2017中考用锐角三角函数概念解题的常见方法
解锐角三角函数的技巧
6. 三角函数的倒数关系：利用三角函数的倒数关系，将一个三角函数转化为另一个三角函 数的倒数形式。例如，tanθ=1/cotθ，cotθ=1/tanθ。
解锐角三角函数的技巧
解锐角三角函数的技巧主要包括以下几点：
1. 特殊角的数值：熟记30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦和正切值。例如， sin30°=1/2，cos45°=1/√2，tan60°=√3。
2. 三角函数的性质：利用三角函数的周期性、对称性倒数关系等性质，将角度转化为在 特定范围内的等效角度。例如，sin(180°+θ)=-sinθ，cos(-θ)=cosθ，tan(θ+π)=-tanθ。
解锐角三角函数的技巧
7. 三角函数的逆函数：利用三角函数的逆函数，将一个三角函数的值转化为对应的角度。 例如，sin^(-1)(x)表示sinθ=x的解，cos^(-1)(x)表示cosθ=x的解。
通过掌握这些技巧，可以在解锐角三角函数的过程中更加灵活和高效地进行计算。同时， 多做练习和应用，加深对三角函数的理解和熟练度，也是提高解题能力的重要方法。
3. 三角函数的和差公式：利用三角函数的和差公式，将复杂的角度拆分为简单的角度的和 或差。例如，sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB。
解锐角三角函数的技巧
4. 三角函数的倍角公式：利用三角函数的倍角公式，将角度转化为两倍角度的三角函数。 例如，sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=cos^2θ-sin^2θ。
初中数学复习：锐角三角函数值的求解策略
锐角三角函数值的求解策略知识解读：求锐角三角函数值的方法较多，常用的方法有：定义法、参数法、等角代换法、等比代换法、构造法。
培优学案典例示范：1.定义法：当已知直角三角形的两边时，可以直接应用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值。
例1 如图，在中，,AB=13,BC=5,则sinA的值为。
【跟踪训练1】在中，,BC=3,AC=4,则cosA的值为。
二、参数法锐角三角函数值实质上是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需要将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题。
例2 在Rt△ABC中,∠C=90,tanA=，则sinB的值为___.【跟踪训练2】1.已知在Rt△ABC中,∠C=90,，则tanB的值为( )2. 在Rt△ABC中，已知∠A为锐角，tanA=2，求的值3.求tan15的值三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或者锐角不在直角三角形中时，可将该角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“若两锐角相等，则此两角的三角函数值也相等”来求解。
例3如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH，则sinB的值为。
【跟踪训练3】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=∠BAC,则tan∠BPC=四、等比代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或者锐角不在直角三角形中，可以通过相似三角形的对应边成比例，将直角三角形中的两边的比转换到两条已知线段的比来求解。
例4 如图，AB的直径，延长AB至P，使BP=OB,BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上，设【跟踪训练4】如图，AB的直径，弦AC,BD外一点P，若AB=2CD，求的度数。
五、构造法直角三角形是求解或应用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解。
运用锐角三角函数的定义解题
运用锐角三角函数的定义解题锐角三角形函数是初中几何的重要内容，是解直角三角形的基础，利用锐角三角函数定义解题，往往使计算方便简洁．一、求锐角三角函数值例1 已知∠A 为锐角，sin A =513，求其他三角函数值． 解析：设∠A 为某直角三角形的锐角，其对边a 为5k ，斜边c 为13k (k ＞0)，则∠A 的邻边b 为12k ．根据定义，得c os A = b c = 12k 13k = 1213， t a n A = a b = 5k 12k = 512，c ot A = 125． 二、求条件代数式的值例2 已知∠A 为锐角，t a n A =2．求sinA+2cosA 3sinA-cosA的值． 解析：设∠A 为Rt△ABC 的一锐角，其对边为a ，斜边为c ，邻边为b ．∵t a n A = a b=2，∴a =2b ． ∴c = 5 b ∴sin A = a c ，c os A = b c. ∴代入原式中可得结果为．三、证明三角函数值例3 在ABC △中，A B C ∠，∠，∠的对边为a b c ，，，且::3:4:5a b c =．试说明7sin sin 5A B +=． 错解：设345a k b k c k ===，，， 则3344sin sin 5555a kb k A Bc k c k ======，． 所以347sin sin 555A B +=+=． 分析：本题中没有说明90C =∠，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先说明ABC △为直角三角形，且90C =∠后才能用定义．正解：设345(0)a k b k c k k ===>，，，因为222222(3)(4)25a b k k k c +=+==，所以ABC △是以c 为斜边的直角三角形． 所以3344sin sin 5555a kb k A Bc k c k ======， ． 所以347sin sin 555A B +=+=． 四、比较三角函数值的大小例4 已知α为锐角，比较sinα与t a nα的大小解析：设α为Rt△ABC 的一锐角，其对边为a ，邻边为b ，斜边为c ．∵sinα= a c ，t a nα= a b， 又∵c ＞b ＞0，∴a c ＜ a b， 即sinα＜t a nα．五、证明相关关系式例5 在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，求证：b 3sin A +a 3sin B =abc ．证明：在Rt△ABC 中，∵∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，∴sin A = a c ，sin B = b c，a 2+b 2=c 2， ∴b 3sin A +a 3sin B = b 3·a c + a 3 b c =ab 3+a 3b c = ab(b 2+a 2)c = ab ·c 3c =abc ． 六、求非特殊角的三角函数值例6 求tan15°的值．解：如右图，作Rt△ABC ，使∠C =90°，∠B =30°，延长CB 到D ，使B D=BA ，则∠D=15°，设AC =k ，则AB =2k ，BC = 3 k ．∴C D=(2+ 3 )k ．∴tan∠D = AC CD∴tan15°=2- 3A。
锐角三角函数的题型及解题技巧
锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。
一、 化简或求值例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α的值。
（2）化简()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-。
分析 （1）由已知可以求出tan α可用1tan cot αα=⋅；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。
解 （1）由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得tan 2α=或tan 1α=-。
又α是锐角，∴tan 2α=。
＝＝tan cot αα-。
由tan 2α=，得1cot 2α=＝tan cot αα-＝13222-=。
（2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+⋅⋅+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-⋅⋅+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。
说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα⋅=等。
二、已知三角函数值，求角例2 在△ABC 中，若223cos sin 022A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。
分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。
由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。
解 由题意得2cos 0,23sin 0.2A B ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2cos ,23sin .3A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵,A B ∠∠均为锐角，∴45A ∠=,60B ∠=。
∴18075C A B ∠=-∠-∠=.说明 解这类问题首先要熟记特殊角的三角函数值，还要掌握一些化简的技巧。
锐角三角函数应用题解题思路
锐角三角函数应用题解题思路的实际应用情况1. 应用背景锐角三角函数是三角学的重要分支，它研究的是以锐角为基础的三角函数，包括正弦、余弦和正切。
这些函数可以用来描述直角三角形和一般三角形中的角度关系。
在实际应用中，锐角三角函数可以被广泛地应用于物理、工程、地理、天文、航空等领域。
2. 应用过程考虑到篇幅限制，接下来我们将选取几个典型的应用案例，来具体阐述锐角三角函数的应用过程，并给出详细解题思路。
2.1 三角测量三角测量是指利用三角形的边长和角度信息来测量其他距离或高度的方法。
在实际测量中，我们常常需要利用已知边长和角度来求解未知边长和角度。
这时，可以利用正弦、余弦和正切等锐角三角函数来解决问题。
以求解未知边长为例，假设我们需要测量一个高耸的塔楼的高度。
首先，我们可以通过一定的测量手段获得塔顶处与地面的夹角α。
然后，我们可以选择一个合适的位置，在该位置与塔顶连线处测量出与地面的夹角β。
此时，我们可以利用正切函数来计算塔楼的高度h。
具体的解题思路如下所示：步骤1：根据测量手段，得到α的数值。
步骤2：选择合适的测量位置，测量得到β的数值。
步骤3：利用正切函数的定义，根据α和β的数值求解出α和β的弧度值。
步骤4：根据正切函数的性质，可以得到塔楼的高度h与β的正切值tan(β)的关系，即h = d * tan(β)，其中d为已知的水平距离。
通过上述步骤，我们可以得到塔楼的高度h的数值。
2.2 航空导航在航空领域，飞行器的导航是一项重要的任务。
为了准确地确定飞行器的位置和方向，我们需要利用锐角三角函数来计算飞机的航向角、仰角等信息。
以计算航向角为例，假设我们需要确定某个飞机相对于正北方向的航向角。
首先，我们需要测量飞机相对于正东方向的角度α。
然后，利用余弦函数可以计算出航向角θ。
具体的解题思路如下所示：步骤1：根据测量手段，得到α的数值。
步骤2：利用余弦函数的定义，根据α的数值求解出α的弧度值。
步骤3：根据余弦函数的性质，可以得到航向角θ与α的余弦值cos(α)的关系，即cos(θ) = cos(α)。
用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)
用锐角三角函数概念解题的常见方法知识要点1．锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab，cotA=ba．锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2αsinαcosαtanαcotα30º123233345º22221 160º3212333直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 3．锐角三角函数的性质（1）0<sinα<1，o<cosα<1（0°<α<90°）（2）tan α·cot α=1或tan α=1cot α； （3）tan α=sin cos αα，cot α=cos sin αα． （4）sin α=cos （90°-α），tan α=cot （90°-α）．方法点拨有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法： 一、设参数例1. 在ABC ∆中，︒=∠90C ，如果125tan =A ，那么sinB 的值等于（ ） 512.125.1312.135.D C B A 解析：如图1，要求sinB 的值，就是求AB AC 的值，而已知的125tan =A ，也就是125=AC BC 可设k AC k BC 125==， 则k k k AB 13)12()5(22=+=13121312sin ==∴k k B ，选B 二、巧代换例2. 已知3tan =α，求ααααcos sin 5cos 2sin +-的值。
解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式3cos sin tan ==ααα，作代换ααcos 3sin =，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。
中考《锐角三角函数》解题策略
中考《锐角三角函数》解题策略《锐角三角函数》是中考的必考点，与相似三角形等知识点结合，极具灵活性.这要求我们在理解直角三角形中五个元素的关系、运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的基础上，会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决.我们可以从以下几方面找到《锐角三角函数》解题策略，达到以“不变”应“万变”的功效。
一、基础知识（一）锐角三角函数的定义如下图，在Rt△ABC中，∠C＝900，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则∠A的：1 .正弦：2.余弦：3 .正切：（二）特殊角的三角函数值注：我们很多学生在考试时因为紧张等原因，常常出现竟然把特殊锐角的有三角函数值记错了现象，因此我们只要要求学生记住右边的两个特殊直角三角形，就记住了特殊角的三角函数值了，就不会出错了。
（三）规律探索1.（1）；（2）tanA＝2.（1）sinA＝cos（90°一 A）＝cosB；（2）cosA＝sin（90°一A）＝sinB3.（1）0＜sinA＜1；0＜cosA＜14.三角函数值的变化规律（1）当角度在0°— 90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大；（2）当角度在0°—90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小。
（3）450的正弦值等于其余弦值。
（四）应用中的常识1 .仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫；视线在水平线下方的角叫。
（如图1示）2.坡度（坡比）、坡角：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角a叫坡角，i=tana=。
（如图2示）3.方向角：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度。
如图，A点位于O点的北偏东300方向，B点位于O点的南偏东600方向，C点位于O点的北偏西450方向（或西北方向）。
锐角三角函数应用题的方法与技巧
锐角三角函数应用题的方法与技巧
x
《锐角三角函数应用题的方法与技巧》
一、总体思路
1、识别出三角形所涉及的三角函数，并确定三角函数的参数：根据题干里面提供的线段、角度等长度或角度来初步判断三角形的形状，并由此来计算出三个角度和三条边。
2、判断题目的性质：根据题目要求，判断出是求边长还是求角度。
3、解答：
（1）求边长：利用相应的三角函数关系（正弦定理、余弦定理、正切定理等），求出答案;
（2）求角度：利用相应的三角函数关系，求出角度的三角函数值，再用反三角函数求出角度。
二、技巧总结
1、画图法：根据题干中提供的信息，画出准确的三角形图形，便于计算和判断。
2、直角三角形快速求角度：根据对边比斜边的特点，找出角度所对应的三角函数值，再用反三角函数计算出角度。
3、正弦定理、余弦定理：正弦定理可用于计算夹角的一边的长度，余弦定理可用于求另一边的长度。
4、正切定理：正切定理可以用于求夹角的角度大小。
5、各种三角函数的关系：在计算三个角度的大小时，可以利用三个角度的和为180°；在计算三条边的长度时，可以利用三条边之和的性质。
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4．下列各式正确的是（ ） A．sin30°+sin30°=sin60° C．cos（60°-30°）=cos60°-cos30° B．tan60°-tan30°=tan30° D．3tg30°= 3
5．一个人从山下沿 30°角的坡路向上攀登，如果在坡面上走了 100 米，•那么他上升的高 度是（ ） A．100 米 B．50 米 C．50 3 米 D．无法确定 ）
2 ，则 cosB 的值是（ ） 2
D．
A．
1 2
B．
3 2
C．1
2 2
2．下列各式不成立的是（ ） A．sin50°<sin89° C．tan22°<cot45° 3．∠A 是锐角，tanA> A．小于 30° B．cos1°<cos88° D．cos23°>sin23°
3 ，则∠A（ ） 3
B．大于 30° C．小于 60° D．大于 60°
2 2
所以 sinA=
a 5 3 5 a 5 70 b 3 3 14 ， cosA= ； tanA= ， cotA= ． b 3 5 c 4 c 14 14 14
18．解：过点 P 作 PE⊥AD，交 BC 于点 F（如图所示）． 显然 EF=1，BF=CF=
1 1 ，AD=ED= ． 2 2
CD ，即 CD=BC×sinB=25×sin30°=12.5（米） BC
BD=BC×cosB=25×
3 25 3 = （米） 2 2
在直角三角形 ACD 中，∠A=45° 所以 AD=CD=12.5（米） AB=BD+AD=12.5+
25 3 25 25 3 = （米） 2 2
1 1 25 25 3 25 625 625 3 AB·CD= × × （平方 2 2 2 2 8
10
3 h 10 3
5 h 10 ，故选 B
四、善转化 例 4. 在 ABC 中， 图2
1 A 30， tan B ，BC 10 ，求 AB 的长。 3
解析：注意题中所说的 ABC 并不是直角三角形！如图 3， ABC 不是直角三角形，
1 ， 可以作 CD AB 于 D， 3 这样 B 就是一直角三角形中的一角，A 也
又因为正切值随着角度的增大而减小，所以∠A>30°． 4．D 5．B [点拨]他上升的高度为 100×sin30°=50． 6．C
1 1 3 cos 60 tan 45 2 7．D [点拨] = =1+ ． cot 30 2cot 45 2 32
8．A 9．
3 2
AB=
[点拨]此题有多种方法，这里例举一种：
A. 3 h 5 B. 5 h 10 C. 10 h 15 D. h 15
解析：如图 2，树高 h 10 tan 37 ，要确定 h 的范围，可根据正切函数是增函数，估 计 tan 30 tan 37 tan 45 即 10 tan 30 10 tan 37 10 tan 45
18. 正方形 ABCD 中的正三角形 ABP，•已知正方形的边长为 1，•试计算 tan•∠PAD．
19.一个等腰三角形的两边是 10、12，这个三角形顶角的正弦、余弦、正切、余切．
6
20．如图是一块三角形形状的草坪 ABC，经测量： ∠B=30°，∠A=45°，BC=25m，请你求出这块花圃的面积．（结果用根号表示）
2017 中考用锐角三角函数概念解题的常见方法
知识要点
1．锐角三角函数 （1）锐角三角函数的定义 我们规定： sinA=
a b a b ，cosA= ，tanA= ，cotA= ． c c b a
锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角 函数． （2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三 角函数值求角度 对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可 以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决 大问题． ①已知角求三角函数值； ②已知三角函数值求锐角． 2．特殊角的三角函数值 α 30º sinα cosα tanα cotα
21.△ABC 中，│cosA-
2 1 │+（sinB- ）2=0，求∠C． 2 2
答案: 1．D [点拨]sinA=
2 2 ，所以∠A=45°，所以 cos∠A= ． 2 2
7
2．B [点拨]余弦函数值随角度的增大而减小，所以 cos1°<cos88°． 3．B [点拨]因为 tanA>
3 ，所以 tan>tan30°．• 3
3 ，α =30°． 3
12．30° [点拨]因为 2cos30°-3tanα =0，所以 tanα =
13．<，< [点拨]正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小． 14．
3 3 ， 4 4
[点拨]
2 1 1 3 1 2 sin45°- cos60°= 2 × - × = ； 2 2 2 2 4
sin 2 sin 2 cos cos sin 5 sin cos 5 1 cos
2
再把
sin 1 3 代入，得：原式 cos 16
三、妙估计 例 3. 若太阳光与地面成 37 角，一棵树的影长为 10m，则树高 h 的范围是（取
3 1.7 ）
3 ，则 cos（90°-α ）=______． 2
11．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=
3 ，b=6，则 c=______． 8
12．2cos30°-3tanα =0，则锐角α 是_____度． 13．用不等号连接右面的式子：cos40°_____cos20°，sin37°______sin42°．
sin cos ，cotα = ． cos sin
（4）sinα =cos（90°-α ），tanα =cot（90°-α ）．
方法点拨
有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法： 一、设参数 例 1. 在 ABC 中， C 90 ，如果 tan A
5 ，那么 sinB 的值等于（ 12 D.
12 13
C.
5 12
解析：如图 1，要求 sinB 的值，就是求
AC 5 的值，而已知的 tan A ，也就是 AB 12
BC 5 AC 12
可设 BC 5k，AC 12k 则 AB
(5k ) 2 (12k ) 2 13k
sin B
12k 12 ，选 B 13k 13
为了利用 tan B 出现在另一个直角三角形中， 设 CD x ，则 BD 3x 由 x (3x) ( 10 ) ，得 x 1
2 2 2
即 CD＝1，BD＝3 再有 AD CD cot 30
图3
3
3
AB 3 3
五、适时构造 例 5. 不查表，不用计算器，求 sin 75 的值。 解析：我们可以先画 RtABC ，使 A 30，C 90 ，如图 4，延长 CA 至 D， 使 AD＝AB，连结 BD，则 D DBA 15 ， DBC 75
图5
图6
解析： ABC 中，已知两边和其中一边的对角，这时特别注意 ABC 的形状不惟一！ 要分两种情况分别求出，如图 5、图 6，作 CD AB ，分出直角三角形后，可求得面积应 为： (200 3 150)米 或(200 3 150)米
2 2
4
针对性训练
1．在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，sinA=
1 2
3 2 2 2
1 2
3 3
1
3
1
45º
2 2 3 2
60º
3
3 3
直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 3．锐角三角函数的性质 （1）0<sinα <1，o<cosα <1（0°<α <90°） （2）tanα ·cotα =1 或 tanα =
1 ； cot
1
（3）tanα =
在直角三角形 BFP 中，PF=sin60°×BP=
3 3 ×1= ． 2 2
pE=EF-PF=1-
3 2 3 = ． 2 2
PE 在△AEP 中，∠AEP=90°，所以 tan∠PAD= AE
2 3 2 =2- 3 ． 1 2
19．解：如图所示：AB=AC=10，BC=12，作 AD⊥BC 于点 D，作 CE⊥AB 于点 E．
二、巧代换 例 2. 已知 tan 3 ，求
sin 2 cos 的值。 5 sin cos
图1
解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式
sin 3 ，作代换 sin 3 cos ，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的 cos 分式的分子、分母都除以 cos 。 tan
CE 9.6 AE 2.8 =0.96，cos∠BAC= =0.28， AC 10 AC 10
9
tan∠BAC=
CE 9.6 24 7 ，cot∠BAC= ． AE 2.8 7 24
20．解：如图，过 B 作 BD⊥AC 于点 D．
在直角三角形 BCD 中，∠B=30°，∠BDC=90° sinB=
6．在△ABC 中∠C 为直角，各边长均扩大 2 倍，则锐角 A 的四个三角函数值（ A．都扩大 2 倍 C．没有变化 7． B．都缩小 2 倍 D．有的扩大 2 倍，有的缩小 2 倍
cos 60 tan 45 的值等于（ ） cot 30 2cot 45
A．-1-
3 2
B．-
1 2
1 1 3 +1）× = ． 2 2 4