不等式组型方案设计题例析

买水性笔支数工（支）之ｆ．－Ｉ的函数关系式； （２）对茗的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方
法购买比较便宜； （３）小丽和同学需买这种书包４个和水性笔１２支，
请你设计怎样购买最经济．
解：（１）设按优惠方法①购买需用Ｙ，元，按优惠方 法②购买需用托元，根据题意得：
ｙｌ＝（石—４）×５＋２０×４＝５ｘ＋６０， 托＝（５ｘ＋２０×４）×０．９－－－４．５ｘ＋７２． （２）设Ｙｌ＞扎，即５ｘ＋６０＞４．５ｘ＋７２，
３３ Ｘ ８００＋１７ Ｘ ９６０－－－４２７２０（元）．
方法二：方案①需成本： ３１ Ｘ ８００＋１９ Ｘ ９６０－－４３０４０（元）
方案②需成本：３２ Ｘ ８００＋１８ ｘ ９６０－－４２８８０（元）
方案③需成本：３３Ｘ ８００＋１７Ｘ９６０－．－－４２７２０（元）
．－．应选择方案③．成本最低，最低成本为４２７２０元． 评析：这是一道关于园艺造型搭配方案的设计问
．·．ｘ＞２４．当ｘ＞２４整数时，选择优惠方法②．
设ｙｔ＝Ｙ２＇．．．当ｘ＝２４时，选择优惠方法①、②均 可．
．·．当４≤茗≤２４整数时，选择优惠方法①． （３）因为需要购买４个书包和１２支水性笔，而
１２＜２４，
购买方案一：用优惠方法①购买，需５ｘ＋６０＝－５ｘ×
１２＋６０＝－１２０元：
购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方法①购
广阔的天地．
（作者单位：贵州省湄潭县石莲中学）
万方数据
量挖江赣育·中学赣学案碉与研究１５５
不等式组型方案设计题例析
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)：
李成康 贵州省湄潭县石莲中学
黑龙江教育（中学教学案例与研究） HEILONGJIANG EDUCATION 2008(7)
本文链接：/Periodical_hljjy200807029.aspx
的问题．其基本思路是根据题目提供的两种优惠方法确
定相应的函数表达式，然后利用函数表达式的比较得
出与水性笔支数相关的不等式，从而确定水性笔支数
的取值范围，再结合未知数取正整数的实际情况，确定
购买方案．在解题中特别注意未知数取正整数，这是一
个隐含条件．
最近几年中考试题中出现了大量的不等式（组）模
型下的数学方案设计应用题，为数学应用开辟了一块
它分为：１．设计图形题；２．设计测量方案题；３．设计最佳
方案题．本文就举例对第３种：设计最佳方案题进行分
析，此类题目往往要求回答出现的运费最少、利润最少、
成本最低、效率最高等，解题时常常与函数、方程、一元
一次不等式及不等式组等联系在一起，最主要是与不等
式组联系在一起，是现在中考题的热点、难点．
解决方案设计这类问题时，首先要弄清题意，根据
评析：本例以函数知识为主体，解题中明显地渗透 着函数及方程思想，考查了学生构建函数及不等式组 模型的能力．注意文字与表格相结合，根据题意将建立 的函数表达式转换成恰当的不等式组模式，求出未知 数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的 种数．这类方案设计问题还有一个特点，那就是要在几 种确定的方案中，选择最优的方案，其一般解法是根据 函数的性质确定最优方案，如果是一次函数可根据它 的增减性来确定．如果是二次函数可根据它的最值性质 来确定．本例中利润的最大值，都包含有一个合理、恰当‘ 地安排购进ｉ款手机发挥其最大效益的问题，真实的 情景设计可激发学生探究新知的求知欲．
【茗≥３１
·．。菇是整数’．．．戈可取３１，３２，３３．
．·．可设计三种搭配方案：
＠种园艺造型３１个，曰种园艺造型１９个． 渤种园艺造型３２个，曰种园艺造型１８个．
（孙种园艺造型３３个，Ｂ种园艺造型１７个．
（２）方法一：由于日种造型的造价成本高于Ａ种 造型成本．所以曰种造型越少，成本越低．故应选择方 案③，成本最低，最低成本为：
个种造型的成本是９６０元，试说明（１）中哪种方案成
本最低？最低成本是多少元？
解：（１）设搭配Ａ种造型石个，则Ｂ种造型为
（５０吖）个，依题意，得：

｛１他４８００ｘ＋ｋ＋９＋０５９０（（０５５（。５０吨０－吨ｘ））≤）２＜≤３４９０…２９５０，’解这…个不…等式１组一，得：
ｆ菇≤３３
｛
，．’．３１≤戈≤３３．
题，由甲、乙两种花卉的盆数一定，Ａ、日两种造型需要的 甲、乙两种花卉搭配的盆数一定，利用不等式知识，构建
一元一次不等式组模型，进而根据不等式组的解集和造 型的个数为正整数，确定具体的Ａ、Ｂ两种造型方案种
数． 例２：（２００７年河北省）一手机经销商计划购进某
品牌的Ａ型、Ｂ型、Ｃ型三款手机共６０部，每款手机至少 要购进８部，且恰好用完购机款６１０００元．设购进Ａ型
②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款 手机各多少部．
解：（１）ｃ＝６０叫叫． （２）由题意，得： ９００Ｘ＋１２００ｒ＋１ １００（６０吨叫）＝６１０００， 整理得ｙ＝２ｘ一５０． （３）①由题意，得： 尸兰１２００ｘ＋１６００ｙ＋１３００（６０叫一，，）一６１０００—１５００。 整理得Ｐ＝－５００ｘ＋５００． ②购进ｃ型手机部数为：６０叫叫＝１１０—３菇．根据题 意列不等式组，得：
●·＿＿卜＿———一方法直击———１． 不等式组型
移李成康
方案设计题大多是联系实际生活的开放题，往往以
立意活泼、设计新颖、富有创新意识的实际生活应用题
为载体，通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提
出解决问题的要求，要求学生运用掌握的技能和方法，
进行设计和操作。寻求恰当的解决．这就要求从多角度、
多层次进行探索．展示思维的灵活性、发散性、创新性．
买４个书包，需要４×２０＝８０元，同时获赠４支水性笔；
·。ｕ—＾ｕ＾…Ｖ 川ｖｕ。出‘／ｏ １Ｈ、９７万，／、Ｖ＾７Ｊ、·—Ｌ—口’
７。
＝３６元．
共需８０＋３６＝１１６元．显然１１６＜１２０．
．‘．最佳购买方案是：用优惠方法①购买４个书包，
获赠４支水性笔；再用优惠方法②购买８支水性笔．
评析：这是一道典型的利用函数确定学生购买方案
ｋ≥８
｛２ｘ一５０１＞８，解得２９≤石≤３４．
【１００—３戈≥８
．·．算范围为２９＜。ｘ≤３４，且石为整数．（注：不指出 省为整数不扣分．）
·．’Ｐ是髫的一次函数，ｋ＝５００＞Ｏ’．－．Ｐ随五的增大而 增大．
··二｛互歌取／、．Ｌ且ｊ斗ｕ１＇ｒ ７同取／、．Ｌ且’ 取／＼ＬＥＬ／Ｙ １７５００元．
此时购进Ａ型手机３４部，Ｂ型手机１８部，Ｃ型手 机８部．
手机ｚ部，Ｂ型手机＇，部．三款手机的进价和预售价如下
表：
手机型号 进价（单位：元／部） 预售价（单位：元／部）
Ａ型
Ｂ型
Ｃ型
９００
１２００
１１００
１２００
１６００
１３００
Ｅｉ４景挖江鞍育·中学教学亲碉与研完 万方数据
夸编辑，张烨 Ｅ—ｍａｉｌ：ｈｉｔ７９０２０５＠１６３．ｔｏｍ
研究
（注：预估利润Ｐ＝预售总额一购机款一各种费 用．）
花卉和２９５０盆乙种花卉搭配Ａ、Ｂ两种园艺造型共５０
】
个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个Ａ种造型需甲种 花卉８０盆，乙种花卉４０盆，搭配一个曰种造型需甲种
花卉５０盆。乙种花卉９０盆．
（１）某校九年级（１）班课外活动小组承接了这个
园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几
种？请你帮助设计出来．
（２）若搭配一个种造型的成本是８００元。搭配一
题意准确地写出表达各种量的代数式，建构恰当的不等
式组模型，求出未知数的取值范围，利用未知数的整数
解，结合实际问题确定方案设计的种数，从而得出方案．
此类题目常常需要用到数形结合和分类讨论等数学思
想方法．
例１：（２００７年湖南省怀化市）２００７年我市某县筹
备２０周年县庆，园林部门决定利用现有的３４９０盆甲种