2020年湖南省株洲市中考数学试题及答案解析
2020年湖南省株洲市中考数学试题及参考答案(word解析版)
株洲市2020年初中学业水平考试数学试题卷（时量：120分钟，满分150分）一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）1．a的相反数为﹣3，则a等于（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．2．下列运算正确的是（）A．a•a3＝a4B．2a﹣a＝2 C．（a2）5＝a7D．（﹣3b）2＝6b23．一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（）A．B．C．D．4．一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（）A．B．C．D．5．数据12、15、18、17、10、19的中位数为（）A．14 B．15 C．16 D．176．下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解？（）A．﹣3 B．﹣C．D．27．在平面直角坐标系中，点A（a，2）在第二象限内，则a的取值可以是（）A．1 B．﹣C．D．4或﹣48．下列不等式错误的是（）A．﹣2＜﹣1 B．π＜C．D．＞0.39．如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）A．4πB．6 C．4D．π10．二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（）A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）11．关于x的方程3x﹣8＝x的解为x＝．12．因式分解：2a2﹣12a＝．13．计算的结果是．14．王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：尺码S M L XL XXL XXXL频率0.05 0.1 0.2 0.325 0.3 0.025则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有个．15．一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则∠MON＝度．16．如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为．17．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1＝（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为．（结果用含k的式子表示）18．据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为尺．（结果用最简根式表示）三、解答题（本大题共8小题，共78分）19．计算：（）﹣1+|﹣1|﹣tan60°．20．先化简，再求值：（﹣）•﹣1，其中x＝，y＝2．21．某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为2米．（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？22．近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：（1）求该数据中每天代寄包裹数在50.5～200.5范围内的天数；（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？②这60天中，该代办点为顾客代寄的包裹中有一部分重量超过2千克，且不超过5千克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：重量G（单位：千克）2＜G≤3 3＜G≤4 4＜G≤5件数（单位：件）15 10 15 求这40件包裹收取费用的平均数．23．如图所示，△BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G，连接AF、CF，满足△ABF≌△CBE．（1）求证：∠EBF＝90°．（2）若正方形ABCD的边长为1，CE＝2，求tan∠AFC的值．24．AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM＝∠BAC ＝α．（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE＝，若⊙O的半径为1，cosα＝，求AG•ED的值．25．如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．①求证：△OAE≌△BOF；②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．26．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b＜﹣时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．（3）若AB2＝，点P的坐标为（﹣，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的Γ顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．答案与解析一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）1．a的相反数为﹣3，则a等于（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．【知识考点】相反数．【思路分析】根据相反数的定义解答即可．【解答过程】解：因为3的相反数是﹣3，所以a＝3．故选：B．【总结归纳】本题考查了相反数的定义，熟知概念是关键．2．下列运算正确的是（）A．a•a3＝a4B．2a﹣a＝2 C．（a2）5＝a7D．（﹣3b）2＝6b2【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【思路分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则及积的乘方的运算法则依次计算各项后即可解答．【解答过程】解：选项A，根据同底数幂的乘法法则可得a•a3＝a4，选项A正确；选项B，根据合并同类项法则可得2a﹣a＝a，选项B错误；选项C，根据幂的乘方的运算法则可得（a2）5＝a10，选项C错误；选项D，根据积的乘方的运算法则可得（﹣3b）2＝9b2，选项D错误．故选：A．【总结归纳】本题考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则及积的乘方的运算法则，熟练运用相关法则是解决问题的关键．3．一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（）A．B．C．D．【知识考点】概率公式．【思路分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．【解答过程】解：根据题意可得：在4个小球中，其中标有正数的有2个，分别是2，3，故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：＝．故选：C．【总结归纳】本题考查了概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．4．一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（）A．B．C．D．【知识考点】正数和负数．【思路分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．【解答过程】解：∵1.2|＝1.2，|﹣2.3|＝2.3，|+0.9|＝0.9，|﹣0.8|＝0.8，又∵0.8＜0.9＜1.2＜2.3，∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项D中的元件．故选：D．【总结归纳】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．5．数据12、15、18、17、10、19的中位数为（）A．14 B．15 C．16 D．17【知识考点】中位数．【思路分析】首先将这组数据按大小顺序排列，再利用中位数定义，即可求出这组数据的中位数．【解答过程】解：把这组数据从小到大排列为：10，12，15，17，18，19，则这组数据的中位数是＝16．故选：C．【总结归纳】此题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．6．下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解？（）A．﹣3 B．﹣C．D．2【知识考点】不等式的解集．【思路分析】首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可．【解答过程】解：解不等式2（x﹣1）+3＜0，得，因为只有﹣3＜，所以只有﹣3是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解，故选：A．【总结归纳】此题考查不等式解集的意义．解题的关键是掌握不等式的基本性质，会解解简单的不等式．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．7．在平面直角坐标系中，点A（a，2）在第二象限内，则a的取值可以是（）A．1 B．﹣C．D．4或﹣4【知识考点】解一元一次不等式；点的坐标．【思路分析】根据第二象限内点的坐标特点列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【解答过程】解：∵点A（a，2）是第二象限内的点，∴a＜0，四个选项中符合题意的数是，故选：B．【总结归纳】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．8．下列不等式错误的是（）A．﹣2＜﹣1 B．π＜C．D．＞0.3【知识考点】实数大小比较．【思路分析】对于选项A，根据两个负数绝对值大的反而小即可得﹣2＜﹣1；对于选项B，由3＜π＜4，，即可得；对于选项C，由，6.25＜10，可得；对于选项D，由实数大小的比较可得．由此可得只有选项C错误．【解答过程】解：A、根据两个负数绝对值大的反而小可得﹣2＜﹣1，原不等式正确，故此选项不符合题意；B、由3＜π＜4，可得，原不等式正确，故此选项不符合题意；C、由，6.25＜10，可得，原不等式错误，故此选项符合题意；D、由＝0.3333…，可得，原不等式正确，故此选项不符合题意．故选：C．【总结归纳】本题考查了实数的大小比较及无理数的估算，熟练运用实数大小的比较方法及无理数的估算方法是解决问题的关键．9．如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）A．4πB．6 C．4D．π【知识考点】矩形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质．【思路分析】求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA1的面积．【解答过程】解：由题意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A1BC＝90°．由旋转的性质，得A1C＝AC＝4．在Rt△A1BC中，cos∠ACA1＝＝．∴∠ACA1＝60°．∴扇形ACA1的面积为＝．即线段CA扫过的图形的面积为．故选：D．【总结归纳】此题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．10．二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（）A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定【知识考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【思路分析】首先分析出a，b，x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1，y2，再作差法比较y1，y2的大小．【解答过程】解：∵a﹣b2＞0，b2≥0，∴a＞0．又∵ab＜0，∴b＜0，∵x1＜x2，x1+x2＝0，∴x2＝﹣x1，x1＜0．∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，∴，．∴y1﹣y2＝2bx1＞0．∴y1＞y2．故选：B．【总结归纳】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键．二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）11．关于x的方程3x﹣8＝x的解为x＝．【知识考点】一元一次方程的解．【思路分析】方程移项、合并同类项、把x系数化为1，即可求出解．【解答过程】解：方程3x﹣8＝x，移项，得3x﹣x＝8，合并同类项，得2x＝8．解得x＝4．故答案为：4．【总结归纳】本题考查了一元一次方程的解，方程移项，把x系数化为1，即可求出解．12．因式分解：2a2﹣12a＝．【知识考点】因式分解﹣提公因式法．【思路分析】运用提公因式法分解因式即可．【解答过程】解：2a2﹣12a＝2a（a﹣6）．故答案为：2a（a﹣6）．【总结归纳】本题考查了提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题关键．13．计算的结果是．【知识考点】二次根式的混合运算．【思路分析】利用二次根式的乘除法则运算．【解答过程】解：原式＝＝＝＝2．故答案是：2．【总结归纳】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．14．王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：尺码S M L XL XXL XXXL频率0.05 0.1 0.2 0.325 0.3 0.025 则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有个．【知识考点】频数（率）分布表．【思路分析】直接用尺码L的频率乘以班级总人数即可求出答案．【解答过程】解：由表可知尺码L的频率为0.2，又因为班级总人数为40，所以该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有40×0.2＝8．故答案是：8．【总结归纳】本题考查频数与频率，关键是掌握频数是指每个对象出现的次数．频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数．15．一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则∠MON＝度．【知识考点】多边形内角与外角；正多边形和圆．【思路分析】根据正多边形性质求出中心角，即可求出∠MON的度数．【解答过程】解：根据正多边形性质得，中心角为：∠AOB＝360°÷9＝40°，∴∠MON＝2∠AOB＝80°．故答案为：80．【总结归纳】本题考查了正n边形中心角的定义，在正多边形中，中心角为．16．如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE 的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为．【知识考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质．【思路分析】先证明DE为△ABC的中位线，得到四边形BCFE为平行四边形，求出BC＝EF＝3，根据中位线定理即可求解．【解答过程】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，，∵CF∥BE，∴四边形BCFE为平行四边形，∴BC＝EF＝3，∴．故答案为：．【总结归纳】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形判定与性质，熟知三角形中位线定理是解题关键．17．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1＝（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为．（结果用含k的式子表示）【知识考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．【思路分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为k，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．【解答过程】解：∵D是反比例函数图象上一点∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为＝1．∵点B在函数（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，四边形OABC为矩形，∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k．∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积﹣△AOD的面积＝k﹣1．故答案为：k﹣1．【总结归纳】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型．18．据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为尺．（结果用最简根式表示）【知识考点】最简二次根式；正多边形和圆．【思路分析】根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．【解答过程】解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D＝90°，CD＝DE，∴CE为直径，∠ECD＝45°，由题意得AB＝2.5，∴CE＝2.5﹣0.25×2＝2，∴CD＝CE，∴∠ECD＝45°，∴正方形CDEF周长为尺．故答案为：．【总结归纳】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．三、解答题（本大题共8小题，共78分）19．计算：（）﹣1+|﹣1|﹣tan60°．【知识考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】先根据负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数进行化简，再进行计算即可．【解答过程】解：原式＝4+1﹣×＝4+1﹣3＝2．【总结归纳】本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数等知识，熟记相关知识是解题关键．20．先化简，再求值：（﹣）•﹣1，其中x＝，y＝2．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原分式，再将x，y的值代入计算可得．【解答过程】解：原式＝•﹣1＝•﹣1＝﹣1＝＝﹣，当x＝，y＝2，原式＝．【总结归纳】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算的顺序和运算法则．21．某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为2米．（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？【知识考点】最简二次根式；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【思路分析】（1）运用勾股定理解题即可；（2）根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解．【解答过程】解：（1）在Rt△ABC中，；（2）∵∠α＝60°，∴∠AMN＝30°，∴AM＝2MN，∵在Rt△ABC中，AN2+MN2＝AM2，∴AN2+300＝4AN2∴AN＝10，∴AM＝20，∴AM﹣AB＝20﹣18＝2．综上所述，长度增加了2米．【总结归纳】本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键．22．近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：（1）求该数据中每天代寄包裹数在50.5～200.5范围内的天数；（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？②这60天中，该代办点为顾客代寄的包裹中有一部分重量超过2千克，且不超过5千克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：重量G（单位：千克）2＜G≤3 3＜G≤4 4＜G≤5件数（单位：件）15 10 15 求这40件包裹收取费用的平均数．【知识考点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；加权平均数．【思路分析】（1）根据统计图读出50.5～100.5的天数，100.5～150.5的天数，150.5～200.5的天数，再将三个数据相加即可；（2）①应付费用等于基础费用加上超过部分的费用；②求加权平均数即可．【解答过程】解：（1）结合统计图可知：每天代寄包裹数在50.5～200.5范围内的天数为18+12+12＝42天；（2）①因为1.6＞1，故重量超过了1kg，除了付基础费用8元，还需要付超过1kg部分0.6kg的费用2元，则该顾客应付费用为8+2＝10（元）；②（12×15+14×10+15×16）÷40＝14（元）．所以这40件包裹收取费用的平均数为14元．【总结归纳】本题考查频数分布直方图、加权平均数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．如图所示，△BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G，连接AF、CF，满足△ABF≌△CBE．（1）求证：∠EBF＝90°．（2）若正方形ABCD的边长为1，CE＝2，求tan∠AFC的值．【知识考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．【思路分析】（1）已知△ABF≌△CBE，根据全等三角形的对应角相等可得∠ABF＝∠CBE，再由∠ABF+∠CBF＝90°，可得∠CBF+∠CBE＝90°，即可证得∠EBF＝90°；（2）由△ABF≌△CBE，根据全等三角形的对应角相等可得∠AFB＝∠CEB，由对顶角相等可得∠FGA＝∠EGB，即可证得∠FAC＝∠EBF＝90°；又因正方形边长为1，CE＝2，可得，AF＝CE＝2．在Rt△AFC中，即可求得结论．【解答过程】（1）证明：∵△ABF≌△CBE，∴∠ABF＝∠CBE，∵∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠CBF+∠CBE＝90°，∴∠EBF＝90°；（2）解：∵△ABF≌△CBE，∴∠AFB＝∠CEB，∵∠FGA＝∠EGB，∴∠FAC＝∠EBF＝90°，∵正方形边长为1，CE＝2．∴，AF＝CE＝2．∴tan∠AFC＝．【总结归纳】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质及锐角三角函数的知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键．24．AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM＝∠BAC ＝α．（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE＝，若⊙O的半径为1，cosα＝，求AG•ED的值．【知识考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形．【思路分析】（1）由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得∠A+∠B＝90°，由OC＝OB可得∠B＝∠OCB，推出∠OCB+∠BCM＝90°，从而可得结论；（2）由已知条件易求出AC的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得∠GFH＝∠ACE，根据余角的性质可得∠ECD＝∠AGC，进而可得△EDC∽△ACG，根据相似三角形的性质变形可得AG•DE ＝AC•CE，即可求出结果．【解答过程】（1）证明：连接OC，如图①，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠BCM＝∠A，∴∠OCB+∠BCM＝90°，即OC⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）解：如图②，∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，∴AB＝2，∵cos∠BAC＝，即，∴，∵∠AFE＝∠ACE，∠GFH＝∠AFE，∴∠GFH＝∠ACE，∵DH⊥MN，∴∠GFH+∠AGC＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠AGC，又∵∠DEC＝∠CAG，∴△EDC∽△ACG，∴，∴．【总结归纳】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理的推论以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．25．如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．①求证：△OAE≌△BOF；②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．【知识考点】反比例函数综合题．【思路分析】（1）由点E为线段OC的中点，可得E点坐标为，进而可知A点坐标为：，代入解析式即可求出k；（2）①由△OAB为等腰直角三角形，可得AO＝OB，再根据同角的余角相等可证∠AOE＝∠FBO，由AAS即可证明△OAE≌△BOF；②由“ZJ距离”的定义可知d（M，N）为MN两点的水平离与垂直距离之和，故d（A，C）+d （A，B）＝BF+CF，即只需求出B点坐标即可，设点A（1，m），由△OAE≌△BOF可得B（m，﹣1），进而代入直线AB解析式求出k值即可解答．【解答过程】解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，∴，即：E点坐标为，又∵AE⊥y轴，AE＝1，∴，∴．（2）①在△OAB为等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠FOB＝90°，又∵BF⊥y轴，∴∠FBO+∠FOB＝90°，∴∠AOE＝∠FBO，在△OAE和△BOF中，，∴△OAE≌△BOF（AAS），②解：设点A坐标为（1，m），∵△OAE≌△BOF，∴BF＝OE＝m，OF＝AE＝1，∴B（m，﹣1），设直线AB解析式为：l AB：y＝kx+5，将AB两点代入得：则．解得，．当m＝2时，OE＝2，，，符合；∴d（A，C）+d（A，B）＝AE+CE+（BF﹣AE）+（OE+OF）＝1+CE+OE﹣1+OE+1＝1+CE+2OE ＝1+CO+OE＝1+5+2＝8，当m＝3时，OE＝3，，S△AOB＝5＞3，不符，舍去；综上所述：d（A，C）+d（A，B）＝8．【总结归纳】此题属于代几综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握三角形全等的性质和判定和数形结合的思想是解本题的关键．26．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b＜﹣时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．（3）若AB2＝，点P的坐标为（﹣，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的Γ顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）根据题意，把a＝c，b＝﹣3，点（1，﹣1），代入解析式，即可求出解析式；（2）利用根的判别式进行判断，即可得到结论；（3）根据二次函数的性质，得到b2﹣4ac＝4a，结合根与系数的关系，得到，然后证明△OAP∽△OPB，得到，然后得到，利用二次根式的性质即可得到答案．【解答过程】解：（1）由题意得：y＝ax2﹣3x+a，∵函数过点（1，﹣1），∴a﹣3+a＝﹣1，∴a＝c＝1，∴y＝x2﹣3x+1；（2）由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．∴△＝b2﹣4ac＝4，∴4ac＝b2﹣4，在函数中，，∵，∴2b+5＜0，即函数图象与x轴没有交点；（3）因为函数顶点在直线l上，则有，即b2﹣4ac＝4a①，∵，∴，即，∴，由①得：②，∵∠OAP＝∠DAB，∴∠OAP＝∠OPB，∵∠OAP＝∠OBP+∠APB，∠OPB＝∠OPA+∠APB，∴∠OBP＝∠OPA，则△OAP∽△OPB．∴，。
2020年湖南省株洲市中考数学试卷及答案
初中毕业学业考试数学试题卷时量：120分钟满分：120分注意事项：1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名、就读学校和准考证号。
2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效。
3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师。
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共8小题，每小题3分，共24分）1．2-的相反数是A．0B．2C．12-D ．122．若使二次根式2x-在实数范围内有意义．．．，则x的取值范围是A．2x≥B．2x>C．2x<D．2x≤3．下列四个图形中，不是．．轴对称图形的是A．B．C．D．4．一次函数2y x=+的图象不．经过A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．估计1832⨯+的运算结果应在A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间第3页共5页第3页 共5页6．从分别写有数字4-、3-、2-、1-、0、1、2、3、4的九张一样的卡片中，任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是A ．19B ．13C ．12D ．237．如图是“北大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形OABC 拼成的．测得AB BC =，OA OC =，OA OC ⊥，36ABC ∠=︒，则OAB ∠的度数是A ．116︒B ．117︒C ．118︒D ．119︒8．定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．分解因式：3+2x x= .10．孔明同学买铅笔m 支，每支0.4元，买练习本n 本，每本2元．那么他买铅笔和练习本一共花了 元.11．如图，AB//CD ，AD AC ⊥，32ADC ∠=︒，则CAB ∠的度数是 . 12．反比例函数图象如图所示，则这个反比例函数的解析式是y = .y第12题图Ox12 P (1,2)· OCBA第7题图第11题图DCBA第3页 共5页13．在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是170、162、155、160、168（单位：厘米），则这组数据的极差是 厘米．14．如图，已知AC BD ⊥于点P ，AP CP =，请增加一个．．条件，使ABP ∆≌CDP ∆ (不能添加辅助线)，你增加的条件是 .15．如图，AC 是O 的直径，CB 与O 相切于点C ，AB 交O 于点D ．已知 51B ∠=︒，则DOC ∠等于 度．16．孔明同学在解方程组2y kx b y x =+⎧⎨=-⎩的过程中，错把b 看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为12=-⎧⎨=⎩x y ，又已知直线=+y kx b 过点（3，1），则b 的正确值应该是 ．三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17．（本题满分10分，每小题5分）（1）计算：102(51)sin 30-+-+︒（2）先化简，再求值：23393x x x ++--，其中1x =-．第14题图PDCBA 第15题图ODCA第3页 共5页小学生 20％大学生10％初中生？高中生30％B 1AA 118．（本题满分10分）如图，在Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒，6OA AB ==，将OAB ∆绕点O 沿逆时针方向旋转90︒得到11OA B ∆． （1）线段1OA 的长是 ，1AOB ∠的度数是 ；（2）连结1AA ，求证：四边形11OAA B 是平行四边形； （3）求四边形11OAA B 的面积．19．（本题满分10分）某次学生夏令营活动，有小学生、初中生、高中生和大学生参加，共200人，各类学生人数比例见扇形统计图． （1）参加这次夏令营活动的初中．．生．共有多少人？ （2）活动组织者号召参加这次夏令营活动的所有学生为贫困学生捐款. 结果小学生每人捐款5元，初中生每人捐款10元，高中生每人捐款15元，大学生每人捐款20元，问平均每人捐款是多少元？ （3）在（2）的条件下，把每个学生的捐款数额（以元为单位）一一记录下来，则在这组数据中，众数是多少？20．（本题满分10分）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知：在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分．．．．每份可得0.2元． （1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份．（2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内．第3页 共5页xy(12,36)OPEOABC21．（本题满分10分）如图，点A 、B 、C 是O 上的三点，//AB OC .（1）求证：AC 平分OAB ∠.（2）过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC 于点P . 若2AB =，30AOE ∠=︒，求PE 的长．22．（本题满分10分）如图1，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B =，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）．（1）求AB 的长；（2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值． 为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论： 张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？李明：因为抛物线上的点(,)x y 是表示图1中AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系，那么，（12，36）表示当12AP =时，AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系.赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出AB ，这个问题就可以解决了. 请根据上述对话，帮他们解答这个问题.图1图2R Q PCBA第3页 共5页23．（本题满分12分）如图，已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值．再次提醒：所有的答案都填（涂）到答题卡上，答在本卷上的答案无效。
2020年湖南省株洲市中考数学试卷和答案解析
2020年湖南省株洲市中考数学试卷和答案解析一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）a的相反数为﹣3，则a等于（）A．﹣3B．3C．±3D．解析：根据相反数的定义解答即可．参考答案：解：因为3的相反数是﹣3，所以a＝3．故选：B．点拨：本题考查了相反数的定义，熟知概念是关键．2．（4分）下列运算正确的是（）A．a•a3＝a4B．2a﹣a＝2C．（a2）5＝a7D．（﹣3b）2＝6b2解析：根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则及积的乘方的运算法则依次计算各项后即可解答．参考答案：解：选项A，根据同底数幂的乘法法则可得a•a3＝a4，选项A正确；选项B，根据合并同类项法则可得2a﹣a＝a，选项B错误；选项C，根据幂的乘方的运算法则可得（a2）5＝a10，选项C错误；选项D，根据积的乘方的运算法则可得（﹣3b）2＝9b2，选项D错误．故选：A．点拨：本题考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则及积的乘方的运算法则，熟练运用相关法则是解决问题的关键．3．（4分）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（）A．B．C．D．解析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．参考答案：解：根据题意可得：在4个小球中，其中标有正数的有2个，分别是2，3，故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：＝．故选：C．点拨：本题考查了概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．4．（4分）一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（）A．B．C．D．解析：分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．参考答案：解：∵1.2|＝1.2，|﹣2.3|＝2.3，|+0.9|＝0.9，|﹣0.8|＝0.8，又∵0.8＜0.9＜1.2＜2.3，∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项D中的元件．故选：D．点拨：本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．5．（4分）数据12、15、18、17、10、19的中位数为（）A．14B．15C．16D．17解析：首先将这组数据按大小顺序排列，再利用中位数定义，即可求出这组数据的中位数．参考答案：解：把这组数据从小到大排列为：10，12，15，17，18，19，则这组数据的中位数是＝16．故选：C．点拨：此题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．6．（4分）下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解？（）A．﹣3B．﹣C．D．2解析：首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可．参考答案：解：解不等式2（x﹣1）+3＜0，得，因为只有﹣3＜，所以只有﹣3是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解，故选：A．点拨：此题考查不等式解集的意义．解题的关键是掌握不等式的基本性质，会解解简单的不等式．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．7．（4分）在平面直角坐标系中，点A（a，2）在第二象限内，则a 的取值可以是（）A．1B．﹣C．D．4或﹣4解析：根据第二象限内点的坐标特点列出关于a的不等式，求出a 的取值范围即可．参考答案：解：∵点A（a，2）是第二象限内的点，∴a＜0，四个选项中符合题意的数是，故选：B．点拨：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．8．（4分）下列不等式错误的是（）A．﹣2＜﹣1B．π＜C．D．＞0.3解析：对于选项A，根据两个负数绝对值大的反而小即可得﹣2＜﹣1；对于选项B，由3＜π＜4，，即可得；对于选项C，由，6.25＜10，可得；对于选项D，由实数大小的比较可得．由此可得只有选项C错误．参考答案：解：A、根据两个负数绝对值大的反而小可得﹣2＜﹣1，原不等式正确，故此选项不符合题意；B、由3＜π＜4，可得，原不等式正确，故此选项不符合题意；C、由，6.25＜10，可得，原不等式错误，故此选项符合题意；D、由＝0.3333…，可得，原不等式正确，故此选项不符合题意．故选：C．点拨：本题考查了实数的大小比较及无理数的估算，熟练运用实数大小的比较方法及无理数的估算方法是解决问题的关键．9．（4分）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）A．4πB．6C．4D．π解析：求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA1的面积．参考答案：解：由题意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A1BC＝90°．由旋转的性质，得A1C＝AC＝4．在Rt△A1BC中，cos∠ACA1＝＝．∴∠ACA1＝60°．∴扇形ACA1的面积为＝．即线段CA扫过的图形的面积为．故选：D．点拨：此题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（）A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定解析：首先分析出a，b，x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1，y2，再作差法比较y1，y2的大小．参考答案：解：∵a﹣b2＞0，b2≥0，∴a＞0．又∵ab＜0，∴b＜0，∵x1＜x2，x1+x2＝0，∴x2＝﹣x1，x1＜0．∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，∴，．∴y1﹣y2＝2bx1＞0．∴y1＞y2．故选：B．点拨：此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键．二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）11．（4分）关于x的方程3x﹣8＝x的解为x＝4．解析：方程移项、合并同类项、把x系数化为1，即可求出解．参考答案：解：方程3x﹣8＝x，移项，得3x﹣x＝8，合并同类项，得2x＝8．解得x＝4．故答案为：4．点拨：本题考查了一元一次方程的解，方程移项，把x系数化为1，即可求出解．12．（4分）因式分解：2a2﹣12a＝2a（a﹣6）．解析：运用提公因式法分解因式即可．参考答案：解：2a2﹣12a＝2a（a﹣6）．故答案为：2a（a﹣6）．点拨：本题考查了提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题关键．13．（4分）计算的结果是2．解析：利用二次根式的乘除法则运算．参考答案：解：原式＝＝＝＝2．故答案是：2．点拨：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．14．（4分）王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：尺码S M L XL XXL XXL频率0.050.10.20.3250.30.025则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有8个．解析：直接用尺码L的频率乘以班级总人数即可求出答案．参考答案：解：由表可知尺码L的频率为0.2，又因为班级总人数为40，所以该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有40×0.2＝8．故答案是：8．点拨：本题考查频数与频率，关键是掌握频数是指每个对象出现的次数．频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数．15．（4分）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则∠MON ＝80度．解析：根据正多边形性质求出中心角，即可求出∠MON的度数．参考答案：解：根据正多边形性质得，中心角为：∠AOB＝360°÷9＝40°，∴∠MON＝2∠AOB＝80°．故答案为：80．点拨：本题考查了正n边形中心角的定义，在正多边形中，中心角为．16．（4分）如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为．解析：先证明DE为△ABC的中位线，得到四边形BCFE为平行四边形，求出BC＝EF＝3，根据中位线定理即可求解．参考答案：解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，，∵CF∥BE，∴四边形BCFE为平行四边形，∴BC＝EF＝3，∴．故答案为：．点拨：本题考查了三角形中位线定理，平行四边形判定与性质，熟知三角形中位线定理是解题关键．17．（4分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1＝（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为k﹣1．（结果用含k 的式子表示）解析：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为k，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．参考答案：解：∵D是反比例函数图象上一点∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为＝1．∵点B在函数（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，四边形OABC为矩形，∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k．∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积﹣△AOD的面积＝k ﹣1．故答案为：k﹣1．点拨：本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型．18．（4分）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为4尺．（结果用最简根式表示）解析：根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．参考答案：解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D＝90°，CD＝DE，∴CE为直径，∠ECD＝45°，由题意得AB＝2.5，∴CE＝2.5﹣0.25×2＝2，∴CD＝CE，∴∠ECD＝45°，∴正方形CDEF周长为尺．故答案为：．点拨：本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．三、解答题（本大题共8小题，共78分）19．计算：（）﹣1+|﹣1|﹣tan60°．解析：先根据负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数进行化简，再进行计算即可．参考答案：解：原式＝4+1﹣×＝4+1﹣3＝2．点拨：本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数等知识，熟记相关知识是解题关键．20．先化简，再求值：（﹣）•﹣1，其中x＝，y＝2．解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原分式，再将x，y的值代入计算可得．参考答案：解：原式＝•﹣1＝•﹣1＝﹣1＝＝﹣，当x＝，y＝2，原式＝．点拨：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算的顺序和运算法则．21．某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为2米．（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？解析：（1）运用勾股定理解题即可；（2）根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解．参考答案：解：（1）在Rt△ABC中，；（2）∵∠α＝60°，∴∠AMN＝30°，∴AM＝2MN，∵在Rt△ABC中，AN2+MN2＝AM2，∴AN2+300＝4AN2∴AN＝10，∴AM＝20，∴AM﹣AB＝20﹣18＝2．综上所述，长度增加了2米．点拨：本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键．22．近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：（1）求该数据中每天代寄包裹数在50.5～200.5范围内的天数；（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？②这60天中，该代办点为顾客代寄的包表中有一部分重量超过2千克，且不超过5千克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：重量G（单位：千2＜G≤33＜G≤44＜G≤5克）件数（单位：件）151015求这40件包裹收取费用的平均数．解析：（1）根据统计图读出50.5～100.5的天数，100.5～150.5的天数，150.5～200.5的天数，再将三个数据相加即可；（2）①应付费用等于基础费用加上超过部分的费用；②求加权平均数即可．参考答案：解：（1）结合统计图可知：每天代寄包裹数在50.5～200.5范围内的天数为18+12+12＝42天；（2）①因为1.6＞1，故重量超过了1kg，除了付基础费用8元，还需要付超过1k部分0.6kg的费用2元，则该顾客应付费用为8+2＝10元；②（12×15+14×10+15×16）÷40＝14元．所以这40件包裹收取费用的平均数为14元．点拨：本题考查频数分布直方图、加权平均数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．如图所示，△BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G，连接AF、CF，满足△ABF≌△CBE．（1）求证：∠EBF＝90°．（2）若正方形ABCD的边长为1，CE＝2，求tan∠AFC的值．解析：（1）已知△ABF≌△CBE，根据全等三角形的对应角相等可得∠ABF＝∠CBE，再由∠ABF+∠CBF＝90°，可得∠CBF+∠CBE＝90°，即可证得∠EBF＝90°；（2）由△ABF≌△CBE，根据全等三角形的对应角相等可得∠AFB＝∠CEB，由对顶角相等可得∠FGA＝∠EGB，即可证得∠FAC＝∠EBF＝90°；又因正方形边长为1，CE＝2，可得，AF＝CE ＝2．在Rt△AFC中，即可求得结论．参考答案：（1）证明：∵△ABF≌△CBE，∴∠ABF＝∠CBE，∵∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠CBF+∠CBE＝90°，∴∠EBF＝90°；（2）解：∵△ABF≌△CBE，∴∠AFB＝∠CEB，∵∠FGA＝∠EGB，∴∠FAC＝∠EBF＝90°，∵正方形边长为1，CE＝2．∴，AF＝CE＝2．∴tan∠AFC＝．点拨：本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质及锐角三角函数的知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键．24．AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM＝∠BAC＝α．（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE＝，若⊙O的半径为1，cosα＝，求AG•ED的值．解析：（1）由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得∠A+∠B ＝90°，由OC＝OB可得∠B＝∠OCB，推出∠OCB+∠BCM＝90°，从而可得结论；（2）由已知条件易求出AC的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得∠GFH＝∠ACE，根据余角的性质可得∠ECD＝∠AGC，进而可得△EDC∽△ACG，根据相似三角形的性质变形可得AG•DE＝AC•CE，即可求出结果．参考答案：（1）证明：连接OC，如图①，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠BCM＝∠A，∴∠OCB+∠BCM＝90°，即OC⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）解：如图②，∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，∴AB＝2，∵cos∠BAC＝，即，∴，∵∠AFE＝∠ACE，∠GFH＝∠AFE，∴∠GFH＝∠ACE，∵DH⊥MN，∴∠GFH+∠AGC＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠AGC，又∵∠DEC＝∠CAG，∴△EDC∽△ACG，∴，∴．点拨：本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理的推论以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．25．如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．①求证：△OAE≌△BOF；②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ 距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．解析：（1）由点E为线段OC的中点，可得E点坐标为，进而可知A点坐标为：，代入解析式即可求出k；（2）①由△OAB为等腰直角三角形，可得AO＝OB，再根据同角的余角相等可证∠AOE＝∠FBO，由AAS即可证明△OAE≌△BOF；②由“ZJ距离”的定义可知d（M，N）为MN两点的水平离与垂直距离之和，故d（A，C）+d（A，B）＝BF+CF，即只需求出B点坐标即可，设点A（1，m），由△OAE≌△BOF可得B（m，﹣1），进而代入直线AB解析式求出k值即可解答．参考答案：解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，∴，即：E点坐标为，又∵AE⊥y轴，AE＝1，∴，∴．（2）①在△OAB为等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠FOB＝90°，又∵BF⊥y轴，∴∠FBO+∠FOB＝90°，∴∠AOE＝∠FBO，在△OAE和△BOF中，，∴△OAE≌△BOF（AAS），②解：设点A坐标为（1，m），∵△OAE≌△BOF，∴BF＝OE＝m，OF＝AE＝1，∴B（m，﹣1），设直线AB解析式为：l AB：y＝kx+5，将AB两点代入得：则．解得，．当m＝2时，OE＝2，，，符合；∴d（A，C）+d（A，B）＝AE+CE+（BF﹣AE）+（OE+OF）＝1+CE+OE﹣1+OE+1＝1+CE+2OE＝1+CO+OE＝1+5+2＝8，当m＝3时，OE＝3，，S △AOB＝5＞3，不符，舍去；综上所述：d（A，C）+d（A，B）＝8．点拨：此题属于代几综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握三角形全等的性质和判定和数形结合的思想是解本题的关键．26．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b＜﹣时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．（3）若AB2＝，点P的坐标为（﹣，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的Γ顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．解析：（1）根据题意，把a＝c，b＝﹣3，点（1，﹣1），代入解析式，即可求出解析式；（2）利用根的判别式进行判断，即可得到结论；（3）根据二次函数的性质，得到b2﹣4ac＝4a，结合根与系数的关系，得到，然后证明△OAP∽△OPB，得到，然后得到，利用二次根式的性质即可得到答案．参考答案：解：（1）由题意得：y＝ax2﹣3x+a，∵函数过点（1，﹣1），∴a﹣3+a＝﹣1，∴a＝c＝1，∴y＝x2﹣3x+1；（2）由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．∴△＝b2﹣4ac＝4，∴4ac＝b2﹣4，在函数中，，∵，∴2b+5＜0，即函数图象与x轴没有交点；（3）因为函数顶点在直线l上，则有，即b2﹣4ac＝4a①，∵，∴，即，∴，由①得：②，∵∠OAP＝∠DAB，∴∠OAP＝∠OPB，∵∠OAP＝∠OBP+∠APB，∠OPB＝∠OPA+∠APB，∴∠OBP＝∠OPA，则△OAP∽△OPB．∴，∴OA•OB＝OP2，∴．∴，∴．由②得：，∴，∴当c＝1时，．点拨：本题考查了二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识进行解题．。
湖南省株洲市2020年中考数学试卷A卷
湖南省株洲市2020年中考数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）一个数和它的倒数相等，则这个数是（）A . 1B . －1C . ±1D . ±1和02. （2分） (2020七下·河南月考) 下列计算正确的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020八上·富平期末) 要使二次根式有意义，字母的取值范围是（）A . x≥B . x≤C . x＞D . x＜4. （2分）(2020·枣阳模拟) 已知△ABC内接于⊙O，若∠AOB=120°，则∠C的度数是（）A . 60°B . 120°C . 60°或120°D . 30°或150°5. （2分） (2020八下·富县期末) 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差，从这四人中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的是（）运动员甲乙丙丁平均数（）376350376350方差12.513.52.45.4A . 甲B . 乙6. （2分）(2011·湖州) 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（）A . 2B .C .D .7. （2分） (2019八上·成都开学考) 如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018八上·渝北月考) 如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①AE＝AF；②DF＝DN；③AN＝BF；④EN⊥NC；⑤AE＝NC，其中正确结论的个数是（）A . 2个D . 5个9. （2分） (2017八下·高阳期末) 如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN ，则线段CN的长是（）A . 3cmB . 4cmC . 5cmD . 6cm10. （2分） (2018九上·硚口期中) 如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），M（m，0）且m＞0，分别以AO、AM为边在∠A OM内部作等边△AOB和等边△AMC，连接CB并延长交x轴于点D，则C点的横坐标的值为（）A . m+B . m+C . m+D . m+二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2016七上·乳山期末) 已知点P的坐标为（1+a，2a﹣2），且点P到两坐标轴的距离相等，则a 的值是________．12. （1分）如图是一个由若干个正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是：________ （多填或错填得0分，少填酌情给分）．13. （1分） (2016七上·平阳期末) 已知∠α=47°30′，则∠α的余角的度数为________°．14. （1分）(2017·海淀模拟) 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能是________（填写一个你认为正确的序号）．①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2；②掷一枚硬币，正面朝上；③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球．15. （1分）(2019·新昌模拟) 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D 在反比例函数的图象上，则点C的坐标为________．16. （1分） (2019九上·梁子湖期末) 已知二次函数 y=（x-h）2+1 （ h为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为5，则的值为________.三、解答题 (共8题；共73分)17. （5分）(2013·丽水) 先化简，再求值：（a+2）2+（1﹣a）（1+a），其中a=﹣．18. （5分） (2019八上·禅城期末) ．19. （5分） (2019九上·福田期中) 【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠AC B＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，⑴试利用射影定理证明△BOF∽△BED；⑵若DE＝2CE，求OF的长．20. （10分） (2020九上·青山期中) 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B 两点，与x轴交于点P，过点A作AE⊥x轴于点E，AE＝3．（1）求点A的坐标；（2）若PA：PB＝3：1，求一次函数的解析式．21. （13分）(2019·顺义模拟) 为了传承中华优秀传统文化，某校学生会组织了一次全校1200名学生参加的“汉字听写”大赛，并设成绩优胜奖．赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中100名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩x/分频数频率50≤x＜60100.1060≤x＜70250.2570≤x＜8030b80≤x＜90a0.2090≤x≤100150.15成绩在70≤x＜80这一组的是：70 70 71 71 71 72 72 73 73 73 73 75 75 75 75 76 76 76 76 76 76 76 76 77 77 78 78 78 79 79请根据所给信息，解答下列问题：（1） a＝________，b＝________；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数是________；（4）若这次比赛成绩在78分以上（含78分）的学生获得优胜奖，则该校参加这次比赛的1200名学生中获优胜奖的约有多少人？22. （15分）(2017·西固模拟) 近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h 的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？23. （10分）(2019·海口模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点，DF⊥AE，垂足为点F，连结CF（1）若AE＝BC①求证：△ABE≌△DFA；②求四边形CDFE的周长；③求tan∠FCE的值；（2）探究：当BE为何值时，△CDF是等腰三角形.24. （10分）(2020·宁波模拟) 已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，连结AC。
2020年湖南省株洲市中考数学试卷(附答案解析)
2020年湖南省株洲市中考数学试卷一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）a 的相反数为3-，则a 等于( ) A ．3-B ．3C ．3±D ．132．（4分）下列运算正确的是( ) A ．34a a a =B ．22a a -=C ．257()a a =D ．22(3)6b b -=3．（4分）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字1-、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．344．（4分）一实验室检测A 、B 、C 、D 四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）数据12、15、18、17、10、19的中位数为( ) A ．14B ．15C ．16D ．176．（4分）下列哪个数是不等式2(1)30x -+<的一个解？( ) A ．3-B ．12-C ．13D ．27．（4分）在平面直角坐标系中，点(,2)A a 在第二象限内，则a 的取值可以是( ) A ．1B ．32-C ．43D ．4或4-8．（4分）下列不等式错误的是( )A ．21-<-B ．πC ．52>D ．10.33>9．（4分）如图所示，点A 、B 、C 对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点1A ，则此时线段CA 扫过的图形的面积为( )A ．4πB ．6C ．D ．83π10．（4分）二次函数2y ax bx c =++，若0ab <，20a b ->，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在该二次函数的图象上，其中12x x <，120x x +=，则( ) A ．12y y =- B ．12y y >C ．12y y <D ．1y 、2y 的大小无法确定二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（4分）关于x 的方程38x x -=的解为x = ． 12．（4分）因式分解：2212a a -= ．13．（4的结果是 ． 14．（4分）王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：”的人数有 个．15．（4分）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI 为正九边形，其中心点为点O ，点M 、N 分别在射线OA 、OC 上，则MON ∠= 度．16．（4分）如图所示，点D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，连接BE ，过点C 作//CF BE ，交DE 的延长线于点F ，若3EF =，则DE 的长为 ．17．（4分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 为矩形，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 在函数1(0k y x x =>，k 为常数且2)k >的图象上，边AB 与函数22(0)y x x=>的图象交于点D ，则阴影部分ODBC 的面积为 ．（结果用含k 的式子表示）18．（4分）据《汉书律历志》记载：“量者，龠(yu è)、合、升、斗、斛(h ú)也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜(hu án )其外，旁有庣(ti āo )焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为 尺．（结果用最简根式表示）三、解答题（本大题共8小题，共78分）19．计算：11()|1|604-+-︒．20．先化简，再求值：()1x y yy x x y--+，其中x =，2y =．21．某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线12//l l ，点A 、B 分别在1l 、2l 上，斜坡AB 的长为18米，过点B 作1BC l ⊥于点C ，且线段AC 的长为（1）求该斜坡的坡高BC ；（结果用最简根式表示）（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60︒，过点M 作1MN l ⊥于点N ，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？ 22．近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：（1）求该数据中每天代寄包裹数在50.5~200.5范围内的天数；（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？②这60天中，该代办点为顾客代寄的包裹中有一部分重量超过2千克，且不超过5千克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：23．如图所示，BEF ∆的顶点E 在正方形ABCD 对角线AC 的延长线上，AE 与BF 交于点G ，连接AF 、CF ，满足ABF CBE ∆≅∆． （1）求证：90EBF ∠=︒．（2）若正方形ABCD 的边长为1，2CE =，求tan AFC ∠的值．24．AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，连接AC 、BC ，直线MN 过点C ，满足BCM BAC α∠=∠=．（1）如图①，求证：直线MN 是O 的切线；（2）如图②，点D 在线段BC 上，过点D 作DH MN ⊥于点H ，直线DH 交O 于点E 、F ，连接AF 并延长交直线MN 于点G ，连接CE ，且53CE =，若O 的半径为1，3cos 4α=，求AG ED 的值．25．如图所示，OAB ∆的顶点A 在反比例函数(0)k y k x=>的图象上，直线AB 交y 轴于点C ，且点C 的纵坐标为5，过点A 、B 分别作y 轴的垂线AE 、BF ，垂足分别为点E 、F ，且1AE =． （1）若点E 为线段OC 的中点，求k 的值；（2）若OAB ∆为等腰直角三角形，90AOB ∠=︒，其面积小于3． ①求证：OAE BOF ∆≅∆；②把1212||||x x y y -+-称为1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点间的“ZJ 距离”，记为(,)d M N ，求(d A ，)(C d A +，)B 的值．26．如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象（记为抛物线)Γ与y 轴交于点C ，与x 轴分别交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别记为1x ，2x ，且120x x <<．（1）若a c =，3b =-，且过点(1,1)-，求该二次函数的表达式；（2）若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的判别式△4=．求证：当52b <-时，二次函数21(1)y ax b x c =+++的图象与x 轴没有交点．（3）若2226c c AB c-+=，点P 的坐标为(1)-，过点P 作直线l 垂直于y 轴，且抛物线的Γ的顶点在直线l 上，连接OP 、AP 、BP ，PA 的延长线与抛物线Γ交于点D ，若OPB DAB ∠=∠，求0x 的最小值．参考答案一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．【解答】解：因为3的相反数是3-，所以3a =． 故选：B ．2．【解答】解：选项A ，根据同底数幂的乘法法则可得34a a a =，选项A 正确； 选项B ，根据合并同类项法则可得2a a a -=，选项B 错误； 选项C ，根据幂的乘方的运算法则可得2510()a a =，选项C 错误； 选项D ，根据积的乘方的运算法则可得22(3)9b b -=，选项D 错误． 故选：A ．3．【解答】解：根据题意可得：在4个小球中，其中标有正数的有2个，分别是2，3， 故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：2142=． 故选：C ．4．【解答】解：|1.2| 1.2=，| 2.3| 2.3-=，|0.9|0.9+=，|0.8|0.8-=， 又0.80.9 1.2 2.3<<<，∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项D 中的元件．故选：D ．5．【解答】解：把这组数据从小到大排列为：10，12，15，17，18，19，则这组数据的中位数是1517162+=． 故选：C ．6．【解答】解：解不等式2(1)30x -+<，得12x <-，因为只有132-<-，所以只有3-是不等式2(1)30x -+<的一个解，故选：A ．7．【解答】解：点(,2)A a 是第二象限内的点， 0a ∴<，四个选项中符合题意的数是32-，故选：B ．8．【解答】解：A 、根据两个负数绝对值大的反而小可得21-<-，原不等式正确，故此选项不符合题意；B 、由34π<<，45可得π<C、3，532<，可得52>，原不等式错误，故此选项符合题意； D 、由10.33333=⋯，可得10.33>，原不等式正确，故此选项不符合题意．故选：C ．9．【解答】解：由题意，知4AC =，422BC =-=，190A BC ∠=︒． 由旋转的性质，得14AC AC ==． 在Rt △1A BC 中，111cos 2BC ACA AC ∠==． 160ACA ∴∠=︒．∴扇形1ACA 的面积为260483603ππ⨯⨯=．即线段CA 扫过的图形的面积为83π．故选：D ．10．【解答】解：20a b ->，20b ， 0a ∴>．又0ab <， 0b ∴<，12x x <，120x x +=， 21x x ∴=-，10x <．点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在该二次函数2y ax bx c =++的图象上，∴2111y ax bx c =++，2222211y ax bx c ax bx c =++=-+．12120y y bx ∴-=>． 12y y ∴>．故选：B ．二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）11．【分析】方程移项、合并同类项、把x 系数化为1，即可求出解． 【解答】解：方程38x x -=， 移项，得38x x -=， 合并同类项，得28x =． 解得4x =． 故答案为：4．12．【分析】运用提公因式法分解因式即可．【解答】解：22122(6)a a a a -=-． 故答案为：2(6)a a -．13．【分析】利用二次根式的乘除法则运算．【解答】解：原式33== 4233=+ 2=．故答案是：2．14．【分析】直接用尺码L 的频率乘以班级总人数即可求出答案． 【解答】解：由表可知尺码L 的频率为0.2，又因为班级总人数为40， 所以该班学生所穿校服尺码为“L ”的人数有400.28⨯=． 故答案是：8．15．【分析】根据正多边形性质求出中心角，即可求出MON ∠的度数． 【解答】解：根据正多边形性质得，中心角为： 360940AOB ∠=︒÷=︒， 280MON AOB ∴∠=∠=︒．故答案为：80．16．【分析】先证明DE 为ABC ∆的中位线，得到四边形BCFE 为平行四边形，求出3BC EF ==，根据中位线定理即可求解．【解答】解：D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC =， //CF BE ，∴四边形BCFE 为平行四边形，3BC EF ∴==，∴1322DE BC ==． 故答案为：32．17．【分析】根据反比例函数k 的几何意义可知：AOD ∆的面积为1，矩形ABCO 的面积为k ，从而可以求出阴影部分ODBC 的面积． 【解答】解：D 是反比例函数22(0)y x x=>图象上一点∴根据反比例函数k 的几何意义可知：AOD ∆的面积为1212⨯=．点B 在函数1(0ky x x=>，k 为常数且2)k >的图象上，四边形OABC 为矩形，∴根据反比例函数k 的几何意义可知：矩形ABCO 的面积为k ． ∴阴影部分ODBC 的面积=矩形ABCO 的面积AOD -∆的面积1k =-．故答案为：1k -．18．【分析】根据正方形性质确定CDE ∆为等腰直角三角形，CE 为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE ，求出CD ，问题得解． 【解答】解：如图，四边形CDEF 为正方形， 90D ∴∠=︒，CD DE =， CE ∴为直径，45ECD ∠=︒，由题意得 2.5AB =， 2.50.2522CE ∴=-⨯=，cos 2CD CE ECD ∴=∠==∴正方形CDEF 周长为故答案为：三、解答题（本大题共8小题，共78分）19．【分析】先根据负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数进行化简，再进行计算即可．【解答】解：原式41=+413=+-2=．20．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原分式，再将x ，y 的值代入计算可得． 【解答】解：原式221x y y xy x y -=-+ ()()1x y x y y xy x y +-=-+ 1x y x -=- y x -= y x =-，当x ，2y =，原式=21．【分析】（1）运用勾股定理解题即可；（2）根据勾股定理列出方程，求出AM ，问题得解．【解答】解：（1）在Rt ABC ∆中，BC答：该斜坡的坡高BC 长为（2）60α∠=︒，30AMN ∴∠=︒，2AM MN ∴=，在Rt ABC ∆中，222AN MN AM +=，223004AN AN ∴+=10AN ∴=，20AM ∴=，20182AM AB ∴-=-=．综上所述，长度增加了2米．22．【分析】（1）根据统计图读出50.5~100.5的天数，100.5~150.5的天数，150.5~200.5的天数，再将三个数据相加即可；（2）①应付费用等于基础费用加上超过部分的费用；②求加权平均数即可．【解答】解：（1）结合统计图可知：每天代寄包裹数在50.5~200.5范围内的天数为18121242++=天；（2）①因为1.61>，故重量超过了1kg ，除了付基础费用8元，还需要付超过1kg 部分0.6kg 的费用2元，则该顾客应付费用为8210+=（元)；②(121514101516)4014⨯+⨯+⨯÷=（元)．所以这40件包裹收取费用的平均数为14元．23．【分析】（1）已知ABF CBE ∆≅∆，根据全等三角形的对应角相等可得ABF CBE ∠=∠，再由90ABF CBF ∠+∠=︒，可得90CBF CBE ∠+∠=︒，即可证得90EBF ∠=︒；（2）由ABF CBE ∆≅∆，根据全等三角形的对应角相等可得AFB CEB ∠=∠，由对顶角相等可得FGA EGB ∠=∠，即可证得90FAC EBF ∠=∠=︒；又因正方形边长为1，2CE =，可得AC 2AF CE ==．在Rt AFC ∆中，即可求得结论．【解答】（1）证明：ABF CBE ∆≅∆，ABF CBE ∴∠=∠，90ABF CBF ∠+∠=︒，90CBF CBE ∴∠+∠=︒，90EBF ∴∠=︒；（2）解：ABF CBE ∆≅∆，AFB CEB ∴∠=∠，FGA EGB ∠=∠，90FAC EBF ∴∠=∠=︒，正方形边长为1，2CE =．∴AC 2AF CE ==．tan AC AFC AF ∴∠=． 24．【分析】（1）由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得90A B ∠+∠=︒，由OC OB =可得B OCB ∠=∠，推出90OCB BCM ∠+∠=︒，从而可得结论；（2）由已知条件易求出AC 的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得GFH ACE ∠=∠，根据余角的性质可得ECD AGC ∠=∠，进而可得EDC ACG ∆∆∽，根据相似三角形的性质变形可得AG DE AC CE =，即可求出结果．【解答】（1）证明：连接OC ，如图①，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90A B ∴∠+∠=︒，OC OB =，B OCB ∴∠=∠，BCM A ∠=∠，90OCB BCM ∴∠+∠=︒，即OC MN ⊥，MN ∴是O 的切线；（2）解：如图②，AB 是O 的直径，O 的半径为1，2AB ∴=，3cos cos 4AC BAC AB α∠===，即324AC =， ∴32AC =， AFE ACE ∠=∠，GFH AFE ∠=∠，GFH ACE ∴∠=∠，DH MN ⊥，90GFH AGC ∴∠+∠=︒，90ACE ECD ∠+∠=︒，ECD AGC ∴∠=∠，又DEC CAG ∠=∠，EDC ACG ∴∆∆∽， ∴ED EC AC AG=， ∴355232AG DE AC CE ==⨯=． 25．【分析】（1）由点E 为线段OC 的中点，可得E 点坐标为5(0,)2，进而可知A 点坐标为：5(1,)2A ，代入解析式即可求出k ； （2）①由OAB ∆为等腰直角三角形，可得AO OB =，再根据同角的余角相等可证AOE FBO ∠=∠，由AAS 即可证明OAE BOF ∆≅∆；②由“ZJ 距离”的定义可知(,)d M N 为MN 两点的水平距离与垂直距离之和，故(d A ，)(C d A +，)B BF CF =+，即只需求出B 点坐标即可，设点(1,)A m ，由OAE BOF ∆≅∆可得(,1)B m -，进而代入直线AB 解析式求出k 值即可解答．【解答】解：（1）点E 为线段OC 的中点，5OC =， ∴1522OE OC ==，即：E 点坐标为5(0,)2， 又AE y ⊥轴，1AE =，∴5(1,)2A ，∴55122k =⨯=． （2）①在OAB ∆为等腰直角三角形中，AO OB =，90AOB ∠=︒， 90AOE FOB ∴∠+∠=︒，又BF y ⊥轴，90FBO FOB ∴∠+∠=︒，AOE FBO ∴∠=∠，在OAE ∆和BOF ∆中，90AEO OFB AOE FBOAO BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()OAE BOF AAS ∴∆≅∆，②解：设点A 坐标为(1,)m ，OAE BOF ∆≅∆，BF OE m ∴==，1OF AE ==，(,1)B m ∴-，设直线AB 解析式为：:5AB l y kx =+，将AB 两点代入得：则551k m km +=⎧⎨+=-⎩． 解得1132k m =-⎧⎨=⎩，2223k m =-⎧⎨=⎩． 当2m =时，2OE =，OA =，532AOB S ∆=<，符合； (d A ∴，)(C d A +，)()()1111211528B AE CE BF AE OE OF CE OE OE CE OE CO OE =++-++=++-++=++=++=++=，当3m =时，3OE =，OA =53AOB S ∆=>，不符，舍去；综上所述：(d A ，)(C d A +，)8B =．26．【分析】（1）根据题意，把a c =，3b =-，点(1,1)-，代入解析式，即可求出解析式；（2）利用根的判别式进行判断，即可得到结论；（3）根据二次函数的性质，得到244b ac a -=，结合根与系数的关系，得到2426c c a c -+=，然后证明OAP OPB ∆∆∽，得到OA OP OP OB =，然后得到01c x a=-，利用二次函数的性质即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得：23y ax x a =-+，函数过点(1,1)-，31a a ∴-+=-，1a c ∴==，231y x x ∴=-+；（2）由题意，一元二次方程20ax bx c ++=的判别式△4=． ∴△244b ac =-=，244ac b ∴=-，在函数21(1)y ax b x c =+++中，2221(1)4(1)(4)25b ac b b b =+-=+--=+，52b <-， 250b ∴+<，即函数图象与x 轴没有交点；（3）因为函数顶点在直线l 上，则有2414ac b a -=-， 即244b ac a -=①，2226c c ABc -+=， ∴222126()c c x x c -+-=， 即22121226()4c c x x x x c -++-=， ∴222426b ac c c a c--+=， 由①得：2426c c a c-+=②， OAP DAB ∠=∠，OPB DAB ∠=∠，OAP OPB ∴∠=∠，OAP OBP APB ∠=∠+∠，OPB OPA APB ∠=∠+∠， OBP OPA ∴∠=∠，则OAP OPB ∆∆∽． ∴OA OP OP OB=， 2OA OB OP ∴=，∴2212((1)x x =+-． ∴01c x a=+， ∴01c x a =-．由②得：202614c c x -+=-， ∴2011(1)44x c =-+， ∴当1c =时，01()4min x =．。
2020年湖南省株洲市中考数学试卷(含解析)印刷版
与内圆的半径之差为 0.25 尺），则此斛底面的正方形的周长为
尺．（结果用最简根式表示）
三、解答题（本大题共 8 小题，共 78 分） 19．计算：（ ）﹣1+|﹣1|﹣ tan60°．
20．先化简，再求值：（ ﹣ ）• ﹣1，其中 x＝ ，y＝2．
21．某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存 在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线 l1∥l2，点 A、B 分别在 l1、l2 上，斜坡 AB 的长为 18 米，过点 B 作 BC⊥l1 于点 C，且线段 AC 的长为 2 米．
8．（4 分）下列不等式错误的是（ ）
A．﹣2＜﹣1
B．π＜
C．
D． ＞0.3
【分析】对于选项 A，根据两个负数绝对值大的反而小即可得﹣2＜﹣1；对于选项 B，由 3＜π＜4，
，即可得
；对于选项 C，由
，6.25＜10，可得
；对于选项
D，由实数大小的比较可得
．由此可得只有选项 C 错误．
【解答】解：A、根据两个负数绝对值大的反而小可得﹣2＜﹣1，原不等式正确，故此选项不符合题意；
7．（4 分）在平面直角坐标系中，点 A（a，2）在第二象限内，则 a 的取值可以是（ ）
A．1
B．﹣
C．
D．4 或﹣4
【分析】根据第二象限内点的坐标特点列出关于 a 的不等式，求出 a 的取值范围即可． 【解答】解：∵点 A（a，2）是第二象限内的点，∴a＜0，四个选项中符合题意的数是 ，故选：B．
A．
B．
C．
D．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二 者的比值就是其发生的概率的大小． 【解答】解：根据题意可得：在 4 个小球中，其中标有正数的有 2 个，分别是 2，3， 故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为： ＝ ．故选：C．
2020年湖南省株洲市中考数学试卷(有详细解析)
2020年湖南省株洲市中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.a的相反数为−3，则a等于()A. −3B. 3C. ±3D. 132.下列运算正确的是()A. a⋅a3=a4B. 2a−a=2C. (a2)5=a7D. (−3b)2=6b23.一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字−1、0、2和3.从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为()A. 14B. 13C. 12D. 344.一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量(单位：克)，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是()A. B. C. D.5.数据12、15、18、17、10、19的中位数为()A. 14B. 15C. 16D. 176.下列哪个数是不等式2(x−1)+3<0的一个解？()A. −3B. −12C. 13D. 27.在平面直角坐标系中，点A(a,2)在第二象限内，则a的取值可以是()A. 1B. −32C. 43D. 4或−48.下列不等式错误的是()A. −2<−1B. π<√17C. 52>√10 D. 13>0.39.如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为()A. 4πB. 6C. 4√3D. 83π10.二次函数y=ax2+bx+c，若ab<0，a−b2>0，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在该二次函数的图象上，其中x1<x2，x1+x2=0，则()A. y1=−y2B. y1>y2C. y1<y2D. y1、y2的大小无法确定二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.关于x的方程3x−8=x的解为x=______．12.因式分解：2a2−12a=______．13.计算√2×(√8+√2)的结果是______．314.尺码S M L XL XXL XXL频率0.050.10.20.3250.30.025则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有______个．15.一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则∠MON=______度．16.如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF//BE，交DE的延长线于点F，若EF=3，则DE的长为______．17.如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为(x>矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1=kx(x>0,k为常数且k>2)的图象上，边AB与函数y2=2x0)的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为______.(结果用含k的式子表示)18.据《汉书律历志》记载：“量者，龠(yuè)、合、升、斗、斛(ℎú)也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜(ℎuán)其外，旁有庣(tiāo)焉”.意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形的周长为______尺．(结果用最简根式表示)三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）)−1+|−1|−√3tan60°．19.计算：(1420.先化简，再求值：(x y−y x)⋅y x+y−1，其中x=√2，y=2．21.某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1//l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为2√6米．(1)求该斜坡的坡高BC；(结果用最简根式表示)(2)为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？22.近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据(每天代寄包裹数、天数均为整数)统计如下：(1)求该数据中每天代寄包裹数在50.5～200.5范围内的天数；(2)若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克(不足1千克的按1千克计算)需再收取2元．①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？②这60天中，该代办点为顾客代寄的包表中有一部分重量超过2千克，且不超过5千40重量G(单位：千克)2<G≤33<G≤44<G≤5件数(单位：件)151015求这件包裹收取费用的平均数．23.如图所示，△BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G，连接AF、CF，满足△ABF≌△CBE．(1)求证：∠EBF=90°．(2)若正方形ABCD的边长为1，CE=2，求tan∠AFC的值．24. AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连接AC 、BC ，直线MN 过点C ，满足∠BCM =∠BAC =α．(1)如图①，求证：直线MN 是⊙O 的切线；(2)如图②，点D 在线段BC 上，过点D 作DH ⊥MN 于点H ，直线DH 交⊙O 于点E 、F ，连接AF 并延长交直线MN 于点G ，连接CE ，且CE =53，若⊙O 的半径为1，cosα=34，求AG ⋅ED 的值．25. 如图所示，△OAB 的顶点A 在反比例函数y =kx (k >0)的图象上，直线AB 交y 轴于点C ，且点C 的纵坐标为5，过点A 、B 分别作y 轴的垂线AE 、BF ，垂足分别为点E 、F ，且AE =1．(1)若点E 为线段OC 的中点，求k 的值；(2)若△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB =90°，其面积小于3． ①求证：△OAE≌△BOF ；②把|x 1−x 2|+|y 1−y 2|称为M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)两点间的“ZJ 距离”，记为d(M,N)，求d(A,C)+d(A,B)的值．26.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象(记为抛物线Γ)与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0<x1<x2．(1)若a=c，b=−3，且过点(1,−1)，求该二次函数的表达式；(2)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式△′=4.求证：当b<−5时，二2次函数y1=ax2+(b+1)x+c的图象与x轴没有交点．(3)若AB2=c2−2c+6，点P的坐标为(−√x0,−1)，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物c线的Γ顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB=∠DAB，求x0的最小值．答案和解析1.B解：因为3的相反数是−3，所以a=3．2.A解：选项A，根据同底数幂的乘法法则可得a⋅a3=a4，选项A正确；选项B，根据合并同类项法则可得2a−a=a，选项B错误；选项C，根据幂的乘方的运算法则可得(a2)5=a10，选项C错误；选项D，根据积的乘方的运算法则可得(−3b)2=9b2，选项D错误．3.C解：根据题意可得：在4个小球中，其中标有正数的有2个，分别是2，3，故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：24=12．4.D解：∵1.2|=1.2，|−2.3|=2.3，|+0.9|=0.9，|−0.8|=0.8，又∵0.8<0.9<1.2<2.3，∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项D中的元件；5.C解：把这组数据从小到大排列为：10，12，15，17，18，19，则这组数据的中位数是15+172=16．6.A解：解不等式2(x−1)+3<0，得x<−12，因为只有−3<−12，所以只有−3是不等式2(x−1)+3<0的一个解，7.B解：∵点A(a,2)是第二象限内的点，∴a<0，四个选项中符合题意的数是−32，8. C解：A 、根据两个负数绝对值大的反而小可得−2<−1，原不等式正确，故此选项不符合题意；B 、由3<π<4，4<√17<5可得π<√17，原不等式正确，故此选项不符合题意；C 、由(52)2=6.25，6.25<10，可得52<√10，原不等式错误，故此选项符合题意；D 、由13=0.3333…，可得13>0.3，原不等式正确，故此选项不符合题意．9. D解：由题意，知AC =4，BC =4−2=2，∠A 1BC =90°． 由旋转的性质，得A 1C =AC =4． 在Rt △A 1BC 中，cos∠ACA 1=BCA 1C =12． ∴∠ACA 1=60°． ∴扇形ACA 1的面积为60×π×42360=83π．即线段CA 扫过的图形的面积为83π．10. B解：∵a −b 2>0，b 2≥0， ∴a >0． 又∵ab <0， ∴b <0，∵x 1<x 2，x 1+x 2=0， ∴x 2=−x 1，x 1<0．∵点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在该二次函数y =ax 2+bx +c 的图象上，∴y 1=ax 12+bx 1+c ，y 2=ax 22+bx 2+c =ax 12−bx 1+c ． ∴y 1−y 2=2bx 1>0． ∴y 1>y 2． 11. 4解：方程3x −8=x ， 移项，得3x −x =8， 合并同类项，得2x =8． 解得x =4．12. 2a(a −6)解：2a2−12a=2a(a−6)．故答案为：2a(a−6)．13.2解：原式=√23×√8+√23×√2=√2×83+√2×23=43+23=2．14.8解：由表可知尺码L的频率的0.2，又因为班级总人数为40，所以该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有40×0.2=8．15.80解：根据正多边形性质得，中心角为：∠AOB=360°÷9=40°，∴∠MON=2∠AOB=80°．故答案为：80．16.32解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE//BC，DE=12BC，∵CF//BE，∴四边形BCFE为平行四边形，∴BC=EF=3，∴DE=12BC=32．17.k−1解：∵D是反比例函数y2=2x(x>0)图象上一点∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为12×2=1．∵点B在函数y1=kx(x>0,k为常数且k>2)的图象上，四边形OABC为矩形，∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k．∴阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积−△AOD的面积=k−1．18.4√2解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE为直径，∠ECD=45°，由题意得AB=2.5，∴CE=2.5−0.25×2=2，∴CD=CE⋅cos∠ECD=2×√22=√2，∴∠ECD=45°，∴正方形CDEF周长为4√2尺．19.解：原式=4+1−√3×√3=4+1−3=2．20.解：原式=x2−y2xy ⋅yx+y−1=(x+y)(x−y)xy ⋅yx+y−1=x−yx−1=−yx=−yx，当x=√2，y=2，原式=−√2．21.解：(1)在Rt△ABC中，BC=√AB2−AC2=√324−24=10√3；(2)∵∠α=60°，∴∠AMN=30°，∴AM=2MN，∵在Rt△ABC中，AN2+MN2=AM2，∴AN2+300=4AN2∴AN=10，∴AM=20，∴AM−AB=20−18=2．综上所述，长度增加了2米．22.解：(1)结合统计图可知：每天代寄包裹数在50.5～200.5范围内的天数为18+12+12=42天；(2)①因为1.6>1，故重量超过了1kg，除了付基础费用8元，还需要付超过1k部分0.6kg的费用2元，则该顾客应付费用为8+2=10元；②(12×15+14×10+15×16)÷40=14元．所以这40件包裹收取费用的平均数为14元．23.(1)证明：∵△ABF≌△CBE，∴∠ABF=∠CBE，∵∠ABF+∠CBF=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，∴∠EBF=90°；(2)解：∵△ABF≌△CBE，∴∠AFB=∠CEB，∵∠FGA=∠EGB，∴∠FAC=∠EBF=90°，∵正方形边长为1，CE=2．∴AC=√2，AF=CE=2．∴tan∠AFC=ACAF =√22．24.(1)证明：连接OC，如图①，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OC=OB，∴∠B=∠OCB，∵∠BCM=∠A，∴∠OCB+∠BCM=90°，即OC⊥MN，∴MN是⊙O的切线；(2)解：如图②，∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，∴AB=2，∵cos∠BAC =cosα=AC AB =34，即AC 2=34， ∴AC =32， ∵∠AFE =∠ACE ，∠GFH =∠AFE ，∴∠GFH =∠ACE ，∵DH ⊥MN ，∴∠GFH +∠AGC =90°，∵∠ACE +∠ECD =90°，∴∠ECD =∠AGC ，又∵∠DEC =∠CAG ，∴△EDC∽△ACG ，∴ED AC =EC AG ，∴AG ⋅DE =AC ⋅CE =32×53=52．25. 解：(1)∵点E 为线段OC 的中点，OC =5，∴OE =12OC =52，即：E 点坐标为(0,52)， 又∵AE ⊥y 轴，AE =1，∴A(1,52)， ∴k =1×52=52． (2)①在△OAB 为等腰直角三角形中，AO =OB ，∠AOB =90°，∴∠AOE +∠FOB =90°，又∵BF ⊥y 轴，∴∠FBO +∠FOB =90°，∴∠AOE =∠FBO ，在△OAE 和△BOF 中，{∠AEO =∠OFB =90°∠AOE =∠FBO AO =BO，∴△OAE≌△BOF(AAS)，②解：设点A 坐标为(1,m)，∵△OAE≌△BOF ，∴BF =OE =m ，OF =AE =1，∴B(m,−1)，设直线AB 解析式为：l AB ：y =kx +5，将AB 两点代入得：则{k +5=m km +5=−1． 解得{k 1=−3m 1=2，{k 2=−2m 2=3．当m=2时，OE=2，OA=√5，S△AOB=52<3，符合；∴d(A,C)+d(A,B)=AE+CE+(BF−AE)+(OE+OF)=1+CE+OE−1+OE+1= 1+CE+2OE=1+CO+OE=1+5+2=8，当m=3时，OE=3，OA=√10，S△AOB=5>3，不符，舍去；综上所述：d(A,C)+d(A,B)=8．26.解：(1)由题意得：y=ax2−3x+a，∵函数过点(1,−1)，∴a−3+a=−1，∴a=c=1，∴y=x2−3x+1；(2)由题意，一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式△′=4．∴△=b2−4ac=4，∴4ac=b2−4，在函数y1=ax2+(b+1)x+c中，△1=(b+1)2−4ac=(b+1)2−(b2−4)=2b+5，∵b<−52，∴2b+5<0，即函数图象与x轴没有交点；(3)因为函数顶点在直线l上，则有4ac−b24a=−1，即b2−4ac=4a①，∵AB2=c2−2c+6c，∴(x2−x1)2=c2−2c+6c，即(x1+x2)2−4x1x2=c2−2c+6c，∴b2−4aca2=c2−2c+6c，由①得：4a =c2−2c+6c②，∵∠OAP=∠DAB，∴∠OAP=∠OPB，∵∠OAP=∠OBP+∠APB，∠OPB=∠OPA+∠APB，∴∠OBP=∠OPA，则△OAP∽△OPB．∴OAOP =OPOB，∴OA⋅OB=OP2，∴x1x2=(−√x0)2+(−1)2．∴ca=x0+1，∴x0=ca−1．由②得：x0=c2−2c+64−1，∴x0=14(c−1)2+14，∴当c=1时，(x0)min=14．。
2020年湖南省株洲中考数学试卷-答案
2020年湖南省株洲市初中学业水平考试数学答案解析一、 1.【答案】B【解析】因为3的相反数是3-，所以3a =．故选：B 2.【答案】A【解析】选项A ，根据同底数幂的乘法法则可得34a a a ⋅=，选项A 正确；选项B ，根据合并同类项法则可得2a a a -=，选项B 错误；选项C ，根据幂的乘方的运算法则可得()5210a a =，选项C 错误；选项D ，根据积的乘方的运算法则可得22(3)9b b -=，选项D 错误．故选：A ．3.【答案】C【解析】根据题意可得：在4个小球中，其中标有正数的有2个，分别是2，3，故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为2142=．故选：C ． 4.【答案】D【解析】| 1.2| 1.2-=，| 2.3| 2.3-=，|0.9|0.9+=，|0.8|0.8-=又0.80.9 1.2 2.3＜＜＜，∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项D 中的元件；故选：D ． 5.【答案】C【解析】把这组数据从小到大排列为：10，12，15，17，18，19，则这组数据的中位数是1517162+=．故选：C ．6.【答案】A【解析】解不等式()2130x -+＜，得12x ＜-，因为只有132--＜，所以只有3-是不等式()2130x -+＜的一个解，故选：A ． 7.【答案】B【解析】点(),2A a 是第二象限内的点，0a ∴＜，四个选项中符合题意的数是32-，故选：B ． 8.【答案】C【解析】A 、根据两个负数绝对值大的反而小可得21--＜，原不等式正确，故此选项不符合题意；B 、由34π＜＜，45可得π原不等式正确，故此选项不符合题意；C 、由25 6.252⎛⎫= ⎪⎝⎭，6.2510＜，可得52，原不等式错误，故此选项符合题意；D 、由10.33333=…，可得10.13＞，原不等式正确，故此选项不符合题意．故选：C ． 9.【答案】D【解析】由题意，知4AC =，422BC =-=，190A BC ︒∠=．由旋转的性质，得14AC AC ==．在1Rt A BC △中，111cos 2BC ACA A C ∠==．160ACA ︒∴∠=．∴扇形1ACA 的面积为260483603ππ⨯⨯=．即线段CA 扫过的图形的面积为83π．故选：D ． 10．【答案】B【解析】20a b -＞，20b ≥，0a ∴＞．又0ab ＜，0b ∴＜，12x x ＜，120x x +=，21x x ∴=-，10x ＜.点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数2y ax bx c =++的图象上，2111y ax bx c ∴=++，2222211y ax bx c ax bx c =++=-+.12120y y bx ∴-=＞．12y y ∴＞．故选：B ．二、 11.【答案】4【解析】解：方程38x x -=，移项，得38x x -=，合并同类项，得28x =．解得4x =．故答案为：4. 12.【答案】()26a a -【解析】解：22122(6)a a a a -=-．故答案为：()26a a -．13.【答案】2【解析】解：原式33=+4233=+ 2=.故答案是：2． 14.【答案】8【解析】解：由表可知尺码L 的频率的0.2，又因为班级总人数为40，所以该班学生所穿校服尺码为“L ”的人数有400.28⨯=．故答案是：8． 15.【答案】80【解析】解：根据正多边形性质得，中心角为：360940AOB ︒︒∠=÷=，280MON AOB ︒∴∠=∠=．故答案为：80． 16.【答案】32【解析】解：D E 、分别是ABC △的边AB AC 、的中点，DE ∴为ABC △的中位线，DE BC ∴∥，12DE BC =，CF BE ∥，∴四边形BCFE 为平行四边形，3BC EF ∴==，1322DE BC ∴==．故答案为：32． 17.【答案】1k -【解析】解：D 是反比例函数22(0)y x x=＞图象上一点，∴根据反比例函数k 的几何意义可知：AOD △的面积为1212⨯=．点B 在函数1ky x=（0x ＞，k 为常数且2k ＞）的图象上，四边形OABC 为矩形，∴根据反比例函数k 的几何意义可知：矩形ABCO 的面积为k ．∴阴影部分ODBC 的面积=矩形ABCO 的面积AOD =△的面积1k =-．故答案为：1k -．18.【答案】【解析】解：如图，四边形CDEF 为正方形，90,D CD DE ︒∴∠==，CE ∴为直径，45ECD ︒∠=，由题意得 2.5AB =，2.50.2522CE ∴=-⨯=，cos ECD 2CD CE ∴=⋅∠==，45ECD ︒∴∠=，∴正方形CDEF 周长为三、19.【答案】解：原式=41+413=+-2=20.【答案】解：原式221x y yxy x y-=⋅-+()()1x y x y yxy x y+-=⋅-+1x y x -=- y x -=y x=-，当x =2y =，原式=．21.【答案】解：（1）在Rt ABC △中，BC ==（2）60α︒∠=，30AMN ︒∴∠=，2AM MN ∴=，在 Rt ABC △中，222AN MN AM +=，223004AN AN ∴+=10AN ∴=，20AM ∴=，20182AM AB ∴-=-=．综上所述，长度增加了2米．．22.【答案】解：（1）结合统计图可知：每天代寄包裹数在50.5～200.5范围内的天数为18121242++=天.（2）①因为1.61＞，故重量超过了1 kg ，除了付基础费用8元，还需要付超过1 kg 部分0.6 kg 的费用2元，则该顾客应付费用为8210+=元.②1215141015164014⨯+⨯+⨯÷=（）元．所以这40件包裹收取费用的平均数为14元． 23.【答案】（1）证明：ABF CBE △≌△，ABF CBE ∴∠=∠，90ABF CBF ︒∠+∠=，90CBF CBE ︒∴∠+∠=，90EBF ︒∴∠=.（2）解：ABF CBE △≌△，AFB CEB ∴∠=∠，FGA EGB ∠=∠，90FAC EBF ∴∠=∠=，正方形边长为1，2CE =．2AC AF CE ∴===．tan AC AFC AF ∴∠==. 24.【答案】（1）证明：连接OC ，如图①，AB 是O 的直径，90ACB ︒∴∠=，90,A B ︒∴∠+∠=，OC OB =，B OCB ∴∠=∠，,BCM A ∠=∠，90OCB BCM ︒∴∠+∠=，即OC MN ⊥，MN ∴是O 的切线.（2）解：如图②，AB 是O 的直径，O 的半径为1，2,AB ∴=，3cos cos 4AC BAC AB α∠===，即432AC =，32AC ∴=，AFE ACE ∠=∠，GFH AFE ∠=∠，GFH ACE ∴∠=∠，DH MN ⊥，90GFH AGC ︒∴∠+∠=，90ACE ECD ︒∠+∠=，ECD AGC ∴∠=∠，又DEC CAG ∠=∠，EDC ACG ∴△∽△，ED ECAC AG∴=，355232AG DE AC CE ∴⋅=⋅=⨯=．25.【答案】解：（1）点E 为线段OC 的中点，5OC =，1522OE OC ∴==，即：E 点坐标为50,2⎛⎫⎪⎝⎭，又AE y ⊥轴，1AE =，51,2A ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，55122k ∴=⨯=．（2）①在OAB △为等腰直角三角形中，,90AO OB AOB ︒=∠=，90AOE FOB ︒∴∠+∠=，又BF y ⊥轴，90FBO FOB ︒∴∠+∠=，AOE FBO ∴∠=∠，在OAE △和BOF △中，090AE OFB AOE FBOAO BO ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OAE BOF AAS ∴△≌△.②解：设点A 坐标为()1,m ，OAE BOF △≌△，BF OE m ∴==，1OF AE ==，()1B m ∴-，，设直线AB 解析式为：:5AB l y kx =+，将AB 两点代入得：则551k mkm +=⎧⎨+=-⎩．解得1132k m =-⎧⎨=⎩，2223k m =-⎧⎨=⎩．当2m =时，2OE =，OA =，532AOB S =△＜，符合；(,)(,)()()d A C d A B AE CE BF AE OE OF ∴+=++-++1111211528CE OE OE CE OE CO OE =++-++=++=++=++=，当3m =时，3OE =，OA =，53AOB S =△＞，不符，舍去；综上所述：()(),,8d A C d A B +=.26.【答案】（1）解：由题意得：23y ax x a =-+，函数过点()1,1-，31a a ∴-+=-，1a c ∴==，231y x x ∴=-+.（2）解：由题意，一元二次方程20ax bx c ++=的判别式4'∆=．244b ac ∴∆=-=，244ac b ∴=-，在函数21(1)y ax b x c=+++中，()2221(1)4(1)425b ac b b b ∆=+-=+--=+，52b -＜，250b ∴+＜，即函数图象与x 轴没有交点.（3）解：因为函数顶点在直线l 上，则有2414ac b a -=-，即244b ac a -=①，2226c c AB c-+=，()222126c c x x c -+∴-=，即()221212264c c x x x x c -++-=，222426b ac c c a c--+∴=，由①得：2426c c a c-+=②，,OAP DAB ∠=∠，OAP OPB ∴∠=∠，OAP OBP APB ∠=∠+∠,OPB OPA APB ∠=∠+∠，OBP OPA ∴∠=∠，则 OAP OPB △∽△．OA OPOP OB∴=，2OA OB OP ∴⋅=，2212((1)x x ∴=+-．01c x a ∴=+，01c x a ∴=-．由②得：202614c c x -+=-，2011(1)44x c ∴=-+，∴当1c =时，()0min 14x =.。