不动点理论及其应用
不动点理论及其应用
主要内容：
不动点理论一压缩映像原理
不动点理论在微分方程中的应用
不动点理论在中学数学中的应用目录：
一、弓丨言
二、压缩映像原理
三、在微分方程中的应用
四、在中学数学中的应用
五、其它
一、引言
取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上,
那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的这个重合点就是一个不动点
函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点
即函数f(x)在取值过程中，如果有一个点X。使f(X0)X o,则X o就是
一个不动点。
二、压缩映像原理
定理：(Banach不动点定理一压缩映像原理)
设(X,)是一个完备的距离空间，T是(X,)到其自身的一个压缩映射，则T 在X上存在唯一的不动点
这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射
距离空间又称为度量空间
定义：(距离空间)设X 是一个非空集合。X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数(x, y) ，满足下面三个条件：
(1)。(x,y) 0，而且(x, y) 0，当且仅当x y；
(y,x)；
(2)。(x,y)
(3)。(x,z)(x, y) (y,z)， ( x,y,z X )。
这里叫做X 上的一个距离，以为距离的距离空间X
记作(X, )
定义：(完备的距离空间) 距离空间( X, ) 中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。
定义：(压缩映射)称映射T : (X, ) (X, ) 是一个压缩映射，如果存在0 a 1，使得(Tx,Ty) a (x,y) ( x,y X )成立。
三、在微分方程中的应用
定理：(存在和唯一性)考虑如下初值问题
d y f(x,y),
dx
y(x o) y o.
假设f(x,y)在矩形区域
R： |x x o | a, | y y°| b
内连续，而且对y满足Lipschitz条件，则上述问题在区间I [X。h,X。h]上有且仅有一个解，其中
h min2，寻｝, M (m y a>R| f(x,y)|.
(1)。传统的证明方法
通常，我们分成四步来证明：
a.转换成等价的积分方程
x y y o x f(t,y)dt
x
o
b.构造皮卡迭代序列
c.证明皮卡迭代序列一致收敛，而且极限函数是解
d.证明解唯一
(2)。压缩映像原理证明
根据上面的理论，先定义X C[x。h, X。h] C(l)
然后，给一个度量(x,y) max|x(t) y(t)|
由积分方程y y0 x f(t,y)dt ，我们可以定义一个映射：
x
x
(Ty)(x) y0 x f (t, y(t))dt
x
我们要证明两点：
a. 任意x X ，则Tx X
b. 检验映射T : (X, ) (X, ) 是一个压缩映射
tt
(Tx,Ty) m t a I x| f( , x( )d f ( ,y( ))d | x0 x0
2hm t a I x|f (t,x(t)) f (t,y(t))|
注意函数f(x, y)对y满足Lipschitz条件：
| f(t,x1) f(t,x2)| L|x1 x2|,
其中L 是一个常数。
容易得到
tt
(Tx,Ty) m t a I x| f( ,x( )d f( ,y( ))d |
x 0 x0
2hm t a I x|f(t,x(t)) f(t,y(t))|
2hL (x, y)
因此，只要h 取得适当小，使得2hL 1，则映射
T: (X, ) (X, ) 是一个压缩映射，因此，有唯一的不动点y，使得
x y y0 x f (t, y)dt x0
这样，存在与唯一性同时成立。
四、在中学数学中的应用
例1,假设定义在R 上的奇函数f(x )的图像上存在有限个不动 点，则不动点
有奇数个。
证明：函数f (x)为奇函数，所以f( x) f (x)， x R 特别，取x 0，贝S f (0) 0。因此0是一个不动点。 如果c 0是一个不动点，即f(c) c ,那么f( c) f (c) c 说明 c 也是一个不动点，
而且 c c 。或者说，奇函数的非
零不动点是成对出现的，由题目条件，可知结论成立。
例2,给定函数f(x)心,a,b 为常数。
x b
(1) 。如果函数f(x)有两个关于原点对称的不动点，求a,b 应该满 足的条件。
(2) 。在(1)的条件下，取a 8, y f(x)的图像上代A '两点的 横坐标是函数f (x)的不动点，P 为函数f (x)图像上的另外一点，而
且其纵坐标大于3,求点P 到直线AA '距离的最小值，以及取得最 小值时点P 的坐标
解：设X 。是函数f(x)图像上的不动点，则有
由题意知方程(*)有两个根，而且绝对值相等，符号相反
f (X 。)
3x 0 a X ° b
X 0
整理得 X ； (b 3)x ° a 0
(*)
由韦达定理得b a 300 由此得 b x o,f (x )3 H
因此，a,b 应该满足的条件是:
x 4, y 4
(4,4) O
五、其它
a. 还有很多其它不动点定理
Brouwer 不动点定理：n 维欧氏空间中的闭单位球有不动点性质， 即
如果S n 表示这个球，f :S n S n 是任意连续函数，则存在一个点
X 。S n ，使得 f(X °) X 。
b 3, a 0, a
(2)。
(1)的条件下，取a 8,则
8 x 3
故 A(2 22.2) ,
A ' ( 2、2 2、、2)
由3x x 得函数f (x)的两个不动点 3x 8 f(x)门
X 1 22 , X 2
2 .. 2
设 P(x,y)，贝y y 3。
直线A A 的方程为
由 34 3，
设点P 到直线AA '的距离为
解得x 3
.|x y| 1 .
d
P ■石1x
1
—(2 6)
4..2 3x 81 x 3 1
2
1 (x 9) 1 1
[( x 3)
6]
x 3
当且仅当
x 3
即x 4时上式等号成立，此时,
故点P 到直线 AA '距离的最小值为 4.2，此时点P 的坐标为
在经济均衡理论中的应用
例如，经典的Leontief模型。
假设每生产一个产品有N个生产者，p, i 1,2,..., N
X i表示生产者P i的全部产品，X j表示P生产的产品被P j
N
消耗的全部总数。定义Y X i X j
j i
上式含义：P的全部产品数与由生产者P i, P2,..., P N消耗的总数之差。
Y i称为商品i的“最后要求”。
闭合的Leontief模型假设Y o, i 1,2，…,N。
a j虫称为“产品系数”。
j X i
如果3j是常数，那么(I A)X Y，其中A (a j)，
X (X1，…,X N)，Y ",…,Y N)。
一般情况下，假设a j为正连续函数。
f j(x)称为“要求函数”：表示当P i的收益为x，而花费在由
P j生产的产品G j上的资本总数。显然，f H(x) 0。
现在，如果每个生产者由于买另外生产者的商品而花掉其收益，那么有如下关系式
N
X f j (X) ( 1)
j
般的经济规律认为，生产者P的收益X i按照这样的方式确
定，即由生产者卖出的每个产品的总额必等于由另外的生产者买进
产品的总值，用数学语言表示，有关系式
N x j f ij (x) (2)
i
现在，假设函数f ij 是非线性连续函数，则可知存在点x (x1,...,x N ) 适合关系式( 2)。
定理：假设函数f ij 都是正的连续函数，满足条件( 1)，则存在点x ( x1,..., x N )适合关系式( 2)。
Schauder不动点定理：Banach空间中每个凸紧集，对于连续映射有不动点性质。
b.在偏微分方程的处理中有很多应用
c.引言中例子的证明
我们把大照片抽象成矩形K1 (ABCD ) ，小照片抽象成矩形
K2(A'B'C'D') 。而照片的叠放可以看成是从K1 到K2 K1 的连续
映射(由伸缩和旋转的连续形变) 。
假设那个不动点为O 点，见下图。要证明的结论可以转化为：存
在O 点，使得OAB 与OA'B'
相似。
证明：延长A'B'交AB于点P，然后过A, A, P三点作圆O i，过B, B', P作圆。2 ,记圆O i和作圆。2的另一个交点为0。因为点O, B', P, B在圆02上，所以OB'A'OBP。
(因为OB'A' B'OP B'PO B'BP B'BO OBP)
又因为点O, A', A, P在圆O i上，所以OA'P OAP
因此，OAB与OA'B'相似。这就说明，在O点上，大小照片中的“景物”是相同的。
思考题：A是定义在［2，4］上而且满足如下条件的函数(x)组成的集合：(1 )，对任意的x ［2,4］，都有(x) (1,2) ； ( 2)，存在常数L(0 L 1)，使得对任意X i,X2 ［1,2］，都有
| (2xJ (2X2)| L |X1 X2I。
(I)。设(x) 3/厂X，x ［2,4］，证明：(x) A。
(II)。设(x) A，如果存在x o (1,2)，使得x o (2x o)，那么这样
的x o是唯一的
(III )。设(x) A ，任取 X i (1,2), 令 X n 1
(2X n ), n 1,2,…
证明：给定正整数
k ,对任意正整数p ,成立不等式
(2006年广东高考第20题)
参考文献
[1] 张恭庆，林源渠，泛函分析讲义，北京大学出版社，2004年6 月。
[2] 刘炳初，泛函分析，科学出版社，2005年1月。 [3] 杜珣，现代数学引论，北京大学出版社，1998年7月
| x k p
L k 1 Xk| rr |X2 X1|.