初中数学-利用不等式做方案设计的问题
《4.2不等式的基本性质》作业设计方案-初中数学湘教版12八年级上册
《不等式的基本性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过《不等式的基本性质》的学习，使学生能够：1. 掌握不等式的基本概念及其表示方法。
2. 理解并记忆不等式的基本性质和公理。
3. 学会运用不等式性质解决简单的实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
二、作业内容1. 复习与预习：- 复习之前学过的等式的基本性质。
- 预习本课内容，了解不等式的定义及分类。
2. 掌握基本概念：- 让学生明确不等式的定义，并能够正确书写和识别不等式。
- 让学生理解不等式与等式的区别与联系。
3. 理解基本性质：- 讲解并记忆不等式的基本性质，如：若a>b，则两边同时加（减）一个数，不等号不改变方向；两边同时乘以（除以）一个正数，不等号方向不变等。
- 通过实例分析，加深学生对不等式性质的理解。
4. 练习运用：- 设计一系列练习题，包括选择题、填空题和解答题，让学生运用所学的不等式性质解决实际问题。
- 引导学生分析问题，找出关键信息，运用不等式性质建立数学模型。
5. 拓展延伸：- 介绍一些与不等式相关的实际应用问题，如最值问题、不等式组等。
- 鼓励学生自主探索，尝试解决一些具有挑战性的问题。
三、作业要求1. 学生需认真完成作业，按照要求书写和计算。
2. 复习与预习部分要有所体现，教师应检查学生的预习效果。
3. 学生在理解基本性质后，应多做练习题，加强实践运用能力。
4. 在拓展延伸部分，学生可查阅相关资料或向老师请教，以拓宽知识面。
5. 作业应按时上交，教师需及时批改并给予反馈。
四、作业评价1. 教师根据学生完成作业的情况，给予相应的评价和指导。
2. 对于表现优秀的学生，教师应给予表扬和鼓励，激发其学习积极性。
3. 对于存在问题的学生，教师应指出其错误并给予纠正，帮助其提高。
4. 教师可根据学生作业情况，调整教学计划和教学方法。
五、作业反馈1. 教师将学生的作业情况进行总结和分析，找出共性和个性问题。
《9.1.2不等式的性质》作业设计方案-初中数学人教版12七年级下册
《不等式的性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本课时的作业设计，旨在使学生巩固并掌握不等式的基本性质，包括不等式的基本运算法则、不等式的加减乘除性质、不等式的乘方与开方性质等。
同时，培养学生运用不等式性质解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和数学应用能力。
二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 复习巩固：回顾并复习之前学过的等式的基本性质，为学习不等式性质打下基础。
2. 掌握概念：通过练习题，让学生掌握不等式的基本概念和符号表示方法。
3. 练习运算法则：通过大量练习题，让学生熟练掌握不等式的基本运算法则，包括不等式的加减、乘除、乘方和开方等。
4. 实际问题应用：设计一些实际问题，让学生运用所学的不等式性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
三、作业要求1. 完成速度：要求学生按时完成作业，培养良好的时间管理习惯。
2. 准确性：要求学生答案准确，注重细节，避免因粗心导致的错误。
3. 创新性：鼓励学生在解决问题时尝试不同的方法，培养创新思维和解决问题的能力。
4. 独立思考：要求学生独立完成作业，培养自主学习的能力。
四、作业评价1. 评价标准：以准确性、速度、创新性和独立思考能力为评价标准。
2. 评价方式：采用教师评价、同学互评和自我评价相结合的方式，全面了解学生的学习情况。
3. 反馈方式：及时反馈学生的作业情况，指出错误并给出改进建议，鼓励学生继续努力。
五、作业反馈1. 个性化指导：针对学生的作业情况，给予个性化的指导和建议，帮助学生更好地掌握知识。
2. 课堂讨论：在下一课时的课堂上，针对学生作业中的共性问题进行讨论，加深学生对知识的理解。
3. 鼓励表扬：对表现优秀的学生给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性。
4. 家长沟通：与家长沟通学生的作业情况，让家长了解孩子的学习进度和问题，共同帮助孩子提高学习成绩。
通过以上是本课时作业设计方案的主要内容。
通过这样的作业设计，旨在让学生在掌握不等式性质的基础上，能够灵活运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力和自主学习能力。
《10.2不等式的基本性质》作业设计方案-初中数学冀教版12七年级下册
《不等式的基本性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时的作业设计旨在让学生能够掌握和理解不等式的基本性质，能通过具体的例题进行正确的解题过程。
目标是强化学生的不等式意识，提升学生的逻辑思维能力及解决问题的水平。
二、作业内容（一）巩固不等式基本性质学生需独立完成一份涉及不等式基本性质的练习题。
练习题内容涵盖以下要点：1. 不等式两边加（或减）同一数（或式子）性质的理解与运用。
2. 不等式两边乘（或除以）同一正数性质的理解与运用。
3. 不等式两边乘（或除以）同一负数时，不等号方向变化的理解。
（二）例题解析与模仿学生需仔细阅读并模仿以下例题，理解解题思路和步骤：例题：已知a > b，试比较a + c与b + c的大小。
解题思路：根据不等式的基本性质，通过加减法来推导结果。
（三）实际应用题设计几道涉及日常生活实际的不等式应用题，如“比较商品价格高低”、“计算速度快慢”等，让学生运用所学知识解决实际问题。
三、作业要求1. 练习题需独立完成，不得抄袭他人答案。
2. 每个题目都需有详细的解题步骤和思路，尤其是对有疑惑的题目需做出注解或备注。
3. 应用题部分需详细阐述问题的背景及解题的思路和结果。
4. 书写整洁，注意格式规范，答案尽量简洁明了。
四、作业评价教师对学生的作业进行批改，主要评价以下方面：1. 知识的掌握程度：学生是否正确理解了不等式的基本性质。
2. 解题能力：学生是否能正确运用所学知识解决实际问题。
3. 解题思路：学生的解题思路是否清晰、有条理。
4. 书写规范性：作业的书写是否整洁、规范。
五、作业反馈批改完成后，教师应针对学生的作业情况给予及时反馈：1. 对表现出色的学生给予肯定和表扬，并鼓励其继续努力。
2. 对出现错误的学生，需指出错误所在并指导其改正。
3. 将普遍存在的问题进行归纳总结，在下一课时中进行讲解和纠正。
4. 根据学生作业的完成情况，调整后续的教学计划和作业布置，确保教学效果的最大化。
中考数学复习：专题2-11 用一元一次不等式(组)解决生活中的实际问题
专题11 用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题【专题综述】一元一次不等式组是在学习了一元一次不等式组的概念和解法之后，进一步探索现实世界数量关系的重要内容，是继学习了一元一次方程和二元一次方程组之后，又一次数学建模思想的学习，也是后续学习二元一次方程等内容的重要基础，有着承前启后的作用。
用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题，其主要步骤为：1、审题，设未知数；2、抓关键词，找不等关系；3、构建不等式（组）4 、解不等式（组）；5、根据题意，写出合理答案。
【方法解读】一、打折问题：例1，一双运动鞋的进价是200元，标价400元，商场要获得不低于120元的利润，问：最低可以打几折？【举一反三】(湖南省娄底市)某种商品的进价为1000元，出售时的标价为1500元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则最多可打（）．A、6折B、7折C、8折D、9折二、赛球问题：例2，甲、乙两队进行足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛了12场，甲队保持不败，总得分超过26分，问：甲队至少胜了多少场？【举一反三】(江西省崇仁一中)在崇仁一中中学生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高．如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分（1）用含x的代数式表示y；（2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？（3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？三、购买问题：例3，某种肥皂零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块），商场推出两种优惠销售办法。
第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售。
在购买的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买几块肥皂？【举一反三】某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品一律按商品价格的9.5折优惠.（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？（2）请帮小敏算一算，她购买商品的价格为多少元时，两个方案所付金额相同？（3）购买商品的价格______元时，采用方案一更合算．四、分苹果问题：例4，把44个苹果分给若干名学生，若每人分苹果7个，则最后1名学生分得的苹果不足3个，求学生人数。
初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例
初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例数学不等式作为初中数学中的一个重要内容，不仅有理论的意义，还有实际的应用。
本文将从实际问题的角度出发，给出一些初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例，以展示不等式在实际生活中的重要性。
一、物品购买问题假设小明去商店买口红，他现在有300元的预算，一支口红的价格是x元。
根据经验，我们知道在购买同款口红时，价格越高，质量越好。
但是小明想要在预算范围内选择质量尽可能好的口红。
这个问题可以用不等式进行求解。
首先，我们可以列出不等式：x ≤ 300，其中x为口红的价格。
由于小明希望选择质量尽可能好的口红，根据经验可以假设价格与质量成正比。
因此，价格越高，质量越好。
所以，通过解不等式，我们可以得到小明预算范围内，价格越高的口红质量越好。
通过这个案例，我们可以看到不等式在物品购买问题中的应用。
二、年龄差问题在生活中，经常会遇到解决年龄差不等式的问题。
例如，小明比小红大5岁，小红比小白大3岁，请问小明和小白的年龄差是多少？假设小明的年龄为x岁，则小红的年龄为x-5岁，小白的年龄为x-5-3岁，即x-8岁。
根据题目的条件，我们可以列出不等式：(x-5) - (x-8) ≥ 0简化该不等式，我们可以得到：x - 5 - x + 8 ≥ 0化简后得到：3 ≥ 0这个不等式恒成立，说明小明和小白的年龄差是大于等于0的。
通过这个简单的案例，我们可以看到不等式在解决年龄差问题中的应用。
三、角度问题在几何学中，不等式可以用来描述角度之间的关系。
例如，给定一个三角形ABC，角A的度数是x，角B的度数是2x，角C的度数是3x。
我们需要找出x的取值范围，使得三角形ABC为锐角三角形。
根据角度的性质，我们知道锐角的度数是小于90度的。
因此，我们可以列出不等式：x < 90由于角A、角B、角C是三角形的三个内角，所以它们的和应该等于180度。
根据题目的条件，我们可以列出等式：x + 2x + 3x = 180简化该等式，我们得到：6x = 180解方程得到x = 30。
初中数学_不等式的基本性质教学设计学情分析教材分析课后反思
2.2 不等式的基本性质执教人一、教学目标1.知识与能力（1）掌握不等式的三条基本性质.（2）运用不等式的基本性质对不等式进行变形.2.过程与方法（1）通过等式的基本性质，探究不等式的基本性质，体会类比的数学思想.（2）通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一半、有具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的合理性，发展思维能力和语言表达能力.3.情感态度与价值观通过探究不等式的基本性质的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好思维品质.通过生活中鲜活的素材，渗透德育教育，培养学生正确的人生观，增强学好数学的信心.二、教学重点探索不等式的基本性质，并能正确运用他们将不等式变形.三、教学难点不等式的基本性质3的探索及运用.难点成因：根据等式的基本性质进行变形不需要考虑符号问题，而不等式的两边同时乘以或除以同一个数时，学生对数的分类意识淡薄，特别是这个数是负数时不等号的方向忘记发生改变是学生的易错点.破解策略：一是设计探究活动3、抢答题、典例互动让学生由特殊数到字母体会不等式的两边同时乘以或除以同一个负数时不等号的方向要发生改变；二是在教师启发下让学生充分思考、交流，鼓励学生大胆发言，教师给予评价，调动学生的积极性.四、教学方法和学法指导数学课程新标准特别强调数学学习的选择、教学活动的设计及教学的评价。
强调学习内容要有利于学生主动进行观察、实验、验证、推理等交流活动；有效的数学学习活动不能单纯的模仿与记忆，动手实践、自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式.教师向学生提供现实、有趣、有教育意义的学习素材，以便于学生自主展开探究，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、获取数学思想和方法、积累广泛的数学活动的经验.根据课标和本节课的特点，本节课采取“探究—研讨”教学法为主，形成一种多项交流的课堂氛围.根据学生的身心特点和已有的知识储备，指导学生以“自主学习、合作学习、类比迁移学习”为主.三、教学程序（一）复习回顾你还记得等式的基本性质吗？等式的基本性质1：等式的基本性质2：提出问题：不等式与等式只一字之差，它们有类似的性质吗？设计意图：不等式的基本性质与等式的基本性质类比，同时为“思考题：不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？”做铺垫.二、情景导入欣赏2014春晚视频《时间去哪儿了》，体会你最感动的一句话是什么？最想对自己的父母说些什么？设计意图：用学生熟悉和感兴趣的问题情境引出问题，展现数学与现实生活与其他学科的综合，突出“数学化”的过程，让学生体验数学的科学性、工具性、应用性.三、合作探究探究活动1用不等式表示： 40＞1510年前：40-10 ＞ 15-105年后：X年前：X年后：观察以上不等式，你发现了什么结论？不等式的基本性质1：不等式的两边都（或）同一个，不等号的 .符号表示： .设计意图：让学生从生活中鲜活的实例感受数学的存在，同时类比等式的基本性质1总结不等式的基本性质，指出“=”没有方向性，而不等号有方向性，我们应该重点研究不等式方向上的变化。
九年级数学中考第二轮复习—方案设计问题冀教版
初三数学中考第二轮复习—方案设计问题冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题四：方案设计问题二. 知识要点：这类问题常常给出问题情景与解决问题的要求，让学生设计解决问题的方案，或给出多种不同方案，让学生判断它们的优劣．解这类问题的关键是寻找相等关系，利用函数的图像和性质解决问题；或列出相关不等式（组），通过寻求不等关系找到问题的答案；或利用图形变换、解直角三角形解决图形的设计方案、测量方案等．三. 考点分析：近年来，在各地的中考试题中，出现了方案设计题．方案设计题可以综合考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、动手能力等．方案设计题还呈现出创新、新颖、异彩纷呈的新趋势．【典型例题】题型一利用方程（组）进行方案设计例1.一牛奶制品厂现有鲜奶9t．若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1t鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售，则加工1t鲜奶可获利2000元．该厂的生产能力是：若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶3t；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1t．由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两产品不可能同时生产，为保证产品的质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部加工完毕．假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大，最大利润是多少？分析：要确定哪种方案获利最多，首先应求出每种方案各获得的利润，再比较即可．解：生产方案设计如下：（1）将9t鲜奶全部制成酸奶，则可获利1200×9＝10800元．（2）4天内全部生产奶粉，则有5t鲜奶得不到加工而浪费，且利润仅为2000×4＝8000元．（3）4天中，用x天生产酸奶，用4－x天生产奶粉，并保证9t鲜奶如期加工完毕．由题意，得3x＋（4－x）×1＝9．解得x．∴4－x（天）．故在4天中，，，则利润为（×3××1×2000）元＝12000元．答：按第三种方案组织生产能使该厂获利最大，最大利润是12000元．评析：运用数学知识解决现代经济生产中的实际问题是中考的热点考查对象之一，同学们应多关心商品经济，生活中的规律、规则，把数学与生活有机结合起来．题型二利用不等式进行方案设计例2.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？分析：（1）可设购买甲种机器x 台，然后用x 表示出购买甲、乙两种机器的实际费用，根据“本次购买机器所耗资金不能超过34万元”列不等式求解．（2）分别算出（1）中各方案每天的生产量，根据“日生产能力不低于380个”与“节约资金”两个条件选择购买方案．解：（1）设购买甲种机器x 台，则购买乙种机器（6－x ）台， 则：7x ＋5（6－x ）≤34，解得x ≤2， 又x ≥0，∴0≤x ≤2，∴整数x ＝0、1、2， ∴可得三种购买方案： 方案一：购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，乙种机器5台； 方案三：购买甲种机器2台，乙种机器4台． （2）列表如下：由于方案一的日生产量小于380个，因此不选择方案一；•方案三比方案二多耗资2万元，故选择方案二．评析：①部分实际问题的解通常为整数；②方案的各种情况可以用表格的形式表达；③对关键词“不低于”、“至少”、“不少于”的理解是解本例的关键．题型三 利用函数进行方案设计例3.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图（2）的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么X 围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．图(1)m （kg ）图(2)（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（3）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．图(3)分析：（1）中注意图像中的圆圈表示不包括该点；（2）中金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式分两部分，实际是两个函数图像．当240＜w ≤300时，批发量m 有两个值，可比较这两者的大小；当w 取其他值时，m 只有一个值．（3）利用二次函数的最值求获得最大利润的进货和销售方案．解：（1）图（1）中①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．（2）解：由题意得：w ＝⎩⎪⎨⎪⎧5m （20≤m ≤60）4m （m ＞60） ，函数图象如图（4）所示．由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量m ＝320－40x ， 当m ＞60时，x ＜6.5，由题意，销售利润为： y ＝（x －4）（320－40x ）＝40[－（x －6）2＋4]， 当x ＝6时，y 最大＝160，此时m ＝80，即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元． 解法二：设日最高销售量为xkg （x ＞60），则由图（3）日零售价p 满足：x ＝320－40p ，于是p ＝320－x40， 销售利润y ＝x （320－x 40－4）＝－140（x －80）2＋160，当x ＝80时，y 最大＝160，此时p ＝6，即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．m （kg ）图（4）评析：本题考查同学们的读图能力，解题关键是数形结合，弄清题目的数量关系．题型四 利用解直角三角形进行方案设计例4. 如图所示，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB ． 要求：（1）画出测量示意图．（2）写出测量步骤．（测量数据用字母表示） （3）根据（2）中的数据计算AB ．分析：本题是一道开放性问题，设计方案时要注意测角仪有高度，同时还要注意测量所需数据可用a 、b 、c 、d 以及角度α、β来表示．最后还要注意直角三角形的模型．解：（1）测量图（示意图）如图所示．ABCD EFH αβhhm（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点C 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角∠AHE ＝α． 第二步：沿CB 前进到点D ，用皮尺量出C 、D 之间的距离CD ＝m ． 第三步：在点D 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角∠AFE ＝β． 第四步：用皮尺量出测角仪的高h ．（3）AB ＝αββαtan tan tan tan m -⋅＋h ．评析：利用解直角三角形进行方案设计时一定要使用题目中所给的测量工具，而不能利用题目以外的测量工具．同时还要关注测量时是否有障碍物，是用具体的数值表示还是用字母表示等．本题的易错点在于同学们容易忽视测角仪的高度．设计测量方案时，结合我们平时在解直角三角形中已经建立的模型来考虑是一条捷径．题型五 利用统计和概率进行方案设计例5. 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）： 方案1：所有评委所给分的平均数．方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．方案3：所有评委所给分的中位数． 方案4：所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．如图所示是这个同学的得分统计图．（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分．（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．分析：对于题目中的四种方案我们可以分别计算出结果，只要注意平均数、中位数、众数的概念及三种统计量的意义即可．解：（1）方案1最后得分： 110（3.2＋7.0＋7.8＋3×8.0＋3×8.4＋9.8）＝7.7． 方案2最后得分：18（7.0＋7.8＋3×8.0＋3×8.4）＝8．方案3最后得分：8． 方案4最后得分：8或8.4．（2）因为方案1中的平均数受较大或较小数据的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为统计最后得分的方案．因为方案4中的众数有两个，众数没有实际意义，所以方案4不适合作为统计最后得分的方案．评析：本题考查了统计中三个统计量的计算和意义的使用．题型六 实际应用图形方案设计例6. 在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切） （1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆的半径；若不可行，请说明理由．A BCD ABDC方案一方案二分析：判断方案是否可行，可用反证法，假设方案可行，确定正方形的大小，与所给正方形进行比较得出结论．解：（1）理由如下：假设方案一可行．∵扇形的弧长＝2π×16×14＝8π，圆锥底面周长＝2πr ，则圆的半径为4cm ．由于所给正方形纸片的对角线长为162cm ，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为16＋4＋42＝20＋42cm ，20＋42＞162．∴假设不成立，故方案一不可行． （2）方案二可行．求解过程如下：设圆锥底面圆的半径为rcm ，圆锥的母线长为R cm ，则（1＋2）r ＋R ＝162——①．2πr ＝2πR4——②．由①②，可得R ＝6425＋2＝3202－12823，r ＝1625＋2＝802－3223．故所求圆锥的母线长为3202－12823cm ，底面圆的半径为802－3223cm ．评析：图形方案设计问题，关键要弄清楚设计要求，图形变化前后变化的量和不变的量．【方法总结】这类试题不仅要求学生要有扎实的数学双基知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化，抽象成具体的数学问题．从方法上分两类进行概括：（1）方案已知，要求选优；（2）先求方案，再选最优．【预习导学案】（专题五：开放探索性问题）一. 预习导学1. 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，∠A ＝∠D ，请你再添加一个条件__________，使得∠ABC ≌△DCB ．ABCDO2. 请同学们写出两个具有轴对称性的汉字__________．3. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a ＋b ＜0；③4a －2b ＋c ＜0；④a ＋c ＞0．其中正确的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二. 反思1. 开放探索性问题有什么特征？2. 开放探索性问题的解题策略是什么？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题*1. 一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）A. 4种B. 3种C. 2种D. 1种**2. 奥运期间，体育场馆要对观众进行安全检查。
例析用不等式组解决生活中的方案设计问题
例析用不等式组解决生活中的方案设计问题作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2020年第11期[摘要]一元一次不等式是初中数学的重要内容，也是中考数学重要的考点，其在解决生活中的方案设计问题中有诸多应用.结合例题，归类分析应用不等式组解决生活中的方案设计问题的方法，以巩固学生的不等式组知识，使学生体验数学的应用价值，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力.[关键词]不等式组;方案设计;生活[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2020）32-0026-02一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知项的次数是1的不等式，由两个或多个一元一次不等式可组成一元一次不等式组.一元一次不等式组在解决生活中的方案设计问题中有诸多应用.生活中的方案设计问题包括购车方案设计，停车车位方案设计，采购木板加工方案设计，货物运输中运费最低方案设计，等等.在解决这类问题时，可根据实际情况，列不等式组求出未知数的取值范围，然后再取不等式组的非负整数解，从而形成多种可实施的方案，在若干个方案中选择最优方案.一、购车方案的确定环保问题越来越成为人们关注的焦点，各大城市的公交车都在进行升级换代，把原来污染严重的燃油车换成节能环保的电动汽车.已知两种节能环保车的年载客量，在不超过一定购车费用，且两种环保车的年运客量不能低于原来的年运客量，公交公司该如何购车最省钱？通过建立一元一次不等式组可以解决这类购车问题.[例1]南阳市市政公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种，如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车.（1）一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？（2）W型公交车和U型公交车的车运客量不同，分别为60万人次和100万人次.如果用不多于1200万元的费用购进10辆这两种公交车，总运客量也不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？（3）要使购车的费用最少，应选用哪种方案？评注：本题是方程组的应用与不等式组应用的综合类试题，在方程组应用里求出的数据会在不等式组应用里使用，确定最佳方案也是比较前面确定的几种方案，所以它们是环环相扣的三步，计算过程不能出错，否则一步错，步步错.二、运输方案的确定货物运输包括原料采购与产品输出，运输方式在陆地上主要是指铁路与公路，已知公路与铁路的运输单价，公路与铁路的运输里程，如何算铁路总运费与公路总运费，确定原料采购与产品输出的方案呢？需要建立一元一次不等式组，在不等式組的解集里寻找非负整数解.[例2]如图1，兴发农产品加工厂与A，B两地的公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料甲运回工厂，经过加工后制成产品乙运往B地，其中原料甲和产品乙的重量都是正整数.铁路运价为2元/（吨·千米），公路运价为8元/（吨·千米）.（1）若由A到B的两次运输中，原料甲比产品乙多9吨，工厂计划支出铁路运费超过5700元，公路运费不超过9680元，问购买原料甲有哪几种方案，分别是多少吨？（2）在（1）中的基础上，由于国家出台惠农政策，对运输农产品的车辆免收高速通行费，并给予一定的财政补贴，综合惠农政策后公路运输价格下降[m（0<m<4]且m为整数）元，若由A到B的两次运输中，铁路运费为5760元，公路运费为5100元，求m的值.评注：本题在建立不等式组与方程组时，要综合运进与运出两条路线的情况，关于铁路运输费既包括原料采购时的铁路运输费，也包括产品输出时的铁路运输费;公路运输费也是一样的，既包括原料采购时的公路运输费，也包括产品输出时的公路运输费.三、建造方案的确定随着中国城市化进程的进一步加快，人口越来越向城市集中，由于私家车的几何式增长，停车问题成了小区建设越来越突出的问题，为了提高土地的利用率，小区会建造地上和地下两种停车位，已知新建的停车位总数一定，修建一个地上和地下停车位的单价也已经知道，如何根据手头的资金设计建造方案呢？也需要应用一元一次不等式组加以解决.[例3]金水社区由于近期业主购置了许多新车，出现了停车难的现象，社区委员会将建停车位60个，已知用1.7万元可以建地上停车位2个和地下停车位3个，用1.4万元可以建地上停车位4个和地下停车位2个.（1）建地上停车位1个的费用是多少元？地下停车位呢？（2）如果金水社区准备用于建停车位的资金在14万元与15万元之间，那么共有几种方案可供选择？（3）花费最少的方案是什么？评注：第（2）小题根据题意建立的连续不等式，实际上也是一个不等式组，解答时可以拆分为两个不等式分别解答，也是根据不等式性质直接解答.在第（2）小题结果正确的基础上，解答第（3）小题也可以使用观察法，因为地下车位投资多，所以地下车位建造得越少会越省钱.在一元一次不等式组的应用过程中，一般只设一个未知数，另一个未知量用所设未知数的代数式表示，根据题意中的两个不等式关系，列出两个不等式组成不等式组，然后取不等式组的非负整数解，非负整数解的个数就是符合题意的方案数.通过应用一元一次不等式组解决实际问题，不仅巩固了学生解不等式组的知识，也使学生体验了数学的应用价值，提高了应用数学知识解决实际问题的能力.（责任编辑陈昕）。
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初中数学-利用不等式做方案设计的问题
1（本题满分10分）整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：
（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每
盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8
元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？
（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价
15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药
品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙
两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利
润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？
2某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：(注:获利=售价-进价)
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件?
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案? 并直接写出其中获利最大的购货方案.
3为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
4 今年四月份，李大叔收获洋葱30吨，黄瓜13吨．现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱4吨和黄瓜1吨，一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各2吨．
（1）李大叔安排甲、乙两种货车时有几种方案.请你帮助设计出来；
（2）若甲种货车每辆要付运费2000元，乙种货车每辆付运费1300元，请你帮助李大叔算一算应选哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？
5 某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、
乙两种型号的汽车共10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．
⑴请你帮助学校设计所有可行的租车方案；
⑵如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行
方案使租车费用最省？
【答案】
1 解：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x 元，乙种药品的出厂价格为每盒y 元． 则根据题意列方程组得：⎩⎨⎧=+-=+8
.3362.256.6y x y x ……………………………………（2分） 解之得：⎩⎨⎧==36.3y x …………………………………………………………………（4分）
5×3.6-2.2=18-2.2=15.8（元） 6×3=18（元）
答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元…………（5分）
（2）设购进甲药品x 箱（x 为非负整数），购进乙药品（100-x ）箱，则根据题意列不等式组得：
⎩⎨⎧≥-≥-⨯⨯+⨯⨯40100900)100(10%10510%158x x x ………………………………………
（7分）
解
之得：607157≤≤x ……………………………………………………………（8分）
则x 可取：58，59，60，此时100-x 的值分别是：42，41，40
有3种方案供选择：第一种方案，甲药品购买58箱，乙药品购买42箱；
第二种方案，甲药品购买59箱，乙药品购买41箱；
第三种方案，甲药品购买60箱，乙药品购买40箱； ……
（10分）
（注：（1）中不作答不扣分，（2）中在方案不写或写错扣1分）
2解：
（1）设甲种商品应购进x 件，乙种商品应购进y 件. 根据题意，得 1605101100.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：10060.x y =⎧⎨=⎩
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件.
（2）设甲种商品购进a 件，则乙种商品购进(160-a )件.
根据题意，得
1535(160)4300510(160)1260.a a a a +-<⎧⎨+->⎩
解不等式组，得 65＜a ＜68 . ∵a 为非负整数，∴a 取66，67.
∴ 160-a 相应取94，93.
答：有两种构货方案，方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件.其中获利最大的是方案一.
3解：（1）设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角为（30-x ）个．
由题意得⎩⎨⎧≤-+≤-+16203060
501900303080）（）（x x x x 解这个不等式组得18≤x ≤20．
由于x 只能取整数，∴x 的取值是18，19，20．
当x =18时，30-x =12；当x =19时，30-x =11；当x =20时，30-x =10．
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．
（2）方法一：由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用，因此组建中型图书角的数量越少，费用就越低，故方案一费用最低， 最低费用是860×18+570×12=22320（元）．
方法二：①方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）；
②方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）；
③方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元）．
故方案一费用最低，最低费用是22320元．
4解：设李大叔安排甲种货车x 辆，则乙种货车（10x -）辆．依题意得
42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩
解得57x ≤≤． 故有三种租车方案：第一种是租甲种货车5辆，乙种货车5辆；第二种是租甲种货车6辆，乙种货车4辆；第一种是租甲种货车7辆，乙种货车3辆．
5⑴设租用甲种型号的车x 辆，则租用乙种型号的车（10－x ）辆，根据题意，得：
⎩⎨⎧≥-+≥-+.
170)10(2016,340)10(3040x x x x 解得：4≤x ≤215．因为x 是正整数，所以7,6,5,4=x ．所以共有四种方案，分别为：方案一：租用甲种车型4辆，乙种车型6辆；方案一：租用甲种车型5辆，乙种车型5辆；方案一：租用甲种车型6辆，乙种车型4辆；方案一：租用甲种车型7辆，乙种车型3辆．
⑵设租车的总费用为W ，则W ＝2000x ＋1800（10－x ）＝200x ＋18000，200=k ＞0，W 随x 的增大而增大，所以当4=x 即选择方案一可使租车费用最省．。