清华大学线性代数考试样题
清华大学线性代数期中考试2008年
2008-2009年度第一学期《化学原理》期中考试试卷班级_________ 姓名__________ 学号_________ 得分一、单项选择题（共40分，每题1分）1．下列说法中正确的是………………………………………………………….( )(A)实际气体在其压强比较低、温度比较高时为理想气体。
(B)等温等压下，两种气体的相对扩散速率之比与他们摩尔质量的平均根成正比。
(C)理想气体分子的平均动能与气体温度成正比。
(D)理想气体分子的速率分布图与其能量分布图形态相同。
2．22℃和100kPa下，在水面上收集H2 0.100g，在此温度下水的蒸气压为2.7kPa，则H2的体积应为...............................................................................................( )(A) 12.6L (B) 24.5L (C) 1.26L (D) 2.45L3．二氧化硫的临界温度和临界压力分别为157℃和78atm。
液态二氧化硫在25℃时蒸气压为3.8atm。
下列说法正确的是............................................................( )(A) 25℃和1atm下，二氧化硫是液体。
(B) 在25℃时，二氧化硫贮罐的压力为5atm。
(C) 二氧化硫的沸点在25℃~157℃之间。
(D) 气态二氧化硫冷却至150℃和80atm时将凝聚。
4．预测He、O2、NO、CO2气体中，van der Waals常量b最大的是……...…( )(A) He (B) O2(C) NO (D) CO25．下列说法中正确的是..........................................................................................( )(A) 永久气体永远不能被液化。
线性代数练习题(有答案)
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
线性代数清华版课后部分习题答案
7 1 a2 22. 1 1 b2 c2 a3 b3 c3 = = = = =
r3 −r1 r2 −r1
1 0
a2 b2 − a2
a3 c2 − a2 c3 − a3 1 a a2 = (b2 − a2 )(c3 − a3 ) − (c2 − a2 )(b3 − a3 )
0 c2 − a2
= (b − a)(c − a)[(b + a)(c2 + ac + a2 ) − (c + a)(b2 + ab + a2 )] = (b − a)(c − a)[bc2 + ac2 − b2 c − ab2 ] = (b − a)(c − a)(c − b)(ab + bc + ca) = (ab + bc + ca) 1 1 b c b2 c
2 0 . . . 0 0
0 . . . 0 0
= −2(n − 2)!
1 a 29. a . . . a
2
1 a−1 (a − 1) . . . (a − 1)
2
1 a−2 (a − 2) . . . (a − 2)
2
··· ··· ··· ··· ···
1 a−n (a − n)2 . . . (a − n)n
n(n+1) 2
n+1阶vandermonde = = = = = = = = = = = = = = 行列式
[(a − j ) − (a − i)]
0≤i<j ≤n1+2+···+n 1!2!3! · · · n! = (−1)
n k=1
k!
an 1 30. an 2 . . . an n+1
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
清华大学线性代数考试真题3
清华大学线性代数考试真题3几何与代数讨论课（三）（向量组的线性相关性）1．下列命题是否正确(1)若向量组α1,α2,···,αm线性相关，则α1,α2,···,αm中任意一个向量都可由其余m?1个向量线性表出.(2)若α可由向量组α1,α2,···,αm线性表示，则存在不全为零的数k1,k2,···,k m使α=mi=1k iαi.(3)若向量组α1,α2,···,αm线性相关，则它的任意一个部分组也线性相关.(4)若向量组α1,α2,···,αm线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关.(5)若向量组α1,α2,···,αm线性无关，且向量组β1,β2,···,βm也线性无关，则向量组α1,α2,···,αm,β1,β2,···,βm线性无关.(6)向量组α1,α2,···,αm线性无关?α1,α2,···,αm中任意两个向量都线性无关.(7)若n维向量组α1,α2,···,αm及β1,β2,···,βm都线性无关，则向量组α1+β1,α2+β2,···,αm+βm也线性无关.(8)若n维向量组α1,α2,···,αm及β1,β2,···,βm都线性相关，则向量组α1+β1,α2+β2,···,αm+βm也线性相关.(9)若n维列向量组α1,α2,···,αm与n维列向量组β1,β2,···,βm等价，则矩阵A=(α1,α2,···,αm)与矩阵B=(β1,β2,···,βm)相抵.(10)若矩阵A,B,C满足A=BC，则A的列向量组可由B的列向量组线性表示.(11)若|A|=0，则A必有一列向量是其余列向量的线性组合.(12)αm不能由α1,α2,···,αm?1线性表出?α1,α2,···,αm线性无关.2.已知：α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关，(1)求证：α1,α2,α3线性无关.(2)试判断下面的证法是否正确？为什么？证：因α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关，故k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0?k1=k2=k3=0因而(k1+k3)α1+(k2+k1)α2+(k2+k3)α3=0有k1+k3=k2+k1=k2+k3=0，故α1,α2,α3线性无关.3.设向量组α,β,γ线性无关，α,β,δ线性相关，下列说法是否正确？为什么？(1)α必可被β,γ,δ线性表出.(2)β必不可由α,γ,δ线性表出.(3)δ必可由α,β,γ线性表出.4.设向量β可由向量组α1,α2,···,αm线性表出，但不能由向量组（I）α1,α2,···,αm?1线性表出，记向量组（II）为α1,α2,···,αm?1,β，试判断αm能不能由（I）线性表出？能不能由（II）线性表出？5.已知：A∈M n×m,B∈M m×n且n< p="">6.α1,α2,···,αn是n个线性无关的n维向量，αn+1=k1α1+k2α2+···+k nαn，且k i(i= 1,2,···,n)全不为零．求证：α1,α2,···,αn,αn+1中任意n个n维向量均线性无关．7.证明α1,α2,···,αm（其中α1=0）线性相关的充要条件是至少有一个αi(1<i≤m)可被α1,α2,···,αi?1线性表出，且表出系数惟一．< p="">11(1) α1,α2,···,αm α1,α2,···,αm m ?1m =3 α1=(1,0)T ,α2=(2,0)T ,α3=(0,1)T α3(2) α α1,α2,···,αm k 1,k 2,···,k m α=m i =1k i αi α 0 α1,α2,···,αm k 1,k 2,···,k m 0(3) α1,α2,···,αmm =3 α1=(1,0)T ,α2=(2,0)T ,α3=(0,1)T α1,α3(4) α1,α2,···,αm(5) α1,α2,···,αm β1,β2,···,βm α1,α2,···,αm ,β1,β2,···,βmα1=β1 α1,α2,···,αm ,β1,β2,···,βm(6) α1,α2,···,αm ?α1,α2,···,αmm =3 α1=(1,1,0)T ,α2=(1,0,0)T ,α3=(0,1,0)T(7) n α1,α2,···,αm β1,β2,···,βm α1+β1,α2+β2,···,αm +βmi =1,2,···,m αi =?βi α1+β1,α2+β2,···,αm +βm 0(8) n α1,α2,···,αm β1,β2,···,βm α1+β1,α2+β2,···,αm +βm1m=n=3α1=(0,?1,1)T,α2=(1,2,?1)T,α3=(1,1,0)Tβ1=(1,1,?1)T,β2=(?1,?1,1)T,β3=(?1,?1,1)Tα1+β1=(1,0,0)T,α2+β2=(0,1,0)T,α3+β3=(0,0,1)T(9) n α1,α2,···,αm n β1,β2,···,βm A=(α1,α2,···,αm) B=(β1,β2,···,βm)(10) A,B,C A=BC A B(11) |A|=0 A(12)αm α1,α2,···,αm?1 ?α1,α2,···,αmm=3 α1=(1,0)T,α2=(2,0)T,α3=(0,1)T α32. α1+α2,α2+α3,α3+α1 α1,α2,α3α1+α2,α2+α3,α3+α1k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0?k1=k2=k3=0(k1+k3)α1+(k2+k1)α2+(k2+k3)α3=0 k1+k3=k2+k1= k2+k3=0α1,α2,α3α1,α2,α3 0 λ1,λ2,λ3 λ1α1+λ2α2+λ3α3=01 2(λ1+λ2?λ3)(α1+α2)+12(?λ1+λ2+λ3)(α2+α3)+12(λ1?λ2+λ3)(α3+α1)=0α1+α2,α2+α3,α3+α1 12(λ1+λ2?λ3)=12(?λ1+λ2+λ3)=12(λ1?λ2+λ3)=0 λ1=λ2=λ3=0 α1,α2,α30 λ1,λ2,λ3 λ1α1+λ2α2+λ3α3=03. α,β,γ α,β,δ(1)α β,γ,δ(2)β α,γ,δ2(3)δ α,β,γ(1) α=(1,0,0)T,β=(0,1,0)T,γ=(0,0,1)T,δ=(0,0,1)T(2) α=(1,0,0)T,β=(0,1,0)T,γ=(0,0,1)T,δ=(0,0,1)T(3) k1,k2,k3 k1α+k2β+k3δ=0 k1,k2,k3δ α,β,γ k3=0 k1α+k2β=0 k2,k3α,β,γ δ α,β,γ4. β α1,α2,···,αm I α1,α2,···,αm?1 II α1,α2,···,αm?1,β αm III ?β 0 β α1,α2,···,αm β=k1α1+k2α2+···+k m?1αm?1+k mαm k m=0 αm IIαm I αm=l1α1+l2α2+···+l m?1αm?1β=(k1+k m l1)α1+(k2+k m l2)α2+···+(k m?1+k m l m?1)αm?1 βI α1,α2,···,αm?1 αm I5. A∈M n×m,B∈M m×n n<="" p="">B B=(α1,α2,···,αn)αi,i=1,2,···,n m 0 k1,k2,···,k nk1α1+k2α2+···+k nαn=0 B·k=0 k=(k1,k2,···,k n)T ABk=Ik=A·0=0 k1,k2,···,k n 0B6.α1,α2,···,αn n n αn+1=k1α1+k2α2+···+k nαn k i(i=1,2,···,n) α1,α2,···,αn,αn+1n nα1,α2,···,αn n nα1 n n α2,···,αn,αn+1 α2,···,αnλ2,···,λn αn+1=λ2α2+···+λnαnα2+ k1α1+k2α2+···+k nαn=λ2α2+···+λnαn α1=λ2?k2k1αn α1,α2,···,αn n n···+λn?k nk1α1,α2,···,αn,αn+1 n n7. α1,α2,···,αm α1=0αi(1<="">(1)α1,α2,···,αm α1=0α1=0 {α1} {α1,α2,···,αm}p∈{2,···,m} {α1,α2,···,αp?1} {α1,α2,···,αp}αp α1,α2,···,αp?1 0 k1,k2,···,k p3k1α1+k2α2+···+k pαp=0 k p=0 {α1,α2,···,αp?1}k p=0 αp α1,α2,···,αp?1k1,k2,···,k p?1 k 1,k 2,···,k p?1 αp=k1α1+k2α2+···+kp?1αp?1=k 1α1+k 2α2+···+k p?1αp?1(k1?k 1)α1+(k2?k 2)α2+···+(k p?1?k p?1)αp?1=0 k1?k 1,k2?k 2,···,k p?1?k p?1 0 {α1,α2,···,αp?1}(2)αi(1<="">αi=k1α1+k2α2+···+k i?1αi?1 {α1,α2,···,αi}α1,α2,···,αm4</i≤m)可被α1,α2,···,αi?1线性表出，且表出系数惟一．<><>。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
清华大学线性代数考试真题1
不满足线性性. 不满足封闭性. 不满足数乘封闭性.
1
(2) (τ σ )2 (f (x)) = τ σ (xf (x)) = x(f (x) + xf (x)) = xf (x) + x2 f (x) τ 2 σ 2 (f (x)) = τ (τ σ )σ (f (x)) = τ (τ σ )(f (x)) = τ (xf (x)) = x2 f (x) (τ 2 σ 2 + τ σ )(f (x)) = x2 f (x) + xf (x) = (τ σ )2 (f (x)) 证毕. σ 不是 R[x] 上的幂零变换. 因为，对于任意 n ∈ N，总存在一个 m > n， 和 f ∈ Rm [x]，使得 σ n (f (x)) 不是 0. σ 是 Rn [x] 上的幂零变换. 因为，存在 m > n，使得对于 ∀f ∈ Rn [x]， 有 σ m (f (x)) = 0. Exercise 4 在 F 3 中，设线性变换 σ 关于基 α1 = (−1, 1, 1)T ，α2 = (1, 0, −1)T ，α3 = (0, 1, 1)T 的矩阵是 1 0 1 A = 1 1 0 , −1 2 1 (1) 求 σ 关于基 ε1 = (1, 0, 0)T ，ε2 = (0, 1, 0)T ，ε3 = (0, 0, 1)T 的矩阵； (2) 设向量 α = α1 + 6α2 − α3 ，β = ε1 − ε2 + ε3 ，求 σ (α), σ (β ) 关于 基 α1 , α2 , α3 的坐标． 解： (1) 由假设，有 −1 1 0 0 1 . (α1 , α2 , α3 ) = (ε1 , ε2 , ε3 ) 1 1 −1 1 于是， −1 −1 1 0 0 1 (ε1 , ε2 , ε3 ) = (α1 , α2 , α3 ) 1 1 −1 1 −1 1 −1 = (α1 , α2 , α3 ) 0 1 −1 . 1 0 1 0 1 −1 1 1 0 0 1 1 0 2 1 −2 0 . 2 −1 −1 1
清华大学线性代数讨论课1答案
一、1. 下列命题是否正确 1 x1 x2 1 (1) 1 x2 x2 = (xi − xj ) = (x1 − x2 )(x1 − x3 )(x2 − x3 ) 2 1≤j<i≤3 1 x3 x2 3 答：不正确. 原行列式是 Vandermonde 行列式，第一个等号是正确的. 第二个等号不对， 正确的是 (xi − xj ) = (x2 − x1 )(x3 − x1 )(x3 − x2 ).
1
(9) 若 A 为 n 阶方阵，k 为任意常数，则 |kA| = k |A|. 答：错误. 应该为 |kA| = k n |A|. (10) 若 A 可逆，且 |A + AB | = 0，则 |B + I | = 0. 答：正确。因为 0 = |A + AB | = |A(B + I )| = |A||B + I |，而 |A| = 0， 故 |B + I | = 0. (11) 若 n 阶方阵 A 的行列式等于零，则 A∗ = 0. 1 1 答：错误。比如：A = . 知 |A| = 0. 但 A∗ = 1 1 0. (12) 对方阵进行初等行变换，不改变该方阵的行列式. 答：错误. 交换两行和把一行乘以一个非零常数都会改变行列式. (13) 设 A 为 n 阶方阵，则 | − A| = −|A|. 答：错误. 原因同第 (9) 题. (14) 若 n 阶方阵 A, B, A + B 都是可逆阵，则 (A + B )−1 = A−1 + B −1 . 答：错误. 反例：A, B 同为二阶单位阵. 0 1 a14 0 1 . 都是四阶方阵. 试 . . ，J = 0 1 a44 0 2 3 4 计算 AJ, JA, J , J , J ，并讨论当 A, J 都是 n 阶方阵时有何结论. 解： 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a24 0 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a34 AJ = 0 a31 a32 a33 JA = a41 a42 a43 a44 0 a41 a42 a43 0 0 0 0 a11 . 2. 设 A = . . a41 ... .. . ... J2 = 0 1 0 1 0 J3 = 0 1 0 J4 = 0 0 0 0 当 A, J 都是 n 阶方阵时，有 0 a11 . . . AJ = . . . 0 an1 2 J = 0 0 .. . 1 .. . 0 ··· .. . ··· a1,n−1 . . . an,n−1 .. . a21 . . JA = . an1 0 0 0 .. . 0 .. . 0 ··· .. . ··· ··· 1 .. . 0 0 a2n . . . ann 0 .. 0 0 0 . 1 , 0 0 0
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二·计算题（每题 18 分，合计 54 分）
9．设 3 阶实对称矩阵A 有 3 个特征值3, 3,−3，已知属于特征值− 3的特征向量为 T )1,2,1(1−=α，求矩阵A 及．
1−A 10．设321,,ααα是3维线性空间V 的一个基，σ是V 上的线性变换，已知 321122)(αααασ++−=，321222)(αααασ−−=，321322)(αααασ−−=，
（1） 求线性变换σ在基321,,ααα下的矩阵；
（2） 设由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵为，向量⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200010021P γ在基
321,,ααα下的坐标是，求()T X 2,1,0−=)(γσ在基321,,βββ下的坐标．
11．设元()齐次线性方程组
n 4≥n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++−=+=+=+++++000041
31
214321n n ax ax bx ax bx ax bx bx bx bx bx ax L L 其中．试讨论取何值时，方程组只有零解；取何值时，方程组有非零解？在有非零解时，写出方程组的基础解系．
0≠b n b a ,,三·证明题（第 12 题 8 分，第 13 题 6 分，共 14 分）
12．设A 是矩阵，n m ×β是m 维非零列向量，已知β是非齐次线性方程组的b Ax =一个解，r ααα,,,21L 是导出组0=Ax 的基础解系，试证明
（1）r αβαβαββ+++,,,,21L 线性无关；
（2）的解集合的极大线性无关组含有b Ax =1+r 个向量．
13．设A 为任意阶实反对称矩阵（即n A A T −=），试证明2A I −是正定矩阵．
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