MATLAB之(二)符号运算功能
matlab符号运算 多项式
matlab符号运算多项式【提纲】1.MATLAB符号运算简介MATLAB是一款功能强大的数学软件，其中符号运算功能允许用户进行高级数学计算、分析和可视化。
符号运算可以帮助工程师、科学家和数学家在各种领域解决问题，如线性代数、微积分、概率论等。
2.多项式基本概念与MATLAB表示多项式是数学中一个重要的概念，它表示为一个无穷级数，其中包含常数、变量及其幂次。
在MATLAB中，多项式可以用符号表达式表示，如：f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x + 1。
3.多项式运算实例以下是几个MATLAB中进行多项式运算的实例：- 多项式加法：将两个多项式相加，如f(x) + g(x)。
- 多项式减法：将两个多项式相减，如f(x) - g(x)。
- 多项式乘法：将两个多项式相乘，如f(x) * g(x)。
- 多项式除法：将一个多项式除以另一个多项式，如f(x) / g(x)。
- 多项式求导：对一个多项式求导，如diff(f(x))。
- 多项式积分：对一个多项式进行积分，如int(f(x))。
4.多项式函数与应用MATLAB提供了许多与多项式相关的函数，如：- polyfit：根据一组数据拟合多项式。
- polyval：根据多项式系数计算多项式的值。
- roots：求多项式的根。
- legendre：勒让德多项式。
- laguerre：拉格朗日多项式。
这些函数在信号处理、控制系统、优化等领域具有广泛的应用。
5.总结与建议MATLAB的符号运算功能为多项式计算提供了便捷的工具和函数。
掌握这些功能和函数可以帮助用户在各种应用场景中解决问题。
matlab符号运算(二)
因式分解、展开、合并、简化及通分等
计算极限 limit(f,x,a): 计算 lim f ( x )
xa
limit(f,a): 计算默认自变量趋向于a时f的极限 limit(f): 计算 a=0 时的极限 limit(f,x,a,’right’)：右极限 limit(f,x,a,’left’)：左极限
1 2 n 1 n
，以及其前10项的部分和。
>> syms n >> S=symsum(1/n^2,n,1,inf) >> S10=symsum(1/n^2,n,1,10)
x 2 n 1 n
S=1/6*pi^2 S10=1968329/1270080
例：求函数级数
S
>> syms n x >> S=symsum(x/n^2,n,1,inf)
符号矩阵中元素的引用和修改
>> A=sym(’[1+x, sin(x); 5, exp(x)]’) >> A(1,2) >> A(2,2)=sym(’cos(x)’)
Matlab 符号运算（二）
符号矩阵的基本运算
符号矩阵的基本运算与数值矩阵的基本运算相类似。
1) 基本运算符：+、-、*、\、/、
ans=10
ans=2*x+y
ans=10 ans=[2+y,4+y,6+y] ans=[7 10 13]
ans=3*a+b
?
Matlab 符号运算（二）
符号矩阵
使用sym函数直接生成
>> A=sym(’[1+x, sin(ห้องสมุดไป่ตู้); 5, exp(x)]’)
MATLAB2 - 符号运算
二、符号表达式的代数运算
符号运算与数值运算的区别主要有以下几点： 1. 传统的数值型运算因为要受到计算机所保留的有效位数的 限制，它的内部表示法总是采用计算机硬件提供的 8位浮 点表示法，因此每一次运算都会有一定的截断误差，重复 的多次数值运算就可能会造成很大的累积误差。符号运算 不需要进行数值运算，不会出现截断误差，因此符号运算 是非常准确的。 2. 符号运算可以得出完全的封闭解或任意精度的数值解。
三、 符号表达式的操作和转换
符号表达式中自由变量的确定
1. 自由变量的确定原则 MATLAB将基于以下原则选择一个自由变量：
(1) 小写字母i和j不能作为自由变量。 (2) 符号表达式中如果有多个字符变量，则按照以下顺序 选择自由变量：首先选择x作为自由变量；如果没有x，则 选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距离， 则在x后面的优先。 (3) 大写字母比所有的小写字母都靠后。
符号矩阵
用sym和syms命令也可以创建符号矩阵。
例如，使用syms命令创建相同的符号矩阵：
syms a b c d A=[a b; c d] A =[ a, b] [ c, d] 例3 比较符号矩阵与字符串矩阵的不同。 A=sym('[a,b; c,d]') %创建符号矩阵 A =[ a, b] [ c, d] B='[a,b;c,d]' %创建字符串矩阵 B =[a,b; c,d] A*2 v.s. B*2
例9 三种形式的符号表达式的表示。
符号表达式的化简
同一个数学函数的符号表达式的可以表示成三种形式，例 如以下的f(x)就可以分别表示为：
(1) 多项式形式的表达方式：f(x)=x3-6x2+11x-6 (2) 因式形式的表达方式：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) (3) 嵌套形式的表达方式：f(x)=x(x(x-6)+11)-6
MATLAB符号运算运用
MATLAB符号运算运用1. 求解方程：MATLAB可以通过符号运算求解各种复杂方程。
例如，我们可以使用solve函数来求解一元一次方程，或者使用dsolve函数来求解微分方程。
例如，对于一个一元一次方程3*x - 2 = 0，可以使用下面的代码来求解：syms xeqn = 3*x - 2 == 0;sol = solve(eqn, x);在解得的结果sol中，将会包含方程的解。
2. 求导与积分：MATLAB使用diff函数进行符号求导，使用int函数进行符号积分。
符号求导与积分可以帮助我们对复杂函数进行分析和计算。
例如，对于一个函数y = x^2，我们可以使用下面的代码求解其导数和积分：syms xy=x^2;dy = diff(y, x);inty = int(y, x);在求导和积分的结果dy和inty中，将会包含函数的导数和积分结果。
3. 矩阵运算：MATLAB符号运算也可以应用于矩阵运算。
符号矩阵可以帮助我们进行矩阵的运算和分析。
例如，我们可以使用syms函数定义一个符号矩阵A，然后进行矩阵的加法、乘法等运算。
代码示例如下：syms a b c dA=[ab;cd];B=A^2;矩阵B将会是矩阵A的平方。
4. 求极限：MATLAB符号运算还可以用于求解各种数学函数的极限。
通过使用limit函数，我们可以计算函数在其中一点或者趋于其中一点时的极限值。
例如，对于一个函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)，我们可以使用下面的代码计算其在x趋于1时的极限值：syms xf=(x^2-1)/(x-1);limit(f, x, 1);此时，将会输出函数在x趋于1时的极限值。
5. 求和与积：MATLAB符号运算还可以用于计算各种数学函数的求和与积运算。
通过使用symsum和symsum函数，我们可以计算符号函数的求和与积。
例如，对于一个求和函数sum(x, n, 1, inf)，我们可以使用下面的代码计算其无穷级数求和结果：syms n xf = sum(x, n, 1, Inf);symsum(f, n, 1, Inf);其中，将会输出求和结果。
5 MATLAB 符号计算 (2)new
• d2z_dxdy=diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x),y)
• %给出关于x y的偏导数 • 可得到: • d2z_dxdy = • 8*x*y
• d2z_dydx=diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,y),x)
• %给出关于y x的偏导数 • 可得到： • d2z_dydx = • 8*x*y
5 符号计算 (2)
• • • • •
5.4 符号微积分 5.4.1 符号极限 求函数极限的函数是limit，调用格式如下： limit(f,x,a) 求符号函数f（x）的极限值。即计算当自变量x趋 近于常数a时，f（x）函数的极限值。 • limit(f,a) • 求符号函数f（x）的极限值。由于没有指定符号 函数f（x）的自变量，则使用该格式时，符号函 数f（x）的变量为函数findsym(f)确定的默认自 变量，即变量x趋近于a。
• 执行结果为：
• The integral of f is • [ 2 • [1/2 a x • [ • [ log(x)
3] 1/3 b x ] ] -cos(x) ]
• 例5-49 求积分
• syms x y z; • F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z ,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x), x^2),x,1,2) • VF2=vpa(F2)
• • • • •
• • • •
输入语句: dz_dx=-a(1)/a(3) 求得: dz_dx = (-cos(x*y)*y-(1+tan(z*x)^2)*z)/(sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x) dz_dy=-a(2)/a(3) 求得: dz_dy = (-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x)
matlab中的数学符号与运算
matlab中的数学符号与运算MATLAB（Matrix Laboratory）是一种用于数值计算和科学工程应用的高级编程语言和环境。
MATLAB中包含了丰富的数学符号和运算，用于进行矩阵操作、线性代数、微积分等数学计算。
以下是MATLAB中一些常见的数学符号和运算：1. 数学符号：-矩阵：MATLAB 中的基本数据类型是矩阵，可以使用方括号`[]` 来表示。
例如，`A = [1, 2; 3, 4]` 表示一个2x2的矩阵。
-向量：向量可以表示为一维矩阵，例如，`v = [1, 2, 3]` 表示一个包含3个元素的行向量。
-转置：使用单引号`'` 来进行转置操作。
例如，`A'` 表示矩阵A的转置。
-点乘和叉乘：点乘使用`.*`，叉乘使用`.*`。
例如，`A .* B` 表示矩阵A和B的对应元素相乘，`A * B` 表示矩阵A和B的矩阵乘法。
2. 数学运算：-基本算术运算：MATLAB支持基本的算术运算，如加法、减法、乘法和除法。
例如，`result = 2 + 3`。
-元素-wise 运算：MATLAB 支持元素-wise 的运算，即对矩阵或向量中的每个元素进行运算。
例如，`C = A .* B` 表示矩阵A和B的对应元素相乘。
-矩阵操作：MATLAB 提供了许多用于矩阵操作的函数，如`inv`（求逆矩阵）、`det`（求行列式）、`eig`（求特征值）等。
-积分和微分：MATLAB 提供了`int`（积分）和`diff`（微分）等函数，用于进行积分和微分运算。
-方程求解：MATLAB 提供了`solve` 函数，用于求解方程组。
这些是MATLAB中一些常见的数学符号和运算。
MATLAB 的强大之处在于它的矩阵操作能力，使得它非常适用于数学和工程领域的计算和建模。
如果你有特定的数学运算需求，可以查阅MATLAB 的官方文档或在线资源以获取详细信息。
MATLAB2符号说明
MATLAB的数值计算
Matlab的数据类型
变量
变量不需要事先声明，也不需要指定变量类型，它会自动根据 所赋予变量的值或对变量的操作来确定变量的类型；赋值过程中， 如果变量已存在，则用新值代替旧值，以新的类型代替旧的类型。 变量的命名规则： 变量名区分大小写； 变量名长度不超过31位，第31位之后的字符被忽略； 变量名以字母开头，变量名中可以包含字母、数字、下划线， 但不能使用标点。 变量一般为局部变量，即仅在其调用的M文件内部有效；若要 定义全局变量，须在变量前加关键字global。
A=
1 4 7 2 5 8 3 6 9
1 4 7
2 5 8
3 6 9
大型矩阵通借助M文件来输入。
x=rand(1,5) %产生的均布随机数组 x= 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 x(3) %寻访数组x的第三个元素。 ans = 0.6068 x([1 2 5]) %寻访数组x的第一、二、五个元素组成的子数组。 ans = 0.9501 0.2311 0.8913 x(1:3) %寻访前三个元素组成的子数组 ans = 0.9501 0.2311 0.6068 x(3:end) %寻访除前2个元素外的全部其他元素。end是最后一 ％个元素的下标。 ans = 0.6068 0.4860 0.8913
?format long;pi
ans =
3.14159265358979 ?format long e;pi ans = 3.141592653589793e+000 ?format long g;pi ans = 3.14159265358979
字符串 1、字符串的约定
第2章 matlab的符号运算
>>p0 = sym(‘(1+sqrt(5))/2’)
p0 = (1+sqrt(5))/2 >>pr = sym((1+sqrt(5))/2,'r') pr =7286977268806824*2^(-52) >>e32r = vpa(abs(p0-pr),16) e32r = 0
%广义有理表示
Matlab程序设计
Matlab程序设计
2.2 符号数字 sc = sym(‘Num’) %符号常数sc的值精确等于Num 例：a = pi + sqrt(5) %a为数值类常量 sa = sym(‘pi + sqrt(5)’) %sa为符号数字常量
% sa = pi + sqrt(5), sym型; eval(sa) 为5.3777, double型
k = sym('k','positive');
Matlab程序设计
2.4 符号变量
符号变量与符号参数的创建方法相同，但表达式或 方程中作用不同. 确定自由符号变量： findsym(EXPR , N) %确认EXPR中距离x最近的N个自由符号变
量, 略去N表示全部
例2.1-1 用符号计算研究方程uz2+vz+w=0的解 syms u v w z Eq=u*z^2+v*z+w; %符号方程 r_1=solve(Eq) %一个方程只能解一个未知数w(离x最近) findsym(Eq,1) %只找一个自由符号变量,则找到w r_2=solve(Eq,z)
3.3 符号表达式的操作 例：化简 S=(x2+y2)2+(x2-y2)2 syms x y; S=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2 simple(S) %系统自动试探各种函数化简 simple(ans) %使用多次找到最少字母的简化式 例2.2-3：对符号矩阵进行特征向量分解. syms a b c d W [V,D]=eig([a b;c d]) [RVD,W]=subexpr([V;D],W)
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2．幂级数
（1）用函数symsum求幂级数
n 1
x 2 n 1 的和函数。 2n 1
>> syms x n >> symsum(x^(2*n-1)/(2*n-1),n,1,inf) ans = 1/2*log((1+x)/(1-x)) （2）用taylor将函数展成泰勒级数，其调用格式为： Taylor(f,n) 求函数f的n-1阶麦克劳林级数 Taylor(f,n,x0,x) 求函数f在x0处的以x为变量的n-1阶泰勒 级数。 注：后面3个参数的次序可以任意打乱，在不引起混淆的 情况下均能给出正确结果。
ans = [ -6*x-2*x^3-7*x^2, 3/2*x^2+x+1/2*x^3] [ 6+2*x^3+10*x^2+14*x, 1/2*x^3-2*x^2-3/2*x] （2）求逆运算“inv”，行列式运 算“det”,幂运算“^”、求秩运算 “rank”、指数运算“exp”和对 数运算“log” >> inv(a) ans = [ 1/2*x*(x+1)*(x+2), 1/2*x*(x+3)*(x+2)] [ -1/2*x*(x+3)*(x+1), 1/2*(x+3)*(x+1)*(x+2)]
>> linsolve(a,b) ans = [ 473/475] [ 91/95] [ 376/475] >> vpa(ans) ans = [ .99578947368421052631578947368421] [ .95789473684210526315789473684211] [ .79157894736842105263157894736842] 2．符号非线性方程组的求解方法 由函数fsolve实现，其调用格式为 X=fsolve(‘fun’，X0) ,X=fsolve(‘fun’，X0，options)
limit（f，x，a） 计算符号表达式f在x→a时的极限 limit（f） 计算符号表达式f在x→0时的极限 >> syms x t; >> limit((1+2*t*sin(1/x))^(3*x),x,inf) ans = exp(6*t) 2．符号积分 积分函数int函数的调用格式为： int(S，t) 计算符号表达式S对符号变量t的不定积分 int(S，a，b) 计算符号表达式S对默认符号变量从a到 b的不定积分 >> syms x y t; >> A=[cos(x*t),sin(x+t);exp(t/x),log(x-t)]
六、符号微分方程求解
常微分方程及微分方程组的符号求解由函数dsolve来实 现，其调用格式为： dsolve(‘equ1’， ‘equ2’，…) 例如，求微分方程 y(t 2 1) 2ty 0满足初始条件
y |x 0 1，y |x 0 3 的特解。
>> dsolve('(t^2+1)*D2y=2*t*Dy','y(0)=1,Dy(0)=3') ans = 1+t^3+3*t x e 又如，求微分方程 y 2 y y 的通解。 x >> dsolve('D2y-2*Dy+y=exp(x)/x','x') ans = -exp(x)*x+log(x)*exp(x)*x+C1*exp(x)+C2*exp(x)*x
又如，求下列微分方 程组的特解
du v dt 也可使用命令 dv w >> dt S=dsolve('Du=v','Dv=w','D dw w-u','u(0)=0,v(0)=0,w(0)=1') u dt 查看解 u (0) 0, v(0) 0, w(0) 1 >> S.u
求函数 e x在x0 7处的7 阶泰勒展式 >> syms x,n; >> taylor(exp(-x),x,8,7) ans = exp(-7)-exp(-7)*(x-7)+1/2*exp(-7)*(x-7)^2-1/6*exp(7)*(x-7)^3+1/24*exp(-7)*(x-7)^4-1/120*exp(-7)*(x7)^5+1/720*exp(-7)*(x-7)^6-1/5040*exp(-7)*(x-7)^7 八、符号和数字之间的转换 1．转化为符号变量命令：S=sym(f) >> S1=sym('3.456'),S2=sym(3.456), S3=sym('23f'),s4=sym(['23';'23';'32']) S1 = 3.456 S2 = 432/125
A= [ cos(x*t), sin(x+t)] [ exp(t/x), log(x-t)] >> int(A,t) ans = [ 1/x*sin(x*t), -cos(x+t)] [ exp(t/x)*x, -log(x-t)*(x-t)+x-t] >> int(sqrt(1+y^2),y) ans = 1/2*y*(1+y^2)^(1/2)+1/2*asinh(y) >> int(sqrt(1+y^2),0,1) ans = 1/2*2^(1/2)-1/2*log(2^(1/2)-1) 如，计算二次积分
> In C:\MATLAB6P1\toolbox\s ymbolic\@sym\finverse. m at line 43 ans = (-y+x)^(1/3)
三、符号的矩阵的创立与运算 1．符号矩阵的创立 符号矩阵的创立与和创立数值矩阵的方法相似，只不过要 用到符号定义函数sym。我们可以使用sym函数直接建立 符号矩阵；可以通过建立子矩阵的方法建立符号矩阵；也 可以使用sym函数将数值矩阵转化为符号矩阵。 >> a=sym('[1 1/s+x sin(x);y/x 1+1/y,tan(x+y);3+4,exp(x^2+y^2),log(tanh(y))]') a= [ 1, 1/s+x, sin(x)] [ y/x, 1+1/y, tan(x+y)] [ 3+4, exp(x^2+y^2), log(tanh(y))]
设
3z z x ln( xy)，求 xy 2
>> syms x y; >> z=x*log(x*y); >> diff(diff(z,'x'),'y',2) ans = -1/y^2
五、符号代数方程求解 1．符号线性方程组的求解方法 可用linsolve和solve得到方程组的精确解。所得到的 精确解可由函数vpa转换成浮点近似数值。 >> a=sym([10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10]); >> b=('[9;7;6]');
2．反函数的运算 反函数运算可通过功能函数finverse(f)来实现，其调用 格式为： （1）g=finverse(f) 符号函数f的反函数。 （2）g=finverse(f，z) 返回符号函数的自变量为z。
>> f=x^3+y; >> finverse(f,y) ans = -x^3+y >> finverse(f) Warning: finverse(x^3+y) is not unique.
（3）矩阵分解函数：特征值函数“eig”,约当标准型函数 “Jordan”，三角提取函数“diag”、“tril”、“triu” >> [u,v]=eig(b) u= [ (1/2*x+1/2*(x^2+4*x+8)^(1/2))/(x+2), (1/2*x1/2*(x^2+4*x+8)^(1/2))/(x+2)] [ 1, 1] v= [ 1/2*x+1/2*(x^2+4*x+8)^(1/2), 0] [ 0, 1/2*x-1/2*(x^2+4*x+8)^(1/2)] 四、符号微积分 1．符号极限 符号函数的极限是由limit函数来实现，其调用格式如下：
§14.2 符号运算功能
一、符号表达式的生成 1．用单引号设定后输入或赋值 例如，创建符号函数
>> f='log(x)' f= log(x) 2．用命令sym（生成符号对象） 例如，创建符号方程
>> eqation=sym('a*x^2+b*x+c=0') eqation = a*x^2+b*x+c=0
ans = -1/3*3^(1/2)*exp(>> syms u v w t 1/2*t)*sin(1/2*t*3^(1/2))>> S=dsolve('Du=v,Dv=w,Dw-1/3*exp(u','u(0)=0,v(0)=0,w(0)=1') 1/2*t)*cos(1/2*t*3^(1/2))+1/3
S= u: [1x1 sym] v: [1x1 sym] w: [1x1 sym
七、级数 1．常数项级数 级数求和用函数symsum来实现，其调用格式为： symsum(一般项) symsum(一般项，变量) symsum(一般项，变量，起始，终止) 1 例如，求级数 2 的前10项和及无穷和。 n 1 n >> syms n; >> symsum(1/n^2,n,1,10) ans = 1968329/1270080 >> symsum(1/n^2,n,1,inf) ans = 1/6*pi^2