1=
4
16
n
+
2
2
n
+1
c2=(
24
4
n+
)2=(
2
1
4
n
+)2=
4
16
n
+
2
2
n
+1
由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形. 诊断证明1错在以特殊取代一般．。