模运算
离散数学中的数论与模运算
离散数学是数学中一门很重要的分支，它研究的是离散的数学对象，不同于连续数学的研究方法。
离散数学中的一个重要内容就是数论与模运算。
数论是研究整数性质的一门学科，而模运算是对整数进行一种特殊的运算。
在数学中，整数的最基本性质之一就是它们可以进行四则运算。
但在一些特定问题中，简单的四则运算并不能满足我们的要求，而模运算的引入就能解决这类问题。
模运算是指将一个整数除以另一个整数得到的余数。
我们通常用“%”符号表示模运算，例如7%3=1，表示7除以3得到的余数是1。
模运算有几个重要的性质：首先，模运算满足封闭性，即两个整数相加或相乘再进行模运算，得到的结果仍是一个整数；其次，模运算满足唯一性，即对于模运算的结果，它的值只有0到除数减1这几个可能；最后，模运算满足等价性，即对于两个整数a和b，如果它们除以一个整数得到的余数相同，那么它们对这个整数的模运算的结果也相同。
在离散数学中，模运算有很多具体的应用。
其中之一就是在密码学中的应用。
密码学是一门研究如何使信息传输在不安全的通道上实现机密性、完整性和鉴别性的学科。
模运算在密码学中被广泛应用于加密算法中。
其中一个经典的例子就是RSA算法。
RSA算法是一种非对称加密算法，它的安全性基于在整数因子分解问题上的困难性。
而模运算在RSA算法的密钥生成和加密、解密过程中起到了重要的作用。
另外，模幂运算可以用于快速幂算法，提高计算效率。
通过对模运算的研究，我们可以更好地理解密码学算法的原理和安全性。
除了在密码学中的应用，模运算还在计算机科学和信息技术中发挥着重要作用。
计算机中的内存按照一定的规则进行存储和分配，而模运算可以帮助我们有效地进行取模操作，减少计算机的存储空间的开销。
在图论中，模运算可以用于解决一些特定的问题，例如判定连通性、回路等。
此外，模运算还可以应用于编码和纠错码领域，用于数据传输和恢复中的差错检测和纠正。
总结起来，离散数学中的数论与模运算是一门非常重要的学科。
数论中的同余定理与模运算计算方法
数论中的同余定理与模运算计算方法数论是数学的一个分支，研究整数及其性质和关系。
同余定理与模运算是数论中的重要概念和计算方法。
本文将介绍同余定理的基本概念，同余关系的性质，以及模运算的计算方法。
一、同余定理的基本概念同余定理是指两个整数在除以同一个正整数时，如果得到的余数相等，则这两个整数被称为同余。
用数学符号表示为：若a、b、n为整数且n>0，则当n|(a-b)时，称a与b模n同余，记作a≡b(mod n)。
同余关系是一个等价关系，具有自反性、对称性和传递性。
下面分别介绍同余关系的性质：1. 自反性：对于任意整数a和正整数n，a ≡ a (mod n)，即a与自身模n同余。
2. 对称性：如果a ≡ b (mod n)，则b ≡ a (mod n)，即a与b模n同余，那么b与a也模n同余。
3. 传递性：如果a ≡ b (mod n)，b ≡ c (mod n)，则a ≡ c (mod n)，即若a与b模n同余，b与c模n同余，那么a与c也模n同余。
二、模运算的计算方法模运算是指用除法计算一个数除以另一个数的余数，常用符号为“mod”。
模运算的计算方法如下：1. 加法：若(a+b) mod n = c ，则(a mod n + b mod n ) mod n = c mod n。
2. 减法：若(a-b) mod n = c ，则(a mod n - b mod n ) mod n = c mod n。
3. 乘法：若(a*b) mod n = c ，则(a mod n * b mod n ) mod n = c mod n。
4. 除法：若(a/b) mod n = c ，则(a mod n / b mod n ) mod n = c mod n。
三、应用实例同余定理与模运算在实际应用中有广泛的应用。
以下列举两个具体的实例：1. 密码学中的应用：同余定理用于密码学中的RSA算法，其中大素数的选择和快速幂取模运算是该算法的核心步骤。
模运算及其应用(附C++功能实现代码)
模运算即求余运算。
“模”是“Mod”的音译，模运算多应用于程序编写中。
Mod的含义为求余。
模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。
例如11 Mod 2，值为1上述模运算多用于程序编写，举一例来说明模运算的原理：Turbo Pascal对mod的解释是这样的：A Mod B=A-(A div B) *B （div含义为整除）基本理论基本概念：给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式n = kp + r ；其中k、r是整数，且0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。
对于正整数p和整数a,b，定义如下运算：取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。
模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。
模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。
模p乘法：(a * b) % p，其结果是a * b算术乘法除以p的余数。
说明：1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。
2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。
例如：7%4 = 3，-7%4 = -3，7%-4 = 3，-7%-4 = -3。
基本性质（1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。
例如11 ≡ 4 (% 7)，18 ≡ 4(% 7)（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)（3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)（4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)运算规则模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。
其规则如下：(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）(a^b) % p = ((a % p)^b) % p （4）结合率：((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）交换率：(a + b) % p = (b+a) % p （7）(a * b) % p = (b * a) % p （8）分配率：((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）重要定理：若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则(a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)；（12）若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有ac≡ bc (%p)；（13）基本应用1.判别奇偶数奇偶数的判别是模运算最基本的应用，也非常简单。
逆元与模运算
逆元与模运算在数学中，逆元和模运算是常见的概念，在代数和数论等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍逆元和模运算的概念、性质以及其在数学和计算机科学中的应用。
一、逆元的概念和性质1. 逆元的定义在数学中，对于整数a、b（b≠0）和模数m（m≠0），如果存在整数x，使得ax ≡ 1 (mod m)，那么称x为a关于模m的逆元，记为x ≡ a^-1 (mod m)。
2. 逆元的性质（1）逆元的存在性：如果a关于模m有逆元，那么这个逆元是唯一的。
（2）逆元的计算：根据扩展欧几里得算法，可以求出整数a在模m下的逆元x。
二、模运算的概念和性质1. 模运算的定义模运算是指将数学运算限制在某一个模数下进行，即在整数除法中只保留余数部分。
对于整数a、b（b≠0）和模数m（m≠0），模运算可以表示为a ≡ b (mod m)。
2. 模运算的性质（1）加法性质：对于模数m，有 (a+b) mod m = (a mod m + b modm ) mod m。
（2）减法性质：对于模数m，有 (a-b) mod m = (a mod m - b mod m ) mod m。
（3）乘法性质：对于模数m，有 (a*b) mod m = (a mod m * b modm ) mod m。
（4）幂运算性质：对于模数m，有 a^k mod m = (a mod m)^k mod m。
三、逆元和模运算的应用1. 线性同余方程逆元和模运算在解线性同余方程中起着重要的作用。
线性同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b、m为已知数，x为未知数。
通过计算逆元和应用模运算的性质，可以求解出线性同余方程的解。
2. 密码学逆元和模运算在密码学中有广泛的应用。
例如RSA加密算法中，通过选择适当的素数和模数以及求解逆元，可以进行加密和解密操作。
3. 离散对数问题离散对数问题是指找出满足a^x ≡ b (mod m)的整数x。
求解离散对数问题是一项困难的计算问题，其复杂度与逆元和模运算密切相关。
模运算的应用与分析方法
模运算的应用与分析方法模运算是数学中的一种特殊运算，它将一个数对于另一个数取余数，最终得到的结果就是模数。
在实际应用中，模运算有着广泛的应用领域，比如密码学、计算机科学、编程和数字信号处理等方面。
本文将从不同角度阐述模运算的应用和分析方法，以及在实际问题中的求解技巧。
一、基础概念1.1 模运算模运算又叫取模运算，是一种常见的整数运算，可以表示成下面的公式：a mod n = r其中，“a”表示被取模的数，“n”表示模数，“r”表示运算的结果，即“a”模“n”的余数。
模运算的值域在0到n-1之间，因为如果“a”大于等于“n”时，就会将“a”的值减去“n”，直到得到在值域内的结果。
1.2 同余关系如果两个整数的模运算结果相同，那么它们就满足同余关系，可表示为：a ≡b (mod n)这个式子可以理解为：如果“a”模“n”的余数和“b”模“n”的余数相等，那么就成立同余关系。
同余关系是模运算的基石，因为它可以用于证明模运算的一些基础性质。
1.3 模运算的基本性质在模运算中，有几个基本性质是需要注意的：（1）加法的分配律：(a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n（2）乘法的分配律：(ab) mod n = [(a mod n)(b mod n)] mod n（3）指数幂的乘法公式：(a^k) mod n = [(a mod n)^k] mod n这些性质可以用来简化模运算的计算，特别是对于大数运算，这些简化计算方法可以大大减少计算时间和空间复杂度。
二、模运算在密码学中的应用现在的信息安全主要依赖于密码算法以及密钥的安全性，而模运算是数字密码学中最常见的数学方法之一。
下面介绍几种常见的密码技术及其应用。
2.1 RSA算法RSA算法是常用于互联网上数据加密和数字签名的非对称密钥算法。
该算法的核心思想便是当你有一个非常庞大的数时，计算该数的质因数是一项艰难而长期的任务，因为这需要进行巨量的计算。
模数m名词解释(一)
模数m名词解释(一)模数m相关名词模数m在数学和计算机科学领域中有着广泛的应用，下面将介绍与模数m相关的一些名词。
1. 模运算模运算是指取模的运算，即将一个数除以模数m所得的余数。
模运算常用符号为“%”。
示例：对于模数m为5的情况下，15%5=0，因为15除以5等于3，余数为0。
2. 同余同余是指两个数除以模数m所得的余数相等的情况。
同余可以表示为a ≡ b (mod m)，其中a和b为待比较的两个数。
示例：当模数m为4时，2和6是同余的，因为2%4=6%4=2。
3. 模反元素模反元素是指在模数m下，与给定的数a互为乘法逆元的数。
即a·x ≡ 1 (mod m)中的x。
示例：模数m为5时，2是4的模反元素，因为2×4 ≡ 1 (mod 5)。
4. 模方程模方程是指形如a·x ≡ b (mod m)的方程，其中a、b和m为整数，x为未知数。
示例：在模数m为7的情况下，求解方程2·x ≡ 4 (mod 7)，则x=6是方程的解。
5. 模幂运算模幂运算是指将一个数进行幂运算后再取模的过程，即a^b % m。
示例：当模数m为8时，求解2^10 % 8的结果为4。
6. 模重复平方算法模重复平方算法是一种高效计算模幂的方法，通过不断平方和取模来加速计算过程。
示例：使用模重复平方算法计算2^10 % 8的结果可分解为(2^2 % 8)^5 % 8，依次计算得到4。
这些名词是与模数m密切相关的概念，它们在数论、密码学和计算机科学等领域中有着广泛的应用和重要的意义。
对于理解和解决与模数m相关的问题具有重要的帮助。
a+b模的计算公式
a+b模的计算公式（实用版）目录1.引言：计算模的概述2.a+b 模的计算公式：概述3.计算公式的推导过程4.计算公式的应用实例5.总结：a+b 模的计算公式的重要性正文1.引言：计算模的概述在数学领域，模运算是一种常见的计算方式，它广泛应用于数论、代数和密码学等领域。
模运算的基本概念是：对于一个整数 n，给定一个整数 a，我们可以计算 a 模 n 的结果，记作 a%n，其结果是满足 0≤a%n<n 的整数。
例如，7 模 3 的结果是 1，因为 7 除以 3 的余数是 1。
2.a+b 模的计算公式：概述在模运算中，我们经常需要计算 a+b 模 n 的结果。
为了简化计算过程，数学家们提出了一种计算方法，即 a+b 模 n 的计算公式。
这个公式可以帮助我们在不直接计算 a+b 的情况下，快速得到它们模 n 的结果。
3.计算公式的推导过程为了推导 a+b 模 n 的计算公式，我们可以先假设 a=km+r 和b=ln+s，其中 k、l 分别是 a 和 b 除以 n 的商，m、n 分别是它们的余数，即 0≤m<n，0≤n<n。
将 a 和 b 代入 a+b，我们得到：a+b = (km+r) + (ln+s) = (k+l)m + (r+s)因为 m 和 n 都是整数，所以 (k+l)m 也是整数。
此时，我们可以将 (k+l)m+r+s 表示为 n 的整数倍加上一个余数，即：(k+l)m + (r+s) = n(km+ln) + (r+s-n)注意到 r+s-n 也是余数，且 0≤r+s-n<n。
因此，我们可以得到 a+b 模 n 的计算公式：a+b ≡ r+s (mod n)4.计算公式的应用实例现在，我们通过一个实例来说明如何使用 a+b 模 n 的计算公式。
假设我们要计算 17+23 模 7 的结果，根据公式，我们可以先计算：17 ≡ 2 (mod 7)23 ≡ 1 (mod 7)然后，将上述结果代入公式，得到：17+23 ≡ 2+1 (mod 7)17+23 ≡ 3 (mod 7)因此，17+23 模 7 的结果是 3。
模运算
模运算“模”是“Mod”的音译，模运算多应用于程序编写中。
Mod的含义为求余。
模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。
虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。
∙中文名模运算∙外文名Mod∙概述计算机编写程序∙领域数论和程序设计∙类型以纯理论为主举例11 Mod 2，值为1上述模运算多用于程序编写，举一例来说明模运算的原理：Turbo Pascal对mod的解释是这样的：A Mod B=A-(A div B) *B （div含义为整除）[1]概念及性质本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。
基本概念给定一个正整数，任意一个整数，一定存在等式；其中、是整数，且，称为除以的商，为除以的余数。
对于正整数和整数 , ，定义如下运算：取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。
模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。
模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。
模p乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。
说明：1.同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。
2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。
例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3(在java、C/C++中%是取余，在python是模运算，此处%按取余处理)。
基本性质（1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。
例如11 ≡ 4 (% 7)，18 ≡ 4(% 7)（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)（3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)（4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)运算规则模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。
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/jojoke/archive/2007/12/17/1003594.html模运算2009-7-16很多地方用到模运算，这里说明模运算的一些规律，并加以证明。
后续会对这些理论实际的应用加以记录和说明。
1. 模运算是取余运算(记做% 或者mod)，具有周期性的特点。
m%n的意思是n除m后的余数，当m递增时m%n呈现周期性特点，并且n越大，周期越长，周期等于n。
例如0 % 20 = 0，1 % 20 = 1，2 % 20 = 2，3 % 20 = 3，...，19 % 20 = 1920 % 20 = 0，21 % 20 = 1，22 % 20 = 2，23 % 20 = 3，...，39 % 20 = 192. 如果 m % n = r，那么可以推出如下等式m = k * n + r (k为大于等于0的整数，r <= m）3. 同余式，表示正整数a，b对n取模，它们的余数相同，记做a ≡ b mod n或者a = b (mod n)。
根据2的等式可以推出a = kn + b 或者a - b = kn证明：∵ a = k1 * n + r1b = k2 * n + r2∴a - b = (k1 - k2) * n + (r1 - r2)a = k * n + (r1 - r2) + b∵a, b对n取模同余，r1 = r2∴a = k * n + b (k = k1 - k2)4. 模运算规则，模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。
其规则如下(a + b) % n = (a % n + b % n) % n （1）(a - b) % n = (a % n - b % n) % n （2）(a * b) % n = (a % n) * (b % n) % n （3）a b % n = ((a % n)b) % n （4）（《ACM》P237规则有错，已改之）（1）式证明∵a = k1*n + r1b = k2*n + r2a % n = r1b % n = r2∴(a+b) % n = ((k1+k2)*n + (r1+r2)) % n = (r1+r2) % n = (a % n + b % n)% n得证（2）式证明同上（3）式证明a = k1*n + r1b = k2*n + r2(a*b) % n = (k1k2n2 + (k1r2+k2r1)n + r1r2) % n = r1r2 % n = (a %n)*（b %n ) % n{此处已作改正，原为：(a %n * b %n ) % n ，但，(a %n)*（b %n ) % n不等于(a %n * b %n ) % n 。
另需注意：“*、/、div 、mod”为同等级运算}(4)式证明设a % n = ra b %n= (a * a * a * a…*a) %n = (a %n * a %n * a %n * … * a %n) %n = r b % n = ((a % n) b) % n模运算看起来不是很直观，但是可以用来推导出一些有用的东西。
例如（4）式可以用来降幂运算，例如计算6265 % 133,直接计算的话需要算出6265 利用（4）式可以进行降幂运算。
6265 % 133= 62 * 6264 % 133= 62 * (622)32 % 133= 62 * 384432 % 133= 62 * (3844 % 133)32 % 133= 62 * 12032 % 133= 62 * 3616 % 133= 62 * 998 % 133= 62 * 924 % 133= 62 * 852 % 133= 62 * 43 % 133= 2666 % 133= 6/juliet2366/blog/item/722fd133d4807147ad4b5fc5.html关于负号取余：『错：这是异号求余的规则：A%B=C，则C的值为：|A|%|B|的结果，让这个结果与A同号，然后在和B相加。
比如：|-15|%|4|=3,然后-3+4=1如果是15%（-4），则结果为 3+（-4）=-1注意一定是两数异号时才是这种规则，同号时跟一般的算法相同』正确的见：IB_12 《Pascal语言小学版（北京理工大学）》/chackerempire/39419.html模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。
虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。
本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。
一基本理论：基本概念：给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 n = kp + r ；其中k、r是整数，且 0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。
对于正整数p和整数a,b，定义如下运算：取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。
模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。
模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。
模p乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。
说明：1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。
2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。
例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。
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例如11 ≡ 4 (% 7)，18 ≡ 4(% 7)（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)（3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)（4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)运算规则：模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。
其规则如下：(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）a b % p = ((a % p)b) % p （4）结合率： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）交换率： (a + b) % p = (b+a) % p （7）(a * b) % p = (b * a) % p （8）分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）重要定理：若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则(a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)；（12）若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有a c≡ b c (%p)；（13）二基本应用：1.判别奇偶数奇偶数的判别是模运算最基本的应用，也非常简单。
易知一个整数n对2取模，如果余数为0，则表示n为偶数，否则n为奇数。
C++实现功能函数：/*函数功能：判别整数n的奇偶性。
能被2整除为偶数，否则为奇数输入值：int n，整数n返回值：bool，若整数n是偶数，返回true，否则返回false*/bool IsEven(int n){return (n % 2 == 0);}2.判别素数一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
例如 2，3，5，7 是质数，而 4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。
判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法：用比该自然数的平方根小的正整数去除这个自然数，若该自然数能被整除，则说明其非素数。
C++实现功能函数：/*函数功能：判别自然数n是否为素数。
输入值：int n，自然数n返回值：bool，若自然数n是素数，返回true，否则返回false */bool IsPrime(unsigned int n){unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子for (unsigned int i=2; i<=maxFactor; i++){if (n % i == 0) //n能被i整除，则说明n非素数 {return false;}}return true;}3. 最大公约数求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依赖于定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r因此d是(b,a mod b)的公约数假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r因此d也是(a,b)的公约数因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
C++实现功能函数：/*函数功能：利用欧几里德算法，采用递归方式，求两个自然数的最大公约数函数名：Gcd输入值：unsigned int a，自然数aunsigned int b，自然数b返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数*/unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b){if (b == 0)return a;return Gcd(b, a % b);}/*函数功能：利用欧几里德算法，采用迭代方式，求两个自然数的最大公约数函数名：Gcd 输入值：unsigned int a，自然数aunsigned int b，自然数b返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数*/unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b){unsigned int temp;while (b != 0){temp = a % b;a = b;b = temp;}return a;}4．模幂运算利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。