2018年高考真题——文科数学(全国卷Ⅲ)Word版含解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试

（新课标 III 卷）

文 科 数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合）

1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A

B =（ ）

A ．{}0

B ．{}1

C ．{}12，

D ．{}

012，，

1．答案：C

解答：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴{1,2}A B =.故选C.

2．()()12i i +-=（ ）

A ．3i --

B ．3i -+

C ．3i -

D ．3i +

2．答案：D

解答：2

(1)(2)23i i i i i +-=+-=+，选D.

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中

木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）

3．答案：A

解答：根据题意，A 选项符号题意； 4．若1

sin 3

α=，则cos 2α=（ ）

A ．89

B ．

79

C ．79

-

D ．89-

4．答案：B

解答：2

27

cos 212sin 199

αα=-=-

=.故选B. 5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）

A ．0.3

B ．0.4

C ．0.6

D ．0.7

5．答案：B

解答：由题意10.450.150.4P =--=.故选B. 6．函数 ()2tan 1tan x

f x x

=

+的最小正周期为（ ）

A ．

4

π B ．

2

π C ．π

D ．2π

6．答案：C 解答：

22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos x

x x x x f x x x x x x x x x

==

===+++

，∴()f x 的周期22

T π

π=

=.故选C. 7．下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ） A ．()ln 1y x =-

B ．()ln 2y x =-

C ．()ln 1y x =+

D ．()

ln 2y x =+

7．答案：B

解答：()f x 关于1x =对称，则()(2)ln(2)f x f x x =-=-.故选B.

8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2

222x y -+=上，则ABP ?面积的取值范围是（ ）

A ．[]26，

B ．[]48，

C ．

D ．??

8．答案：A 解答：

由直线20x y ++=得(2,0),(0,2)A B --，∴||AB =

=

22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，

∴圆心到直线20x y ++=

=∴点P

到直线20x y ++=的距离的取值范围为d ≤≤d ≤≤∴1

||[2,6]2

ABP S AB d ?=

?∈. 9．函数422y x x =-++的图像大致为（ ）

9．答案：D 解答：

当0x =时，2y =，可以排除A 、B 选项；

又因为3

424()(22

y x x x x x '=-+=-+

-，则()0f x '>的解集为

(,(0,22

-∞-

U ，()f x 单调递增区间为(,2-∞-，(0,2；()0f x '<的解集为

(()22-

+∞U ，()f x 单调递减区间为(2-，()2

+∞.结合图象，可知D 选项正确.

10．已知双曲线22

221x y C a b

-=：（00a b >>，()40，到C 的渐近线的

距离为（ ）

A

B ．2

C

D ．10．答案：D 解答：

由题意c e a ==则1b

a

=，故渐近线方程为0x y ±=，则点(4,0)到渐近线的距离

为

d =

=故选D. 11．ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ?的面积为222

4

a b c +-，

则C =（ ）

A ．

2

π B ．

3

π C ．

4

π D ．

6π

11．答案：C 解答：

2222cos 1

cos 442

ABC

a b c ab C S ab C ?+-===，

又1sin 2ABC S ab C ?=，故t a n 1C =，∴4

C π

=

.故选C.

12．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ?为等边三角形且其面积

为D ABC -体积的最大值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．12．答案：B 解答：

如图，ABC ?为等边三角形，点O 为A ，B ，C ，D 外接球的球心，G 为ABC ?的

重心，由ABC S ?=6AB =，取BC 的中点H ，∴sin60AH AB =??=

2

3

AG AH =

=O 到面ABC

的距离为2d ==，∴三棱锥D ABC -

体积最大值1

(24)3D ABC V -=?+=

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．

13．答案：12

解答：

2(4,2)a b +=，∵//(2)c a b +，∴1240λ?-?=，解得12

λ=

. 14．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．

14．答案：分层抽样

解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法. 15．若变量x y ，满足约束条件23024020.

x y x y x ++??

-+??-?

≥，

≥，≤则13z x y =+的最大值是________．

15．答案：3 解答：

由图可知在直线240x y -+=和2x =的交点(2,3)处取得最大值，故

1

2333

z =+?=.

16．已知函数())

ln

1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．

16．答案：2-

解答：())

ln

1()f x x x R -=+∈，

()())1)1f x f x x x +-=+++22ln(1)22x x =+-+=，

∴()()2f a f a +-=，∴()2f a -=-.

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）

（一）必考题：共60分。 17．（12分）

等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． ⑴求{}n a 的通项公式；

⑵记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 17．答案：（1）12n n a -=或1(2)n n a -=-；（2）6. 解答：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∴2

5

3

4a q a ==，∴2q =±. ∴1

2

n n a -=或1

(2)

n n a -=-.

（2）由（1）知，122112n n

n S -==--或1(2)1[1(2)]123

n n n S +-==--+，

∴2163m m S =-=或1[1(2)]633

m

m S =--=（舍）， ∴6m =. 18．（12分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：

⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：

⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：()

()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()20.0500.0100.001

3.8416.63510.828P K k k ≥．

18．答案：见解析 解答：

（1）第一种生产方式的平均数为

184x =，第二种生产方式平均数为274.7x =，∴

12x x >，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的

效率更高.

（2）由茎叶图数据得到80m =，∴列联表为

（3）22

2

()40(151555)10 6.635

()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -?-?===>++++???，

∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19．（12分）

如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的

点．

⑴证明：平面AMD ⊥平面BMC ；

⑵在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．

19．答案：见解答

解答：（1）∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ， ∴AD ⊥半圆面CMD ，∴AD ⊥平面MCD .

∵CM 在平面MCD 内，∴AD CM ⊥，又∵M 是半圆弧CD 上异于,C D 的点，∴

CM MD ⊥.又∵AD DM D =I ，∴CM ⊥平面ADM ，∵CM 在平面BCM 内，∴平面

BCM ⊥平面ADM .

（2）线段AM 上存在点P 且P 为AM 中点，证明如下：

连接,BD AC 交于点O ，连接,,PD PB PO ；在矩形ABCD 中，O 是AC 中点，P 是

AM 的中点；

∴//OP MC ，∵OP 在平面PDB 内，MC 不在平面PDB 内，∴//MC 平面PDB .

20．（12分）

已知斜率为k 的直线l 与椭圆22

143

x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为

()()10M m m >，．

⑴证明：1

2

k <-；

⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明:2FP FA FB =+ ． 20．答案：见解答： 解答：

（1）设直线l 方程为y kx t =+，设11(,)A x y ,22(,)B x y ,

2

2

14

3y kx t x y =+???+=??联立消y 得222(43)84120k x ktx t +++-=， 则2222644(412)(34)0k t t k ?=--+>， 得2243k t +>…①，

且1228234kt x x k -+=

=+，12122

6()2234t

y y k x x t m k

+=++==+， ∵0m >，∴0t >且0k <.

且2

344k t k

+=-…②.

由①②得22

2

2

(34)4316k k k ++>，

∴1

2

k >

或12k <-.

∵0k <，∴1

2

k <-.

（2）0FP FA FB ++=uu r uu r uu r r ，20FP FM +=uu r uuu r r ,

∵(1,)M m ，(1,0)F ，∴P 的坐标为(1,2)m -.

由于P 在椭圆上，∴214143

m +

=，∴3

4m =，3(1,)2M -， 又2211143x y +=，22

22143

x y +=，

两式相减可得

12121212

34y y x x

x x y y -+=-?-+，

又122x x +=，123

2

y y +=，∴1k =-， 直线l 方程为3

(1)4

y x -=--， 即74

y x =-+

， ∴22

7414

3y x x y ?

=-+????+=??， 消去y 得2

285610x x -+=

，1,2x =

||||3FA FB +==uu r uu r

，

3||2

FP ==uu r ,

∴||||2||FA FB FP +=. 21．（12分）

已知函数()21

x

ax x f x e +-=．

⑴求由线()y f x =在点()01-，

处的切线方程； ⑵证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．

21．答案：详见解析

解答：（1）由题意：()21

x

ax x f x e +-=得

222(21)(1)22

()()x x x x

ax e ax x e ax ax x f x e e

+-+--+-+'==， ∴2

(0)21

f '=

=，即曲线()y f x =在点()0,1-处的切线斜率为2，∴(1)2(0)y x --=-，即210x y --=；

（2）证明：由题意：原不等式等价于：1

210x e

ax x +++-≥恒成立；令

12()1x g x e ax x +=++-，

∴1()21x g x e ax +'=++，1()2x g x e a +''=+，∵1a ≥，∴()0g x ''>恒成立，∴()g x '在(,)-∞+∞上单调递增，∴()g x '在(,)-∞+∞上存在唯一0x 使0()0g x '=，∴

010210x e ax +++=，即01021x e ax +=--，且()g x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单

调递增，∴0()()g x g x ≥.

又0

1

220000000()1(12)2(1)(2)x g x e ax x ax a x ax x +=++-=+--=+-，

1

11

()1a g e a

-'-=-，∵1a ≥，∴11011a e e -≤-<-，∴01x a ≤-，∴0()0g x ≥，得证.

综上所述：当1a ≥时，()0f x e +≥.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θ

θ=??=?

（θ为参数），过点(0，且倾斜

角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．

⑴求α的取值范围；

⑵求AB 中点P 的轨迹的参数方程．

22．答案：见解析解答：（1）O e 的参数方程为cos sin x y θ

θ

=??

=?，∴O e 的普通方程为

221x y +=，当90α=?时，直线：:0l x =与O e 有两个交点，当90α≠?时，设直线l 的

方程为tan y x α=l 与O e

1<，得2tan 1α>，∴

tan 1α>或tan 1α<-，∴4590α?<

（2）点P 坐标为(,)x y ，当90α=?时，点P 坐标为(0,0)，当90α≠?时，设直线l 的

方程为y kx =1122(,),(,)A x y B x y ，

∴221x y y kx ?+=??=-??①

②

有22(1x kx +=，整理

得22(1)10k x +-+=，

∴122

1x x k +=+

，12y y +=，

∴2

211x k y k ?=??+??=?+?

③④得

x

k y

=-

代入④得220x y +=.当点(0,0)P

时满足方程220x y ++=，∴AB 中点的P

的轨迹方程是220x y +=，

即2

21(22x y ++

=，

由图可知，(22

A -

，

(B ，

则0y <，

故点P

的参数方程为222

x y ββ

?=????=-+??（β为参数，0βπ<<）

.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数()211f x x x =++-． ⑴画出()y f x =的图像；

⑵当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值． 23．答案：见解答

解答：

（1）13,21()2,123,1x x f x x x x x ?

-≤-??

?

=+-<

≥???

，如下图：

（2）由（1）中可得：3a ≥，2b ≥， 当3a =，2b =时，a b +取最小值， ∴a b +的最小值为5.