2018年广东省广州大学附中中考数学一模试卷

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广东省广州南沙区2018届初三一模数学题卷(2018.4.26)

2018 年初中毕业班综合测试（一）数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1 面、第 3 面、第 5 面上用黑色笔迹的钢笔或署名笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用 2B 铅笔把对应的标号涂黑。

2．选择题每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号；不可以答在试卷上．3．非选择题一定用黑色笔迹的钢笔或署名笔作答，波及作图的题目，用 2B 铅笔划图．答案一定写在答题卡各题指定地区内的相应地点上；如需变动，先划掉本来的答案，而后再写上新的答案；变动的答案也不可以高出指定的地区．禁止使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。

4．考生一定保持答题卡的整齐，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分选择题（共 30 分）一、选择题（每题3 分，共 30 分，每题给出的四个选项中，只有一项切合题意）1．比 0 小的数是 (※ ) 。

A ． 1B ．01D ． 1C ．22．以下事件中，属于必定事件的是( ※ ) 。

A ．明日太阳从北边升起B ．实心铅球投入水中会下沉C ．篮球队员在罚球线投篮一次，投中D ．抛出一枚硬币，落地后正面向上3．以下计算正确的选项是 ( ※ )A ． 4a 23a 2 1B ． a 8a 4 a 2C ． ( 2x 2 y) 3 8x 6 y 3D ． a 2 a 3 a 54．以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ※ )5．若A ．a 1 ，化简 (a 1)2 1＝（ ※ ） aB ． aC ． 2a D ． a 26．在平面直角坐标系中，若直线经过的象限是(※)。

y kx b 经过第一、二、四象限，则直线 y bx k 不A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．在一次数学检测中，某学习小组七位同学的分数分别是 73， 85， 94， 82， 71， 85， 56.以下说法正确的选项是 (※)。

2018年广州中考数学一模函数综合压轴题汇编参考答案

2018一模函数压轴题汇编——参考答案【例题分析】例题1、解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，…………………………………………2分∵y=x2﹣x﹣=（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．…………………………………………3分（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA=1，OB=，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，∴PH=PB，…………………………………………5分∴PB+PD=PH+PD=DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，∴sin60°=，∴DH=，∴PB+PD的最小值为．故答案为．…………………………………………7分（3）如图，RT△AOB中，∵tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，…………………………………………8分作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，∵EB==，∴OE=OB﹣EB=，…………………………………………10分∵F（，t），EF2=EB2，∴（）2+（t+）2=（）2，解得t=或，…………………………………………12分故F（，），G（，），∴t的取值范围≤t≤…………………………………………14分例题2、解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，∴，∴，∴y=﹣x2﹣x+2；…………………………………………3分（2）①如图，令y=0，∴﹣x2﹣x+2=0，∴x1=﹣4，x2=1，∴B（1，0），…………………………………………4分过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴==，…………………………………………5分设D（a，=﹣a2﹣a+2），∴M（a，a+2），∵B（1.0），∴N（1，），∴==（a+2）2+；…………………………………………7分∴当a=2时，的最大值是；…………………………………………8分②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=2，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，………………………9分∴P（﹣，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，…………………………………………10分过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR=﹣a，RC=﹣a2﹣a，∴，∴a1=0（舍去），a2=﹣2，∴x D=﹣2，…………………………………………12分情况二，∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=，设FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC==，∴FG=6k，∴CG=2k，DG=3k，∴∴RC=k，RG=k，DR=3k﹣k=k，∴==，∴a1=0（舍去），a2=，点D的横坐标为﹣2或﹣．…………………………………………14分例题3、解：(1)A(0,4)，B(4,0)，C(-1,0) ……………………………3分(2) ①AQ AO AQ COQP CO QP AO ==或 2431x x x =-2134x x x =-或解得134x =或7x =, 均在抛物线对称轴的右侧. ∴点P 的坐标为1351(,)-416或（7，24）. …………………5分（图1） ② Q (x ，4) ，P (x ,2-34x x ++) PQ =23x x -=PM ,△AEM ∽△MFP . 则有AM MPME PF=. ∵ME =OA ＝4，AM=AQ ＝x ,PM =PQ =23x x -，所以234x x xPF-=.得PF =4x -12，∴ OM =(4x -12)-x =3x -12. ………………7分 Rt △AOM 中，由勾股定理得222OM OA AM +=,∴222(312)4x x -+=，解得x 1=4,x 2=5.,均在抛物线对称轴的右侧. (图2) ∴点P 的坐标为（4,0）或（5，-6）.………………………………9分例题4、解:(1)由题意得，⎧⎪⎨⎪⎩∴二次函数的解析式为y =(10)B ∴，,其顶点坐标为(-(2)由题意知，3AO =,OB 60CBA ∴∠=︒，又BM BN =,∴△MBN将BMN ∆沿MN 翻折后，2t B N BN '==,60B NM BMN '∠=∠=︒，//,B N MB '∴(13t B '∴-）. …………………………5分若点B '=化简得：29t 9t=0-，t 0≠∴，此时，(10(0M N -，），，（3）由题意可得ABC ∆且30,60.BAC ABC ∠=︒∠=︒又分二种情况讨论：1),当P 在x 轴上时，过Q 作1PQ BQ x ⊥交轴于1P ,则1PBQ ABC ∆∆∽,此时1(10)P -，; 过Q 作2PQ x ⊥轴于2P ,则2QBP ABC ∆∆∽,此时21(0)2P，;P 在x 轴上其他位置时，三角形PQB ∆不为直角三角形，不可能与ABC ∆相似. ……………………………11分2),同理，当P 点在y 轴上时,设1PQ BQ y ⊥交轴于3P ，则3BPQ ABC ∆∆∽，此时3(03P，;过B 作4P B BQ ⊥交y 轴于4P ,但4,BP ACBQ BC≠则2QBP ABC ∆∆与不相似，P 在y 轴上其他位置时，三角形PQB ∆不为直角三角形，不可能与ABC ∆相似. ……………………………14分例题5、解: (1) 抛物线223(0)y ax ax a =--＞的对称轴为：212x a-=-=. ………………………1分 a ＞0，抛物线开口向上，大致图象如图所示. ∴当1x ≥时，y 随x 增大而增大；由已知：当24x ≤≤时，函数有最大值5.∴当4x =时， 5y =， 16835,1a a a ∴--==得：. 223y x x ∴=-- ……………………………2分令0,x = 得3y =- ，令0,y = 得13x x =-=或，∴ 抛物线与y 轴交于0（，-3），抛物线与x 轴交于-（1，0）、（3,0）. ……………………………3分（2）2223(1)4y x x x =--=--,其折叠得到的部分对应的解析式为：2(1)43)y x x =--+<<（-1，其顶点为1,4（）. …………………4分图象与直线y n =恒有四个交点， ∴04n <<由2(1)4x n --+=，解得1x =(1),(1)B n C n ∴，BC =…………………………6分当以BC 为直径的圆与x 轴相切时，2BC n =.即：2n =，=24n n ∴=- ,得n =，04n <<，∴n =………………………8分（另法：∵BC 直径，且⊙F 与x 轴相切，∴FC =y =n ,∵对称轴为直线x =1,∴F (1,n ),则C （1+n ,n ),又∵C 在2(1)43)y x x =--+<<（-1上， ∴2(11)4n n =-+-+，得12n -±=，04n <<，∴12n -+=（3）若关于m 的一元二次方程20040m y m k y -+-+= 恒有实数根，则须 200=)4(4)0y k y ∆---+≥（恒成立， ……………………………10分即2004416k y y ≤-+恒成立，即202124y k -+≤（）恒成立点00(,)P x y 是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，004y ∴<≤，∴ 20212344y -+<≤（），（ k 取 202124y -+（）值之下限）…………………………13分∴ 实数k 的最大值为3. ……………………………14分例题6、解：（1）∵C （0，3）．∴﹣9a=3，解得：a=﹣．令y=0得：ax 2﹣2 x ﹣9a=0， ∵a ≠0，∴x 2﹣2 x ﹣9=0，解得：x=﹣ 或x=3 ． ∴点A 的坐标为（﹣ ，0），B （3 ，0）．∴抛物线的对称轴为x= ．……………………………3分（2）∵OA= ，OC=3， ∴tan ∠CAO= ， ∴∠CAO=60°．∵AE 为∠BAC 的平分线， ∴∠DAO=30°．∴DO=AO=1． ∴点D 的坐标为（0，1）……………………………5分设点P 的坐标为（，a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2．当AD=PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD=DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a=2或a=0，∴点P的坐标为（，2）或（，0）．……………………………6分当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4．∴点P的坐标为（，﹣4）．综上所述，点P的坐标为（，2）或（，0）或（，﹣4）．…………………………8分（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣m+3=0，解得：m=，∴直线AC的解析式为y=x+3．设直线MN的解析式为y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=﹣，∴点N的坐标为（﹣，0）．∴AN=﹣+=．……………………………10分将y=x+3与y=kx+1联立解得：x=．∴点M的横坐标为．……………………………12分过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG=+．∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG=+2=．∴+=+=+===．…………………14分例题7、解：(1)由题意，得点B的坐标为(4，–1)．∵抛物线过点A(0，–1)，B(4，–1)两点，∴21,1144.2c b c -=⎧⎪⎨-=-⨯++⎪⎩解得2,1.b c =⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的函数表达式为：21212y x x =-+-． ……………………………3分(2)ⅰ)∵A 的坐标为(0，–1)，C 的坐标为(4，3)．∴直线AC 的解析式为：y ＝x –1．设平移前的抛物线的顶点为P 0,则由(1)可得P 0的坐标为(2,1),且P 0在直线AC 上． ∵点P 在直线AC 上滑动，∴可设P 的坐标为(m ，m －1)，则平移后的抛物线的函数表达式为21()(1)2y x m m =--+-．解方程组21,1()(1).2y x y x m m =-⎧⎪⎨=--+-⎪⎩得{11,1,x m y m ==-{222,3.x m y m =-=- 即P (m ，m －1)，Q (m －2，m －3)．……………………………5分过点P 作PE ∥x 轴，过点Q 作QE ∥y 轴，则 PE =m －(m －2)=2，QE =(m －1)－(m －3)=2． ∴PQ=AP 0．……………………………6分若△MPQ 为等腰直角三角形，则可分以下两种情况：①当PQ 为直角边时：M 到PQ 的距离为为22(即为PQ 的长)．由A (0，－1)，B (4，－1)，P 0(2，1)可知：△ABP 0为等腰直角三角形，且BP 0⊥AC ，BP 0=22．过点B 作直线l 1∥AC 交抛物线21212y x x =-+-于点M ,则M 为符合条件的点．∴可设直线l 1的解析式为：1y x b =+．又∵点B 的坐标为(4，–1)，∴114b -=+．解得15b =-． ∴直线l 1的解析式为：5y x =-．解方程组25,12 1.2y x y x x =-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩得：114,1,x y =⎧⎨=-⎩222,7.x y =-⎧⎨=-⎩ ∴1(4,1)M -，2(2,7)M --． ……………………………8分②当PQ 为斜边时：MP =MQ =2，可求得M 到PQ 的距离为为2．取AB 的中点F ，则点F 的坐标为(2，－1)．由A(0，－1)，F(2，－1)，P 0(2，1)可知：△AFP 0为等腰直角三角形，且F 到AC 的距离为2．∴过点F 作直线l 2∥AC 交抛物线21212y x x =-+-于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 2的解析式为：2y x b =+．又∵点F 的坐标为(2，–1)，∴212b -=+．解得23b =-．∴直线l 2的解析式为：3y x =-．解方程组23,12 1.2y x y x x =-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩ 得：1112x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2212x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴3(12M -，4(12M -．综上所述：所有符合条件的点M 的坐标为： 1(4,1)M -，2(2,7)M --，3(12M -，4(12M -．……………10分ⅱ) PQ NP BQ +存在最大值，理由如下：由ⅰ)知PQ =22，当NP +BQ 取最小值时，PQ NP BQ+有最大值．取点B 关于AC 的对称点B ′，易得B ′ 的坐标为(0，3)，BQ = B ′Q ．连接QF ，FN ，QB ′，易得FN PQ ．∴四边形PQFN 为平行四边形．……………………………12分∴NP=FQ ．∴NP +BQ ＝F Q + B ′P ≥F B ′当B ′，Q ，F 三点共线时，NP +BQ最小，最小值为． ∴PQ NP BQ +的最大值． …………………………14分例题8、解：（１）y ＝－223x ＋43x ＋２………………………………………………………２分［或y ＝－228(1)33x -+］（２）△ＰＡＣ的周长有最小值．……………………………………………………１分连结ＡＣ、ＢＣ，∵ＡＣ的长度一定，∴要使△ＰＡＣ的周长最小，就是使ＰＡ＋ＰＣ最小．∵点Ａ关于对称轴x ＝１的对称点是Ｂ点，∴ＢＣ与对称轴的交点即为所求的点Ｐ（如图2）．…………………………………２分设直线ＢＣ（用BC l 表示，其他直线可用相同方式表示）的表达为BC l ：y ＝kx b +，则有302k b b +=⎧⎨=⎩，解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴BC l ：y ＝－23x ＋２．……………………………３分把x ＝１代入，得y ＝43，即点Ｐ的坐标为Ｐ（１，43）．…………………………………………………………４分 ∴△ＰＡＣ的周长取得最小值，取得最小值时点Ｐ的坐标为Ｐ（１，43）；作ＤＥ∥ＢＣ交x 轴于点Ｅ，ＤＥ交对称轴x ＝１于点Ｑ（如图3）．……………5分在Ｒt过点Ｄ作ＤＦ⊥y 轴于点Ｆ，交对称轴x ＝１于点Ｎ． ∵Ｒt △ＣＤＦ∽Ｒt △ＣＨＯ，∴CF CD CO CH=， ∴ＣＦ＝CO CD CH ⋅＝5，ＯＦ＝ＣＯ－ＣＦ＝２－5；同样，FD CD OH CH =，ＦＤ＝OH CD CH ⋅5， x y，…………………………6分． ∵ＤＥ∥ＢＣ，∴可设DE l （过点Ｄ、Ｅ的直线）：y ＝－23x ＋1b ，把Ｄ点坐标代入其中，得－23⋅1b解得1b DE l ：y ＝－23x 8分点Ｅ的纵坐标为０，代入其中，解得x ＝３－5，．∵点Ｑ在对称轴x ＝１上，把x ＝１代入DE l 中，解得y ＝43∴Ｑ（１，43．ＰＱ＝43－（43ＥＨ＝３－5－１＝２－5．Ｓ＝Ｓ△ＰＤＥ＝Ｓ△ＰＤＱ＋Ｓ△ＰＥＱ＝12ＰＱ·ＤＮ＋12ＰＱ·ＥＨ＝12ＰＱ（ＤＮ＋ＥＨ）＝12·15（１－5＋２－5），化简得Ｓ＝－225m 10分可知Ｓ是关于m 的二次函数．Ｓ存在最大值．配方可得：Ｓ＝－22(5m ＋12，由此可得，Ｓ取得最大值为12，…………12分取得最大值时m的值为：m14分例题9解：（1）∵将点A（﹣1，0）代入抛物线的解析式得：﹣1﹣b+3=0，解得：b=2，∴y=﹣x2+2x+3．………………………………………………1分∴抛物线的对称轴为直线x=1．令x=0得：y=3，则C（0，3）．∵点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称，∴D（2，3），B（3，0）．设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣1，0）、D（2，3）代入得：，解得：k=1，b=1，∴直线AD的解析式为y=x+1．…………………………………………………2分∴直线AD与x轴正方向的夹角为45°．………………………………………………3分（2）如图1所示：设E（m，﹣m2+2m+3），则F（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），EF=﹣m2+2m+2﹣m=﹣m2+m+2．∵∠EGF=90°，∠EFG=45°，∴△EFG为等腰直角三角形．…………………………………………………6分∴l=EF+FG+EG=EF+EF+EF=（1+）EF=（1+）（﹣m2+m+2）=﹣（）m2+（+1）m+2+2．…………………………………………………7分（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4）．…………………………………………………8分①AM为矩形的对角线时，如图2所示：∵由矩形的性质可知：N为AM的中点，A（﹣1，0），M（1，4），∴N（0，2）．…………………………………………………10分∵由两点间的距离公式可知：MN==．∴NQ1=NQ2=，∴Q1（0，2+），Q2（0，2﹣）．…………………………………………………11分②当AM为矩形的一边时，如图3所示：过Q3作Q3E⊥y轴，垂直为E，过Q4作Q4F⊥y轴，垂足为F．∵在△ANO中，AO=1，ON=2，∴tan∠ANO=，∴tan∠MNP4=，∴P4M MN=，NP4=MN=．…………………………………………………12分∴P4Q3=．∴P4E=P4Q3=1，EQ3=P4Q3=2．∵OE=OP4﹣P4E=4.5﹣1=3.5，∴Q3的坐标为（2，3.5）．…………………………………………………13分∵点Q3与Q4关于点N对称，∴Q4（﹣2，）．综上所述，点Q的坐标为（0，2+），或（0，2﹣）或（2，3.5）或（﹣2，）．…………………………………………………14分例题10 解：（1）将(2,5)A -，(1,0)B -代入2y x bx c =++得42510b c b c -+=⎧⎨-+=⎩………………2分（每个各1分）解得23b c =-⎧⎨=-⎩ ∴二次函数的解析式为223y x x =-- ………………3分（2）将0y =代入223y x x =--得2230x x --=，解得121,3x x =-=∴点(3,0)C ……………………4分∵点P 直线AC 下方抛物线上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴交AC 于点E ，如右图所示：则1()2PAC C A S PE x x =-…………………5分由(2,5)A -，(3,0)C 得直线AC 的解析式为：3y x =-+∴设2(,23)P x x x --，则点(,3)E x x -+ ………………………6分∴3(2)5C A x x -=--=22(3)(23)6E P PE y y x x x x x =-=-+---=-++……………………7分 ∴221155()(6)5152222PAC C A S PE x x x x x x =-=-++=-++ ……………………8分 ∵5125222()2b x a =-=-=-，将12x =代入2551522PAC S x x =-++可得最大面积为1258PAC S =………………9分（3）答：存在………………………10分1(1,8)Q ,2(1,2)Q -,3(1,6),Q 4(1,1)Q -………………………14分（注：每个坐标1分）【强化训练】1、解：（1）设抛物线为y=a（x﹣1）2+4，将点（2，3）代入得到a=﹣1 ∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，∴y=﹣x2+2x+3．……………………………3分（2）如图1，令y=0，则﹣（x﹣1）2+4=0，∴x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，3），M（1，4），∴直线CM的解析式为y=x+3，……………………………4分令y=0，则x+3=0，∴x=﹣3，∴D（﹣3，0），∵∠DEM=∠AEP=90°，∠DME=∠APE，∴△DEM∽△AEP，∴，……………………………6分∵A（﹣1，0），E（1，0），D（﹣3，0），M（1，4），∴DE=4，ME=4，AE=2，∴，∴PE=2，∴P（1，2）或（1，﹣2）；……………………………8分（3）如图2，当点P在x轴上方时，连接BP，∵PE是抛物线的对称轴，∴∠APE=∠BPE，∵∠ANB=2∠APE，∴∠ANB=∠APB，∴点A，B，N，P四点共圆，……………………………9分∴设圆心F的坐标为（1，n），∴PF=AF=NF，∵A（﹣1，0），N（2，3），∴AF=，NF=，∴n2+4=1+（3﹣n）2，∴n=1，……………………………10分∴F（1，1），PF=AF=，∴PE=+1，∴P（1，+1），当点P在x轴下方时，由对称知，P'（1，﹣﹣1），……………………………12分即：点P的坐标为P（1，+1），或（1，﹣﹣1）．……………………………14分2、解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5．……………………………3分（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．∴PE=|y P﹣y E|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，EF=|y E﹣y F|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15| ……………………………5分（a）若﹣m2+m+2=m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=；（b）若﹣m2+m+2=﹣（m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：m=或m=．……………………………7分由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．∴m=2或m=．……………………………8分（3）假设存在．作出示意图如下：∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．……………………………10分由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，∴，即，解得CE=|m|，∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|∴|﹣m2+m+2|=|m|．……………………………12分①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m=3+或m=3﹣．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）．……………………………14分3、解：⑴ 点C 的坐标为（0，2）．点A 坐标为（-1，0）． ……………………………3分⑵ AD=． ……………………………6分 ⑶ 要使，由于PQA=PDE ，所以只须∽，即须∽．……………………………8分○1 当0 <m<1时，点P 在x 轴下方，此时PQA 显然为钝角，而PDE 显然为锐角，故此时不能有∽． ………………………10分○2 当1<m<2时，，而此时1<m<2，则应有，由此知>1． ……………………………12分综上所述，当>1时，才存在实数m 使得∽，从而有，此时；当0<1时，不存在实数m 使得．……………………………14分4、解：（1）设抛物线解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，则有4＝a (6＋1)(6－3)，解得a ＝421，故抛物线解析式为y ＝421(x ＋1)(x －3)，对称轴为x ＝-1＋32＝1，………………………2分顶点坐标D （1，－1621）.……………………3分（2）设E （1，t ），则有DE ＝t ＋1621， t ＝421(x ＋1)(x －3)即421x 2－821x －47－t ＝0 …………4分故丨x 1－x 2丨＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16＋21t ，即FG ＝16＋21t ，由DE FG ＝157，解得DE ＝157FG ， ∴t ＋1621＝15716＋21t ，解得 t ＝173，故E （1，173）.……………………………6分 m 25DE PQ AQ CD ⋅=⋅∠∠PQA ∆CDE ∆PQA ∆PDE ∆∠∠PQA ∆CDE ∆a a m 1+=211<+<aa a a PQA ∆CDE ∆DE PQ AQ CD ⋅=⋅a a m 1+=≤a DE PQAQ CD ⋅=⋅如图，作∠ABC 的平分线与对称轴x ＝1的交点即为符合题意的H 点，记为H 1；在x 轴上取点R （-2，0），连接RC 交∠ABC 的平分线BH 1于Q ，则有RB ＝5；过点C 作CN ⊥x 轴交x 轴于点N在Rt △BCN 中，∵BC ＝RB ，BQ 平分∠ABC ，∴Q 为RC 中点∵R （-2，0），C （6，4）∴Q （2，2）.∵B （3，0），∴过点B 、Q 两点的一次函数解析式为y ＝-2x ＋6当x ＝1时，y ＝4.故H 1（1，4）…………………………8分如图，过点B 作BH 2⊥BH 1交对称轴于点H 2，则点H 2符合题意，记对称轴于x 轴交于点T.∵BH 2⊥BH 1，∴∠H 1BH 2＝90°即∠H 1BT ＋∠TBH 2＝90°∵∠H 1BT ＋∠TH 1B ＝90°，∴∠TBH 2＝∠TH 1B∵∠BTH 2＝∠H 1TB ＝90°，∴Rt △BTH 2∽Rt △H 1TB∴BT H 1T ＝H 2T TB ＝即24＝H 2T 2解得H 2T ＝1即H 2（1，-1）综上，H 1（1，4），H 2（1，-1）.………………10分（3）存在定值λ＝35，使得（CJ ＋λ·EJ ）min ＝26. 理由如下：如图，在对称轴上取点K （1，3），则EI ＝173－32＝256，JI ＝4－32＝52，IK ＝3－32＝32故 EI JI ＝JI IK ＝53，∵∠JIE ＝∠KIJ ∴△IJE ∽△IKJ ， ∴EJ KJ ＝IJ IK ＝53，即KJ ＝35EJ …………………………12分从而CJ ＋35EJ ＝CJ ＋KJ ，当且仅当K 、J 、C 三点共线时，（CJ ＋λ·EJ ）min ＝KC ＝26，即（CJ ＋λ·EJ ）min ＝26故存在定值λ＝35，使得（CJ ＋λ·EJ ）min ＝26. ……………………………14分5、解：（1）∵直线l ：y=x +m 经过点B （0，﹣1），∴m=﹣1， ……………………………1分∴直线l 的解析式为y=x ﹣1，∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），∴n=×4﹣1=2……………………………2分（2）∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），∴，解得，……………………………5分∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；……………………………7分（3）令y=0，则x﹣1=0，解得x=，∴点A的坐标为（，0），∴OA=，……………………………9分在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y轴，∴∠ABO=∠DEF，……………………………11分在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，……………………………13分∴当t=2时，p有最大值；……………………………14分6、解：（1）设抛物线为y=a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A（0，3），∴3=a（0﹣4）2﹣1，；∴抛物线为；……………………………3分（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，当时，x1=2，x2=6．A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x=4，∴OB=2，AB==，BC=4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，∴△AOB∽△BEC，∴=，即=，解得CE=，∵＞2，∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．（7分）（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；（8分）设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；∴PQ=﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）=﹣m2+m．∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6=﹣（m﹣3）2+；∴当m=3时，△PAC的面积最大为；…………………………13分此时，P点的坐标为（3，）．…………………………14分【课后训练】1、解：（1）由题意得，，∴，∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3；…………………………3分（2）如图2，∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣x+3；∴B（﹣3，0），∵A（1，0），∴AB=4，…………………………………………4分在x轴上方抛物线的对称轴上，取一点M，使DM=AB=2，∴∠AMB=90°，M（﹣1，2），∴MA=2，………………………………………………………5分以点M为圆心，以MA为半径，作圆，与y轴正半轴相较于点N，即：∠ANB=45°，∴MN=MA=2，…………………………………………6分设点N（0，m）（m＞0），∴=2，∴m=2+或m=2﹣（舍）即：当∠ANB=45°时，N（0，2+）；…………………………………………8分（3）如图3，∵D（﹣1，0），C（0，3），∴直线CD的解析式为y=3x+3，过点D作DE⊥CD交y轴于E，∴直线DX的解析式为y=﹣x﹣，…………………………………………9分∴E（0，﹣），∵∠CDP=45°，∴DF是∠CDE的平分线，∴，…………………………………………10分设F（0，n），∵C（0，3），∴CF=3﹣n，EF=n+，∵D（﹣1，0），C（0，3），E（0，﹣），∴CD=，DE=，…………………………………………11分∴，∴n=，∴直线DF的解析式为y=x+①，…………………………………………12分∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3②；联立①②得，，或（舍）∴点P的坐标（，）．…………………………………………14分2、解：⑴ 令01=y ，得△＝222)1(4484)12(4)2(-=+-=---t t t t t ， ……………………1分∵t >1，∴△＝2)1(4-t >0，…………………………………………2分∴无论t 取何值，方程0)12(22=-+-t tx x 总有两个不相等的实数根，∴无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点．…………………………………………3分 ⑵解法一：解方程0)12(22=-+-t tx x 得，11=x ，122-=t x ， …………………………………………4分 ∵t >1，∴112>-t ．得A (1，0)，B (12-t ，0)，∵D (m ，n )，E (m ＋2，n )， ∴DE ＝AB ＝2，即2112=--t ，解得2=t ． …………………………………………5分 ∴二次函数为1)2(34221--=+-=x x x y ，…………………………………………6分显然将抛物线1C 向上平移1个单位可得抛物线2C ：22)2(-=x y ，………………………7分故1=n ． …………………………………………8分解法二：∵D (m ，n )在抛物线2C ：22)(t x y -=上，∴2)(t m n -=，解得n t m ±=， …………………………………………5分 ∴D (n t -，n )，E (n t +，n )，∵DE ＝2，∴n t +－(n t -)＝n 2＝2， …………………………………………7分解得 1=n ． …………………………………………8分⑶由⑵得抛物线2C ：22)2(-=x y ，D (1，1)，E (3，1)，翻折后，顶点F (2，0)的对应点为F ＇(2，2)，如图，当直线b x y +-=21经过点D (1，1)时，记为1l ，此时23=b ，图形G 与1l 只有一个公共点；………………10分当直线b x y +-=21经过点E (3，1)时，记为2l ，此时25=b ，图形G 与2l 有三个公共点； ………………………………………12分当3<b 时，由图象可知，只有当直线l :b x y +-=21位于1l 与2l 之间时，图形G 与直线l 有且只有两个公共点，∴符合题意的b 的取值范围是2523<<b ．…………………………………………14分3、解：（1）∵抛物线y=﹣ x +2与y 轴交于点C ， ∴C （0，2），令y=0，则0=﹣x +2， ∴x=﹣1或x=4，…………………………………………1分∵点A 在点B 的左侧，∴A （﹣1，0），B （4，0），∴OA=1，OB=4，OC=2，根据勾股定理得，AC= ，BC=2 ，∵AB=OA +OB=5，∴AC 2+BC 2=5+20=25=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，…………………………………………2分∴AB 是Rt △ABC 的外接圆的直径，∴△ABC 的外接圆的圆心是线段AB 的中点，∴其坐标为（，0）；…………………………………………3分（2）∵C（0，2）设直线BC的解析式为y=kx+2，∵B（4，0），∴4k+2=0，∴k=﹣，∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，…………………………………………4分∵P是抛物线上一点，设点P（m，﹣m2+m+2）如图，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q，∴Q（m，﹣m+2），…………………………………………5分①当点P在直线BC上方时，S△PBC=S△PQC+S△PBQ=S△ABC，∴[（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）]×m﹣[（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）]（m﹣4）=×5×2∴m2﹣4m+5=0，∵△=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，…………………………………………6分∴此方程没有实数根；∴当点P在直线BC上方时，S△PBC ≠S△ABC，②当点P在直线BC下方时，S△PBC=S△PQC﹣S△PBQ=S△ABC，∴[（﹣m+2）﹣（﹣m2+m+2）]×m﹣[（m+2）﹣（﹣m2+m+2）]（m﹣4）=×5×2∴m2﹣4m﹣5=0，∴m=﹣1（舍）或m=5，∴P（5，﹣3）…………………………………………6分作PM⊥x轴于，交BC于Q，∴PM=3，MB=1，根据勾股定理得，BP=，AP=3，过点B作BN⊥AP于N，∴∠ANB=∠AMP=90°，∠BAN=∠PAM，∴△ABN∽△APM，∴，，∴BN=，…………………………………………7分在Rt△BPN中，PN==，∴BN=PN，∴∠APB=45°；…………………………………………8分（3）存在，如图2，∵抛物线y=﹣x+2的对称轴为x=，由（2）知，P（5，﹣3），BP=，设E（n，﹣n2+n+2），…………………………………………9分①当点E在抛物线对称轴右侧时，即：点E处时，EF=BP=，∴点E到对称轴的距离为EG=BM=1，∴n﹣=1，∴n=，∴E（，），易知，FG=PM=3，∴F（，）；…………………………………………11分②当点E在抛物线对称轴左侧时，即：E'处时，E'F'=BP=，∴点E'到对称轴的距离为E'G'=BM=1，∴﹣n=1，∴n=，∴E'（，），易知，F'G'=PM=3，∴F'（，﹣）．…………………………………………13分即：满足条件的点F的坐标为（，）或（，﹣）．…………………………………14分4、解：（1）∵抛物线y=mx 2+（m +2）x +2过点（2，4）， ∴m•22+2（m +2）+2=4，解得m=﹣，…………………………………1分∴抛物线解析式为y=﹣x 2+x +2，令y=0，则﹣x 2+x +2=0，整理得，x 2﹣5x ﹣6=0，解得x 1=﹣1，x 2=6，令x=0，则y=2，∴A （﹣1，0），B （6，0），C （0，2），…………………………………2分 ∴()721621=⨯+⨯=∆ABC S …………………………………3分（2）过点B 作BM ⊥CD 交CD 的延长线于M ，在Rt △DOC 中，∵OC=OD=2，∴∠CDO=∠BDM=45°，CD=2，在Rt △BMD 中，∵BD=6﹣2=4，∴DM=BM=4×=2，…………………………………5分在Rt△CMB中，tan∠BCM===，又∵tan∠ACO==，∴∠ACO=∠BCD；…………………………………7分（3）①由勾股定理得，BC==2，BE=DE时，点E的横坐标为6﹣×（6﹣2）=4，点E的纵坐标是×（6﹣2）×=，所以，点E1（4，）；…………………………………8分BE=BD时，点E的横坐标为6﹣（6﹣2）×=6﹣，点E的纵坐标为（6﹣2）×=，所以，点E2（6﹣，），综上所述，点E1（4，）或E2（6﹣，）时，△BDE是等腰三角形；…………………………………10分②设P（x，﹣x2+x+2），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交CD的延长线于点Q，则直线CD的解析式为y=﹣x+2，∴点Q（x，﹣x+2），S△CDP=S△CPQ﹣S△DPQ，=PQ•OF﹣PQ•DF，=PQ•OD，∵OD=2，=PQ=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+x（0＜x＜6），…………………………………11分∴S△CDP∵S=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+，∴当x=4时，△CDP的面积最大，此时，﹣x2+x+2=﹣×42+×4+2=，∴点P（4，），…………………………………12分设直线PD的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线PD的解析式为y=x﹣，…………………………………13分直线BC的解析式为y=﹣x+2，联立，解得，所以，点E的坐标为（，）．…………………………………14分5、解：（1）∵y=x2﹣x﹣，∴y=（x+1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．…………………………………1分当x=4时，y=．∴E（4，）．…………………………………2分设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=．∴直线AE的解析式为y=x+．…………………………………3分（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=．∴直线CE的解析式为y=x﹣．过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．∴△EPC的面积=×（x2+x）×4=﹣x2+x．∴当x=2时，△EPC的面积最大．∴P（2，﹣）．…………………………………5分如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．∵K是CB的中点，∴k（，﹣）．∴tan∠KCP=．…………………………………6分∵OD=1，OC=，∴tan∠OCD=．∴∠ODD=∠KCP=30°．∴∠KCD=30°．∵k是BC的中点，∠OCB=60°，∴OC=CK．∴点O与点K关于CD对称．…………………………………7分∴点G与点O重合．∴点G（0，0）．∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为（，﹣）．…………………………………8分∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．∴GH==3．∴KM+MN+NK的最小值为3．…………………………………10分（3）如图3所示：∵y′经过点D，y′的顶点为点F，∴点F（3，﹣）．…………………………………11分∵点G为CE的中点，∴G（2，）．∴FG==．…………………………………13分∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=对称，∴点Q″（3，2）．当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=﹣．∴点Q1的坐标为（3，﹣）．…………………………………13分综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．…………………………………14分。

2018-2019学年广东省广州大学附中九年级(上)期中数学试卷

2018-2019学年广东省广州大学附中九年级（上）期中数学试卷一.选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2x+1＝x2+5B．ax2+bx+c＝0C．x2+1＝﹣8D．2x2﹣y﹣1＝02．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝bx+a（b≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．3．（3分）方程（x+1）2＝4的解是（）A．x1＝2，x2＝﹣2B．x1＝3，x2＝﹣3C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝1，x2＝﹣24．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝65．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）对于抛物线y＝﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．47．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+28．（3分）设一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数为x1和x2，则下列结论正确的是（）A．x1+x2＝2B．x1+x2＝﹣4C．x1x2＝﹣2D．x1x2＝49．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．m＞1C．m＜1且m≠0D．m＞﹣1且m≠010．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＝0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二.填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若抛物线y＝（a﹣1）x2开口向上，则a的取值范围是12．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝．13．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是．14．（3分）已知抛物线y＝x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的大小关系式为．（用“＞”连接）15．（3分）若抛物线y＝x2+2x+c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：．16．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为．三.解答题（本大题共9小题，共108分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17．（10分）选择合适的方法解下列方程：（1）4（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0；（2）3x2+2x﹣5＝0；18．（6分）小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．19．（10分）为丰富职工业余生活，某单位要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？20．（12分）已知二次函数y＝x2﹣kx+k﹣5（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；（2）若此二次函数图象的对称轴为x＝1，求它的解析式．21．（12分）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同．（1）求平均年增长率？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？22．（12分）关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数m的取值范围；（2）是否存在实数m，使得+＝16+x1x2成立？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．23．（12分）某商品的进价为30元/件，售价为40元/件，每星期可卖出150件，经调查发现：售价每涨1元（售价不能高于45元/件），每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为自然数），每星期的销量为y件．（1）y关于x的函数解析式为；（2）如何定价才能使每星期的利润w（元）最大且每星期的销量较大？最大利润是多少？24．（14分）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P 是抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积；（3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD＝S△BCD，求点P的坐标．25．（14分）定义：如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B 两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标．（2）如图2，已知抛物线C：y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．2018-2019学年广东省广州大学附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．【解答】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；B、a＝0时是一元一次方程，故B不符合题意；C、是一元二次方程，故C符合题意；D、是二元二次方程，故D不符合题意；故选：C．2．【解答】解：在A中，由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，故选项A错误；在B中，由一次函数图象可知，a＜0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＞0，故选项B错误；在C中，由一次函数图象可知，a＜0，b＞0，由二次函数图象可知，a＜0，b＞0，故选项C正确；在D中，由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项D错误；故选：C．3．【解答】解：（x+1）2＝4则x+1＝±2，解得：x1＝﹣1+2＝1，x2＝﹣1﹣2＝﹣3．故选：C．4．【解答】解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，配方得（x﹣2）2＝2．故选：A．5．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+m2+2＝（x﹣1）2+（m2+1），∴顶点坐标为：（1，m2+1），∵1＞0，m2+1＞0，∴顶点在第一象限．故选：A．6．【解答】解：①∵a＝﹣＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x＝﹣1，故本小题错误；③顶点坐标为（﹣1，3），正确；④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选：C．7．【解答】解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2，故选：A．8．【解答】解：这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，根据根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣＝2，x1•x2＝＝﹣4，故选：A．9．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴m≠0且△＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：D．10．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵b＝2a，∴2a﹣b＝0，所以③错误；∵抛物线开口向下，x＝﹣1是对称轴，所以x＝﹣1对应的y值是最大值，∴a﹣b+c＞2，所以④正确．故选：C．二.填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）11．【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2开口向上，∴a﹣1＞0，∴a＞1，即a的取值范围是a＞1．故答案为a＞1．12．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，∴x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，∴m2﹣1＝0，即（m﹣1）（m+1）＝0且m﹣1≠0，∴m+1＝0，解得，m＝﹣1；故答案是：﹣1．13．【解答】解：从表格可以看出，当x＝﹣1或3时，y＝0；因此当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．故答案为x＜﹣1或x＞3．14．【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴对称轴为直线x＝﹣1，而A（﹣5，y1），B（1，y2），C（12，y3），∴B离对称轴最近，A次之，C最远，∴y3＞y1＞y2．故答案为y3＞y1＞y2．15．【解答】解：因为要使抛物线y＝x2+2x+c与x轴没有交点，必须b2﹣4ac＝22﹣4×1×c＜0，解得：c＞1，取c＝2，故答案为：2．16．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0），∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，∴点Q的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．三.解答题（本大题共9小题，共108分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）∵4（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（4x﹣12﹣x）＝0，即（x﹣3）（3x﹣12）＝0，则x﹣3＝0或3x﹣12＝0，解得x1＝3，x2＝﹣4；（2）∵3x2+2x﹣5＝0，∴（x﹣1）（3x+5）＝0，则x﹣1＝0或3x+5＝0，解得x1＝1，x2＝﹣．18．【解答】解：∵矩形的一边长为x米，∴另一边长为（30﹣x）米，则矩形的面积S＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x（0＜x＜30）．19．【解答】解：设应邀请x支球队参加比赛由题意，得＝x（x﹣1）＝28，解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去），答：应邀请8支球队参加比赛．20．【解答】（1）证明：令y＝0，则x2﹣kx+k﹣5＝0，∵△＝k2﹣4（k﹣5）＝k2﹣4k+20＝（k﹣2）2+16，∵（k﹣2）2≥0，∴（k﹣2）2+16＞0∴无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点．（2）解：∵对称轴为x＝，∴k＝2，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，答：它的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．21．【解答】解：（1）设平均年增长率为x，根据题意得：1500（1+x）2＝2160，整理得：（1+x）2＝1.44，开方得：1+x＝±1.2，解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去），则平均年增长率为20%；（2）根据题意得：2160×（1+20%）＝2592（万元），则2018年盈利2592万元．22．【解答】解：（1）∵方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．∴△＝4（m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＝﹣8m+8＞0，∴m＜1；（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2﹣1．∵+＝16+x1x2∴，∴4（m﹣1）2＝16+3（m2﹣1），解得：m1＝﹣1，m2＝9，∵m＜1，∴m＝9舍去，即m＝﹣1．23．【解答】解：（1）设每件涨价x元由题意得，每星期的销量为y＝150﹣10x＝﹣10x+150，（0≤x≤5且x为自然数）；故答案为：y＝﹣10x+150（0≤x≤5且x为自然数）；（2）w＝（40+x﹣30）（150﹣10x）＝﹣10x2+50x+1500＝﹣10（x﹣2.5）2+1562.5∵x为整数，∴x＝2时或x＝3时，W最大值＝1560，而x＝2时，每星期的销量130，x＝3时，每星期的销量120，∴当定价42元时每星期的利润最大且每星期的销量较大，每星期最大利润是1560元．24．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4，把点B（0，3）代入得，a+4＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4，∴x＝﹣1或x＝3，∴C（﹣1，0），D（3，0）；∴CD＝4，∴S△BCD＝CD×|y B|＝×4×3＝6；（3）由（2）知，S△BCD＝CD×|y B|＝×4×3＝6；CD＝4，∵S△PCD＝S△BCD，∴S△PCD＝CD×|y P|＝×4×|y P|＝3，∴|y P|＝，∵点P在x轴上方的抛物线上，∴y P＞0，∴y P＝，∵抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；∴＝﹣（x﹣1）2+4，∴x＝1±，∴P（1+，），或P（1﹣，）．25．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；（2）抛物线y＝ax2+bx过原点，即点A（0，0），如图，作PG⊥x轴于点G，∵点P的坐标为（1，），∴AG＝1、PG＝，P A＝＝＝2，∵tan∠P AB＝＝，∴∠P AG＝60°，在Rt△P AB中，AB＝＝＝4，∴点B坐标为（4，0），设y＝ax（x﹣4），将点P（1，）代入得：a＝﹣，∴y＝﹣x（x﹣4）＝﹣x2+x；（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为，则有﹣x2+x＝，解得：x1＝3，x2＝1（不符合题意，舍去），∴点Q的坐标为（3，）；②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为﹣，则有﹣x2+x＝﹣，解得：x1＝2+，x2＝2﹣，∴点Q的坐标为（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．。

2018广东广州大学附中(奥班)中考数学一模试卷

2018广东广州大学附中（奥班）中考数学一模试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．有20名同学参加“英语拼词”比赛，他们的成绩各不相同，按成绩取前10参加复赛．若小新知道了自己的成绩，则由其他19同学的成绩得到的下列统计量中，可判断小新能否进入复赛的是（）． A ．平均数 B ．极差 C ．中位数 D ．方差【答案】C【解析】有20名同学参加比赛，按成绩取前10名参加复赛，小新知道了自己的成绩，而极差和方差是反映数据波动大小的量，平均数不能准确判断小新能否进入复赛，又中位数是一组数据排序后中间的一个数或中间两个数的平均数， ∴判断小新能否进入复赛的应该是中位数．故选C ．2．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图所示，则他们的体重大小关系是（）．A ．P R S Q >>>B ．Q S P R >>>C ．S P Q R >>>D ．S P R Q >>>【答案】D【解析】观察前两幅图易发现S P R >>，再观察第一幅和第三幅图可以发现R Q >，所以S P R Q >>>．故选：D ．3．下列命题中，正确的是（）．A ．对顶角相等B ．同位角相等C ．内错角相等D ．同旁内角互补【答案】A【解析】对顶角相等，正确；在两平行线被第三条直线所截的条件下，B 、C 、D 才正确．故选A ．4．已知21a =，21b =-a 与b 的关系是（）．A ．a b =B ．1ab =C ．a b =-D ．1ab =-【答案】A【解析】∵1b==，∴a b=．故选A．5．当0k>时，双曲线kyx=与直线y kx=-的公共点有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】根据函数y kx=-与kyx=()0k≠的图象特点：∵0k>时，0k-<，∴y kx=-的图象过二、四象限，kyx=()0k≠的图象在一、三象限，∴两图象无交点．故选A．6．如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且11AB=，则DE的长度为何？（）．DCBAA．5B．6C D．112【答案】B【解析】连接OM、ON，∵四边形ABCD是正方形，∴11AD AB==，90A∠=︒∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，∴90OMA ONA A∠=∠=︒=∠，∵OM ON=，∴四边形ANOM是正方形，∴5AM OM ==，∵AD 和DE 与圆O 相切，圆O 的半径为5， ∴5AM =，DM DE =， ∴1156DE =-=，故选B ．NA BCDEO7．在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =+与+y bx a =的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】A 、对于直线+y bx a =来说，由图象可以判断，0a >，0b >；而对于抛物线2y ax bx =+来说，对称轴02bx a=-<，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误． B 、对于直线+y bx a =来说，由图象可以判断，0a <，0b <；而对于抛物线2y ax bx =+来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C 、对于直线+y bx a =来说，由图象可以判断，0a <，0b >；而对于抛物线2y ax bx =+来说，图象开口向下，对称轴2bx a=-位于y 轴的右侧，故符合题意， D 、对于直线+y bx a =来说，由图象可以判断，0a >，0b <；而对于抛物线2y ax bx =+来说，图象开口向下，0a <，故不合题意，图形错误．故选：C ．8．如图，直径为10的⊙A 经过点(0,5)C 和点(0,0)O ，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则tan OBC ∠的值为（）．xyCOBAA ．12B ．3 C ．3 D ．3【答案】C【解析】设⊙A 与x 轴的另一个交点为D ，连接CD ，∵90COD ∠=︒，∴CD 是直径，即10CD =， ∵()0,5C ， ∴5OC =，∴2253OD CD OC =-=， ∵OBC ODC ∠=∠， ∴3tan tan 53OC OBC ODC OD ∠=∠===．故选C ．xyDAB OC9．如图，将一张直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（）．A．甲＞乙，乙＞丙B．甲＞乙，乙＜丙C．甲＜乙，乙＞丙D．甲＜乙，乙＜丙【答案】D【解析】如图所示，∵AC DE∥，∴ABC DBE△∽△，∴777310 AC AB BCDE DBBE====+，∴177492110101002ABCDBEAB ACSS DB DE⋅==⋅=⋅△△，同理可证，100144DBEDGFSS=△△，设=49ABCS S a=△乙，则100DBES a=△，144DGFS a=△，∴=44DGF DBES S S a-=甲△△，==51DBES S a△丙∴甲<乙<丙，故答案选D．10．如图，已知抛物线2122y x=-+，直线222y x=+，当x任取一值时，x对应的函数值分别为1y、2y．若12y y≠，取1y、2y中的较小值记为M；若12y y=，记12M y y==．例如：当1x=时，1y=，24y=，12y y<，此时=0M．下列判断：①当0x>时，12y y>；②当0x<时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得1M=的x值是12-2．其中正确的是（）．xA ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】D【解析】∵当0x >时，利用函数图象可以得出21y y >；∴①错误；∵抛物线2122y x =-+，直线222y x =+，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为1y 、2y ．若12y y ≠，取1y 、2y 中的较小值记为M ；∴当0x <时，根据函数图象可以得出x 值越大，M 值越大；∴②错误；∵抛物线2122y x =-+直线222y x =+，与y 轴交点坐标为：(0,2).当0x =时，2M =，抛物线2122y x =-+，最大值为2，故M 大于2的x 值不存在；∴使得M 大于2的x 值不存在，∴③正确； ∵当10x -<<时，使得1M =时，可能是2122y x =-+，解得：1x =2x =，当222y x =+，解得：12x =-，由图象可得出：当0x >，此时对应1y M =， ∵抛物线2122y x =-+与x 轴交点坐标为：(1,0)，(1,0)-， ∴当10x -<<，此时对应2y M =，故1M =时，1x =2x =，使得1M =的x 值是12-或2．∴④正确；故正确的有：③④．故选：D ．二、填空题（每题3分，共18分）11．在实数范围内因式分解：422x y x y -=__________．【答案】2(x y x x - 【解析】原式22(2)x y x =-2(x y x x =+，故答案为：2(x y x x -．12．在1-，1，2这三个数中任选2个数分别作为P 点的横坐标和纵坐标，过P 点画双曲线ky x=，该双曲线位于第一、三象限的概率是__________．【答案】13【解析】∵在1-，1，2这三个数中任选2个数分别作为P 点的横坐标和纵坐标，∴符合要求的点有(1,1)-，(1,2)-，(1,2)，(1,1)-，(2,1)，(2,1)-， ∴该双曲线位于第一、三象限时0xy k =>，只有(1,2)，(2,1)符合0xy k =>，∴该双曲线位于第一、三象限的概率是：1263÷=，故答案为：13．13．已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边CDE △，则ADE ∠的度数是__________．【答案】15︒或75︒ 【解析】有两种情况：（1）当E 在正方形ABCD 内时，如图1 ∵正方形ABCD ，∴AD CD =，90ADC ∠=︒， ∵等边CDE △，∴CD DE =，60CDE ∠=︒， ∴906030ADE ∠=︒-︒=︒， ∴AD DE =，∴()1180752DAE AED ADE ∠=∠=︒-∠=︒；（2）当E 在正方形ABCD 外时，如图2 ∵等边三角形CDE ， ∴60EDC ∠=︒，∴9060150ADE ∠=︒+︒=︒，∴1(180)152AED DAE ADE ∠=∠=︒-∠=︒．故答案为：15︒或75︒．E DCBAA BC DE图1图214．劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1:2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为__________．【答案】2.4cm 或24cm 11【解答】如图8cm AB AC ==，6cm BC =，设平行四边形的短边为cm x ， ①若BE 是平行四边形的一个短边，则EF AB ∥，6268x x-=，解得 2.4cm x =，②若BD 是平行四边形的一个短边，则EF AB ∥，6286x x -=，解得2411x =，综上所述短边为2.4cm 或24cm 11．FED CBA15．如图，在直径为6的半圆»AB 上有两动点M 、N ，弦AM 、BN 相交于点P ，则AP AM BP BN ⋅+⋅的值__________．BA【答案】36【解析】连接AN 、BM ，∵AB 是直径， ∴90AMB ∠=︒． ∴222BP MP BM =+ ∵AP PM BP PN ⋅=⋅原式()()AP AP PM BP BP PN =+++222AP BP AP PM =++⋅ 2222AP MP BM AP PM =+++⋅ 22()BM AP PM =++22BM AM =+ 2AB =36=．AB16．在直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y 和(,)Q x y '，给出如下定义：若()()00y x y y x ⎧⎪'⎨-<⎪⎩≥，则称点Q 为点P 的“可控变点”．请问：若点P 在函数216y x =-+()5x a -≤≤的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y '的取值范围是1616y '-≤≤，则实数a 的取值范围是__________．【答案】5a -≤≤ 【解析】由定义可知：①当0x a ≤≤时，216y x =-+，此时，抛物线y '的开口向下，故当0x a ≤≤，y '随x 的增大而减小（如图），即：21616a y '-+≤≤，②当50x -<≤时，216y x =--，抛物线y '的开口向上，故当50x -<≤时，y '随x 的增大而减小（如图），即：169y '-≤≤，∵点P 在函数216y x =-+()5x a -≤≤的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐y '标的取值范围是1616y '-≤≤，∴21616a -+-≥， ∴232a ≤，∴a -≤ 当0a >，且2169a -+=时，∴a 又∵5x a -≤≤，a ≤所以，实数aa ≤x三、计算题（本大题共9小题，共102分） 17．计算：（1）解方程：23112x x x x -=-+-．（2）先化简，再求代数式2122121a a a a a a +-÷+--+的值，其中6tan602a =︒-．【解析】（1）方程两边同时乘以()()21x x +-，()()()2213x x x x +-+-=，解得1x =，检验1x =是方程的增根，方程无解．（2）原式12a =+， 2a =，原式=．18．若关于x 的不等式组()123354413x x x a x a +⎧+⎪⎨⎪++>++⎩恰有三个整数解，求实数a 的取值范围．【解析】解1023x x ++>，得25x >-；解()354413x a x a ++>++，得2x a <，∴不等式组的解集为225x a -<<．∵关于x 的不等式组()1023354413x x x a x a +⎧+>⎪⎨⎪++>++⎩恰有三个整数解，∴223a <≤，解得312a <≤．19．如图，在一笔直的海岸线l 上有AB 两个观测站，A 在B 的正东方向，2AB =（单位：km ）．有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60︒的方向，从B 测得小船在北偏东45︒的方向．（1）求点P 到海岸线l 的距离．（2）小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15︒的方向．求点C 与点B 之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）东北BA【解析】（1）如图，过点P 作PD AB ⊥于点D ．设km PD x =．在Rt PBD △中，90BDP ∠=︒，904545PBD ∠=︒-︒=︒， ∴km BD PD x ==．在Rt PAD △中，90ADP ∠=︒，906030PAD ∠=︒-︒=︒，∴km AD ==． ∵BD AD AB +=，∴2x +=，1x ，∴点P 到海岸线l的距离为)1km ；（2）如图，过点B 作BF AC ⊥于点F ．根据题意得：105ABC ∠=︒，在Rt ABF △中，90AFB ∠=︒，30BAF ∠=︒， ∴11km 2BF AB ==．在ABC △中，18045C BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒．在Rt BCF △中，90BFC ∠=︒，45C ∠=︒，∴BC ==，∴点C 与点B．D AB东20．扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项．（1）毎位考生有__________种选择方案．（2）用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．（友情提酲：各种方案用A 、B 、C 、D 或①、②、③、④等符号来代表可简化解答过程）【解析】（1）毎位考生可选择：50米跑、立定跳远、坐位体前屈（用A 表示）；50米跑、实心球、坐位体前屈（用B 表示）；50米跑、立定跳远、1分钟跳绳（用C 表示）；50米跑、实心球、1分钟跳绳（用D 表示）；共用4种选择方案．故答案为4．（2）用A 、B 、C 、D 代表四种选择方案．（其他表示方法也可）用树状图分析如下：可得有16种等概率情况，其中小明与小刚选择同种方案有4种，则概率为41164P ==．21．如图，一次函数1y k x b =+的图象经过(0,2)A -，(1,0)B 两点，与反比例函数2k y x=的图象在第一象限内的交点为M ，若OBM △的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）在x 轴上是否存在点P ，使AM MP ⊥？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．xyMO BA【解析】（1）∵直线1y k x b =+过(0,2)A -，(1,0)B 两点∴120b k b =-⎧⎨+=⎩， ∴122b k =-⎧⎨=⎩ ∴一次函数的表达式为22y x =-． ∴设(,)M m n ，作MD x ⊥轴于点D ， ∵2OBM S =△，∴122OB MD ⋅=， ∴122n =， ∴4n =，∴将(,4)M m 代入22y x =-得422m =-， ∴3m =，∵(3,4)M 在双曲线2k y x=上， ∴243k =， ∴212k =，∴反比例函数的表达式为12y x=．（2）过点(3,4)M 作MP AM ⊥交x 轴于点P ， ∵MD BP ⊥，∴PMD MBD ABO ∠=∠=∠∴2tan tan tan 21OA PMD MBD ABO OB ∠=∠=∠===， ∴在Rt PDM △中，2PDMD=， ∴28PD MD ==， ∴11OP OD PD =+=，∴在x 轴上存在点P ，使PM AM ⊥，此时点P 的坐标为(11,0)．x22．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB的延长线相交于点P ，弦CE 平分ACB ∠，交AB 点F ，连接BE ．（1）求证：AC 平分DAB ∠．（2）求证：PC PF =．（3）若4tan 3ABC ∠=，14AB =，求线段PC 的长．PEA【解析】（1）∵PD 切⊙O 于点C ，∴OC PD ⊥，又∵AD PD ⊥， ∴OC AD ∥， ∴ACO DAC ∠=∠． ∵OC OA =， ∴ACO CAO ∠=∠， ∴DAC CAO ∠=∠，即AC 平分DAB ∠．（2）∵AD PD ⊥， ∴90DAC ACD ∠+=︒．又∵AB 为⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=︒． ∴90PCB ACD ∠+∠=︒， ∴DAC PCB ∠=∠．又∵DAC CAO ∠=∠， ∴CAO PCB ∠=∠． ∵CE 平分ACB ∠， ∴ACF BCF ∠=∠，∴CAO ACF PCB BCF ∠+∠=∠+∠， ∴PFC PCF ∠=∠， ∴PC PF =．（3）∵PAC PCB ∠=∠，P P ∠=∠， ∴PAC PCB △∽△，∴PC APPB PC=．又∵4tan 3ABC ∠=， ∴43AC BC =， ∴43PC PB =，设4PC k =，3PB k =，则在Rt POC △中，37PO k =+，7OC =，∵222PC OC OP +=，∴()()2224737k k +=+，∴6k =（0k =不合题意，舍去）． ∴44624PC k ==⨯=．23．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数334y x =+的图象是直线1l ，1l 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点．直线2l 过点(,0)C a 且与直线1l 垂直，其中0a >．点P 、Q 同时从A 点出发，其中点P 沿射线AB 运动，速度为每秒4个单位；点Q 沿射线AO 运动，速度为每秒5个单位．（1）写出A 点的坐标和AB 的长．（2）当点P 、Q 运动了多少秒时，以点Q 为圆心，PQ 为半径的⊙Q 与直线2l 、y 轴都相切，求此时a的值．x【解析】（1）∵一次函数334y x =+的图象是直线1l ，1l 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点， ∴0y =时，4x =-， ∴(4,0)A -，4AO =，∵图象与y 轴交点坐标为：(0,3)，3BO =， ∴5AB =．（2）由题意得：4AP t =，5AQ t =，AP AQt AO AB==，又PAQ OAB ∠=∠， ∴APQ AOB △∽△， ∴90APQ AOB ∠=∠=︒， ∵点P 在1l 上，∴⊙Q 在运动过程中保持与1l 相切，①如图1，当⊙Q 在y 轴右侧与y 轴相切时，设2l 与⊙Q 相切于F ，由APQ AOB △∽△，得：∴435PQ PQ+=， ∴6PQ =；故10AQ =，则运动时间为：1025=（秒）；连接QF ，则QF PQ =，∵直线2l 过点(,0)C a 且与直线1l 垂直，2FQ l ⊥， ∴90APQ QFC ∠=∠=︒，AP FQ ∥， ∴PAQ FQC ∠=∠， ∴QFC APQ △∽△， ∴QFC APQ AOB △∽△∽△，得：QF QCAO AB=， ∴PQ QCAO AB =， ∴645QC =， ∴152QC =， ∴272a OQ QC OC =+==， ②如图2，当⊙Q 在y 轴的左侧与y 轴相切时，设2l 与⊙Q 相切于E ，由APQ AOB △∽△得：435PQ PQ-=，∴32PQ =，则34 2.52AQ =-=， ∴则运动时间为：2.5152=（秒）；故当点P 、Q 运动了2秒或12秒时，以点Q 为圆心，PQ 为半径的⊙Q 与直线2l 、y 轴都相切，连接QE ，则QE PQ =，∵直线2l 过点(,0)C a 且与直线1l 垂直，⊙Q 在运动过程中保持与1l 相切于点P ， ∴90AOB ∠=︒，90APQ ∠=︒， ∵PAO BAO ∠=∠， ∴APQ AOB △∽△，同理可得：QEC APQ AOB △∽△∽△得：QE QCOA AB=， ∴PQ QCAQ AB=，3245QC =， ∴158QC =，38a QC OQ =-=，综上所述，a 的值是：272和38． xx图1图224．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=．点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连接BD ，F 为BD 中点．（1）若过点D 作DE AB ⊥于E ，连接CF 、EF 、CE ，如图1．设CF kEF =，则1k =．（2）若将图1中的ADE △绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：2BE DE CF -=．（3）若6BC =，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF长度的最大值．FEDCBAABCDEF图1图2【解析】（1）∵F 为BD 中点，DE AB ⊥，∴12CF BD =，12EF BD =， ∴CF EF =， ∴1k =，故答案为1．（2）如图，过点C 作CE 的垂线交BD 于点G ，设BD 与AC 的交点为Q ．由题意，1tan 2BAC ∠=， ∴12BC DE AC AE ==． ∵D 、E 、B 三点共线， ∴AE DB ⊥．∵BQC AQD ∠=∠，90ACB ∠=︒， ∴QBC EAQ ∠=∠．∵90ECA ACG ∠+∠=︒，+90BCG ACG ∠∠=︒， ∴ECA BCG ∠=∠． ∴BCG ACE △∽△． ∴12BC GB AC AE == ∴GB DE =． ∵F 是BD 中点，∴F 是EG 中点．在Rt ECG △中，12CF EG =， ∴2BE DE EG CF -==．QGFEDCBA（3）情况1：当13AD AC =时，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ， ∵90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，且6BC =， ∴12AC =，AB = ∵M 为AB 中点，∴CM =， ∵13AD AC =， ∴4AD =．∵M 为AB 中点，F 为BD 中点， ∴122FM AD ==． ∴当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时，CF 最大，此时2CF CM FM =+=+ 情况2：当23AD AC =时，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，类似于情况1，可知CF的最大值为4+ 综合情况1与情况2，可知当点D 在靠近点C 的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4+．M FDCBA25．在平面直角坐标系中，已知抛物线212y x bx c =-++（b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC的顶点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ．（i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标．（ii ）取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．试探究+PQNP BQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．x【解析】（1）∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)∴点B 的坐标为(4,1)-．∵抛物线过(0,1)A -，(4,1)B -两点， ∴1116412c b c =-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩，解得：21b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的函数表达式为：21212y x x =-+-．（2）（i ）∵(0,1)A -，(4,3)C ， ∴直线AC 的解析式为：1y x =-．设平移前抛物线的顶点为0P ，则由（1）可得0P 的坐标为(2,1)，且0P 在直线AC 上． ∵点P 在直线AC 上滑动，∴可设P 的坐标为(,1)m m -，则平移后抛物线的函数表达式为：()2112y x m m =--+-．解方程组：()()21112y x y x m m =-⎧⎪⎨=--+-⎪⎩，解得111x m y m =⎧⎨=-⎩，2223x m y m =-⎧⎨=-⎩，∴(,1)P m m -，(2,3)Q m m --．过点P 作PE x ∥轴，过点Q 作QF y ∥轴，则： ()22PE m m =--=，()()132QF m m =---=．∴0PQ AP ==．若以M 、P 、Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当PQ 为直角边时：点M 到PQ的距离为PQ 的长）．由(0,1)A -，(4,1)B -，0(2,1)P 可知，0ABP △为等腰直角三角形，且0BP AC ⊥，0BP =．如答图1，过点B 作直线1l AC ∥，交抛物线21212y x x =-+-于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线1l 的解析式为：1y x b =+， ∵(4,1)B -，∴114b -=+，解得15b =-， ∴直线1l 的解析式为：5y x =-．解方程组251212y x y x x =-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩，得：1141x y =⎧⎨=-⎩，2227x y =-⎧⎨=-⎩， ∴1(4,1)M -，2(2,7)M --．图1②当PQ 为斜边时：2MP MQ ==，可求得点M 到PQ 如答图2，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为(2,1)-．由(0,1)A -，(2,1)F -，0(2,1)P可知：0AFP △为等腰直角三角形，且点F 到直线AC过点F 作直线2l AC ∥，交抛物线21212y x x =-+-于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线2l 的解析式为：2y x b =+， ∵(2,1)F -，∴212b -=+，解得23b =-， ∴直线2l 的解析式为：3y x =-．解方程组231212y x y x x =-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩，得：1112x y⎧=+⎪⎨=-⎪⎩2212x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， ∴3(12M +-，4(12M --．综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：1(4,1)M-，2(2,7)M --，3(12M -，4(12M -．（ii）PQNP BQ+存在最大值．理由如下：由（i ）知PQ =为定值，则当NP BQ +取最小值时，PQNP BQ+有最大值．如答图2，取点B 关于AC 的对称点B '，易得点B '的坐标为(0,3)，BQ B Q '=．连接QF ，FN ，QB '，易得FN PQ ∥，且FN PQ =，∴四边形PQFN 为平行四边形．1(4,1)M - ∴NP FQ =．∴NP BQ FQ B Q FB ''+=+==≥∴当B '、Q 、F 三点共线时，NP BQ +最小，最小值为 ∴PQ NP BQ +x图2。

2018年广州中考一模试卷-真光中学-初中数学

2017~2018学年真光教育集团初三年级数学中考一模试题第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1.2018的相反数是（）A. 2018B. －2018C.12018 D.－120182.近几年来，我市加大教育信息化投入，投资221000000元，初步完成了济宁市教育公共云服务平台基础工程，教学点数字教育资源全覆盖.将221000000用科学记数法表示为（）A. 22.1×107B. 2.21×108C. 2.21×109D. 0.221×10103.如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠COB内一点，且OE⊥AB，∠AOC＝35°，则∠EOD的度数是（）A. 155°B. 145°C. 135°D. 125°4.某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5人数 1 1 2 1A.中位数是4，平均数是3.75B.众数是4，平均数是3.75C.中位数是4，平均数是3.8D.众数是2，平均数是3.85.在函数中y＝x+4x，自变量x的取值范围是（）A. x＞0B. x≥－4C. x≥－4且x≠0D. x＞0且x≠－46.下列计算正确的是（）A. a＋a＝a2B. a2ꞏa3＝a6C. (－a3)2＝－a6D.a7÷a5＝a27.一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为（）A.（x+4）2＝17B.（x+4）2＝15C.（x－4）2＝17D.（x－4）2＝158.若有理数在数轴上的对应点如下图所示，则下列结论中正确的是（）A. a＞|b|B. a＜bC. |a|＞|b|D. |a|＜|b|9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于（）A. 112B. 136C. 124D. 8410.如图，在菱形纸片ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则cos ∠EFG 的值为（）A. 217B. 107C. 12D. 32第二部分非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.计算：（12）－2＋（π－3）0－9＝ . 12.分解因式：2x 3－8x ＝ .13.Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝ .14.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB ＝70°，AB ＝AC ，则∠ABC ＝ .15.如图，把两个等腰直角三角板如图放置，点F 为BC 中点，AG ＝1，BG ＝2，则CH 的长为 .16.现有6个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字－2，－1，0.5，1，2，3，先将标有数字－2，0.5，2的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里，先从第一个盒子里随机取出一个小球，把小球上的数字记为m ，再从第二个盒子里随机取出一个小球，将小球上的数字分别记为n ．则使关于x 的二次函数y ＝mnx 2＋（m ＋n ）x ＋3的对称轴在y 轴右边的概率为 .三、解答题（本大题共9小题，共102分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分9分）如果实数x ，y 满足方程组⎩⎨⎧x ＋3y ＝02x ＋3y ＝3，求代数式（xy x ＋y ＋2）÷1x ＋y .18.（本小题满分9分）如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，DE 平分∠ADC 交AB 边于点E ，BF 平分∠ABC 交DC 边于点F .求证：DE ∥BF .19.（本小题满分10分）某中学为了解八年级学生的体能情况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A ，B ，C ，D 四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求测试结果为C 等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有多少名？（4）若从体能为A 等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．20.（本小题满分10分）21.(本小题满分12分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D.某玩具点采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完．第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件．两批玩具的售价均为2.8元．问第二次采购玩具多少件？23.（本小题满分12分）图1为真光中学运动会终点计时台侧面示意图，已知：AB＝1米，DE＝5米，AB∥DC，BC ⊥DC.小明在A处观测地面D的俯角为30°，在B处观测地面E的俯角为60°.（1）求AD的长度．（2）如图2，为了避免计时台AB和AD的位置受到与水平面成45°角的光线照射，计时台上方应放直径是多少米的遮阳伞（即求DG长度）？已知，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动. （1）如图1，当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．25.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－12x2＋bx＋c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，－1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限.。

[试卷合集3套]广东省名校2018届中考数学一模数学试题及答案

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列图形中，线段MN的长度表示点M到直线l的距离的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：图B、C、D中，线段MN不与直线l垂直，故线段MN的长度不能表示点M到直线l的距离；图A中，线段MN与直线l垂直，垂足为点N，故线段MN的长度能表示点M到直线l的距离．故选A．2．如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN 交AB 于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（）A．90°B．95°C．105°D．110°【答案】C【解析】根据等腰三角形的性质得到∠CDA=∠A=50°，根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°，根据题目中作图步骤可知，MN垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线定理可知BD=CD，根据等边对等角得到∠B=∠BCD，根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA，进而求得∠BCD=25°，根据图形可知∠ACB=∠ACD+∠BCD，即可解决问题.【详解】∵CD=AC，∠A=50°∴∠CDA=∠A=50°∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°∴∠DCA=80°根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC∴BD=CD∴∠B=∠BCD∵∠B+∠BCD=∠CDA∴2∠BCD=50°∴∠BCD=25°∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键.3．如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据左视图是从左面看所得到的图形进行解答即可．【详解】从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间．故选：C．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．4．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b“是假命题的反例是（）A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝0，b＝1 D．a＝2，b＝1【答案】A【解析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．由此即可解答. 【详解】∵当a＝﹣2，b＝1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，∴a＝﹣2，b＝1是假命题的反例．故选A．【点睛】本题考查了命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．5．把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3【答案】B【解析】分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可.详解：（x+1）（x-3）=x2-3x+x-3=x2-2x-3所以a=2，b=-3，点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键. 6．已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】D【解析】根据多边形的内角和=（n﹣2）•180°，列方程可求解.【详解】设所求多边形边数为n，∴（n﹣2）•180°＝1080°，解得n＝8.故选D.【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.7．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6【答案】D【解析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．【详解】根据图中信息，某种结果出现的频率约为0.16，在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”的概率为23≈0.67>0.16，故A选项不符合题意，从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”概率为1327≈0.48>0.16，故B选项不符合题意，掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是12=0.5>0.16，故C选项不符合题意，掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率是16≈0.16，故D选项符合题意，故选D.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF BC=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】B【解析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵DF BC=，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.9．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间【答案】A【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：①以点A 为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝1（米），②以点B 为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以点C 为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④当在AB 之间停靠时，设停靠点到A 的距离是m ，则（0＜m ＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m ）+10（300﹣m ）＝1+5m ＞1，⑤当在BC 之间停靠时，设停靠点到B 的距离为n ，则（0＜n ＜200），则总路程为30（100+n ）+15n+10（200﹣n ）＝5000+35n ＞1．∴该停靠点的位置应设在点A ；故选A ．【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．10．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线2b x a=-＞0，∴b ＞0，∵与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴y ax b =+的图象经过第一、二、四象限，反比例函数c y x=图象在第一三象限，只有C 选项图象符合．故选C ．考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．二、填空题（本题包括8个小题）11．关于x的不等式组3515-12xx a->⎧⎨≤⎩有2个整数解，则a的取值范围是____________.【答案】8⩽a<13；【解析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【详解】解不等式3x−5>1，得：x>2，解不等式5x−a⩽12,得：x⩽125a+，∵不等式组有2个整数解，∴其整数解为3和4，则4⩽125a+<5，解得：8⩽a<13，故答案为：8⩽a<13【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键12．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点OAC的中点，点D在A射线BO上，连接OE，EC，若AB＝4，则OE的最小值为_____．【答案】1【解析】根据等边三角形的性质可得OC＝12AC，∠ABD＝30°，根据“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE的最小值．【详解】解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，∴OC＝12AC，∠ABD＝30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝30°＝∠ABD当OE⊥EC时，OE的长度最小，∵∠OEC ＝90°，∠ACE ＝30°∴OE 最小值＝12OC ＝14AB ＝1，故答案为1【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 13．如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线21y x k 2=+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是 .【答案】－2＜k ＜12。

广东省广州市越秀区2018届数学中考模拟试卷(4月份)及参考答案

23. 如图，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东5 8°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里（参考数据：sin32°≈0.53，sin55°≈0.82）．
（1）求船P到海岸线MN的距离（精确到0.1海里）；（2）若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处． 24. 已知反比例函数y= （m为常数）的图象经过点A（﹣1，6）．
三、解答题
17. （1）
（2）因式分解：a3﹣ab2. 18. 计算：（1）先化简，在求值：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1），其中x= ；
（2）先化简在求值：
，其中a=5．b=﹣3.
19. 如图，小明在操场上放风筝，已知风筝线AB长100 米，风筝线与水平线的夹角α=37°，小王拿风筝线的手离地面的高AD为1.5米，求风筝离地面的高度BE（精确到0.1米）．
14. 一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为________米．
15. 一个圆锥的底面圆的直径为6cm，高为4cm，则它的侧面积为________ cm2 （结果保留π）． 16. 小明手中有两张卡片分别标有3，﹣1，小华手中有三张卡片分别标有2，0，﹣1．如果两人各随机抽取一张卡片，那么和为正数的概率是________．
A. B. C. D. 8. 如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（）
A.2B.3C.4D.5 9. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④a

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动的过程中，BE 的最小值为
．
三、解答题（共 9 道题，共 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10 分）解方程：（1）3x（x﹣1）＝2x﹣2 （2）
18．（10 分）如图，已知 E、F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AB、CD 上的两点，且∠CBF＝∠ADE．（1）求证：△ADE≌△CBF；
第4页（共7页）
（1）求 y 与 x 的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是
多少元？
23．（12 分）如图，在四边形 OABC 中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点 A，B 的
坐标分别为（5，0），（2，6），点 D 为 AB 上一点，且
图形是（）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）某班抽取 6 名同学参加体能测试，成绩如下：85，95，85，80，80，
85．下列表述错误的是（）
A．众数是 85 B．平均数是 85 C．中位数是 80 D．极差是 15
4．（3 分）已知点 A（a，2017）与点 A′（﹣2018，b）是关于原点 O 的对称点，
C．62° C．（x3）2＝x5
D．72° D．x3÷x2＝x
7．（3 分）若分式的值为零，则 x 的值为（）
A．0
B．1
C．﹣1
D．±1
8．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则
k 的取值范围是（）
A．k＞﹣1
B．k＞﹣1 且 k≠0 C．k＜1
A．1 个
B．个
C．3 个
D．4 个
10．（3 分）如图，△ABC 内接于⊙O，AD 为⊙O 的直径，交 BC 于点 E，若 DE
＝2，OE＝3，则 tanC•tanB＝（）
A．2
B．3
C．4
D．5
二．填空题．（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．）
11．（3 分）“激情同在”第 23 届冬奥会于 2018 年 2 月在韩国平昌郡举行，场馆
第7页（共7页）
（2）证明：△ABC∽△BDC．
22．（12 分）某商品的进价为每件 40 元，售价不低于 50 元，如果售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果售价超过 50 元但不超过 80 元，每件商品的售价每上涨 1 元，则每月少卖 1 件；如果售价超过 80 元后，若再涨价，则每涨 1 元每月少卖 3 件，设每件商品的售价为 x 元，每月的销售量为 y 件．
25．（14 分）如图，矩形 ABCD 的边 AB＝3cm，AD＝4cm，点 E 从点 A 出发，沿射线 AD 移动，以 CE 为直径作圆 O，点 F 为圆 O 与射线 BD 的公共点，连接 EF、CF，过点 E 作 EG⊥EF，EG 与圆 O 相交于点 G，连接 CG．
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（1）试说明四边形 EFCG 是矩形；（2）当圆 O 与射线 BD 相切时，点 E 停止移动，在点 E 移动的过程中， ①矩形 EFCG 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最
物线上一动点，过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，交直线 CD 于点 E．（1）求抛物线的解析式；（2）若 PE＝5EF，点 P 的横坐标是 m，求 m 的值；（3）若点 E′是点 E 关于直线 PC 的对称点，是否存在点 P，使点 E′落在 y 轴
上？若存在，请直接写出相应的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
则 a+b 的值为（）
A．1
B．5
C．6
D．4
5．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，M，N 分别在 AB，CD 上，且 AM＝CN，MN
与 AC 交于点 O，连接 BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC 的度数为（）
A．28°
B．52°
6．（3 分）下列运算正确的是（）
A．x3+x2＝x5
B．x3﹣x2＝x
D．k＜1 且 k≠0
9．（3 分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），
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对称轴为直线 x＝2，下列结论： ①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当 x＞﹣1 时，y 的值随 x 值的增
大而增大．其中正确的结论有（）
2018 年广东省广州大学附中中考数学一模试卷
一、选择题．（每小题 3 分，共 30 分．每题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）如果+10%表示“增加 10%”，那么“减少 8%”可以记作（）
A．﹣18%
B．﹣8%
C．+2%
D．+8%
2．（3 分）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称
的建筑面积约是 358 000 平方米，将 358 000 用科学记数法表示为
．
12．（3 分）因式分解：3ab2+a2b＝
．
13．（3 分）如图，点 A 为△PBC 的三边垂直平分线的交点，且∠P＝72°，则
∠BAC＝
．
14．（3 分）如图，正比例函数 y1＝k1x 和反比例函数 y2＝的图象交于 A（﹣1，
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于
度；
（2）求山坡 A、B 两点间的距离（结果精确到 0.1 米）．
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
21．（10 分）如图，在△ABC 中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB 的垂直平分线分别与 AC、AB 交于点 D、E．
（1）尺规作图作出 AB 的垂直平分线 DE，并连结 BD；（保留作图痕迹，不写作法）
2）、B（1，﹣2）两点，若 y1＜y2，则 x 的取值范围是
．
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15．（3 分）已知圆锥的底面半径为 5cm，侧面积为 65πcm2，圆锥的母线是 cm．
16．（3 分）如图，AB 是半⊙O 的直径，点 C 在半⊙O 上，AB＝5cm，AC＝4cm．D
是上的一个动点，连接 AD，过点 C 作 CE⊥AD 于 E，连接 BE．在点 D 移
20．（10 分）如图所示，小明在大楼 30 米高（即 PH＝30 米）的窗口 P 处进行
观测，测得山坡上 A 处的俯角为 15°，山脚 B 处的俯角为 60°，已知该山坡
的坡度 i（即 tan∠ABC）为 1：，点 P、H、B、C、A 在同一个平面上．点
H、B、C 在同一条直线上，且 PH⊥HC．
16． ﹣2；
三、解答题（共 9 道题，共 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．
； 18．
； 19．
； 20．30； 21．
； 22．
；
23．
； 24．
； 25．
；
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日期：2019/1/3 1 3:48:25；用户：qgjyus er106 19；邮箱：qg jyus er10619.2195 7750；学号： 21985629
，双曲线 y＝（k
＞0）经过点 D，交 BC 于点 E （1）求双曲线的解析式；（2）求四边形 ODBE 的面积．
24．（14 分）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线 y＝﹣ 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D．点 P 是 x 轴上方抛
（2）判定四边形 DEBF 是否是平行四边形？
19．（10 分）有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意
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一把锁．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述事件所有可能的结果；
（2）求一次打开锁的概率．
小值；若不存在，说明理由； ②求点 G 移动路线的长．
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2018 年广东省广州大学附中中考数学一模试卷
参考答案
一、选择题．（每小题 3 分，共 30 分．每题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．B； 2．B； 3．C； 4．A； 5．C； 6．D； 7．C； 8．B； 9．B； 10．C；二．填空题．（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．） 11．3.58×105； 12．ab（3b+a）； 13．144°； 14．﹣1＜x＜0 或 x＞1； 15．13；