2018年湖南高考文科数学

合集下载

湖南省2018年高考文科数学试题及答案(Word版)

湖南省2018年高考文科数学试题及答案（Word 版）（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．设1i2i 1iz -=++，则z = A ．0B ．12C ．1D ．23．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．22D ．2235．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．25C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为 A ．8B．C．D．11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -= A ．15B．5C．5D ．112．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．16．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．三、解答题：共70分。

长沙市2018届高三统考文科数学试题

科目：数学（文科）（试题卷）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。

2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3. 本试题卷共7页。

如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

姓名准考证号绝密★启用前长沙市2018届高三年级统一模拟考试文科数学本试题卷共7页，全卷满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x－1＞0}，B＝{x|2－x＜0}，则下列结论正确的是A．A∩B＝A B．A∪B＝BC．“x∈A”是“x∈B”的充分条件D．“x∈A”是“x∈B”的必要条件2．已知复数21zi=−，则下列结论正确的是A．z的虚部为i B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数1z i=−+3．已知a，b为单位向量，且a⊥(a＋2b)，则向量a与b的夹角为A．30° B．60° C．120° D．150°4．设首项为1，公比为23的等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列结论正确的是A．S n＝4－3a n B．S n＝3－2a nC．S n＝3a n－2 D．S n＝2a n－15．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－x，则不等式f(x＋2)＜6的解集是A．{x|－5＜x＜1} B．{x|－4＜x＜0}C．{x|－1＜x＜5} D．{x|0＜x＜4}6．已知某几何体的正视图和俯视图是如图所示的两个全等的矩形，给出下列4个图形：① ② ③ ④其中可以作为该几何体的侧视图的图形序号是A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④正视图俯视图文科数学试卷第1页（共7页）文科数学试卷第2页（共7页）7．若正整数N 除以正整数m 后的余数为r ，则记为N ＝r (mod m )，例如10＝2(mod 4)．下列程序框图的算法源于我国古代算术《中国剩余定理》，则执行该程序框图输出的i 等于A ．3B ．9C ．27D ．818．函数()21x xf x x =++的图象大致为A. B. C. D.9．设点A (1，0)，B (－1，0)，M 为动点，已知直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值m (m ≠0)，若点M 的轨迹是焦距为4的双曲线(除去点A 、B )，则m ＝ A ．15B ．3CD10．已知函数()sin()(0,0,||2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则f (0)＝ AB ．32CD ．111．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y ⎧−≥⎪⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎪⎩，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝A ．2B ．12C ．－2D ．12−（第7题图）文科数学试卷第3页（共7页）12．设平行于x 轴的直线l 分别与函数2x y =和12x y +=的图象相交于点A ，B ，若函数2x y =的图象上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则这样的直线lA ．不存在B ．有且只有一条C ．至少有两条D ．有无数条二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13．已知数列{a n }满足12n n a a +−=(n ∈N*)，S n 为{a n }的前n 项和，若S 11＝S 10＋12，则a 1＝ .14．某种活性细胞的存活率y (%)与存放温度x (°C )之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：存放温度x (°C ) 10 4 －2 －8存活率y (%)20 44 56 80经计算得回归直线的斜率为－3.2.若存放温度为6°C ，则这种细胞存活率的预报值为 %15．设点P 为抛物线C ：y 2＝8x 与圆M ：x 2＋y 2＋2x －m ＝0的一个交点，F 为抛物线C的焦点，若|PF |＝3，则圆M 的半径为 .16．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝1，BC ＝CD ＝5，以直线AB为轴，将四边形ABCD 旋转一周，则所得旋转体的体积为 .A BCD文科数学试卷第4页（共7页）三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知22()a c a c b =−+. （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）设m ＝2a －c，若b ，求m 的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点.将△ADE 沿直线DE 折起到△PDE 的位置，使平面PDE ⊥平面BCDE . （Ⅰ）证明：CE ⊥平面PDE .（Ⅱ）设F 为线段PC 的中点，求四面体D -PEF 的体积.ADFCBEP某科研所共有30位科研员，其中60%的人爱好体育锻炼. 经体检调查，这30位科研员的健康指数(百分制)如下茎叶图所示.体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般.（Ⅰ）根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”？身体状况好身体状况一般总计爱好体育锻炼不爱好体育锻炼总计30 （Ⅱ）现将30位科研员的健康指数分为如下5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，其频率分布直方图如图所示.计算该所科研员健康指数的平均数，由茎叶图得到的真实值记为x，由频率分布直方图得到的估计值记为x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，求x 与x的误差值；（Ⅲ）从该科研所健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人都爱好体育锻炼或都不爱好体育锻炼的概率.附：22()()()()()()a b c d ad bcKa b c d a c b d+++−=++++. 30位科研员健康指数的和3012288iix==∑.P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8285 6 8 98 5 6 3 3 4 5 77 6 6 5 2 1 7 29 7 6 4 3 2 0 8 55 4 2 9 1 3爱好体育锻炼不爱好体育锻炼文科数学试卷第5页（共7页）文科数学试卷第6页（共7页）如图，设椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，A 、B 为椭圆长轴的两个端点，F 为椭圆的右焦点.，且|AF |·|BF |＝4. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设M 是椭圆上位于x 轴上方的一个动点，直线AM ，BM 分别与直线x ＝6相交于点D ，E ，求|DE21.（本小题满分12分）已知函数2()ln f x ax x x =−.（Ⅰ）若f (x )在(0，＋∞)内单调递增，求a 的取值范围；（Ⅱ）若a ＝e (e 为自然对数的底数)，证明：当x ＞0时，1()x f x xe e <+.文科数学试卷第7页（共7页）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数). （Ⅰ）以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设A ，B 为曲线C 上两动点，且OA ⊥OB ，求|AB |的取值范围.23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －2|的最小值为m . （Ⅰ）求不等式|2x －1|＋x ＜m 的解集；（Ⅱ）已知||10m a <，||10mb <，证明：|4ab －1|＞2|a －b |.。

湖南省2018年高考文综试卷与考生答卷评析6.29晚

湖南省2018年普通高考文科综合能力测试试卷与考生答卷评析“湖南省2018年普通高考文科综合能力测试试卷与考生答卷评析”写作组12018年湖南省文科考生为143850人，比2017年增加12964人，6月9日至17日，文综试卷评卷人员对2018年普通高考文科综合能力测试试卷进行了网上评阅。

在评卷结束后，我们采集了分析样本，并召开评卷骨干教师座谈会，对2018年的试题及考生的答卷情况进行了讨论与研究，形成了本试卷与考生答卷评析。

一、文综试卷结构与考生得分（一）文综试卷结构题型、分数分布比例：选择题140分，占47％；非选择题160分，占53％。

内容、分数分布比例：政治、历史、地理三科比例为1：1：1，各占100分。

组卷：试卷按题型、内容等进行排列，同一题型中同一学科的试题相对集中，为典型的拼盘模式。

题量：2018年文综试卷共47 题，选择题35题，与2017年相同，非选择题12题，其中必考题7题，选考题5题。

（二）考生得分1．选择题得分1执笔：综述部分杨帆（湖南师范大学附中），政治部分唐文皓（湖南师大附中梅溪湖中学），历史部分余柏青(湖南师范大学历史文化学院)、刘国彬（湖南师范大学附中），地理部分杨帆（湖南师范大学附中）；定稿：姚利民（湖南大学教育科学研究院）；主审：柳礼泉（湖南大学马克思主义学院）、杨代春（湖南大学岳麓书院）、王良健（湖南大学经济与贸易学院）表3 2017年选择题平均分与难度值文综选择题平均分88.05分，比2017年高13.14分，其中，政治比2017年低1.94分，历史比2017年高8.42分，地理比2017年高6.66分。

2.非选择题得分表4 2018年非选择题平均分与难度值表5 2017年非选择题平均分与难度值文综非选择题平均分86.66分，比2017年低0.54分，其中，政治比2017年高2.04分，历史比2017年低0.51分，地理比2017年低2.07分。

3.总得分表7 2017年文综平均分与难度值文综总平均分174.71分，比2017年高12.6分，其中，政治比2017年高0.1分，历史比2017年高7.91分，地理比2017年高4.59分。

2018全国高考1卷文科数学试题及答案(官方) word版

2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}02A=，，{}21012B=--，，，，，则A B=（）A．{}02，B．{}12，C．{}0D．{}21012--，，，，2．设121iz ii-=++，则z=（）A．0 B．12C．1D．23．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆C：22214x ya+=的一个焦点为()2,0，则C的离心率（）A ．13B ．12C ．2 D ．225．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（）A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（）A ．217B ．25C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为（）A ．8B ．62C ．82D ．8311．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，()2,B b ，且2cos 23α=，则a b -=（） A ．15BCD ．112．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB = ________．16．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．三、解答题（共70分。

(完整版)2018年高考全国卷1文科数学试题及含答案,推荐文档

x
1
f
2 x の
x
の取值范围是
A．，1
B． 0 ，
C． 1，0
D．，0
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知函数 f x log2 x2 a ，若 f 3 1 ，则 a ________．
x 2y 2≤0
x y 1≥ 0
14．若 x ，y 满足约束条件 y ≤ 0
1 ex ln x 1
1 ex 1
从而 f（x）= 2e2
，f ′（x）= 2e2 x ．
当 0<x<2 时，f ′（x）<0；当 x>2 时，f ′（x）>0．
所以 f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
fpg
fpg
1
ex ln x 1
（2）当 a≥ e 时，f（x）≥ e
fpg
fpg
18．解：（1）由已知可得， BAC =90°， BA⊥ AC ．又 BA⊥AD，所以 AB⊥平面 ACD．又 AB 平面 ABC，所以平面 ACD⊥平面 ABC．
（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA= 3 2 ．
又 BP DQ 2 DA ，所以 BP 2 2 ． 3
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．A
4．C
5．B
6．D
7．A
8．B
9．B
10．C
11．B
12．D
二、填空题
13．-7 三、解答题
14．6
15． 2 2
16． 2 3 3
17．解：（1）由条件可得

2018高考湖南文科数学试题及全解全析.doc

yx2018高考湖南文科数学试题及全解全析一．选择题1．已知{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，则( )A ．{}6,4=⋂N M .B M N U =UC ．U M N C u =Y )( D. N N M C u =I )( 【答案】B【解析】由{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，易知B 正确. 2．“21<-x ”是“3<x ”的( )A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由21<-x 得13x -<<，所以易知选A.3．已条变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是( )A ．4 B.3 C.2 D.1 【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,2),(2,2),代入验证知在点(1,1)时,x y +最小值是11 2.+=故选C.4.函数)0()(2≤=x x x f 的反函数是( ))0()(.1≥=-x x x f A )0()(.1≥-=-x x x f B)0()(.1≤--=-x x x fC )0()(.21≤-=-x x x fD【答案】B【解析】用特殊点法,取原函数过点(1,1),-则其反函数过点(1,1),-验证知只有答案B 满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。

5.已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则( ).A n β⊥ ,//.βn B 或β⊂n α⊥n C . ,//.αn D 或α⊂n 【答案】D【解析】易知D 正确.6．下面不等式成立的是( )A ．322log 2log 3log 5<<B ．3log 5log 2log 223<<C ．5log 2log 3log 232<<D ．2log 5log 3log 322<< 【答案】A【解析】由322log 21log 3log 5<<< , 故选A.7．在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC •=u u u r u u u r( )A ．23-B ．32-C ．32D ．23 【答案】D【解析】由余弦定理得1cos ,4CAB ∠=所以1332,42AB AC •=⨯⨯=u u u r u u u r 选Ｄ.8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是( ) A ．15 B ．45 C ．60 D ．75 【答案】C 【解析】用直接法：11122135353515301560,C C C C C C ++=++=或用间接法：22224635903060,C C C C -=-=故选Ｃ.9．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，11=AA ，则顶点A 、B 间的球面距离是( ) A ．42π B ．22π C ．π2 D ．2π2 【答案】B【解析】112BD AC R ===Q R ∴=设11,BD AC O =Q I 则OA OB R ===,2AOB π⇒∠=,2l R πθ∴==故选Ｂ.10．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的XyOPBA 距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．2]B ．[2,)+∞C ．21]+D ．[21,)++∞ 【答案】C【解析】200a ex a x c -=+Q 20(1)a e x a c ⇒-=+2(1),a a e a c⇒+≥-1111,a e c e∴-≤+=+2210,e e ⇒--≤1212,e ⇒≤≤+ 而双曲线的离心率1,e >21],e ∴∈故选Ｃ.二．填空题11．已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则b a +=_____________________. 【答案】２【解析】由(3),||13 2.a b a b +=-∴+=+=r r r rQ12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。

高三数学-2018年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。

2．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在草稿纸和本试卷上答题无效。

考生在答题卡上按如下要求答题：（1）选择题部分请用２Ｂ铅笔把应题目的答案标号所在方框涂黑，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。

（2）非选择题部分（包括填空题和解答题）请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效。

（3）保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠。

3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

4. 本试卷共5页。

如缺页，考生须声明，否则后果自负。

本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分3至5页. 时量120分钟. 满分150分. 参考公式: 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是()(1)k k n kn n P k C P P -=-球的体积公式 343V R π=,球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数x y 2log=的定义域是A ．(0,1］B . (0,+∞) C. (1,+∞) D . ［1,+∞)2．已知向量),2,1(),,2(==b t a 若1t t =时，a∥b ；2t t =时，b a ⊥，则A ．1,421-=-=t tB . 1,421=-=t t C. 1,421-==t t D . 1,421==t t3. 若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是A ．-2B . 22 C. 34 D . 24．过半径为12的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°则该截面的面积是A ．πB . 2π C. 3π D . π325．“a =1”是“函数ax x f -=)(在区间［1，＋∞）上为增函数”的A ．充分不必要条件B . 必要不充分条件C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件6．在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是A ．6B . 12 C. 18 D . 24 7．圆0104422=---+y x yx 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是A ．36B . 18 C. 26 D . 258．设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是A ．2πB . π C.2π D .4π9．过双曲线M ：2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且BCAB =，则双曲线M 的离心率是A ．25 B . 310 C.5D .1010. 如图1：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OBy OA x OP +=，则实数对（x ,y ）可以是A ．)43,41(B . )32,32(-C. )43,41(-D . )57,51(-二．填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题卡中．．．．对应题号的横上.11. 若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 .12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人.现分析两个班的A一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分.13. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x 则22yx +的最小值是 .14. 过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有条. 15. 若)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a = .三．解答题：本大题共６小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知),,0(,1cos )cos()22sin(sin 3πθθθπθπθ∈=⋅+--求θ的值.17.（本小题满分１２分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01)：(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率； (Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率； (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.18.（本小题满分１4分）如图2，已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高都是2，AB =4.(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角； (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.Q B C P AD图219.（本小题满分14分）已知函数axaxx f 313)(23-+-=.（Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分14分）在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数23a =.排列4321的逆序数36a =（Ⅰ）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（Ⅱ）令nn n n na a a ab 11+++=，证明32221+<++<n b b b nn ，n =1,2,….21.（本小题满分14分）已知椭圆C 1：13422=+yx，抛物线C 2：)0(2)(2>=-p px m y ，且C 1、C 2的公共弦AB过椭圆C 1的右焦点.（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p 、m 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；（Ⅱ）若34=p 且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.参考答案1－10：DCDAABCBDC 11.12-n, 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .16.解：由已知条件得1cos cos 2cos sin 3=⋅--θθθθ.即sin2sin 32=-θθ. 解得0sin 23sin==θθ或.由0＜θ＜π知23sin=θ，从而323πθπθ==或.17.解：（Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是31.01655.0)5.01(32251==⨯-⨯=C P .（Ⅱ）解法一某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是1.0)8.01()5.01(2=-⨯-=P ，从而煤矿不被关闭的概率是0.90. 解法二某煤矿不被关闭包括两种情况：（i ）该煤矿第一次安检合格；（ii ）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格.所以该煤矿不被关闭的概率是90.08.0)5.01(5.02=⨯-+=P .(Ⅲ)由题设（Ⅱ）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是41.09.0153=-=P .18.解法一（Ⅰ）连结AC 、BD ，设OBD AC= .由P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD . 从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD . （Ⅱ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 由（Ⅰ），PQ ⊥平面ABCD . 故可分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是P （0，0，2），A （22，0，0），Q （0，0，－2），B （0，22，0）.所以)2,0,22(--=AQ )2,22,0(-=PB于是3132324,cos=⨯=>=<PB AQ .从而异面直线AQ 与PB 所成的角是31arccos.(Ⅲ)由（Ⅱ），点D 的坐标是（0，－22，0），)0,22,22(--=AD，)4,0,0(-=PQ，设),,(z y x n=是平面QAD 的一个法向量，由 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AD n AQ n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02y x z x .取x =1，得)2,1,1(--=n.所以点P 到平面QAD的距离22==d.解法二（Ⅰ）取AD 的中点，连结PM ，QM . 因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM . 又⊂PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD .同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD .（Ⅱ）连结AC 、BD 设O BD AC = ，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上，从而P 、A 、Q 、C 四点共面.因为OA ＝OC ，OP ＝OQ ，所以P AQC 为平行四边形，AQ ∥PC .从而∠BPC （或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角.因为322)22(2222=+=+==OPOCPC PB，所以31323221612122cos222=⨯⨯-+=⋅-∠PCPB BCPCPBBPC ＋＝.从而异面直线AQ 与PB 所成的角是31arccos .(Ⅲ)连结OM ，则PQAB OM21221===.所以∠PMQ ＝90°，即PM ⊥MQ .由（Ⅰ）知AD ⊥PM ，所以PM ⊥平面QAD . 从而PM 的长是点P 到平面QAD 的距离. 在直角△PMO 中，22222222=+=+=OMPOPM.即点P 到平面QAD 的距离是22.19.（Ⅰ）由题设知)2(363)(,02ax ax x axx f a-=-='≠.QBCPADOM令ax x x f 2,00)(21==='得.当（i ）a >0时，若)0,(-∞∈x ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间(,0)-∞上是增函数；若)2,0(a x ∈，则)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2,0(a 上是减函数；若),2(+∞∈a x ，则)(>'x f ，所以)(x f 在区间),2(+∞a 上是增函数；（i i ）当a ＜0时，若)2,(a x -∞∈，则)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2,(a-∞上是减函数；若)2,0(a x ∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2,0(a上是减函数；若)0,2(a x ∈，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)0,2(a上是增函数；若),0(+∞∈x ，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间),0(+∞上是减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线)(x f y =上的两点A 、B 的纵坐标为函数的极值，且函数)(x f y=在ax x2,0==处分别是取得极值af 31)0(-=，134)2(2+--=aaaf .因为线段AB 与x 轴有公共点，所以0)2()0(≤⋅af f . 即0)31)(134(2≤-+--aaa.所以)4)(3)(1(2≤--+aa a a .故0,0)4)(3)(1(≠≤--+a a a a 且.解得－1≤a ＜0或3≤a ≤4.即所求实数a 的取值范围是[-1，0)∪[3，4].20.（本小题满分14分）（Ⅰ）由已知得15,1054==a a ，2)1(12)1(+=+++-+=n n n n a n .（Ⅱ）因为,2,1,22222211==+⋅+>+++=+=++n nn n n nn n n a a a a b nn n n n，所以nb b b n 221>+++ .又因为 ,2,1,222222=+-+=+++=n n n nn n n b n ，所以)]211()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n=32221232+<+-+-+n n n n .综上，,2,1,32221=+<++<n n b b b nn .21.（本小题满分14分）（Ⅰ）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）.因为点A 在抛物线上，所以p249=，即89=p.此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上.（Ⅱ）解法一当C 2的焦点在AB 上时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+kx kx k . ……①设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438kk+.因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且34)2()2(212121++=++=+++=x x p x x p x p x AB .从而)(214342121x x x x +-=++.所以91621=+x x ，即91643822=+kk.解得6,62±==k k 即. 因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y上，所以km31-=.即3636-==m m 或.当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y；当36-=m时，直线AB 的方程为)1(6-=x y.解法二当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)1(38)(2x k y x m y 消去y 得xm k kx38)(2=--. ……①因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y上，所以)132(-=k m ，即km31-=.代入①有xk kx38)32(2=-.即094)2(342222=++-k x kxk. ……②设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程②的两根，x 1＋x 2＝223)2(4kk+.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+kx kx k . ……③由于x 1,x 2也是方程③的两根，所以x 1＋x 2＝22438kk+.从而223)2(4k k+＝22438kk+. 解得6,62±==k k 即.因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y上，所以km 31-=.即3636-==m m 或.当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y；当36-=m时，直线AB 的方程为)1(6-=x y.解法三设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 因为AB 既过C 1的右焦点)0,1(F ，又是过C 2的焦点),32(m F '，所以)212()212()2()2(212121x x p x x p x p x AB -+-=++=+++=.即916)4(3221=-=+p x x . ……①由（Ⅰ）知21x x ≠，于是直线AB 的斜率mm x x y y k313201212=--=--=， ……②且直线AB 的方程是)1(3--=x m y ,所以32)2(32121m x x m y y =-+-=+. ……③又因为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1243124322222121y x y x ，所以0)(4)(312122121=--⋅+++x x y y y y x x . ……④将①、②、③代入④得322=m ，即3636-==m m或.当36=m时，直线AB 的方程为)1(6--=x y；当36-=m时，直线AB 的方程为)1(6-=x y.。