江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学试题Word版含答案
江西省重点中学盟校2019届高三第一次十校联考 理科数学
江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考高三数学（理）试卷命题人：景德镇一中 江 宁 赣州三中 明小青 余江一中 官增文 审题人：景德镇一中 曹永泉一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()1z +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．函数()lg(3)f x x =+-的定义域是 A ．(3,)+∞B ．(2,3)C ．[2,3)D ．(2,)+∞3．已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是A ．若αα//,//n m ,则n m //B ．若,αγβγ⊥⊥,则α∥βC ．若βα//,//m m ,则βα//D ．若,m n αα⊥⊥,则m ∥n4．为了调查你们学校高中学生身高分布情况，假设你的同桌抽取的样本容量与你抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是A ．你与你的同桌的样本频率分布直方图一定相同B ．你与你的同桌的样本平均数一定相同C ．你与你的同桌的样本的标准差一定相同D ．你与你的同桌被抽到的可能性一定相同5．下列函数中，与函数111()22x x f x -+=-的奇偶性、单调性均相同的是A ．xy e = B ． ln(y x =C ． 2y x =D ．tan y x =6．已知直线1x y +=与圆22x y a +=交于A 、B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OC OB OA =+，则a 的值为A ．1BC ．2D ．47．设lg lg lg 111()121418x x x f x =+++++，则1()()=f x f x+ A ． 1 B ．2 C ．3D ．48．如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足(2,0)P ，为QR 的中点，PM = 则A 的值为 A B C ．8D ．169．给出下列命题，其中真命题的个数是①存在0x R ∈，使得007sin cos 2sin24x x π+=成立; ②对于任意的三个平面向量a 、b 、c ，总有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅成立;③相关系数r (||1r ≤)，||r 值越大，变量之间的线性相关程度越高. A ．0B ．1C ．2D ．310．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长是1，点E 是 对角线1AC 上一动点，记AE x =（0x <<,过点E平行于平面1A BD 的截面将正方体分成两部分，其中点A 所在的部分的体积为()V x ，则函数()y V x =的图像大致为A BCD 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．1A 第10题图11．已知30sin a xdx π=⎰，则61()x ax+的展开式中的常数项是__________． 12．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y13．春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．14．过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点(,0)F c -(0)c >，作倾斜角为6π的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，且0O E E F ⋅= ，则双曲线的离心率为__________．三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分． 15（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1)sin cos 2(:1=+θθρC 与曲线)0(,:2>=a a C ρ的一个交点在极轴上，则a 的值为__________．15（2）．（不等式选做题）若关于x 的不等式|1|||3x x m -+-<的解集不为空集，则实数m 的取值范围是__________．四．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且有tan tan sin 3cos A C BC+=．（1）求cos A 的值；（2）若2b =，3c =，D 为BC 上一点．且2CD DB =,求AD 的长．17．（本小题满分12分）江西某品牌豆腐食品是经过A 、B 、C 三道工序加工而成的，A 、B 、C 工序的产品合格率分别为34、23、45．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场． （1）生产一袋豆腐食品，求产品为废品的概率； （2）生产一袋豆腐食品，设X 为三道加工工序中产品合格的工序数，求X 的分布列和数学期望． 18．（本题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，AB AC ==4BC =，PC =P 在平面ABC 内的射影恰为ABC ∆的重心G ，M 为侧棱AP 上一动点． （1）求证：平面PAG ⊥平面BCM ；（2）当M 为AP 的中点时，求直线BM 与平面PBC所成角的正弦值． 19．（本题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，向量(,)a n = 2与(,)n b n S = +1 ，且a b λ= ，R λ∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求21{}n n a a +的前n 项和n T ，不等式3log (1)4n a T a <-对任意的正整数n 恒成立，求a 的取值范围．20．（本题满分13分）设定圆22:(16M x y +=，动圆N过点0)F 且与圆M 相切，记动圆N 圆心N 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）已知(,)A -2 0 ，过定点(,)B 1 0 的动直线l 交轨迹C 于P 、Q 两点，APQ ∆的外心为N ．若直线l 的斜率为1k ，直线ON 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值．21．（本题满分14分）已知函数()ln af x ax bx x=++ （a 、b 为常数），在1x =-时取得极值． （1）求实数b 的取值范围；（2）当1a =-时，关于x 的方程()2f x x m =+有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围； （3）数列{}n a 满足1111n n a a -=-+ （*n N ∈且2n ≥），112a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ， 求证：12n n S a n n a e +-⋅≥（*n N ∈,e 是自然对数的底）．江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考高三数学（理）试卷 参考答案11．160 12．3 13．28 141 三．选做题15（1）．215（2）．(2,4) -四．解答题 16解：（1）∵tan tan sin 3cos A C B C += ∴sin sin 3sin cos cos cos A C BA C C+=∴ 3sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=∵sin 0B ≠ ∴3cos 1A = ∴ 1cos 3A =…………………………….6分（2）∵ 2b =，3c = ∴ 2222cos 9a b c bc A =+-= ∴ 2DC = 1c o s3C =∴2221622222cos 3AD C =+-⨯⨯=∴AD =……………………12分17解：（1）产品为废品的概率为：11131112111414354354354356P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ……………………………6分（2）由题意可得0,1,2,3ξ=3241()(1)(1)(1)435060P ξ=-⨯=-⨯-=3111211143()435435435201P ξ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==3242()43535P ξ=⨯⨯==故13(2)1(0)(1)(3)30P P P P ξξξξ==-=-=-==，………………………………9分得到ξ的分布列如下：31321332320305160E ξ∴⨯+⨯+⨯== ……………………………………………12分18解：（1）取BC 中点D ，连接AD 、PD ，∵PG ⊥平面ABC ，∴PG BC ⊥等腰ABC ∆中，G 为重心，∴AG BC ⊥ ∴BC ⊥平面PAG∴平面PAG ⊥平面BCM ……………6分（2）ABC ∆中，6AD = ∴2GD =∵BC ⊥平面PAG ∴ C D P D ⊥∴PD =∴6GP =过G 作BC 的平行线为x 轴，AG 为y 轴，GP 为z 轴建立空间直角坐标系(2,0)B 2 , (2,0)C -2 , (0,6)P 0 , (4,0)A 0 , - ∴ (2,3)M 0 , -设直线BM 与平面PBC 所成角为θ设平面PBC 的法向量为n(0,0)CB = 4 , (2,6)PB = 2 , - ∴(3,1)n = 0 ,(4,3)BM = -2 , -∴||sin |cos ,|||||n BM n BM n BM θ⋅=<>==⋅……………12分 19解：（1）∵a b λ= ∴ //a b ∴ (1)2n n n S += 1121n n n S S n a S n -- ≥⎧=⎨ =⎩∴ n a n = ……………4分 （2）132********n n n T a a a a a a a a +=+++⋅⋅⋅+1111132435(2)n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+11111111111111(1)()()()()2322423521122n n n n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯--++ 11113111(1)()22124212n n n n =⨯+--=-⨯+++++ ……………8分∴ 34n T <不等式3log (1)4n a T a <-对任意的正整数n 恒成立 ∴ 33log (1)44a a ≤- ∴ 1l o g (1)a a ≤- ……………10分 ∴ 1log (1)01a a a ≤-⎧⎨<<⎩ ∴log log (1)a a a a ≤- ∴1a a ≥- ∴ 112a >≥ ……12分20解：（1）∵点0)F在圆22:(16M x y +=内 ∴圆N 内切于圆M∴||||4||NM NF FM +=>∴点N 的轨迹C .的方程为2214x y += ……………5分（2）由APQ ∆存在 ∴ 直线PQ 斜率不为0设直线PQ 为1x my =+ 设点11(,)P x y ，22(,)Q x y 22144x my x y =+⎧⎨+=⎩ ⇒ 22(4)230m y my ++-= ⇒ 1221222434m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩直线AP 的中垂线方程为：11112(22x x y x y +-=-- 即2111112422x x y y x y y +-=-++ ∵ 221144x y += ∴ 即111232x yy x y +=--即111232my y y x y +=-- 即 11322y y mx x y =---同理可得直线AQ 的中垂线方程为：22322y y mx x y =--- ………7分∴点N 的坐标满足1122322322y y m x x y y y m x x y ⎧+=--⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩ ⇒ 12121212332222332222()()22y y x x y y y y y mx x x y y ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=-+-+⎪⎩⇒ 1212121211322()3()2x y y y mx x y y y y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-+-+⎪⎩⇒2232(4)32224x m m y mx mx m -⎧=⎪+⎪⎨⎪+=-+⎪+⎩ ……9分 ⇒ 2222y m x m x m x +=-- ⇒ 23yk m x==-又 ∵直线l 的斜率为1k ∴11k m= （0m ≠）⇒ 123k k =- ………13分 21解：（1）2221'()a bx x af x b x x x+-=+-= ∵()f x 在1x =-有定义 ∴ 0a < ∴1x =-是方程220bx x ax +-=的根，且不是重根 ∴1b a =+ 且140ab +≠ 又 ∵0a < ∴1b <且12b ≠ ………………………4分（2）1a =-时 10b a =+= 即方程1ln()2x x m x--=+在(,0)-∞ 上有两个不等实根即方程1ln 2x x m x++=在(,) 0 +∞ 上有两个不等实根令1()ln 2g x x x x=++ (0)x >2221121()2x x g x x x x+-'=-+= (0)x > ∴()g x 在1(0,]2 上单调递减，在1[,)2 +∞上单调递增 1()3l n 22g =- 当0x → 时，()g x →+∞ 且 当x →+∞ 时，()g x →+∞ ∴当3ln 2m >- 时 ，方程()2f x x m =+有两个不相等的实数根 (8)分 （3）1111n n a a -=-+ ∴ 111n n n a a a --=+ ∴ 1111n n a a -=+ ∴ 11nn a =+∴ 11n a n =+ (10)分由（2）知1()ln 23ln 2g x x x x=++≥- 代 1n x n =+ 得 12ln3ln 211n n n n n n +++≥-++ 即21ln ln 211n n n n +≥-++ ∴ 121ln ln 2221+≥-221ln ln 2332+≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅21lnln 211n n n n+≥-++ 累加得 11111lnln 21112311n n n S a n n n +≥++⋅⋅⋅++-=+-+++ 即 l n l n 21n n n n a S a +≥+- ∴ 12n n S a n n a e +-⋅≥ 得证 ………………14分。
2019届江西省重点中学高三下学期第一次联考数学(理)试题(word版)
2019届江西省重点中学高三下学期第一次联考高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，则( )A. 2B.C. 4D.【答案】B2.集合，，则 ( )A. B. C. D.【答案】C3.已知向量，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】B4.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是 ( )A. B. C. D.【答案】B5.已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于 ( )A. B. C. D.【答案】C6.函数的图象大致为 ( )A. B.C. D.【答案】A7.若，，则下列不等式正确的是 ( )A. B. C. D.【答案】D8.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )A. B. C. D.【答案】B9.函数的定义域为，且，当时，；当时，，则( )A. 671B. 673C. 1343D. 1345【答案】D10.如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A. B. C. D.11.函数与函数的图像关于点对称，且，则的最小值等于 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D12.已知函数，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.若x，y满足，则的最小值为____【答案】214.在的展开式中常数项等于___【答案】915.已知双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线上，点的坐标为，且到直线，的距离相等，则 ___【答案】416.在中，内角所对的边分别为，是的中点，若且，则面积的最大值是___【答案】三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。
江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学(理)试题(含答案)
江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学试卷第I 卷（选择题：共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意) 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，1{|0,}4x B x x Z x-=>∈-，则A B =I ( ) A ．{2,3} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3} D ．{1,2,3,5}2．已知复数133iz i+=-，则z =( ) A 2B ．2C ．1D ．123．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，()()2log 1f x x =-，则()()7f f =( )A ．1-B ．2-C ．1D ．24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若136a a +=，10100S =，则5a =( )A ．8B ．9C ．10D ．115．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入( )A ．12k ≤B ． 11k ≤C ． 10k ≤D ． 9k ≤7．已知1,2a b ==r r ，且()a ab ⊥-r r r，则向量a r 在b r 方向上的投影为( )A ．12B ．2C ．1D ．228．把函数()2)6f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3π个单位，得到12,1k S ==S S k =⨯1k k =-输出S结束否是 开始函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为( ) A ．[,2]ππ B ．4[,]33ππC ．[,]123ππ D ．5[,]44ππ9．已知右图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的棱的长度中，最大的是( ) A ．23 B ．2 C 5 D 310．以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点M 为圆心 作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，与y 轴交于,P Q两点，若233PQ c =，则双曲线C 的离心率是( ) A 3 B 5 C ．2 D 211．今有6个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有( )种A ．204B ．288C ．348D ．39612．若曲线()(02)xf x ae ax x =-<<和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ,使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形,AB 交y 轴于点C ，且12AC CB =uuu r uu r，则实数a 的取值范围是( )A ．211,10(1)6(1)e e ⎛⎫⎪--⎝⎭ B ．11,6(1)2e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C ．1,11e ⎛⎫⎪-⎝⎭ D ．211,10(1)2e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭第II 卷（非选择题：共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分。
江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学试题Word版含答案
江西省重点中学盟校2019届⾼三第⼀次联考理科数学试题Word版含答案绝密★启⽤前江西省重点中学盟校2019届⾼三第⼀次联考理科数学试题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（⾮选择题）两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷⼀、选择题：本⼤题12⼩题，每⼩题5分，共60分，在每⼩题四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求。
1、已知复数，若复数Z 在复平⾯内对应的点在虚轴上，则实数a 的值为（） A ．2 B4 C ．4 D2:2、已知全集为实数集R ，集合,集合，则实数m 的值为（）A ．2B 2C ．1D 13、我国古代的数学⼤都源于⽣活，在程⼤位的《算法统宗》⼀书中有个“⽵筒盛⽶”问题：“家有九节⽵⼀茎，为因盛⽶不均平。
下头三节三升九，上梢四节贮三升。
惟有中间⼆节⽵，要将⽶数次第盛。
若是先⽣⽆算法，教君直算到天明。
” 其意思为：有⼀家⼈⽤⼀根9节长的⽵筒盛⽶，每节⽵筒盛⽶的容积是不均匀的，⾃上⽽下成等差数列，已知下端3节可盛⽶3.9升，上端4节可盛⽶3升，……；这个问题中，这根⽵筒⼀共可盛⽶多少升？（） A ．8.8 B ．8.9C ．9D ．9.34、给出下列命题，其中真命题的个数有（）①残差的平⽅和的值越⼩，变量之间的线性相关程度越⾼.②函数f(x)在[a,b]上连续，则f(a)·f(b)<0是⽅程f(x)=0在区间(a,b)上⾄少有⼀个解的充要条件；③某项测量结果ξ服从正态分布，则=0.19；④若数列{a n }是等⽐数列的充要条件为；A ．1 B. 2 C. 3 D. 45、某⼏何体的三视图如图所⽰，图中的四边形都是边长为2的正⽅形，两条虚线所成的⾓为3，则该⼏何体的体积是（）A.203 B C ．163 6、已知偶函数f(x)的部分图象如图所⽰.向图中的矩形区域随机投出100个点，记下落⼊阴影区域的点数.通过10次这样的试验，算得落⼊阴影区域的点数平均数约为40个，由此可估计的值约为（）A ．65B ．25C ．45D ．1237、过抛物线y 2=8x 的焦点作⼀条直线与抛物线相交于A,B 两点,它们到直线x=-3的距离之和等于10,则这样的直线（）A ．有且仅有⼀条B ．有且仅有两条C ．有⽆穷多条D ．不存在 8、执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的结果是（）A ．14 B. 15 C. 16 D.17 9、若实数x ，y 满⾜约束件次得到的点数分别为a,b ，则⽬标函数z=2ax-by+3在点（-2，-1)处取得最⼩值的概率为（） A.56 B ．56 C ．14D ．16 10、各项均为正数的等⽐数列{a n }满⾜a 2a 6 =64，a 3a 4=32，若函数的导函数为，则（）A ．10B ．C ．D ．5511、如图，已知双曲线C: 的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆⼼的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ；若，且，则双曲线C 的离⼼率为( )C. 2D. 3 12、已知对任意x>1，f(x)=lnx+3xk+1-k ⼤于零恒成⽴，若k ∈z ，则k 的最⼤值为（）A. 2B. 2C. 5D. 4第Ⅱ卷⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分 13、由3个5和4个3可以组成个不同的七位数。
2019届江西省三校高三上学期第一次联考数学试卷(理科)Word版含解析
2019届江西省三校高三上学期第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x∈N|x2﹣2x≤0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数为( )A．3 B．4 C．7 D．82．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．执行如图所示的程序框图，则输出的n值为( )（注：“n=1”，即为“n←1”或为“n：=1”．）A．4 B．5 C．6 D．74．已知正项等差数列{an }满足a1+a2014=2，则+的最小值为( )A．1 B．2 C．2013 D．20145．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )A ．B ．C ．D ．6．关于x 的不等式|x ﹣1|+|x ﹣2|≤a 2+a+1的解集为空集，则实数a 的取值范围是( )A ．（﹣1，0）B ．（﹣1，2）C ．[﹣1，0]D ．[﹣1，2）7．设n=4sinxdx ，则二项式（x ﹣）n 的展开式的常数项是( )A ．12B ．6C ．4D ．18．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i 的左边且比a i 小的数的个数为a i （i=1，2，…n ）的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( )A ．48B ．120C ．144D ．1929．（理）已知函数g （x ）=1﹣cos （x+2ψ）（0＜ψ＜）的图象过点（1，2），若有4个不同的正数x i 满足g （x i ）=M ，且x i ＜8（i=1，2，3，4），则x 1+x 2+x 3+x 4等于( )A ．12B ．20C ．12或20D ．无法确定10．已知、、均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）的最大值是( ) A ．1+2 B ．3+ C ．2+ D ．2+211．如图，已知双曲线﹣=1（a ，b ＞0）的左右焦点分别为F 1F 2，|F 1F 2|=2，P 是双曲线右支上的一点，PF 1⊥PF 2，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆半径为，则双曲线的离心率是( )A ．B ．C ．D ．212．已知函数y=f（x）定义域为（﹣π，π），且函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，当x∈（0，π）时，f（x）=﹣f′（）sinx﹣πlnx，（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（30.3），b=f（log3），c=f（log），则a，b，c的大小关系是( )πA．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．若实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m=__________．14．已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是__________．15．4cos50°﹣tan40°=__________．16．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；③函数f（x）的值域为[0，+∞）；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|﹣＜x≤2}．（1）A，B能否相等？若能，求出实数a的值，若不能，试说明理由？（2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．高考数学考试中有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“在每小题中给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得5分，不答或答错得0分”．某考生每道选择题都选出一个答案，能确定其中有8道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题能判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．试求出该考生的选择题：（Ⅰ）得60分的概率；（Ⅱ）得多少分的概率最大？19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（1）证明AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角P﹣BD﹣A的正切值．20．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x+1|（1）求使不等式f（x）＜6成立的x的取值范围．（2）∃x0∈R，使f（x）＜a，求实数a的取值范围．2019届江西省三校高三上学期第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x∈N|x2﹣2x≤0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数为( )A．3 B．4 C．7 D．8【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B的并集确定出B的个数即可．【解答】解：由A中的不等式解得：0≤x≤2，x∈N，即A={0，1，2}，∵A∪B={0，1，2}，∴B可能为{0}；{1}；{2}；{0，1}；{0，2}；{1，2}；{0，1，2}，∅共8个．故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义，先将复数进行化简，即可得到结论．【解答】解：∵z====，∴复数z在复平面内对应的点（）位于第一象限．故选：A．【点评】本题主要考查复数的几何意义，根据复数的四则运算是解决本题的关键，比较基础．3．执行如图所示的程序框图，则输出的n值为( )（注：“n=1”，即为“n←1”或为“n：=1”．）A ．4B ．5C ．6D ．7【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由框图的流程依次求得其运行的结果，直到满足条件S ＜0，求出输出的n 值．【解答】解：由程序框图知第一次运行第一次运行S=100﹣2，n=2；第二次运行S=100﹣2﹣22，n=3；第三次运行S=100﹣2﹣22﹣23，n=4；第四次运行S=100﹣2﹣22﹣23﹣24，n=5；第五次运行S=100﹣2﹣22﹣23﹣24﹣25=38，n=6；第六次运行S=100﹣2﹣22﹣23﹣24﹣25﹣26=﹣26＜0，n=7，满足条件s ＜0，程序运行终止，输出n=7． 故选D ．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，判断程序运行的功能是关键．4．已知正项等差数列{a n }满足a 1+a 2014=2，则+的最小值为( )A ．1B ．2C ．2013D ．2014【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列的性质结合已知求得a 2+a 2013=2，进一步得到，则+=（）（+），然后利用基本不等式求最值． 【解答】解：∵数列{a n }为等差数列，则a 2+a 2013=a 1+a 2014=2， ∴，又a n ＞0， 则+=（）（+）=1+．上式当且仅当a 2=a 2013=1时取“=”．故选：B ．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了基本不等式求最值，是基础题．5．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中E 为棱BB 1的中点（如图），用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )A ．B ．C ．D ．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】规律型．【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．【解答】解：过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C ．故选：C ．【点评】本题主要考查空间三视图的识别，利用空间几何体的直观图是解决本题的关键．比较基础．6．关于x 的不等式|x ﹣1|+|x ﹣2|≤a 2+a+1的解集为空集，则实数a 的取值范围是( )A ．（﹣1，0）B ．（﹣1，2）C ．[﹣1，0]D ．[﹣1，2）【考点】绝对值三角不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】|x ﹣1|+|x ﹣2|表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，其最小值等于1，再由a 2+a+1＜1，解得a的取值范围．【解答】解：|x ﹣1|+|x ﹣2|表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，其最小值等于1， 由题意|x ﹣1|+|x ﹣2|≤a 2+a+1的解集为空集，可得|x ﹣1|+|x ﹣2|＞a 2+a+1恒成立，故有1＞a 2+a+1，解得﹣1＜a ＜0，故选A ．【点评】本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，得到1＞a 2+a+1，是解题的关键，属于中档题．7．设n=4sinxdx ，则二项式（x ﹣）n 的展开式的常数项是( )A ．12B ．6C ．4D ．1【考点】二项式定理的应用；定积分．【专题】计算题；函数思想；转化法；二项式定理．【分析】根据定积分的公式求出n 的值，再根据二项式展开式的通项公式求出展开式的常数项．【解答】解：∵n=4sinxdx=﹣4cosx =﹣4（cos ﹣cos0）=4，∴二项式（x ﹣）4展开式的通项公式为T r+1=•x 4﹣r •=（﹣1）r ••x 4﹣2r ；令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项是T 2+1=（﹣1）2•=6．故选：B ．【点评】本题考查了定积分的计算问题，也考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础题目．8．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i 的左边且比a i 小的数的个数为a i （i=1，2，…n ）的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( )A ．48B ．120C ．144D ．192【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；分类讨论．【分析】根据8和7的特点得到8和7的位置，题目转换为数列 123456 保证5的顺序数是3就可以，分两种情况讨论，6在5前面，此时5一定在第5位，除6外前面有3个数，6在5后面，此时5一定在第4位上，6在后面两个数字上，根据分类原理得到结果．【解答】解：由题意知8一定在第三位，前面有几位数，顺序数就为几而且对其他数的顺序数没有影响，因为8最大，7一定在第五位，因为前面除了8以外所有数都比他小现在对其他数的顺序数没有影响， ∵在8后面又比其他数小∴这两个可以不管可以把题转换为数列 123456 保证5的顺序数是3就可以了， ∴分两种情况 6在5前面，此时5一定在第7位，除6外前面有3个数，故有4×4×3×2×1=96种 6在5后面，此时5一定在第6位上，6在后面两个数字上，故有2×4×3×2×1=48∴共有96+48=144种结果， 故选C ．【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．9．（理）已知函数g（x）=1﹣cos（x+2ψ）（0＜ψ＜）的图象过点（1，2），若有4个不同的正数xi满足g（xi ）=M，且xi＜8（i=1，2，3，4），则x1+x2+x3+x4等于( )A．12 B．20 C．12或20 D．无法确定【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；余弦函数的图象．【专题】计算题．【分析】先由g（x）过点（1，2），求得φ，进而求得函数g（x），再由g（x）=M 在两个周期之内有四个解，则在一个周期内必有两个解，表示出四个解来相加可得．【解答】解：因为：函数g（x）=1﹣cos（x+2ψ）（0＜ψ＜）的图象过点（1，2），∴1﹣cos（+2φ）=2，∴sin2φ=1，∴φ=∴g（x）=1﹣cos（x+）=1+sin x．∵g（x）=M 在两个周期之内竟然有四个解，∴sin x=1﹣M在一个周期内有两个解当1﹣M＞0时，四个根中其中两个关于x=11对称，另两个关于x=5对称，故其和为2×1+5×2=12．当1﹣M＜0时，四个根中其中两个关于x=3对称，另两个关于x=7对称，故其和为2×3+7×2=20．综上得：x1+x2+x3+x4=12或20．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及三角方程有多解的特性，但都有相应的规律，与周期有关．10．已知、、均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）的最大值是( )A．1+2B．3+C．2+D．2+2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先求得（++）•（+）=2+•（2+），再根据|2+|=，||=1，利用两个向量的数量积的定义求得（++）•（+）的最大值．【解答】解：∵、、均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）=+++++=1+0+2++1=2+2+=2+•（2+），又|2+|=，∴2+•（2+）=2+1××cos＜，2+＞，故当＜，2+＞=0时，（++）•（+）取得最大值为2+，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量数量积的定义，属于中档题．11．如图，已知双曲线﹣=1（a，b＞0）的左右焦点分别为F1F2，|F1F2|=2，P是双曲线右支上的一点，PF1⊥PF2，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆半径为，则双曲线的离心率是( )A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直角三角形的内切圆半径r===，可得|PF1|﹣|PF2|=，结合|F1F2|=2，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，直角三角形的内切圆半径r===，∴|PF1|﹣|PF2|=，∵|F1F2|=2，∴双曲线的离心率是e===．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直角三角形内切圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．12．已知函数y=f（x）定义域为（﹣π，π），且函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，当x∈（0，π）时，f（x）=﹣f′（）sinx﹣πlnx，（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（30.3），b=f（log π3），c=f（log），则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．【专题】导数的综合应用．【分析】由题意可知函数为偶函数，把给出的函数解析式求导后求出的值，代入导函数解析式判断导函数的符号，得到原函数的单调性，由单调性得答案．【解答】解：由x∈（0，π）时．所以．则．所以当x∈（0，π）时，f′（x）＜0．则f（x）在x∈（0，π）上为减函数．因为函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，则函数y=f（x）为偶函数，3＜1．因为，而1＜30.3＜2，0＜logπ所以．所以b＞a＞c．故选B．【点评】本题考查了函数的单调性与导函数之间的关系，考查了函数的奇偶性的性质，解答的关键在于判断函数在（0，π）上的单调性，是中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．若实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m=8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，我们可以画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m 的取值．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，故，解得x=，y=，代入x﹣y=﹣2得﹣=﹣2⇒m=8故答案为：8．【点评】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．14．已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是（﹣4，﹣2）．【考点】全称命题；二次函数的性质；指数函数综合题．【专题】简易逻辑．【分析】①由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求【解答】解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．故答案为：（﹣4，﹣2）．【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键．15．4cos50°﹣tan40°=．【考点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】表达式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故答案为：．【点评】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．16．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；③函数f（x）的值域为[0，+∞）；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”．其中所有正确结论的序号是①③④．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的值域；抽象函数及其应用．【专题】规律型．【分析】依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；利用反证法及2x 变化如下：2，4，8，16，32，判断②命题错误；连续利用题中第③个条件得到③正确；据①③的正确性可得④是正确的．【解答】解：①f （2m ）=f （2•2m ﹣1）=2f （2m ﹣1）=…=2m ﹣1f （2）=0，正确； ②f （2n +1）=2n+1﹣2n ﹣1，假设存在n 使f （2n +1）=9，即存在x 1，x 2，﹣=10，又，2x 变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误； ③取x ∈（2m ，2m+1），则∈（1，2]；f （）=2﹣，f （）=…=2m f （）=2m+1﹣x 从而f （x ）∈[0，+∞），正确④根据③的分析容易知道该选项正确； 综合有正确的序号是①③④． 故答案为①③④【点评】本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知集合A={x ∈R|0＜ax+1≤5}，B={x ∈R|﹣＜x ≤2}．（1）A ，B 能否相等？若能，求出实数a 的值，若不能，试说明理由？（2）若命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B 且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【考点】集合的相等；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】计算题． 【分析】（1）集合相等，转化为元素间的相等关系求解 （2）p ⇒q 得A ⊆B 且A ≠B ，转化为集合的关系求解． 【解答】解：（1）若A=B 显然a=0时不满足题意当a ＞0时∴当a ＜0时显然A ≠B故A=B 时，a=2（2）p ⇒q 得A ⊆B 且A ≠B 0＜ax+1≤5⇒﹣1＜ax ≤4 当a=0时，A=R 不满足．当a ＞0时，则解得a ＞2当a＜0时，则综上p是q的充分不必要条件，实数a的取值范围是a＞2，或a＜﹣8【点评】本题考查集合间的关系，一般化为元素间的关系求解．18．高考数学考试中有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“在每小题中给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得5分，不答或答错得0分”．某考生每道选择题都选出一个答案，能确定其中有8道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题能判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．试求出该考生的选择题：（Ⅰ）得60分的概率；（Ⅱ）得多少分的概率最大？【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）要得60分，必须12道选择题全答对，依题意，易知在其余四道题中，有两道题答对的概率各为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，由此能求出他做选择题得60分的概率．（Ⅱ）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5种．得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错．类似的，能够求出得45分为的概率、得分为50的概率、得分为55的概率和得分为60的概率由此能得到最终结果．【解答】解：（Ⅰ）要得60分，必须12道选择题全答对，依题意，易知在其余四道题中，有两道题答对的概率各为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，所以他做选择题得60分的概率为：（Ⅱ）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5种．得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错，于是其概率为：类似的，可知得45分为的概率：得分为50的概率：；得分为55的概率：；得分为60的概率：∴该生选择题得分为45分或50分的可能性最大．【点评】本题考查概率的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意概念乘法公式的合理运用．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（1）证明AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角P﹣BD﹣A的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）通过就是PA2+AD2=PD2，证明AD⊥PA．结合AD⊥AB．然后证明AD⊥平面PAB．（Ⅱ）说明∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB，判断△PBC 是直角三角形，然后求解异面直线PC与AD所成的角正切函数值．（Ⅲ）过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE，证明∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．RT △PHE中，．【解答】（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设，可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA．在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB．（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为：．（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影．由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．由题设可得，，，于是再RT△PHE中，．所以二面角P﹣BD﹣A的正切函数值为．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，直线与平面垂直的判断，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力．20．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）因为，所以，由此可知“果圆”方程为，．（2）由题意，得，所以a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．再由可知的取值范围．（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．【解答】解：（1）∵，∴，于是，所求“果圆”方程为，（2）由题意，得a+c＞2b，即．∵（2b）2＞b2+c2=a2，∴a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．又b2＞c2=a2﹣b2，∴．∴．（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，直线y=t（﹣b≤t≤b）与半椭圆的交点是P，与半椭圆的交点是Q．∴P，Q的中点M（x，y）满足得．∵a＜2b，∴．综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．的直线l与半椭圆的交点是当k＞0时，以k为斜率过B1．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点为，轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的运算．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值；≥0．由（1），构造函数g（a）=a﹣alna （2）f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min﹣1，所以g（a）≥0，确定函数的单调性，即可求得实数a的值；（3）由（2）知，对任意实数x均有e x﹣x﹣1≥0，即1+x≤e x，令（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n ﹣1），可得，从而有，由此即可证得结论．【解答】（1）解：由题意a＞0，f′（x）=e x﹣a，由f′（x）=e x﹣a=0得x=lna．当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．即f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f（lna）=e lna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．（2）解：f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）≥0．min由（1），设g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0．由g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0得a=1．∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．因此g（a）≥0的解为a=1，∴a=1．（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e x﹣x﹣1≥0，即1+x≤e x．令（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），则．∴．∴=．（14分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，解题的关键是正确求导数，确定函数的单调性．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=acos θ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为 （t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a 的值．【考点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程、直线l 的参数方程化为普通方程即可；（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，得关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系，求出t 1、t 2的关系式，结合参数的几何意义，求出a 的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程ρsin 2θ=acos θ（a ＞0），可化为ρ2sin 2θ=a ρcos θ（a ＞0），即y 2=ax （a ＞0）；直线l 的参数方程为 （t 为参数），消去参数t ，化为普通方程是y=x ﹣2；（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2=ax （a ＞0）中， 得；设A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则；∵|PA|•|PB|=|AB|2， ∴， 即； ∴， 解得：a=2，或a=﹣8（舍去）；∴a 的值为2．【点评】本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应先把参数方程与极坐标化为普通方程，再解答问题，是中档题．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f （x ）=|x ﹣3|+|x+1|（1）求使不等式f （x ）＜6成立的x 的取值范围．（2）∃x 0∈R ，使f （x 0）＜a ，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得使不等式f（x）＜6成立的x的取值范围．（2）由题意可得，a大于f（x）的最小值，而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为4，从而求得实数a 的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣3|+|x+1|表示数轴上的x对应点到3、﹣1对应点的距离之和，它的最小值为4，且﹣2 和4对应点到3、﹣1对应点的距离之和正好等于6，故使不等式f（x）＜6成立的x的取值范围为（﹣2，4）．（2）由题意可得，a大于f（x）的最小值，而由f（x）的最小值为4，可得a＞4．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，属于中档题．。
江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学(理)试题
江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题：共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意) 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，1{|0,}4x B x x Z x-=>∈-，则A B =I ( ) A ．{2,3} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3} D ．{1,2,3,5}2．已知复数133iz i+=-，则z =( )A ．2B ．2C ．1D ．123．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，()()2l o g 1f x x =-，则()()7f f =( )A ．1-B ．2-C ．1D ．24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若136a a +=，10100S =，则5a =( )A ．8B ．9C ．10D ．115．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入( )A ．12k ≤B ． 11k ≤C ． 10k ≤D ． 9k ≤7．已知1,2a b ==，且()a ab ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为()A BC ．1 D8．把函数())6f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为( ) A ．[,2]ππ B ．4[,]33ππ C ．[,]123ππ D ．5[,]44ππ9．已知右图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的棱的长度中，最大的是() A ．B ．CD 10．以双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>上一点M 为圆心 作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，与y 轴交于,PQ正视图左视图俯视图2两点，若3PQ =，则双曲线C 的离心率是( ) ABC ．2 D11．今有6个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有( )种A ．204B ．288C ．348D ．39612．若曲线()(02)xf x ae ax x =-<<和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ,使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形,AB 交y 轴于点C ，且12AC C B =u u r u r ，则实数a的取值范围是( ) A ．211,10(1)6(1)e e ⎛⎫⎪--⎝⎭ B ．11,6(1)2e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭C ．1,11e ⎛⎫⎪-⎝⎭ D ．211,10(1)2e ⎛⎫⎪-⎝⎭第II 卷（非选择题：共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分。
2019-2020学年江西省重点中学盟校高三(下)第一次联考数学试卷(理科)(有答案解析)
2019-2020学年江西省重点中学盟校高三（下）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则A. B. C. D.2.i为虚数单位，a为正实数，若复数为纯虚数，则A. 1B.C.D. 23.已知实数，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.4.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩单位：分进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为A. 4B. 3C. 2D. 15.现有编号为、、的三个三棱锥底面水平放置，俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是A. B. C. D.6.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为A. 0B. 2C. 4D.7.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为A. 46B. 12C. 11D. 28.已知，为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线C的一个交点P在以线段为直径的圆上，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.9.函数的图象左移个单位后关于直线对称，则的最小值为A. B. C. D.10.在下列选项中，选出一个“对于，都有恒成立”的充分不必要条件A. B. C. D.11.在平面区域，内任取一点，则存在，使得点P的坐标满足的概率为A. B. C. D.12.已知三棱锥满足底面ABC，在中，，，，D 是线段AC上一点，且，球O为三棱锥的外接球，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球O的表面积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，的夹角为，且，，则______．14.展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线和圆及x轴围成的封闭图形，则封闭图形面积为______ ．15.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若，记，，则等于______．16.已知数列满足：，，数列满足：则的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且证明：a，c，b成等比数列若，且，求的周长18.已知矩形ABCD中，，，在AD上取一点E满足现将沿CE折起使点D移动至P点处，使得．求证：平面平面ABCE；求二面角的余弦值．19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器。
江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考 数学(理)
2019届江西省重点中学盟校高三第一次联考理科数学试卷第I 卷（选择题：共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意) 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，1{|0,}4x B x x Z x-=>∈-，则A B =I ( ) A ．{2,3} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3} D ．{1,2,3,5} 2．已知复数133iz i+=-，则z =( ) AB ．2C ．1D ．123．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，()()2log 1f x x =-，则()()7f f =( )A ．1-B ．2-C ．1D ．24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若136a a +=，10100S =，则5a =( )A ．8B ．9C ．10D ．115．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入( )A ．12k ≤B ． 11k ≤C ． 10k ≤D ． 9k ≤7．已知1,2a b ==，且()a ab ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为( )ABC ．1 D8．把函数())6f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为( ) A ．[,2]ππ B ．4[,]33ππC ．[,]123ππ D ．5[,]44ππ9．已知右图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的棱的长度中，最大的是( ) A． B． CD10．以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点M 为圆心 作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，与y轴交于,P Q两点，若PQ =，则双曲线C 的离心率是( )ABC ．2 D11．今有6个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有( )种A ．204B ．288C ．348D ．39612．若曲线()(02)xf x ae ax x =-<<和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ,使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形,AB 交y 轴于点C ，且12AC CB =uuu r uur，则实数a 的取值范围是( ) A ．211,10(1)6(1)e e ⎛⎫⎪--⎝⎭ B ．11,6(1)2e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C ．1,11e ⎛⎫⎪-⎝⎭ D ．211,10(1)2e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭正视图左视图俯视图2第II 卷（非选择题：共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分。
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绝密★启用前江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学试题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题四个选项中，只有一项符合题目要求。
1、已知复数，若复数Z 在复平面内对应的点在虚轴上， 则实数a 的值为（ ） A ．2 B4 C ．4 D2:2、已知全集为实数集R ，集合,集合，则实数m 的值为（ ）A ．2B 2C ．1D 13、我国古代的数学大都源于生活，在程大位的《算法统宗》一书中有个“竹筒盛米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平。
下头三节三升九，上梢四节贮三升。
惟有中间二节竹，要将米数次第盛。
若是先生无算法，教君直算到天明。
” 其意思为：有一家人用一根9节长的竹筒盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的，自上而下成等差数列，已知下端3节可盛米3.9升，上端4节可盛米3升，……； 这个问题中，这根竹筒一共可盛米多少升？（ ） A ．8.8 B ．8.9 C ．9 D ．9.34、给出下列命题，其中真命题的个数有（ ） ①残差的平方和的值越小，变量之间的线性相关程度越高.②函数f(x)在[a,b]上连续，则f(a)·f(b)<0是方程f(x)=0在区间(a,b)上至少有一个解的充要条件； ③某项测量结果ξ服从正态分布，则=0.19；④若数列{a n }是等比数列的充要条件为；A ．1 B. 2 C. 3 D. 45、某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的 正方形，两条虚线所成的角为3，则该几何体的体积是（ ）A.203 B C ．163 6、已知偶函数f(x)的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100个点，记下落入阴影区域的点数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的点数平均数约为40个，由此可估计的值约为（ ）A ．65B ．25C ．45D ．1237、过抛物线y 2=8x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B 两点,它们到直线x=-3的距离之和等于10,则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 8、执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．14 B. 15 C. 16 D.17 9、若实数x ，y 满足约束件,将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a,b ，则目标函数z=2ax-by+3在点 （-2，-1)处取得最小值的概率为（ ） A.56 B ．56 C ．14D ．16 10、各项均为正数的等比数列{a n }满足a 2a 6 =64，a 3a 4=32，若函 数的导函数为，则（ ）A ．10B ．C ．D ．5511、如图，已知双曲线C: 的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ；若，且，则双曲线C 的离心率为( )C. 2D. 3 12、已知对任意x>1，f(x)=lnx+3xk+1-k 大于零恒成立，若k ∈z ，则k 的 最大值为（ ）A. 2B. 2C. 5D. 4第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13、由3个5和4个3可以组成 个不同的七位数。
14、点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，ABCD 体积的最大值为43，则该球的表面积为 。
15、定义：在数列{a n }中，若满足 (n ∈N*，d 为常数)， 我们称{a n }为“比等差数列”，已知在“比等差数列” {a n }中，，则的个位数字是 。
16、设函数πx+3π)和g(x)=sin(6πx-πx)的图像在y 轴左、右两侧靠近y 轴的 交点分别为M 、N, 且O 为原点，则的值为 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ccosB+bcosC=2acosB．（1）求∠B的大小；（2）若，且a+c的值。
18、（本小题满分12分）2017鸡年春节期间黎明同学有某商场优惠购物券1元券、5元券、10元券各3张（优惠购物券的质地和大小都一致且每张优惠购物券都附有不同的编号），从中随机抽取n张（每张优惠购物券被抽取是等可能的，2≤n≤9且n∈N*）。
（1）当n=3时，求3张优惠购物券中恰有2张面值相等的概率；（2）当n=2时，若用X表示表示被抽取的两张优惠购物券的面值和，①求X的数学期望；②令随机变量，正数a使得的展开式中的常数项为60，求实数 的取值范围。
19、（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCP中，∠A=∠B=900 AB=BC=3，AP=6，CD⊥AP于D，现将PCD沿线段CD折成600的二面角P-CD-A，设E,F,G分别是PD,PC,BC的中点．（1）求证：PA//平面EFG；（2）连接AG,PG, 求平面AGP与平面EFG所成角的余弦值；（3）若M为线段CD上的动点，求直线MF与平面EFG所成角的最大角，并确定成最大角时点M在什么位置？20、（本小题满分12分）已知椭圆方程为，其右焦点F与抛物线y2的焦点重合，过F且垂直于抛物线对称轴的直线与椭圆交于M、N两点，与抛物线交于C、D两点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与(1)中椭圆相交于A,B两点, 直线OA,l,OB的斜率分别为k1,k,k2(其中k>0)，且k1,k,k2成等比数列；设△OAB的面积为S, 以OAOB为直径的圆的面积分别为S1, S2, 求的取值范围。
21、（本小题满分12分）已知函数.（1）若函数的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点，求实数a的取值范围；（2）若a>1，且a∈N*，曲线y=f ( x )在点 (1,f (1)) 处的切线l与x轴，y轴的交点坐标为取得最小值时，求切线l的方程。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
若多做，则按所做的第一题计分。
22、（本小题满分10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数，且），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（k为常数，且k∈R）。
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若C1,C2相交于A，B两点，当线段AB最短时，求k的值。
23、（本小题满分10分）已知f(x)=|2x+m|,m∈R,若关于x的不等式f(x)≤1有唯一的整数解-3。
（1）求整数m的值；（2）若m取（1）中的整数值，当正数a,b满足，求4a+7b的最小值。
江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学试题参考答案一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，1—5、D 、A 、C 、B 、C 6--10、D 、A 、C 、B 、D 、11--12、B 、D. 12题解：即xlnx+x ﹣kx+3k ＞0，令g （x ）=xlnx+x ﹣kx+3k ，则g ′（x ）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k ，∵x ＞1，∴lnx ＞0，若k ≤2，g ′（x ）＞0恒成立， 即g （x ）在（1，+∞）上递增；∴g （1）=1+2k ≥0，解得，k ≥﹣；故﹣≤k ≤2， 故k 的最大值为2；若k ＞2，由lnx+2﹣k ＞0解得x ＞e k ﹣2，故g （x ）在（1，e k ﹣2）上单调递减，在（e k ﹣2，+∞）上单调递增；∴g min （x ）=g （e k ﹣2）=3k ﹣e k ﹣2， 令h （k ）=3k ﹣e k ﹣2，h ′（k ）=3﹣e k ﹣2， ∴h （k ）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；∵h （2+ln3）=3+3ln3＞0，h （4）=12﹣e 2＞0，h （5）=15﹣e 3＜0； ∴k 的最大取值为4， 综上所述，k 的最大值为4． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 3477==35C C 14. 9π 15. 0 . 16. 89-三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解 （1）cos cos 2cos c B b C a B +=，则sin cos sin cos 2sin cos C B B C A B +=sin()2sin cos ,C B A B ∴+=sin 2sin cos ,A A B ∴=1cos 2B ∴=,3π=∴B ， ……5分（2）由23-=⋅得，2332cos-=⋅πa c ， 3ac ∴=． ① 又由余弦定理得ac c a ac c a b -+=∴-+=222223,3cos2π，622=+∴c a ． ② 由①、②得，32=+c a ． ……12分18、解：（1）设3张优惠购物券中恰有2张面值相等的事件是A 事件P(A)=2136393914C C C = ……4分2n =232931(2)3612C P X C ==== 11332991(6)364C C P XC ==== 232931(10)3612C P X C ==== 11332991(11)364C C P XC ==== 11332991(15)364C C P X C ==== 232931(20)3612C P X C ====∴32()3E X =……8分 (3) 261()ax x-的展开式的通项为612216(1)r r rr r r T C a x x ---+=-， 当12-2r-r=0时即r=4时，1r T +项为常数项，42426(1)604C a a ∴-=⇒=，0a >, 2a =2343Y X λλ=-++ 2()3()43E Y E X λλ∴=-++, ()E Y a >232432λλ∴-++>, 解得：1184λ-<< 。
……12分 19、（1）证明：取AD 中点O ，连接GO ，OE ，易得四边形OGFE 为梯形，有OE 在平面EFG 上，又OE PA //，结合⊄PA 平面EFG ，⊂OE 平面EFG ，得//PA 平面EFG ； ……4分（2）分别以OG ，OD ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，有)0,0,3(=，)343,43,0(=．设平面EFG 的法向量为1(,,)n x y z =，则有{1100n OG n OE ⋅=⋅=30304x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取y 可求得平面EFG的法向量11)n =-有3(0,,2PA =-, (3,0.PG =,同理可求得平面PAG的法向量23(,2n =- 设平面AGP 与平面EFG 所成角为α，则12cos |cos ,|n n α=<>=19……8分 （3）在（2）中的空间坐标系中，有)0,0,3(=，)343,43,0(=OE ．设直线MF 与平面EFG 所成角为θ ，设3(,,0)2M λ 又33(,,)244F 33(,,244MF λ∴=-- 由（2）知平面EFG 的法向量1(0,3,1)n =-即11||sin ||||n MF n MF θ⋅=⋅=23=λ．sin θ最大值等于2,即0=60θ∴点M 在CD 的中点时，MF 与平面EFG 所成角最大为︒60． …………12分 20.解：（1）由抛物线方程得F …………1分椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，22||b MN a=抛物线2y =，||CD ∴= ……2分22CD a b MNa==⇒=，223a b -=，∴{21a b == ……4分所以椭圆方程为2214x y += ………5分 (2)设直线l 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x mkx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ，由韦达定理有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)1(4418k m x x k km x x且0)41(1622>-+=∆m k …………6分∵21,,k k k 构成等比数列，∴212k k k ==2121))((x x m kx m kx ++，即：0)(221=++m x x km由韦达定理代入化简得：412=k ．∵ 0>k ，∴21=k ．……………8分 此时0)2(162>-=∆m ，即)2,2(-∈m ．又由A O B 、、三点不共线得0m ≠从而((0,2)m ∈． 故d AB S ⋅=||2122121||||121k m x x k +⋅-+= ||4)(2121221m x x x x ⋅-+=||22m m ⋅-= ……………10分 ∵22221212144x x y y +=+= [来源:学*科*网] 则 =+21S S )(422222121y x y x +++⋅π)24343(42221++⋅=x x π 2]2)[(16321221ππ+-+⋅=x x x x 45π=为定值． ∴SS S 21+⋅=45π||212m m ⋅-5π4≥当且仅当1m =±时等号成立． 综上：12S S S +的取值范围是5π[)4+∞，．……………12分21. 解：（1）：问题转化为ln 1x ax +=在2(0,]x e ∈上有解， 即ln a x x =-在2(0,]x e ∈上有解令2)ln ,(0,]x x x x e ϕ=-∈（ '11()1x x x xϕ-=-=， 2()(0,1)(1,)x e ϕ∴在上单减，在上单增，min ()(1)1x ϕϕ∴== 0)x x ϕ→→+∞时，（，当2(0,]x e ∈时，()x ϕ的值域为[1,)+∞∴实数a 的取值范围是[)1,+∞ ………6分 解法2ln ()x a h x x +=的定义域为0+∞（，），'21(ln )()x a h x x -+='1()0a h x x e -=⇒= 当1(0,)a x e -∈时，()h x 单增；当1(,)a x e -∈+∞时，()h x 单减 ①当21e e a <-时，即时1->a由上知1()(0,)a h x e -在上是增函数，在],(21e e a -上是减函数，()11max ()a a h x h e e --∴==………2分又当ax e-=时，()0h x =，当(0,]a x e -∈时，()0h x <],(.0)(],02e e x x f e a a --∈<当时时，1()(0,)a h x e -∈， ∴()h x 的图像与()g x 的图象在],0(2e 上有公共点，⇔11≥-a e解得1,1,1≥->≥a a a 所以又 ………4分 ②当121-≤≥-a e ea即时，()h x 在2(0,]e 上是增函数，∴()h x 在2(0,]e 上的最大值为222()ah e e +=.Com]所以原问题等价于.2,1222-≥≥+e a ea 解得 又1-≤a ∴无解综上，实数a 的取值范围是[)1,+∞ ………6分 （2）()1'f x a x=-,切线斜率()'11k f a ==-，切点为()1,2a -，所以切线l 的方程为()()211y a a x +=--，分别令 0,0y x ==，得切线与x 轴，y 轴的交点坐标为()0011,0,0,1,,,111a a A B a x y a a a ++⎛⎫--∴==-- ⎪--⎝⎭，()()()()()()222222200111415115411111a a a x y a a a a -++-++∴+===-+++++，当1421255a -=-=+⨯， 即32a =时， 220011x y +取得最小值，但1a >且a N *∈，所以当2a =时，220011x y +取得最小值.此时，切线l 的方程为()()4121y x +=--，即30x y ++=. ………12分22. 解：（1）1C 的普通方程为221+2=4x x --（）（）23=2sin 2cos kk ρθθ-- 2sin 2cos 23k k ρθρθ∴-=-，2223y kx k -=-曲线2C 的直角坐标方程是：3()12y k x =-+ ……5分（2）有（1）知曲线1C 是以（1，2）为圆心，2为半径的圆，曲线2C 为恒过圆内的定点（3,12）斜率为k 的直线，连接点（1，2）和点（3,12）的斜率为2- ，弦AB 最短时，k 为这两点连线斜率的负倒数，所以k 的值为12。