清华大学线性代数期末考
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
《线性代数、概率统计》期末考试试卷及详细答案
一、选择题�每小题后均有代号分别为 A, B, C, D 的被选项, 其中只有一项是正
确的, 将正确一项的代号填在横线上�每小题 2 分�共 40 分��
1�行列式 G 的某一行中所有元素都乘以同一个数 k 得行列式 H�则------------C-------------;
.
(A) �2 ;
(B) �2 ;
(C) �2-�2;
(D) �2+�2;
二、解答题(每小题 8 分�共 48 分)
1�解矩阵方程� X ����11
12����
�
�� � ��
1 2 1
� 1�� 0� 2 ��
解�
X
�
�� 1 �2
�� 1
�021���������11
1 2
����
�1
�
�� 1 �2 �� 1
(4 分) (8 分)
� �1 �1 0 �E � A � 0 � �1 �1 � (� �1)3
0 0 � �1
�3 分�
得 A 的特征值 �1=�2=�3=1。 以�=1�代入 (�E � A)X � 0 �得
�4 分�
�� ���
x2 x3
� �
0 0
�6 分�
4
�1� 其基础解系是 X � ��0�� �
� � ���
是齐次线性方程组
XA=0
的一个基础解系。
�� 3�� �� 2��
∴方程组 XA=B 的通解为
X=k�+�1=
k �� ���
4 5 6
� � ���
�
� � ���
3 4 5
2020-2021某大学《线性代数》期末课程考试试卷A(含答案)
2020-2021《线性代数》期末课程考试试卷A考试时间： 类型：闭卷 时间：120分钟 总分：100分 专业：一、填空题（共10空，每空2分，共20分）1、=--b a b a 10210；()=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2,1321 。
2、向量α线性相关的充分必要条件是 。
3、设A 为3阶方阵，2=A ,则A 2-= 。
4、向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321,211的正交化向量为 。
5、已知3阶方阵A 的特征值为2,1,2-，则方阵2A 的特征值是 、 、 。
6、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=x A 112与⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Λ31相似，则=x 。
7、设32212221321424),,(x x x x x x x x x f -++-=，则二次型矩阵为 。
二、选择题 （共5题，每题2分，共10分） 1、排54321列的逆序数为（ ）A 、10B 、9C 、8D 、7 2、设B A 、为n 阶可逆方阵，则下列结论成立的是（ ）。
A 、B A B A +=+ B 、BA AB =C 、BA AB =D 、111)(---+=+B A B A3、已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11a α，且αA 与α线性相关，则=a （ ）。
A 、1-B 、1C 、 2D 、34、已知向量组A 可以经过有限次的初等变换得到B ，则)(A R 与 )(B R 的关系是（ ）。
A 、)()(B R A R > B 、)()(B R A R > C 、)()(B R A R = D 、以上都不对5、若向量组m ααα,,,21⋅⋅⋅的秩为r ，则（ ）A 、向量组中任意少于r 个向量的部分组线性无关B 、必有m r <C 、向量组中任意1+r 个向量线性相关D 、 向量组中任意r 个向量线性无关 三、判断题（共5题，每题2分，共10分） 1、设A 为n 阶可逆阵阵，则1121)2(--=A A 。
清华大学线性代数考试真题3
清华大学线性代数考试真题3几何与代数讨论课（三）（向量组的线性相关性）1．下列命题是否正确(1)若向量组α1,α2,···,αm线性相关，则α1,α2,···,αm中任意一个向量都可由其余m?1个向量线性表出.(2)若α可由向量组α1,α2,···,αm线性表示，则存在不全为零的数k1,k2,···,k m使α=mi=1k iαi.(3)若向量组α1,α2,···,αm线性相关，则它的任意一个部分组也线性相关.(4)若向量组α1,α2,···,αm线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关.(5)若向量组α1,α2,···,αm线性无关，且向量组β1,β2,···,βm也线性无关，则向量组α1,α2,···,αm,β1,β2,···,βm线性无关.(6)向量组α1,α2,···,αm线性无关?α1,α2,···,αm中任意两个向量都线性无关.(7)若n维向量组α1,α2,···,αm及β1,β2,···,βm都线性无关，则向量组α1+β1,α2+β2,···,αm+βm也线性无关.(8)若n维向量组α1,α2,···,αm及β1,β2,···,βm都线性相关，则向量组α1+β1,α2+β2,···,αm+βm也线性相关.(9)若n维列向量组α1,α2,···,αm与n维列向量组β1,β2,···,βm等价，则矩阵A=(α1,α2,···,αm)与矩阵B=(β1,β2,···,βm)相抵.(10)若矩阵A,B,C满足A=BC，则A的列向量组可由B的列向量组线性表示.(11)若|A|=0，则A必有一列向量是其余列向量的线性组合.(12)αm不能由α1,α2,···,αm?1线性表出?α1,α2,···,αm线性无关.2.已知：α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关，(1)求证：α1,α2,α3线性无关.(2)试判断下面的证法是否正确？为什么？证：因α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关，故k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0?k1=k2=k3=0因而(k1+k3)α1+(k2+k1)α2+(k2+k3)α3=0有k1+k3=k2+k1=k2+k3=0，故α1,α2,α3线性无关.3.设向量组α,β,γ线性无关，α,β,δ线性相关，下列说法是否正确？为什么？(1)α必可被β,γ,δ线性表出.(2)β必不可由α,γ,δ线性表出.(3)δ必可由α,β,γ线性表出.4.设向量β可由向量组α1,α2,···,αm线性表出，但不能由向量组（I）α1,α2,···,αm?1线性表出，记向量组（II）为α1,α2,···,αm?1,β，试判断αm能不能由（I）线性表出？能不能由（II）线性表出？5.已知：A∈M n×m,B∈M m×n且n< p="">6.α1,α2,···,αn是n个线性无关的n维向量，αn+1=k1α1+k2α2+···+k nαn，且k i(i= 1,2,···,n)全不为零．求证：α1,α2,···,αn,αn+1中任意n个n维向量均线性无关．7.证明α1,α2,···,αm（其中α1=0）线性相关的充要条件是至少有一个αi(1<i≤m)可被α1,α2,···,αi?1线性表出，且表出系数惟一．< p="">11(1) α1,α2,···,αm α1,α2,···,αm m ?1m =3 α1=(1,0)T ,α2=(2,0)T ,α3=(0,1)T α3(2) α α1,α2,···,αm k 1,k 2,···,k m α=m i =1k i αi α 0 α1,α2,···,αm k 1,k 2,···,k m 0(3) α1,α2,···,αmm =3 α1=(1,0)T ,α2=(2,0)T ,α3=(0,1)T α1,α3(4) α1,α2,···,αm(5) α1,α2,···,αm β1,β2,···,βm α1,α2,···,αm ,β1,β2,···,βmα1=β1 α1,α2,···,αm ,β1,β2,···,βm(6) α1,α2,···,αm ?α1,α2,···,αmm =3 α1=(1,1,0)T ,α2=(1,0,0)T ,α3=(0,1,0)T(7) n α1,α2,···,αm β1,β2,···,βm α1+β1,α2+β2,···,αm +βmi =1,2,···,m αi =?βi α1+β1,α2+β2,···,αm +βm 0(8) n α1,α2,···,αm β1,β2,···,βm α1+β1,α2+β2,···,αm +βm1m=n=3α1=(0,?1,1)T,α2=(1,2,?1)T,α3=(1,1,0)Tβ1=(1,1,?1)T,β2=(?1,?1,1)T,β3=(?1,?1,1)Tα1+β1=(1,0,0)T,α2+β2=(0,1,0)T,α3+β3=(0,0,1)T(9) n α1,α2,···,αm n β1,β2,···,βm A=(α1,α2,···,αm) B=(β1,β2,···,βm)(10) A,B,C A=BC A B(11) |A|=0 A(12)αm α1,α2,···,αm?1 ?α1,α2,···,αmm=3 α1=(1,0)T,α2=(2,0)T,α3=(0,1)T α32. α1+α2,α2+α3,α3+α1 α1,α2,α3α1+α2,α2+α3,α3+α1k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0?k1=k2=k3=0(k1+k3)α1+(k2+k1)α2+(k2+k3)α3=0 k1+k3=k2+k1= k2+k3=0α1,α2,α3α1,α2,α3 0 λ1,λ2,λ3 λ1α1+λ2α2+λ3α3=01 2(λ1+λ2?λ3)(α1+α2)+12(?λ1+λ2+λ3)(α2+α3)+12(λ1?λ2+λ3)(α3+α1)=0α1+α2,α2+α3,α3+α1 12(λ1+λ2?λ3)=12(?λ1+λ2+λ3)=12(λ1?λ2+λ3)=0 λ1=λ2=λ3=0 α1,α2,α30 λ1,λ2,λ3 λ1α1+λ2α2+λ3α3=03. α,β,γ α,β,δ(1)α β,γ,δ(2)β α,γ,δ2(3)δ α,β,γ(1) α=(1,0,0)T,β=(0,1,0)T,γ=(0,0,1)T,δ=(0,0,1)T(2) α=(1,0,0)T,β=(0,1,0)T,γ=(0,0,1)T,δ=(0,0,1)T(3) k1,k2,k3 k1α+k2β+k3δ=0 k1,k2,k3δ α,β,γ k3=0 k1α+k2β=0 k2,k3α,β,γ δ α,β,γ4. β α1,α2,···,αm I α1,α2,···,αm?1 II α1,α2,···,αm?1,β αm III ?β 0 β α1,α2,···,αm β=k1α1+k2α2+···+k m?1αm?1+k mαm k m=0 αm IIαm I αm=l1α1+l2α2+···+l m?1αm?1β=(k1+k m l1)α1+(k2+k m l2)α2+···+(k m?1+k m l m?1)αm?1 βI α1,α2,···,αm?1 αm I5. A∈M n×m,B∈M m×n n<="" p="">B B=(α1,α2,···,αn)αi,i=1,2,···,n m 0 k1,k2,···,k nk1α1+k2α2+···+k nαn=0 B·k=0 k=(k1,k2,···,k n)T ABk=Ik=A·0=0 k1,k2,···,k n 0B6.α1,α2,···,αn n n αn+1=k1α1+k2α2+···+k nαn k i(i=1,2,···,n) α1,α2,···,αn,αn+1n nα1,α2,···,αn n nα1 n n α2,···,αn,αn+1 α2,···,αnλ2,···,λn αn+1=λ2α2+···+λnαnα2+ k1α1+k2α2+···+k nαn=λ2α2+···+λnαn α1=λ2?k2k1αn α1,α2,···,αn n n···+λn?k nk1α1,α2,···,αn,αn+1 n n7. α1,α2,···,αm α1=0αi(1<="">(1)α1,α2,···,αm α1=0α1=0 {α1} {α1,α2,···,αm}p∈{2,···,m} {α1,α2,···,αp?1} {α1,α2,···,αp}αp α1,α2,···,αp?1 0 k1,k2,···,k p3k1α1+k2α2+···+k pαp=0 k p=0 {α1,α2,···,αp?1}k p=0 αp α1,α2,···,αp?1k1,k2,···,k p?1 k 1,k 2,···,k p?1 αp=k1α1+k2α2+···+kp?1αp?1=k 1α1+k 2α2+···+k p?1αp?1(k1?k 1)α1+(k2?k 2)α2+···+(k p?1?k p?1)αp?1=0 k1?k 1,k2?k 2,···,k p?1?k p?1 0 {α1,α2,···,αp?1}(2)αi(1<="">αi=k1α1+k2α2+···+k i?1αi?1 {α1,α2,···,αi}α1,α2,···,αm4</i≤m)可被α1,α2,···,αi?1线性表出，且表出系数惟一．<><>。
清华大学高等数学期末考试试卷(含答案)
清华大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．点是函数的极值点．
A、正确
B、不正确
【答案】B
2．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
3．不定积分．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
4．微分方程满足的特解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
5．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
6． ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
7．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
8．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、极小值点也是最小值点
B、极小值点但非最小值点
C、最大值点
D、极大值点
【答案】A
9．不是函数的极值点．
A、正确
B、不正确
【答案】B
10．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
11．设，则=（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C
12．设函数，则导数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
13．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
14．．
A、正确
B、不正确
【答案】B
15．是偶函数．
A、正确
B、不正确
【答案】A。
清华大学线性代数考试真题1
不满足线性性. 不满足封闭性. 不满足数乘封闭性.
1
(2) (τ σ )2 (f (x)) = τ σ (xf (x)) = x(f (x) + xf (x)) = xf (x) + x2 f (x) τ 2 σ 2 (f (x)) = τ (τ σ )σ (f (x)) = τ (τ σ )(f (x)) = τ (xf (x)) = x2 f (x) (τ 2 σ 2 + τ σ )(f (x)) = x2 f (x) + xf (x) = (τ σ )2 (f (x)) 证毕. σ 不是 R[x] 上的幂零变换. 因为，对于任意 n ∈ N，总存在一个 m > n， 和 f ∈ Rm [x]，使得 σ n (f (x)) 不是 0. σ 是 Rn [x] 上的幂零变换. 因为，存在 m > n，使得对于 ∀f ∈ Rn [x]， 有 σ m (f (x)) = 0. Exercise 4 在 F 3 中，设线性变换 σ 关于基 α1 = (−1, 1, 1)T ，α2 = (1, 0, −1)T ，α3 = (0, 1, 1)T 的矩阵是 1 0 1 A = 1 1 0 , −1 2 1 (1) 求 σ 关于基 ε1 = (1, 0, 0)T ，ε2 = (0, 1, 0)T ，ε3 = (0, 0, 1)T 的矩阵； (2) 设向量 α = α1 + 6α2 − α3 ，β = ε1 − ε2 + ε3 ，求 σ (α), σ (β ) 关于 基 α1 , α2 , α3 的坐标． 解： (1) 由假设，有 −1 1 0 0 1 . (α1 , α2 , α3 ) = (ε1 , ε2 , ε3 ) 1 1 −1 1 于是， −1 −1 1 0 0 1 (ε1 , ε2 , ε3 ) = (α1 , α2 , α3 ) 1 1 −1 1 −1 1 −1 = (α1 , α2 , α3 ) 0 1 −1 . 1 0 1 0 1 −1 1 1 0 0 1 1 0 2 1 −2 0 . 2 −1 −1 1
线性代数B期末考试题及答案
线性代数B期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\)答案：C2. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(A^2 = I\)，则\(A\) 一定是：A. 正交矩阵B. 斜对称矩阵C. 单位矩阵D. 对角矩阵答案：A3. 线性方程组 \(\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 3x - 4y + 2z = 2 \\ 5x + 6y + 3z = 3 \end{cases}\) 的解的情况是：A. 有唯一解B. 有无穷多解C. 无解D. 不能确定答案：B4. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(\det(A) = 0\)，则 \(A\) 的秩：A. 等于3B. 小于3C. 等于0D. 大于等于3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的行列式\(\det(A) = 2\)，则 \(A\) 的伴随矩阵 \(\text{adj}(A)\) 的行列式是 _______。
答案：82. 若 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的特征值为1，2，3，则 \(A\) 的迹数 \(\text{tr}(A)\) 等于 _______。
清华大学高等数学期末考试试卷答案
清华大学高等数学期末考试试卷答案填空題(本題满分30分，共有10道小顕，每道小题3分)，话育合运的答案填在空中-1.设向量应的终点坐标为瓦2, -1, 7),它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4和7,则该向量的起点《的坐标为■2.设a、S、己都是里位向量，且满足十扌=0,贝苗啬+幻=3.设z = sin (xy) + cos2 (y),则==.^y4.设2=**，贝ij^= ______________________ -cxdy95.某工厂的生产函数是Q = /0,K),已知⑴.当厶= 64.K=20时，0 = 25OO(h (2)当Z = 64,K = 20时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率为/； = 270 , * = 350。
如果工厂计划扩大投入到A = 69,K = 24,则产量的近似増量为1 J〕；6.交换积分］鶴，有j诳f/(x, >■>&=.7 一设級数2 '收敛，且ix=”,贝蛾数s(、+%)= ______________________ .Z />1 n-18. P-扱数己二在P满足_______________ 条件下收敛.«-1吋9-微分方程史=x+siii X的通解为___________________________ -第1页共9页10.对于微分方程y+3}，' + 2> = / ,利用待定系数法求其特解)，•时，应设其特解)，•=〈只需列出特解形式，不必具体求出系数〉.答案'1- 4-2. 3. 0),2'_|J3.xcos(x>)-2xcos(x>*)sin(x}'),4.x^l(l+ylnx);5.2750 单位：0 1 1 16.)初 + ］成(/U 加 $-17 0 1-J1-X27.lu — u^ j8.P > 1J9.^x3 -sinx + Cix+C3)610.y* = Axe''.(本鞘分8分)求过点冬(―L 2, 3),且与两平面x+2z=l和y-3z = 2平行的宜统方程・解=所求直线，过点已(—L 2, 3),设其方向向量为硏由于/平行于平面* + 2z = 1和y -3z = 2 ,所以其方向向量s同时垂直于向量fii = (1. 0, 2}与n3 ={0, L -3}.第2页共9页第二学期高等数学期末髯试试卷晉案因此，方向向量&可取为，从而所求直线方程为y _ 2 _ z _ 33 =~三.（本题滿分8分）设踏”=¥七.5其中上是常数，股F具有连续的一阶偏导数’试求第3页共9页第二学期高等数学期末者讯讯卷答案+ Z-X'四.（本既満分8分）计算二重积分1= [[ e^^'dxdy的值.解：作极坐标变换：x = rcos0t y=rsin0f则有2* 21=婀=例/汕，♦尸$4 。