2019-2020学年浙江省十校联盟高三(下)开学数学试卷附答案解析
2019届浙江省十校联盟高三下学期4月高考适应性考试数学试题(解析版)
2019届浙江省十校联盟高三下学期4月高考适应性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =I ð( ) A ．()1,3- B ．[]1,3- C ．[]1,4- D ．()1,4-【答案】B【解析】先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()ðA B I 即可. 【详解】由2340x x -->得4x >或1x <-，()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4ðA =-,又{}13B x x =-≤≤，[]R ()1,3A B ∴=-I ð. 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力. 2．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A．0x ±= B ．20x y ±= C．0y ±= D ．20x y ±=【答案】A【解析】将双曲线方程化为标准方程为22112y x -=，其渐近线方程为2212y x -=，化简整理即得渐近线方程. 【详解】双曲线22:21C x y -=得22112y x -=，则其渐近线方程为22012y x -=，整理得0x ±=.故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.3．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm【答案】C【解析】由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，据此可计算出答案. 【详解】由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，∴该几何体的表面积233524S πππ=⨯+⨯⨯=.故选：C 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键. 4．若复数12biz i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( ) A ．3 B ．3±C ．3-D ．3【答案】C【解析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.()221125b b ibi z i --+-==+，又z 的实部与虚部相等， 221b b ∴-=+，解得3b =-.故选:C 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.5．将函数2()22cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π 【答案】D【解析】先化简函数解析式,再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律,可得所求函数的解析式为22sin 134y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,再由正弦函数的对称性得解.【详解】222cos y x x =-Q()21cos 2x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,∴将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为22sin 136y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,再向右平移8π个单位长度,所得函数的解析式为 22sin 1386y x ππ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22sin 134x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,233,3428x k x k k Z ππππ-=⇒=+∈， 0k =可得函数图象的一个对称中心为3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π，故选D.三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．6．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】B【解析】根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】对于充分性：若αβ⊥，则,m n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立； 若//m n ，则,n n αβ⊥⊂，可得αβ⊥，必要性成立. 故选：B 【点睛】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论. 7．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】由题可知1P X p ==，21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭， 答案选A 【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功8．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④【答案】C【解析】分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性. 【详解】（1）当00x y ≥≥，时，221x y +=-，此时不存在图象；（2）当00，x y ≥<时，221-y x =，此时为实轴为y 轴的双曲线一部分； （3）当00，x y <≥时，221x y -=，此时为实轴为x 轴的双曲线一部分；（4）当00，x y <<时，221x y +=，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分；画出()y f x =的图象，由图象可得：对于①，()f x 在()+-∞∞，上单调递减，所以①正确； 对于②，函数()y f x =与y x =-的图象没有交点，即()()F x f x x =+没有零点，所以②错误；对于③，由函数图象的对称性可知③错误；对于④，函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则1x x y y +=-中用x -代替x ，用y -代替y ，可得1y y x x +=，所以④正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.9．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )A ．αγβ>>B ．αβγ=>C ．γβα>>D ．αβγ>=【答案】B【解析】利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，1111111，D C CC C E AC ==，设O 为11A C 的中点，1O 为11C E 的中点， 由图可知过1AB 且与1BC 平行的平面α为平面11AB D ，所以直线l 即为直线1AD ， 由题易知，11，D AB O CB ∠∠的补角，1D AC ∠分别为αβγ，，， 设三棱柱的棱长为2，在1D AB ∆中，1125225，，D B AB AD ===2212542555cos cos 2225D AB α+-∠==∴=⨯⨯；在1O BC ∆中，111125，，O B BC OC === (221541155cos cos 225O CB β+-∠==∴=⨯⨯； 在1D AC ∆中，114225，，CD AC AD ===155cos cos 5525D AC α∠==∴=， cos cos cos ，αβγαβγ=<∴=>Q .故选：B 【点睛】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.10．已知正项数列{}{},n n a b 满足：110n n na ab +=+⎧⎨，设n n ac b =，当34c c +最小时，5c 的值为( )A ．2B ．145C ．3D ．4【答案】B【解析】由1110n n nn n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得11911n nn n a a b b ++=++，即1911n n c c +=++，所以得3433911c c c c +=+++，利用基本不等式求出最小值，得到32c =，再由递推公式求出5c .【详解】由1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得1110109111nn n n n n n n n nn na a ab b a a b a b b b ++++===++++，即1911n n c c +=++， 34339161c c c c ∴+=++≥+，当且仅当32c =时取得最小值， 此时45349914141115，c c c c =+==+=++. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.二、双空题11．“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n 天所织布的尺数为n a ，则14151617+++=a a a a ______． 【答案】1652【解析】设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布,由等差数列前n 项和公式求出1629d =,由此利用等差数列通项公式能求出14151617a a a a +++. 【详解】设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布, 则3030293053902S d ⨯=⨯+=, 解得1629d =,即每天增加的数量为1629， 14151617111113141516a a a a a d a d a d a d ∴+++=+++++++ 1458a d =+ 1645585229=⨯+⨯=，故答案为1629，52. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.12．已知82(0)ax a⎛+> ⎝的展开式中各项系数之和为256，则a =________，展开式中6x 的系数为________. 【答案】1 70【解析】（1）由题知当1x =时，()81256a +=，解得1a =； （2）可得516218rr r T C x-+=，由51662r -=得4r =，即可得展开式中6x 项的系数. 【详解】（1）由82(0)ax a⎛> ⎝的展开式中各项系数之和为256，所以令1x =时，()81256a +=，解得1a =， （2）又516218rr r TC x-+=，由51662r -=得4r =， 所以展开式中6x 项的系数为4870C =.故答案为：(1). 1 (2). 70 【点睛】运算.13．若实数,x y 满足约束条件1010570x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则该不等式组表示的平面区域的面积为________，目标函数32z x y =-的最小值为________. 【答案】6 2-【解析】（1）由约束条件画出可行域，然后求出不等式组表示的平面区域的面积； （2）利用目标函数的几何意义，结合图形求其最小值. 【详解】（1）由题意得，该不等式组表示的平面区域是直角三角形及其内部区域（如图中阴影部分所示），顶点分别为()()()1,01,22,3，，A B C --，且2232，，AB AC AB AC ⊥==，所以1223262ABC S ∆=⨯⨯=；（2）又32,032=32,0x y x z x y x y x -≥⎧=-⎨--<⎩，由图知目标函数在点()0,1处取得最小值，所以min 2z =-， 故答案为：(1). 6 (2). 2- 【点睛】本题主要考查二元一次不等式组的平面区域的面积计算，目标函数的最值问题，考查了数形结合的思想.r r r rr r r r r【答案】2 1【解析】（1）2a b +=r r（2）由()b ta b ⊥+r r r 得2()0b ta b ta b b ⋅+=⋅+=r r r ，代入解方程可得t .【详解】（1）22a b +===r r；（2）由()b ta b ⊥+r r 得2()0b ta b ta b b ⋅+=⋅+=，所以10t -=得1t =. 故答案为：(1). 2 (2). 1 【点睛】本题主要考查了向量模的计算，向量垂直的性质运用.三、填空题15．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12F F 、，过2(1,0)F 且斜率为1的直线交椭圆于A B 、，若三角形1F AB 2，则该椭圆的离心率为________.1【解析】由题得直线AB 的方程为1x y =+，代入椭圆方程得：()222222220ab y b y b a b +++-=，设点()()1122,,A B x y x y ，，则有2222121222222，b b a b y y y y a b a b--+==++，由12121212F AB S F F y y ∆=⨯⨯-=，且221a b -=解出a ，进而求解出离心率.【详解】由题知，直线AB 的方程为1x y =+，代入22221x y a b+=消x 得：()222222220ab y b y b a b +++-=，设点()()1122,,A B x y x y ，，则有2222121222222，b b a b y y y y a b a b--+==++，12y y∴-===，而12121222112222F ABS F F y ya b∆=⨯⨯-=⨯⨯=+，又221a b-=，解得：a=，所以离心率12cea===.1【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力16．安排4名男生和4名女生参与完成3项工作，每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式共有________种（用数字作答）.【答案】1296【解析】先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.【详解】由于每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有234336C A=，同理女生的排法共有234336C A=，故不同的安排共有232343431296C A C A⋅=种.故答案为：1296【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.17．已知1()()f x x a a Rx=+-∈，若存在1231,,,,[,2]2nx x x x⋅⋅⋅∈，使得121()()()nf x f x f x-++⋅⋅⋅+()nf x=成立的最大正整数n为6，则a的取值范围为________.【答案】15191321[)(,]81058⋃，【解析】由题意得()()()()min maxmin max56f x f xf x f x⎧≤⎪⎨>⎪⎩，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.【详解】原问题等价于()()()()min maxmin max56f x f x f x f x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，当2a <时，函数图象如图此时()()min max 522，fx a f x a =-=-， 则()()55225622a a a a⎧-≤-⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩，解得：1519810a ≤<； 当924a ≤<时，函数图象如图此时()()min max 502，f x f x a ==-， 则55025602a a⎧⨯≤-⎪⎪⎨⎪⨯>-⎪⎩，解得：a ∈∅；当9542a ≤<时，函数图象如图此时()()min max 02，f x f x a ==-， 则502602a a ⨯≤-⎧⎨⨯>-⎩，解得：a ∈∅；当52a ≥时，函数图象如图此时()()min max 522，f x a f x a =-=-，则55225622a a a a ⎧⎛⎫-≤- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪->- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：132158a <≤； 综上，满足条件a 的取值范围为15191321[)(,]81058⋃，. 故答案为：15191321[)(,]81058⋃， 【点睛】本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.四、解答题18．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别是,,,a b c 其中2,3a c ==. （1）若角A 为锐角，且3sin 3C =，求sin B 的值； （2）设2()3cos 3cos f C C C C =+，求()f C 的取值范围.【答案】（1）6159；（2）33,322⎡+⎢⎣.【解析】（1）由正弦定理直接可求sin A ，然后运用两角和的正弦公式算出sin B ；（2）化简()3232f C C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由余弦定理得22211cos 24a b c C b ab b +-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出1cos 2C ≥，确定角C 范围，进而求出()f C 的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理，得：sin sin a cA C=sin 2sin 3a C A c ∴== sin sin C A ∴<，且A 为锐角cos ,cos 33C A ∴==sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C ∴=+=+=（2）()1cos 21323sin 2cos 222222C f C C C C ⎫+=+⨯=++⎪⎪⎭3232C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222111cos 242a b c C b ab b +-⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭Q0,3C π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦233C+πππ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，[]sin 20,13C π⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭()33,22f C ⎡∴∈+⎢⎣【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角函数的值域等，考查了学生运算求解能力.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=o ，1AD =，2PA AB BC ===，M 是棱PB 中点.（1）已知点E 在棱BC 上，且平面//AME 平面PCD ，试确定点E 的位置并说明理由；（2）设点N 是线段CD 上的动点，当点N 在何处时，直线MN 与平面PAB 所成角最大？并求最大角的正弦值.【答案】（1）E 为BC 中点，理由见解析；（2）当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，最大角的正弦值357. 【解析】(1)E 为BC 中点,可利用中位线与平行四边形性质证明//ME PC ，//AE DC ，从而证明平面//AME 平面PCD ；（2）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，并可求出最大角的正弦值. 【详解】（1）E 为BC 中点，证明如下：Q M E 、分别为,PB BC 中点，//ME PC ∴又ME ⊄Q 平面,PDC PC ⊂平面PDC//ME ∴平面PDC又//EC AD Q ，且EC AD =∴四边形EADC 为平行四边形，//AE DC ∴同理，//AE 平面PDC ，又AE ME E ⋂=Q∴平面//AME 平面PDC（2）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系则(000),(020),(220),(100),(002)A B C D P ，，，，，，，，，，，()011M ，， 设直线MN 与平面PAB 所成角为θ，()01DN DC λλ=≤≤u u u r u u u r则)(1211MN MA AD DN λλ=++=+--u u u u v u u u v u u u v u u u v，， 取平面PAB 的法向量为(1,0,0)n =r则2222(1)sin cos ,523(1)(21)1=MN n λθλλλλ+<>==-+++-+u u u u r r令[]11,2+=t λ∈，则22222(1)1511523523710()125t =t t t tλλλ+=≤-+-+-+ 所以35sin θ≤ 当5233t λ=⇔=时，等号成立 即当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，最大35. 【点睛】本题主要考查了平面与平面的平行，直线与平面所成角的求解，考查了学生的直观想象与运算求解能力.20．若数列{}n a 前n 项和为{}n S ，且满足()21n n tS a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设1n n b S =-，且数列{}n b 为等比数列，令3log n n n c a b =，.求证：1232n c c c ++⋯+<. 【答案】（1）2nn a t =（2）详见解析【解析】（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 的递推关系，从而可求其通项. （2）由{}n b 为等比数列可得13t =，从而可得{}n c 的通项，利用错位相减法可得{}n c 的前n 项和，利用不等式的性质可证1232n c c c ++⋯+<. 【详解】（1）由题意，得：()21n n tS a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）， 当1n =时，得()1121tS a t =--，得12a t =. 由()()11212(2)1n n n n t S a t t S a n t --⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-≥⎪-⎩，故()111n n n n n tS S a a a t ---==--，1(2)n n a ta n -∴=≥，故2n n a t =. （2）由()()211221111nn n n t t b S t t t t =-=--=----， 由{}n b 为等比数列可知：2213b b b =，又22312312,122,1222b t b t t b t t t =-=--=---，故()()()2223122121222t t t t t t --=----，化简得到3262t t =，所以13t =或0t =（舍）. 所以，12,33nn n n b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则3212log 333nn n n n c ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭=. 设{}n c 的前n 项和为n T .则12242333nn nT =++⋯+ 23112423333n n nT +=++⋯+，相减可得1232332232n n n n T c c c +=+++=-<⋅L 【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.21．已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，点P 在抛物线上，直线PF 与抛物线C 交于另一点A .（1）设直线MP ，MA 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +常数；（2）①设PMA ∆的内切圆圆心为(,)G a b 的半径为r ，试用r 表示点G 的横坐标a ； ②当PMA ∆的内切圆的面积为12π时，求直线PA 的方程. 【答案】（1）证明见解析；（2）①24r a =；②34108x y ±-=.【解析】（1）设过F 的直线1x my =+交抛物线于11(,)P x y ，22(,)A x y ，联立24y x =，利用直线的斜率公式和韦达定理表示出12k k +，化简即可；（2）由（1）知点G 在x 轴上，故(),0G a ，设出直线,PA PM 方程，求出交点P 坐标，因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径，列出方程组求解即可. 【详解】（1）设过F 的直线1x my =+交抛物线于11(,)P x y ，22(,)A x y ，(1,0)M -联立方程组214x my y x=+⎧⎨=⎩，得：2440y my --=.于是，有：121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩ 1212211212121212111y y y x y x y y k k x x x x x x +++∴+=+=+++++， 又12211212121211()()(4)44044y x y x y y y y y y y y m m +++=⋅+++=⋅-⋅+=， 120k k ∴+=；（2）①由（1）知点G 在x 轴上，故(),0G a ，联立,PA PM 的直线方程：11x my x ny =+⎧⎨=-⎩.2,m n P n m n m +⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭，又点P 在抛物线24y x =上，得221n m -=，()()()()()22222222211411r m a r r n m a r n a ⎧+=-⎪==⇒⇒-=⎨+=+⎪⎩， 24r a ∴=；②由题得，2211228S r r a ππ==⇒=⇒= （解法一）()22111128+m ⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭m ⇒= 所以直线PA的方程为10x y -= （解法二）设内切圆半径为r，则2r =.设直线PM 的斜率为k ，则： 直线MP 的方程为：(1)y k x =+代入直线PA 的直线方程，可得12(,)11mk kP mk mk+--于是有：221()411k mkmk mk+=⋅--， 得22(1)1k m +=，又由（1）可设内切圆的圆心为(,0).t则2==，即：2222212(1)2(1)1m t k t k ⎧+=-⎨+=+⎩，解得：18t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线PA的方程为：10x y ±-=. 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线相关的综合问题的求解，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.22．已知函数2()ln (0)，f x x bx a x a b R =-+>∈.（1）设2b a =+，若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且121x x ->，求证：12()()34ln 2f x f x ->-；（2）设()()g x xf x =，()g x 在[1,]e 不单调，且124b e a+≤恒成立，求a 的取值范围.（e 为自然对数的底数）. 【答案】（1）证明见解析；（2）⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）先求出()f x '，又由121x x ->可判断出()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()212ln 142a a f x f x a -=--，令22a t =>，记()22ln 1h t t t t =--， 利用导数求出()h t 的最小值即可；（2）由()g x 在[]1,e 上不单调转化为()0g x '=在()1,e 上有解，可得23ln 2x a x a b x++=，令()ln 13a a x F x x x a +=++，分类讨论求()F x 的最大值，再求解()max 4F x e ≤即可.【详解】（1）已知22(0),()ln b a a f x x bx a x =+>=-+，(1)(2)()2a x x a f x x b x x--'∴=-+=， 由()0f x '=可得1212a x x ==，， 又由121x x ->,知22a > ()f x ∴在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()()2121ln 1242a a a f x f x f f a ⎛⎫∴-=-=-- ⎪⎝⎭ 令22a t =>，记()22ln 1h t t t t =--，则()22ln 2h t t t '=-- 22(1)()20t h t t t-''∴=-=>()h t '∴在()2+∞，上单调递增； ()(2)2(1ln 2)0h t h ''∴>=->，()h t ∴在()2+∞，上单调递增；()(2)34ln 20h t h -∴>=>，12()()34ln 2f x f x ∴->-（2）32()ln g x x bx ax x =-+，2()32ln g x x bx a x a '∴=-++，()g x Q 在[]1,e 上不单调，()g x '∴在()1,e 上有正有负，()0g x '∴=在()1,e 上有解，23ln 2x a x a b x++∴=，(1,)x e ∈， 124b e a+≤Q 恒成立， 记()ln 13a a x F x x x a +=++，则()2223ln 3ln x a x x F x a x a x -⎛⎫'==- ⎪⎝⎭， 记2ln ()x G x x =，312ln ()x G x x -'∴=，()G x ∴在(上单调增，在)e 上单调减.max 1()2G x G e==于是知（i ）当312a e≥即6a e ≤时，()0F x '≥恒成立，()F x 在()1,e 上单调增， ()2134a F e e e e a ∴=++≤，2220a e a e ∴-+≤，a ≤≤. （ii ）当6a e >时，14F e a =+>=>，故不满足题意.综上所述，a ∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.。
2019-2020学年十校联盟 2019 年 10 月高三联考化学学科试题
绝密★考试结束前十校联盟2019年10月高三联考试题化学命题：柯桥中学蒋赵军、韩勇刚审题：玉环中学叶兰峰校稿：谢善兴、陈秀珍本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分100分，考试时间90分钟。
考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
4.可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 0 16 Na 23 S 32 Cl 35.5 Ca40 Ba 137选择题部分一、选择题(本大题共14小题，每小题3分，共42分。
每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)1.下列说法不疋确的是A.数字化实验采用传感器来完成，中和滴定可以采用传感器釆集pH数据，从而绘制出中和滴定曲线图B.工业上采用电解熔融氧化铝的方法冶炼铝，为了降低氧化铝的熔点，在实际生产中，向氧化铝中添加冰晶石C.使用可再生资源、提高原子经济性、推广利用二氧化碳与环氧丙烷生成的可降解高聚物等都是绿色化学的内容D.在人类研究物质微观结构的过程中，先后使用了光学显微镜、电子显微镜、扫描隧道显微镜三种不同层次的观测仪器2.设m为阿伏伽德罗常数的数值。
下列说法不車硕的是A.标况下，3.2gN2H4中含有的N-H键的数目为0.4 N AB.Cu与浓硝酸反应生成4.6gNO2和N2O4混合气体时，转移的电子数为0.1MC.2mol的CO2和H2O(g)的混合气体与过量NazCh充分反应生成气体的分子数为MD.将1 molCL通入足量水中，HC1O、C「C1CT的粒子数之和为2M3.下列说法不疋确的是A.受酸腐蚀致伤，先用大量水冲洗，再用饱和碳酸氢钠溶液洗，最后再用水冲洗。
2019届浙江省十校联盟高三下学期4月高考适应性考试数学试题(解析版)
【答案】D
【解析】先化简函数解析式,再根据函数 的图象变换规律,可得所求函数的解析式为 ,再由正弦函数的对称性得解.
【详解】
,
将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为
,
再向右平移 个单位长度,所得函数的解析式为
,
，
可得函数图象的一个对称中心为 ，故选D.
【点睛】
画出 的图象，
由图象可得：
对于①， 在 上单调递减，所以①正确；
对于②，函数 与 的图象没有交点，即 没有零点，所以②错误；
对于③，由函数图象的对称性可知③错误；
对于④，函数 和 图象关于原点对称，则 中用 代替 ，用 代替 ，可得 ，所以④正确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.
【答案】 52
【解析】设从第2天开始,每天比前一天多织 尺布,由等差数列前 项和公式求出 ,由此利用等差数列通项公式能求出 .
【详解】
设从第2天开始,每天比前一天多织d尺布,
则 ,
解得 ,即每天增加的数量为 ，
，故答案为 ，52.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，即 ，所以得 ，利用基本不等式求出最小值，得到 ，再由递推公式求出 .
【详解】
由 得 ，
即 ，
，当且仅当 时取得最小值，
此时 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.
2019-2020学年浙江省选考(学考)十校联盟新高考化学模拟试卷含解析
D.BaSO4在水溶液中虽然溶解度很小，但溶解的能完全电离，故为强电解质，D错误；
故合理选项是A。
【点睛】
本题考查了电解质、非电解质以及强弱电解质的判断的知识，应注意的是强弱电解质的本质区别是电离是否彻底，和溶解度、离子浓度及溶液的导电能力等均无关。
3．图为元素周期表的一部分，X、Y、W、R为短周期元素，四种元素的最外层电子数之和为21。下列说法不正确的是
X
W
Y
R
Z
A．最高价氧化物对应水化物的酸性R>X>Y
B．84号元素与Z元素同主族
C．R、W的某些单质或两元素形成的某些化合物可作水的消毒剂
D．Z2W3具有氧化性和还原性
【答案】B
【解析】
【详解】
D. 高炉喷吹废塑料是将废塑料作为高炉炼铁的燃料和还原剂，利用废塑料燃烧向高炉冶炼提供热量，同时利用废塑料中的C、H元素，还原铁矿石中的Fe，使废塑料得以资源化利用、无害化处理和节约能源的有效综合利用方法，故不选D。
10．黄铜矿（CuFeS2）是提取铜的主要原料，其煅烧产物Cu2S在1200℃高温下继续反应：2Cu2S+3O2→2Cu2O+2SO2…①2Cu2O+Cu2S→6Cu+SO2…②．则
D．用高炉喷吹技术综合利用废塑料
【答案】B
【解析】
【详解】
A. 使用布袋替代一次性塑料袋购物，可以减少塑料的使用，减少“白色污染”，故不选A；
B. 境，故选B；
C. 利用二氧化碳等原料合成的聚碳酸酯类可降解塑料可以在自然界中自行分解为小分子化合物，所以替代聚乙烯塑料，可减少“白色污染”，故不选C；
【数学】浙江省十校联盟2020届高三10月联考 数学(扫描版)
11． 2 ，1 + i ； 12．32， −80 ；
13． x + 2y = 0 ， 4 5 ； 5
14． 4 2 ， 5 ；
15． 2 ； 3
16． 3 −1 ； 2
17．
a1
1 2
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分 14 分）
由 2k − 2x 2k ，知单调递增区间为[k − , k](k Z) ． 2
19．（本小题满分 15 分）
（I）证明：过点 A 作 AO ⊥ BC ，垂足为 O ，连接 OD ． ………1 分
由 ABC = DBC = 120 ，得 ABO = DBO = 60 ．
而 AB = BD ， OB = OB ，则△ ABO 与△ DBO 全等． ………3 分
故直线 l 的方程为 y = −(x − 2) − 2 ，即 y = −x ．
………6 分
………9 分 ………10 分
（Ⅲ）设
A(
y12 4
,
y1 ),
B(
y22 4
,
y2
), C (
y32 4
,
y3 ),
D(
y42 4
,
y4
)
，且
l
:
y
=
k(x
−
2)
−
2
．
由
y = k(x −
y
2
=
4x,
2)
−
2,
2
24 8 2
6a
由（II）知， = a2 − 4b 0 ， b a2 ，则 a2 + 2 a2 ，解得 a 0 或 a 3 24 ．……11 分
2020届 浙江省 宁波市 十校高三下学期 3月联考数学试题(解析版)
2020届浙江省宁波市十校高三下学期3月联考数学试题一、单选题1．已知{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，则P Q =I （ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)【答案】B【解析】直接根据交集的定义计算P Q I 即可得到答案.【详解】因为{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，所以{|01}P Q x x =<<I .故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题.2．双曲线22194x y -=离心率是（ ）A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】A【解析】由标准方程求出c 和a ，继而可求离心率.【详解】解：2229413c a b =+=+=，所以13c =. 由29a = 可知3a =.13c e a ∴==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了离心率的求解.3．若x y ，满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【解析】由约束条件画出可行域，通过平移13y x =-分析即可得最优解，代回3z x y =+中即可求出最小值.【详解】解：画出可行域为如图所示的阴影部分.由3z x y =+可知1133y x z =-+.则当1133y x z =-+过()4,2C -时，min 462z =-=-.故选:B.【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下，首先画出可行域，然后根据目标函数的几何意义，分析出最优解.这里在画可行域时应注意，边界线是实线还是虚线.4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．343cm B ．32cmC ．383cmD ．34cm【答案】C【解析】由三视图还原出几何体，依据锥体体积的公式即可求解.【详解】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，高为2.所以体积为3118222333V Sh cm ==⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查了几何体体积的求解，考查了三视图.5．函数()()22x b af x -=的图像如图所示，则（ ）A ．0,01a b ><<B ．0,10.4a b >-<≤C ．0,10a b <-<<D ．0,01a b <<≤【答案】D【解析】由解析式及图像判断出01b <≤，结合复合函数单调性，可知0a <.【详解】解：由()()22x b af x -=可知，()()22x af x b f b x +=-= ，所以函数对称轴为x b =，由图可知01b <≤.设()2x b u a-=，则()2uf u =.由图可知，函数先增后减.因为()2uf u =单调递增，所以()2x b u a-=应先增后减，故0a <.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了复合函数的单调性.若()()f x a f b x +=-，则该函数的对称轴为2a bx +=；对于复合函数的单调性，遵循同增异减的原则.6．设a R ∈，则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】以2a =-为条件，判断20x x a ++=有实数根是否成立；以20x x a ++=有实数根为条件，判断2a =-是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当2a =-时，1490a ∆=-=> ，此时20x x a ++=有实数根；当20x x a ++=有实数根时，140a ∆=-≥，即14a ≤. 故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则p 是q 的必要条件.7．正方体1111ABCD A B C D -，P 是线段1BD （不含端点）上的点.记直线PC 与直线AB 所成角为α，直线PC 与平面ABC 所成角为β，二面角PBC A -的平面角为γ，则（ ）A ．βγα<<B ．αβγ<<C ．γβα<<D ．γαβ<<【答案】A【解析】不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ，连接,,,,PO PK PC PD KO ,经过分析,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠，从而可求出tan ,tan ,tan αβγ，进而可比较三个角的大小.【详解】解：如图，不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ， 连接,,,,PO PK PC PD KO ，则PO ⊥面ABCD .设正方体的边长为2a . 由题意知,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠.KO PO a ==，2CO a =3PC CD a ==，则tan 1a a γ==；2223cos 232a aα==⋅⋅ 则tan 2α=； 2tan 22PO CO aβ===.因为tan tan tan βγα<<，所以βγα<<. 故选:A.【点睛】本题考查了线线角，考查了线面角，考查了二面角.对于空间中角的问题，在求解时有两种思路，一是按定义直接找到所求角，结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解；二是结合空间向量求解.8．已知随机变量的分布列如下102a ⎛<<⎫ ⎪⎝⎭：ξ1 2Pb a - ba则（ ）A ．()E ξ有最小值12B ．()E ξ有最大值32C ．()D ξ有最小值0 D ．()D ξ有最大值12【答案】D【解析】由所有概率之和为1求出12b =,进而可求()122E a ξ=+，()211442D a ξ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，结合102a <<，可求最值. 【详解】解：由题意知，21b a b a b -++==，即12b =.则()()113022,222b a b a a E ξ⎛⎫=⋅-++=+∈ ⎪⎝⎭，所以()E ξ没有最值. ()()222111021222222a b a a D b a a ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111424442a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.由102a <<可知，当14a =时，()D ξ有最大值为12. 故选:D.【点睛】本题考查了分布列，考查了数学期望，考查了方差.对于分布列的题目，隐藏条件为，所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.9．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（ ）个.A ．576B ．1296C ．1632D ．2020【答案】B【解析】分成两种情况：取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可；第二种情况下，千位有3种可能，再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可.【详解】解：当取出的4个数字中没0时，再组成四位数，这样的四位数有224444864C C A ⋅⋅=个；当取出的4个数字中有0时，共有214424C C ⋅=中组合，这四位数字所组成的四位数有223318A ⨯⨯=个，所以这种情况下的四位数共有2418432⨯=个.4328641296+=故选:B.【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数，千位不能为零.10．数列{}n a 满足21121,n n n a a a a n N ++==-+∈，，则（ ）A ．存在k N +∈，使1122k k k a --<<B ．存在m ，k N +∈，m k a ka =C ．存在m ，,m k k N a ma +∈=D ．121111na a a ++⋅⋅⋅+< 【答案】D【解析】由数列单调性的定义作差可得10n n a a +->，可得{}n a 为递增数列，又()2111n n n n n a a a a a +=--=-，两边取到数，结合裂项求和以及不等式的性质可选出正确选项.【详解】解：由题意知， ()221211n n n n n a a a a a +-=-+=-.由于120a => ，所以()210n a ->，则10n n a a +->，所以{}n a 为递增数列. 211n n n a a a +=-+Q ，()2111n n n n n a a a a a +∴-=-=-，()11111111n n n n n a a a a a +∴==----.即111111n n n a a a +=---，则12122311111111111111 (11111111)n n n n a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=---------1111n a +=--.由{}n a 为递增数列，可得1101n a +>-，则11111n a +-<-. 即121111na a a ++⋅⋅⋅+<故选:D.【点睛】本题考查了数列递推式的应用，考查数列的单调性，考查了裂项求和，考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.二、填空题11．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知，2020i e π=___________【答案】1【解析】由已知可知2020cos2020sin2020i e i πππ=+，运用诱导公式可求出cos20201π=，以及sin20200π=，继而可求2020i e π.【详解】解：由题意知，2020cos2020sin2020i e i πππ=+，()cos2020cos 021010cos01ππ=+⋅==，同理，sin2020sin00π==.故2020cos2020sin20201i e i πππ=+=.故答案为:1.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数求值，考查了推理能力和计算能力. 12．()()421x x ++的展开式中项3x 的系数为___________【答案】14【解析】由二项式定理写出()()421x x ++的通向，求出通项中3x ，即可求系数.【详解】解：()41+x 展开式中的第1k + 项为414kkk T C x-+=，则()()54444221k k k k x C x x x C --=+++当2k =时，246C =；当1k =时，1428C =，8614+=.故答案为：14.【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式.13．设向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，记1212*a b x x y y =-r r ，若圆22:240C x y x y +-+=上的任意三点123A A A ，，，且1223A A A A ⊥，则1223**OA OA OA OA +u u u r u u u u r u u u u r u u u u r的最大值是___________【答案】16【解析】设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ,根据条件得13131,222x x y y ++==-,则 ()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v,所以当直线240x y b ++= 与圆相切时,24x y + 有最大值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.【详解】解：由圆的方程得()()22125x y -++=，则圆心()1,2C -，半径5r =.设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ，由1223AA A A ⊥得13A A 为直径， 由此可得13131,222x x y y ++==-，即13132,4x x y y +=+=-. 则()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v，2A 为圆上的一点，当直线240x y b ++=与圆相切时，24x y + 有最大值.则圆心到直线的距离28520b d -+==，解得16b =或4-.则当16b =时，24x y + 有最大值为16.故答案为:16.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查平面向量的运算，考查转化的思想.本题的难点在于将24x y +的最值问题转化为直线与圆相切的问题.三、双空题14．在四边形ABCD 中，12,34AB BC CD AD ====，，，且120ABC ∠=︒，则AC =___________，cos BCD ∠=___________7 2114-【解析】利用余弦定理求出AC 的值，利用勾股定理逆定理判断90ACD ∠=o ，由正弦定理和诱导公式即可求出cos BCD ∠的值.【详解】解：在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠即21422cos1207AC =+-⨯⨯=o ，7AC ∴=又2227916AC CD AD +=+==，所以90ACD ∠=o.由sin sin AB AC ACB B =∠∠，可知21sin 147ACB ∠==o . ()21cos cos 90sin BCD ACB ACB ∴∠=∠+=-∠=o 故答案为:7;21. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断90ACD ∠=o .在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.15．已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF V 周长是___________，ABF V 的重心纵坐标的最大值是___________【答案】83【解析】由椭圆的定义可求出三角形的周长为224a a a +=；设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，消去y ，即可求出122643ky y k +=+，进而可知重心纵坐标为1202334y y y k k+==+，分0,0k k >< 两种情况，结合基本不等式，即可求出033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦，从而可求出重心纵坐标的最大值.【详解】解：由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F .则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF ∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y B x y设ABF V 的重心纵坐标为0y .则12120033y y y y y +++== .联立直线与椭圆方程得 ()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k > 时，3424343k k+≥⨯=，当且仅当34k k =，即3k = 时，等号成立，此时03643y ≤=； 当k 0<时，()333442443k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+=---≤--⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当34k k-=-，即3k =时，等号成立，此时0343y ≥=. 综上所述：033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF V 的重心纵坐标的最大值是36. 故答案为: 83【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题，常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时，未对k 进行讨论.应用基本不等式时，一定要注意一正二定三相等.16．()121f x x x =--+的值域为___________；若函数()()g x f x a =-的两个不同零点12,x x ，满足12210x x ≤-≤，则实数a 的取值范围是___________【答案】(],2-∞ 15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】将函数化为分段函数的形式，作出图像，即可求出值域；依题意，()f x a =的零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或者(],1-∞-和[)1,+∞上，分类讨论结合已知即可求出.【详解】解：()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，作出图像如下，由图像可知，函数的值域为(],2-∞.由()0g x =得()f x a =，显然，零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或(],1-∞-和[)1,+∞上，令12331x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得12313x a a x =-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，又12210x x ≤-≤，则111719,,2222a ⎡⎤⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由121,11x x ≤--≤≤，可得14,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；令1233x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得1233x a x a =-⎧⎨=--⎩，又12210x x ≤-≤，则[][]5,11,5a ∈--⋃，同时121,1x x ≤-≥，得[]5,4a ∈--. 综上所述：15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：(],2-∞;15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数值域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查不等式的求解，考查数形结合的思想，考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时，一般采用的思路有：图像法、导数法、结合函数的性质等.17．已知双曲线221:1C x y -=，曲线222:x yC x y y x+=-，则曲线12,C C 的交点个数是___________个，原点O 与曲线2C 上的点之间的距离最小值是___________【答案】0 2【解析】联立曲线12,C C 的方程，通过配方法，解方程可判断交点个数；由两点的距离公式和三角换元，结合同角公式和二倍角公式，以及正弦函数的值域，可得所求最小值.【详解】解：联立方程组22221x y x y x y y x ⎧-=⎪⎨+=-⎪⎩，整理可得，22x y xy +=，即2213024x y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 由0xy ≠可知方程无解，即两条曲线没有交点.设曲线2C 上的点为(),x y ，则原点与2C 上的点之间的距离为22r x y =+设cos ,sin x r y r αα==，02απ≤<，代入2C 得()()()222222cos sin cos sin cossin r r r r r r αααααα+=⋅-整理得24411sin 2cos2sin 424r r r ααα==.由sin41α≤，可得241r≤，解得2r ≥ 当sin41α= 时，r 取最小值为2.故答案为: 0;2.【点睛】本题考查曲线方程的关系，考查两曲线的交点个数，考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大，计算容易出错.四、解答题18．设函数()sin cos ,R f x x x x =+∈.（1）已知[]0,2θπ∈，函数()f x θ+是奇函数，求θ的值；（2）若()2f α=3f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）34πθ=或74π（2）23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】（1）由三角恒等变换求得()24f x x πθθ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，再由奇函数可知,4k k Z πθπ+=∈，结合[]0,2θπ∈可求出符合题意的θ的值.（2）由()2f α可求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则所求26344f a πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可求出值.【详解】解：（1）()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫ ⎪⎝==+⎭+，()24f x x πθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为()f x θ+为奇函数，所以,4k k Z πθπ+=∈，解得,4k k Z πθπ=-+∈∵02θπ≤≤∴当0k =或1 时，34πθ=或74π. （2）因为()2f α=，所以22sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得3cos 4πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭所以262sin sin cos 34344f a πππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 当3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当3cos 4πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角恒等变换，考查了同角三角函数的基本关系，考查了正弦函数的奇偶性.若已知()()sin f x A x ωϕ=+ 为奇函数，则,k k Z ϕπ=∈；若已知()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则,2k k Z πϕπ=+∈.19．如图，三棱锥P ABC -中，PAC V 是正三角形，ABC V 是直角三角形，点D 是PB 的中点，且APB CPB ∠=∠，2PA PB =.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（211【解析】（1）取AC 的中点O ，连接OB OP ，，通过证明OP AC OB AC ⊥⊥，，则可证AC ⊥面PBO ，从而证明线线垂直.（2）由AC ⊥面PBO 可知二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥ 平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠ 是AD 和平面PAC 所成的角，由此能求出AD 和平面PAC 所成的角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在APB △和CPB △中，∵APB CPB PA PC PB PB ∠=∠==，，，∴APB CPB △≌△，∴AB CB =.∴ABC V 为等腰直角三角形 取AC 的中点O ，连接OB OP ，，则OP AC OB AC ⊥⊥，， ∴AC ⊥面PBO ，PB ⊂面PBO ，∴PB AC ⊥（2）∵AC ⊥面PBO ，∴二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠为AD 和平面PAC 所成的角. 设2PB =，则PAC V 的边长为4，22BA BC ==PBO V 中，12232PB OB OP DT ====，，APB △中，4222PA AB BP ===，，，D 为PB 的中点，∴11AD =在Rt ADT △中，11sin DT DAT AD ∠==AD 与平面PAC 11【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时，可利用勾股定理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时，有两种思路，一是直接找到二面角，在三角形内进行求解；二是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解. 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4324,a a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，1n n T b +=，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记,n n nn a c b n =⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前n 项和为n W ，证明：13n W n <.【答案】（1）n a n =；12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】（1）结合基本量法，将已知4324,a a S ==用首项和公差表示出来，即可求出通项公式；由1n n T b +=推出111n n T b --+=，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）求出n c ，分别讨论n 为奇数和偶数，结合数列的分组求和，以及裂项法、放缩法，结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.【详解】解：（1）∵4324a a S ==，∴111a d ==，，∴n a n =∵1n n T b +=，∴111n n T b --+=，两式相减得112b =，112n n b b -=，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）①当2n m =时，则形211421kmmn mk k W W k ==⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭∑∵111144111111434314mkm mk =⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑，当2k ≥21232121212123k k k k k k k =<=----+--+-∴(2121232121mmk k k k m k ==<+--=--∑112133n W m n <-.②当21n m =-时，21213n m m W W W n -=<<成立.综上①②得：13n W n 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和，考查了分组求和，考查了放缩法.本题易错点在于第二问没对n 取奇数和偶数进行讨论.21．已知点()0,A a ，0a >，抛物线()220x py P =>上点B 处的切线交x 轴于点P ，且直线AB 交抛物线于另一个点C ，过点C 作AP 的平行线x 轴于点Q .（1）证明：//AQ BP ；（2）记直线BP ，CQ 与x 轴围成的三角形面积为1S ，BOC V的面积为2S ，是否存在实数λ，使12S S λ=？若存在，求实数λ的值若不存在，请说明理.【答案】（1）证明见解析（2）存在；12λ= 【解析】（1）设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则可知直线BC 的方程，由()0,A a 在BC 可知012a t t p=，求出22x Py =在B 处的切线的方程可得()0,0P pt ，从而可求出直线CQ的方程，继而可得()1,0Q pt ，由012AQ BP ak t k pt =-==可证明平行. （2）设直线,BP CQ 相交于点T ，则1PQT S S ∆= ,四边形AQTP 为平行四边形，由此推导出存在12λ=使得12S S λ=. 【详解】解：（1）证明：设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则直线BC 的方程为()01012y t t x pt t =+-由()0,A a 在BC 可知，012a t t p=，又22x Py =在B 处的切线的方程为20022y t x pt =-， 令0y =可得0p x Pt =即()0,0P pt ∴0AP ak pt =-.直线CQ 的方程为 ()()2111102222ay pt x pt t x pt pt -=--=-，令0y =可得1Q x pt =即()1,0Q pt ∴012AQ BP ak t k pt =-==即AQ BP ∥ （2）设BP 和CQ 相交于点T 则1PQT S S =△，由（1）可知，四边形AQTP 为平行四边形∴1101122PQT AQP Q P S S S OA x x ap t t ===-=-V V ， ∵21011222OBC B C S S OA x x a p t t ==-=⋅-V ，∴1212=S S ，即存在12λ=【点睛】本题考查了线线平行的证明，考查了直线方程，考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大，应注意计算的准确性，避免出错.在解析几何中，若证明两条直线平行，通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.22．已知函数()()2112xf x x e x -=+-，其中 2.71828e ≈为自然对数的底.（1）试求函数()f x 的单调区；（2）若函数()212x e g x x x a+=++的定义域为R ，且存在极小值b .①求实数a 的取值范围；②证明：1325b e <.（参考数据：1.64 1.65e <） 【答案】（1）函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减（2）①()1,4a ∈②证明见解析【解析】（1）求出导数为()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，令导数为零，解方程，结合函数的定义域，可探究'(),()f x f x 随x 的变化情况，即可求出单调区间.（2）①由定义域为R 可知220x x a ++≠恒成立，所以440a =-<△，可求出1a >，求出()()()()22222212x x a e x g x x x a +--+'=++，令()0g x '=得()22a f x -=，结合第一问的单调性可知()2202a f -<=，即14a <<.②由()2112f a -=-<-及3359222 1.644f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭可知存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使()0g x '=，则极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.结合导数可证明()()21x e h x x =+在302x <<上递增，从而可求13255e b e e <【详解】（1）求导得()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，由()0f x '=，解得0x =.当0x <时，()0f x '≥；当0x >时，()0f x '<.又因为函数()f x 的定义域为R ， 故函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减. （2）①因为函数()g x 的定义域为R ，则220x x a ++≠恒成立故440a =-<△，即1a >又()()()()()()()()2222222221122122x x x x x a x e x a e x g x xx a xx a e ++-+++--+'==++++则()0g x '=等价于()()22212x a x e x f x --=+-=，由（1）知()2y f x =在(,0]-∞上递增，在(0,)+∞上递减， 故函数()g x 存在极小值，必有()2202a f -<=，即14a <<.②又()2112f a -=-<-，339592224 1.644f a e e⎛⎫-<-<- ⎪⎝⎭，故对任意()1,4a ∈， 存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫⎪⎝⎭，，使()0g x '=，即()22,1,2i a f x i -==，因此，()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减，所以，极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.记函数()()21x e h x x =+，302x <<，则()()2021x xe h x x '=>+，即()h x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 故()()320h h x h ⎛<<⎫⎪⎝⎭，即13255e b e e <1325b e <.【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解，考查了结合导数证明不等式，考查了极值的求解，考查了不等式恒成立问题.。
浙江省十校联盟2020届高三寒假返校联考数学试题
绝密−+≤a b b 1≤a 1∈a b R ,∈z z R21∈z z R 21⋅∈z z R 12+∈z z R 12⋅∈z z R 12z z ,12−=y x 54122−=y x 45122−=x y 54122−=x y 45122−=PF PF 412P F 0,32()−0,3−[2,4]−−[2,1]−[1,3]R =C A B R ()=−−>=−≤≤A x x x B x x {|340},{|23}2h R ，S S 12πS R =42=V h S S 3112)(h S h S =V Sh =V Sh 31★考试结束前浙江省十校联盟2020届高三寒假返校联考数学试题卷1．本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题。
2．答题前，请在答题卷的规定处用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名和准考证号。
3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
4．试卷分为选择题（第Ⅰ卷）和非选择题（第Ⅱ卷）两部分，共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：锥体的体积公式柱体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高棱台的体积公式球的表面积公式 其中分别表示棱台的上、下底面积，其中表示球的半径表示棱台的高第Ⅰ卷：选择题（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设集合，则A ．B ． C ． D ．，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为A ．B ．C ．D ．3．已知两非零复数，若，则一定成立的是A ．B ．C ．D ．4．已知，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 注意事项：2．已知双曲线的上下焦点分别为F 1()54321−<a b 1−=a b ln ln 1−<a b 1−=e e a b 1−<a b 1b a =−331−<a b 1=1>>a b 0<<γβα<<βγα<<βαγ<<αβγβγ,ABCD C D B ','α−−D BCE 'ABCE H ABCD D 'D 'D AE ∆ADE CD E ==AB AD 24ABCD +ξη+ξηE ()+ξηD ()+ξηE ()+ξηD ()+ξηE ()+ξηD ()+ξηE ()⎝⎭⎪⎛⎫2,11p cm 3cm ．某几何体三视图如图所示（单位：），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：）是A 则当在内增大时 A ．减小，增大B ．减小，减小C ．增大，增大D ．减小 8．如图，矩形中，，为的中点，沿着向上翻折，使点到.若在平面上的投影落在梯形内部（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成角分别为，则 A ． B ．C ．D ．9．已知，给出下列命题：，则；②若，则； ③若，则；④若，则． 其中真命题的个数是A ．B ．C ．D ．(第8题图) 增大，D ()10．已知数列{}n a 的各项都是正数且满足()2123,2n n n a a a n N n *−−=∈≥，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列选项中错误的一项是A ．若{}n a 单调递增，则102a <<B ．若11a =，则34322a <<C ．若12a ≠，则()()()()123221212122n n a a a a n a −+++=≥−D ．若13a =，则()3314n n S +≥第Ⅱ卷：非选择题（共110分） 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2019-2020学年浙江省十校联盟高三(下)开学数学试卷
2019-2020学年浙江省十校联盟高三（下）开学数学试卷一、选择题1. 设集合A＝{x|x2−3x−4>0}，B＝{x|−2≤x≤3}，则(∁R A)∩B＝（）A.RB.[−2, −1]C.[−1, 3]D.[−2, 4]【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】化简集合A＝{x|x>4或x<−1}，从而求∁R A＝{x|−1≤x≤4}再求(∁R A)∩B＝{x|−1≤x≤3}．【解答】A＝{x|x2−3x−4>0}＝{x|x>4或x<−1}，B＝{x|−2≤x≤3}，∁R A＝{x|−1≤x≤4}，则(∁R A)∩B＝{x|−1≤x≤3}，2. 已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0, −3)，F2(0, 3)，P是双曲线上一点且||PF1|−|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为（）A.x24−y25=1 B.x25−y24=1 C.y24−x25=1 D.y25−x24=1【答案】C【考点】双曲线的标准方程【解析】由双曲线的定义可得实轴长及半个焦距，再由a，b，c之间的关系求出b，进而求出双曲线的方程．【解答】由双曲线的定义可得c＝3，2a＝4，即a＝2，b2＝c2−a2＝9−4＝5，且焦点在y轴上，所以双曲线的方程为：y 24−x25=1，3. 已知两非零复数z1，z2，若z1⋅z2∈R，则一定成立的是（）A.z1+z2∈RB.z1⋅z2¯∈RC.z1z2∈R D.z1z2¯∈R【答案】D【考点】复数的运算【解析】设z1＝a+bi，z2＝c+di，(a, b, c, d∈R)，然后逐个计算判断A、B、C，结合z1z2∈R判断D正确．【解答】设z1＝a+bi，z2＝c+di，(a, b, c, d∈R)，z1+z2＝a+bi+c+di＝a+c+(b+d)i，∴z1+z2∈R不一定成立，故A不正确；则z1⋅z2¯=(a+bi)(c−di)＝ac+bd+(bc−ad)i，∴z1⋅z2¯∈R不一定成立，故B不正确；z1 z2=a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bd+(bc−ad)ic2+d2，∴z1z2∈R不一定成立，故C不正确；∵z1z2¯=z1⋅z2z2¯⋅z2=z1⋅z2|z2|2，且z1z2∈R，∴z1z2¯∈R正确，故D成立．4. 已知a，b∈R，则“|a|≤1”是“|a−b|+|b|≤1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据绝对值不等式的性质和特殊值法，判断即可．【解答】|a−b|+|b≥|a−b+b|＝|a|，因为|a−b|+|b|≤1，所以|a||≤1，故后者能推出前者，反之，比如a＝1，b＝3，推不出后者，故为必要不充分条件，5. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A.4√3B.103√3 C.2√3 D.83√3【答案】B【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H−EFG，然后由柱体体积减去三棱锥体积求解．【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H−EFG，三角形ABC的面积S=12×2×√22−12=√3．∴几何体的体积V=√3×4−13×√3×2=10√33．6. 函数y=2x sin(π2+6x)4x−1的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【考点】诱导公式奇函数函数的图象【解析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．【解答】解：∵ 函数f(x)=2x sin (π2+6x)4x −1=2x cos 6x 4x −1，∴ f(−x)=2−x cos (−6x)4−x −1=−2x cos 6x 4x −1=−f(x)，∴ f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A ，∵ 当x 从右趋向于0时，f(x)趋向于+∞，当x 趋向于+∞时，f(x)趋向于0， 故排除BC . 故选D .7. 设12<p <1，相互独立的两个随机变量ξ，η的分布列如表：则当p 在(12,1)内增大时（ ） A.E(ξ+η)减小，D(ξ+η)增大 B.E(ξ+η)减小，D(ξ+η)减小 C.E(ξ+η)增大，D(ξ+η)增大 D.E(ξ+η)增大，D(ξ+η)减小【答案】 D【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】求出E(ξ)=−13，E(η)＝2p −1，从而E(ξ+η)＝2p −43，D(ξ)=89，D(η)＝4p −4p 2，从而D(ξ+η)＝4p −4p 2+89=−4(p −12)2+179，由此得到当p 在(12,1)内增大时，E(ξ+η)增大，D(ξ+η)减小． 【解答】12<p <1，E(ξ)=−23+13=−13，E(η)＝p −1+p ＝2p −1， E(ξ+η)＝2p −43，D(ξ)＝(−1+13)2×23+(1+13)2×13=89， D(η)＝(−2p)2(1−p)+(2−2p)2p ＝4p −4p 2， D(ξ+η)＝4p −4p 2+89=−4(p −12)2+179，∴当p在(12,1)内增大时，E(ξ+η)增大，D(ξ+η)减小，8. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为CD的中点，△ADE沿着AE向上翻折，使点D到D′．若D′在平面ABCD上的投影H落在梯形ABCE内部（不含边界），设二面角D′−BC−E的大小为α，直线D′C，D′B与平面ABC所成角分别为β，γ，则（）A.α<β<γB.β<α<γC.β<γ<αD.γ<β<α【答案】C【考点】二面角的平面角及求法直线与平面所成的角【解析】作出图象，根据空间角定义可得tanα=D ′HHM ，tanβ=D′HHC，tanγ=D′HHB，结合HM<HB<HC，即可得出结论．【解答】由AB＝2AD＝4可知，DE＝DA，作AB中点P，则DP⊥AE，故H在线段DP上，作D′M⊥BC交BC于M，连接HM，HB，HC，如图，易知，tanα=D ′HHM ，tanβ=D′HHC，tanγ=D′HHB，又HM<HB<HC，∴β<γ<α．9. 已知a>b>0，给出下列命题：①若√a−√b=1，则a−b<1；②若a3−b3＝1，则a−b<1；③若e a−e b＝1，则a−b<1；④若ln a−ln b＝1，则a−b<1．其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】①若√a−√b=1，则√a=√b+1，然后两边平方，再通过作差法即可得解；②若a3−b3＝1，则a3−1＝b3，然后利用立方差公式可知(a−1)(a2+a+1)＝b3，再结合a>b>0以及不等式的性质即可判断；③若e a−e b＝1，则e a−b=e ae b =e b+1e b=1e b+1，再利用b>0，得出e b>1，从而求得e a−b的范围，进而判断；④取特殊值，a＝e，b＝1即可判断．【解答】①若√a−√b=1，则√a=√b+1，所以a=b+1+2√b，所以a−b＝1+2√b>1，即①错误；②若a3−b3＝1，则a3−1＝b3，即(a−1)(a2+a+1)＝b3，因为a>b>0，所以a2>b2，所以a2+a+1>b2，所以a−1<b，即a−b<1，所以②正确；③若e a−e b＝1，则e a−b=e ae b =e b+1e b=1e b+1，因为b>0，所以1<e a−b<2<e，所以a−b<1，即③正确；④取a＝e，b＝1，满足ln a−ln b＝1，但a−b>1，所以④错误；所以真命题有②③，10. 已知数列{a n}的各项都是正数且满足2a n2−3a n＝a n−1(n∈N∗, n≥2)，S n是数列{a n}的前n项和，则下列选项中错误的一项是（）A.若{a n}单调递增，则0<a1<2B.若a1＝1，则234<a3<2C.若a1≠2，则(2a2+1)(2a3+1)⋯(2a n+1)=a1−2a n−2(n≥2)D.若a1＝3，则S n≥3(3n+1)4．【答案】D【考点】命题的真假判断与应用数列递推式【解析】由数列递增可得a n>a n−1，结合数列的递推式，解不等式可判断A；分别求得a2，a3，比较可判断B；由数列的递推式可得2a n+1=a n−1−2a n−2，由累差法可判断C；求得a2，S2，可判断D．【解答】数列{a n}的各项都是正数且满足2a n2−3a n＝a n−1(n∈N∗, n≥2)，若{a n}单调递增，可得a n>a n−1，即为a n−a n−1＝4a n−2a n2>0，可得0<a n<2，(n≥2且n∈N∗)，由a1<a2，可得0<a1<2，故A正确；若a1＝1，可得2a22−3a2＝a1＝1，解得a2=3+√174（负值已舍去），由2a32−3a3＝a2=3+√174，(∗)，3+√174∈(1.75, 1.8)，而2a 32−3a 3＝2(a 3−34)2−98在(234, 2)的范围是(4√2−3×234, 2)，而√2<234<2，则4√2−3×234∈(4√2−6, √2)，故方程(∗)的解在(234, 2)内，故B 正确；由2a n 2−3a n ＝a n−1，可得2a n 2−3a n −2＝a n−1−2，即(2a n +1)(a n −2)＝a n−1−2， 即2a n +1=a n−1−2a n −2，可得(2a 2+1)(2a 3+1)…(2a n +1)=a 1−2a 2−2⋅a 2−2a 3−2⋯a n−1−2a n −2=a 1−2a n −2(a 1≠2)，故C 正确；若a 1＝3，可得2a 22−3a 2＝a 1＝3，解得a 2=3+√334，S 2＝3+3+√334，由3×(3×2+1)4=214，3+3+√334−214=√33−64<0，可得S 2<3×(3×2+1)4，故D 错误．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为α，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则sin α＝________，sin α2+cos α2=________．【答案】35,2√105【考点】 解三角形三角形的面积公式 【解析】直接利用三角形的全等，整理出关于一元二次方程，进一步利用关系式的应用求出三角函数的值． 【解答】根据已知条件四个直角三角形全等， 所以设直角三角形的短的直角边长为x ， 则较长的直角边长为x +1，所以x 2+(x +1)2＝52，整理得x 2+x −12＝0， 解得：x ＝3或−4（负值舍去）， 所以sin α=35．sin α2+cos α2=√(sin α2+cos α2)2=√1+sin α=√1+35=2√105．已知直线l:y =kx 被圆C ：(x −1)2+(y +2)2=4截得的弦长为2√3，则k =________，圆C 上到直线l 的距离为1的点有________个．【答案】−34,3【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l1的距离d，再根据弦长公式求出d，解方程求得k值，【解答】解：由题得圆心C(1, −2)，则圆心到直线l的距离d=√k2+1=√4−(√3)2=1，解得k=−34；因为d=1，r=2，则圆C上到直线l的距离为1的点应有3个.故答案为：−34；3.（1）若二项式(x√x)n(n∈N∗)的展开式中存在常数项，则n的最小值为________；（2）从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为________．（用数字作答）【答案】3700【考点】二项式定理及相关概念排列、组合及简单计数问题【解析】（1）根据二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出n、r的关系，即可求出n 的最小值；（2）根据题意，分2步进行分析：①，从6名志愿者中选出4人，②，将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，由分步计数原理计算可得答案【解答】(x√x)n(n∈N∗)的展开式中通项公式为T r+1=∁n r x n−r⋅√x)r=∁n r⋅(−2)r⋅x n−32r，令n−32r＝0，解得n=32r，其中r＝0，1，2，…，n；当r＝2时，n＝3；所以n的最小值为3．根据题意，分2步进行分析：①，从6名志愿者中选出4人，有C64＝15种选法，②，将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，有24−2＝14种情况，则有15×14＝700种不同的安排方案，故答案为：3，700．如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4√5，c＝5，B＝2C，则cos C＝________，点D为边BC上一点，且BD＝6，则△ADC的面积为________．【答案】2√55,10【考点】余弦定理【解析】由已知结合正弦定理可求cos C，然后结合二倍角关系可求sin B，结合三角形的面积公式及等高三角形的面积比可转化为底的比可求．【解答】因为b=4√5，c＝5，B＝2C，由正弦定理可得，bsin B =csin C，所以4√5sin2C =5sin C=4√52sin C cos C，则cos C=2√55；sin B＝2sin C cos C＝2×2√55×√55=45，∴S△ABD=12×5×6×45=12，由余弦定理可得，cos C=2√55=28√5a，解可得a＝5（舍）或a＝11，所以S△ABDS△ADC =BDCD=65，∴S△ADC=56×12=10．已知F是椭圆C:x24+y23=1的左焦点，A，B是椭圆C上的两个相异动点，若AB中点的横坐标为1，则F到直线AB距离的最小值为________．【答案】√152【考点】椭圆的离心率【解析】分直线AB的斜率存在和不存在两种情况讨论，由于同一点对称性设斜率大于0，与椭圆联立求出两根之和，再由AB的中点的横坐标求出参数之间的关系，由点到直线的距离公式求出F到直线AB距离．令参数部分为函数，求导，由函数的单调性求出函数的最大值，进而求出F到直线AB的最小值．【解答】由题意的方程可得：F(−1, 0)，若直线AB 的斜率不存在时，则由题意可得AB 的方程为：x ＝1，这时F 到直线AB 的距离为2，当直线AB 的斜率存在且不会为0时，由题意的对称性设k >0，设方程为y ＝kx +b ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线与椭圆的方程可得：{y =kx +b3x 2+4y 2−12=0 ，整理可得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−12＝0，△＝64k 2b 2−4⋅(3+4k 2)(4b 2−12)>0，即b 2<3+3k 2，x 1+x 2=−8kb 3+4k 2，x 1x 2=4b 2−123+4k 2，因为AB 中点的横坐标为1，所以−8kb 3+4k 2=2，即b =−3+4k 24k所以F 到直线AB 的距离d =√1+k2=|−3+4k 24k −k|√1+k 2=24√k 4+k2=14⋅√64k 4+48k 2+9k 4+k 2=14⋅√64(k 4+k 2)−16k 2+9k 4+k 2=14⋅√64−16k 2−9k 4+k 2，令g(k)=16k 2−9k 4+k 2，k >0，g ′(k)=16k(k 4+k 2)−(16k 2−9)(4k 3+2k)(k 4+k 2)2=−2k(2k 2−3)(8k 2+3)(k 4+k 2)2，当0<k <√62，g ′(k)>0，g(k)单调递增，当k >√62，g ′(k)<0，g(k)单调递减，所以∈(0, +∞)时g(√62)最大，且g(√62)=16⋅32−994+32=4，所以d =14√64−4=√152<2，已知向量a →,b →满足|2a →+b →|=1，且a →⋅(a →−b →)=1，则|a →−b →|的取值范围为________． 【答案】[√13−12, √13+12] 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】 由|2a →+b →|=1和a →⋅(a →−b →)=1，求得a →2和a →⋅b →的值，以及b →2的取值范围，再求(a →−b →)2的取值范围，即可得出|a →−b →|的取值范围． 【解答】由|2a →+b →|=1得4a →2+4a →⋅b →+b →2=1，① 又a →⋅(a →−b →)=1得a →2−a →⋅b →=1，②由①②得a →2=18(5−b →2)，a →⋅b →=18(−3−b →2)，且|a →⋅b →|≤|a →||b →|，即18(3+b →2)≤√18(5−b →2)×|b →|，9b →4−34b →2+9≤0，17−4√139≤b →2≤17+4√139； 所以(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=18(5−b →2)−14(−3−b →2)+b →2=98b →2+118，所以14−2√134≤98b →2+118≤14+2√134， 所以|a →−b →|的取值范围是[√13−12, √13+12]．已知函数f(x)＝x 3−3x 2+ax(a <0, a ∈R)，若函数f(x)有三个互不相同的零点0，t 1，t 2，其中t 1<t 2，若对任意的x ∈[t 1, t 2]，都有f(x)≤a +14成立，则实数a 的最小值为________． 【答案】 −9【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】由题意由题意可知，t 1，t 2是x 2−3x +a ＝0的根，且t 1+t 2＝3，t 1⋅t 2＝a <0，从而可知a <0，t 1<0<t 2，然后结合导数 可求f(x)max ，而原题可转化为f(x)max ≤a +14，代入解不等式可求． 【解答】因为f(x)＝x 3−3x 2+ax ＝x(x 2−3x +a)，由题意可知，t 1，t 2是x 2−3x +a ＝0的根，则t 1+t 2＝3，t 1⋅t 2＝a <0，△＝9−4a >0，∴ a <0，t 1<0<t 2，当t 1<0<t 2时，f′(x)＝3x 2−6x +a ，则存在f(x)的极大值点x 1∈(t 1, 0)，且−a =3x 12−6x 1，由题意，f(x)max ＝f(x 1)＝x 13−3x 12+ax 1≤a +14，将−a =3x 12−6x 1，代入得(x 1−3)3≥−8，解可得−1≤x 1<0． 又因为−a =3x 12−6x 1，结合二次函数的性质可知，0<−a ≤9， 得−9≤a <0即a 的最小值−9．三、解答题（共5小题，满分74分）已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示； (Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)的单调递增区间．【答案】（1）由图知，A＝2．T＝π，ω=2πT =2ππ=2，由2sin(2×0+φ)＝1，即sinφ=12，又φ∈(0, π2)，所以φ=π6故f(x)＝2sin(2x+π6)．（2）g(x)＝f(x−π12)−f(x+π12)＝2sin[2(x−π12)+π6]−2sin[2(x+π12)+π6]＝2sin2x−2sin(2x+π3)＝2sin2x−2×( 12sin2x+√32cos2x)＝sin2x−√3cos2x＝2sin(2x−π3)，由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，∴g(x)的单调递增区间是[kπ−π12, kπ+5π12]，k∈Z．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）由图知，A＝2，由T＝π，可求得ω，由2sin(2×0+φ)＝1可求得φ；（2）先化简g(x)，然后利用三角函数的单调性即可得到结论．【解答】（1）由图知，A＝2．T＝π，ω=2πT =2ππ=2，由2sin(2×0+φ)＝1，即sinφ=12，又φ∈(0, π2)，所以φ=π6故f(x)＝2sin(2x+π6)．（2）g(x)＝f(x−π12)−f(x+π12)＝2sin[2(x−π12)+π6]−2sin[2(x+π12)+π6]＝2sin2x−2sin(2x+π3)＝2sin2x−2×( 12sin2x+√32cos2x)＝sin2x−√3cos2x＝2sin(2x−π3)，由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，∴g(x)的单调递增区间是[kπ−π12, kπ+5π12]，k∈Z．如图，四棱锥P−ABCD中，△PAB是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，AB // CD，AB⊥AD，AB＝BC＝2，∠ABC=π3，F，G分别是PC，AD的中点．（1）①求证：FG // 平面PAB；②求线段FG的长度；（2）若PC＝3，求直线FG与平面PBC所成角的正弦值．【答案】①证明：取BC中点I，则GI // AB，FI // PB，∵GI∩FI＝I，AB∩BP＝B，∴平面GFI // 平面PAB，∴FG // 平面PAB；②由①可知，FI=1,IG=32,∠FIG=∠PBA=60，由余弦定理有，FG=√1+94−2×1×32×cos60=√72；∵PO=OC=√3,PC=3，∴∠POC＝120∘，又EO⊥AB，OC⊥AB，∴AB⊥平面POC，∴平面POC⊥平面ABC，延长CO到H，使得PH⊥OH，则PH⊥平面ABC，PH=32，∵PB＝BC＝2，PC＝3，∴S△GBC=3√74，设G到平面PBC的距离设为ℎ，则ℎ×3√74=32×3√34，∴ℎ=3√2114，∴直线FG与平面PBC所成角的正弦值为ℎFG =3√37．【考点】直线与平面所成的角直线与平面平行【解析】（1）①通过证明面GFI // 面PAB，再利用面面平行的性质得证；②由余弦定理求解即可；（2）作出图象，设G到平面PBC的距离设为ℎ，利用等体积法求出ℎ，进而可得直线FG与平面PBC所成角的正弦值为ℎFG =3√37．【解答】①证明：取BC中点I，则GI // AB，FI // PB，∵GI∩FI＝I，AB∩BP＝B，∴平面GFI // 平面PAB，∴FG // 平面PAB；②由①可知，FI=1,IG=32,∠FIG=∠PBA=60，由余弦定理有，FG=√1+94−2×1×32×cos60=√72；∵PO=OC=√3,PC=3，∴∠POC＝120∘，又EO⊥AB，OC⊥AB，∴AB⊥平面POC，∴平面POC⊥平面ABC，延长CO到H，使得PH⊥OH，则PH⊥平面ABC，PH=32，∵PB＝BC＝2，PC＝3，∴S△GBC=3√74，设G到平面PBC的距离设为ℎ，则ℎ×3√74=32×3√34，∴ℎ=3√2114，∴直线FG与平面PBC所成角的正弦值为ℎFG =3√37．设S n是数列{a n}的前n项和，且a n是S n和2的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b k＝a k⋅(a k+a k+1+...+a n)(1≤k≤n)，①求数列{b k}(1≤k≤n)的前n项和T n；②设M=2T1+22T2+⋯+2nT n(n∈N∗)，求证：12≤M<34．【答案】∵a n是S n和2的等差中项，∴S n+2＝2a n①，当n＝1时，S1+2＝2a1，∴a1＝2，当n≥2时，S n−1+2＝2a n−1②，①-②得：a n＝2a n−2a n−1，∴a n＝2a n−1，∴a na n−1=2，∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n=2n (n∈N∗)．①b k＝a k⋅(a k+a k+1+...+a n)＝2k(2k+2k+1+……+2n)＝2k⋅2k(2n−k+1−1)2−1= 2n+k+1−4k．(1≤k≤n)，∴T n＝2n(22+……+2n+2n+1)−(4+42+……+4n)＝2n×4(2n−1)2−1−4(4n−1)4−1=43(2n+1−1)(2n−1)．②由①可得：2nT n =34(12n−1−12n+1−1)．∴M=34(12−1−122−1+122−1−123−1+⋯⋯+12n−1−12n+1−1)=34(1−12n+1−1)＝f(n)．由于f(n)单调递增，可得：f(1)≤M<34，即12≤M<34．【考点】数列的求和等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】（1）由a n是S n和2的等差中项，可得S n+2＝2a n，当n≥2时，S n−1+2＝2a n−1，相减可得：a n＝2a n−1，n＝1时，可得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）①利用等比数列的求和公式可得：b k＝a k⋅(a k+a k+1+...+a n)＝2k(2k+2k+1+……+2n)＝2n+k+1−4k．(1≤k≤n)，进而得出T n．②由①可得：2nT n =34(12n−1−12n+1−1)．利用裂项求和可得M，再利用数列的单调性即可证明结论．【解答】∵a n是S n和2的等差中项，∴S n+2＝2a n①，当n＝1时，S1+2＝2a1，∴a1＝2，当n≥2时，S n−1+2＝2a n−1②，①-②得：a n＝2a n−2a n−1，∴a n＝2a n−1，∴a na n−1=2，∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n=2n (n∈N∗)．①b k＝a k⋅(a k+a k+1+...+a n)＝2k(2k+2k+1+……+2n)＝2k⋅2k(2n−k+1−1)2−1= 2n+k+1−4k．(1≤k≤n)，∴T n＝2n(22+……+2n+2n+1)−(4+42+……+4n)＝2n×4(2n−1)2−1−4(4n−1)4−1=43(2n+1−1)(2n−1)．②由①可得：2nT n =34(12n−1−12n+1−1)．∴M=34(12−1−122−1+122−1−123−1+⋯⋯+12n−1−12n+1−1)=34(1−12n+1−1)＝f(n)．由于f(n)单调递增，可得：f(1)≤M<34，即12≤M<34．如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，若C是抛物线上一点，且AC⊥EF．（1）证明：直线BE经过AC的中点M；（2）求△ABC面积的最小值及此时直线AC的方程．【答案】由题意可得抛物线的焦F坐标(1, 0)，准线方程为：x＝−1，显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x＝my+1，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线与抛物线的方程：{y2=4xx=my+1，整理可得y2−4my−4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝−4，由题意可得E(−1, y2)，所以k EF=y2−2，所以直线AC 的方程为：y −y 1=2y 2(x −x 1)，所以x =yy 2−y 1y 22+x 1，代入抛物线的方程：y 2−2y 2y +2y 1y 2−4x 1＝0，可得AC 的中点的纵坐标为y 2， 而直线BE 为y ＝y 2，所以可证直线BE 经过AC 的中点M ；设C(x 0, y 0)，B(t 24, t)，则E(−1, t)，由（1）得y 1y 2＝−4，所以A(4t2, −4t)，因为k EF =−t 2，因为AC ⊥EF ，所以k AC =2t，所以直线AC 的方程为：y +4t =2t (x −4t 2)，由{y 2=4x2x −ty −4−8t 2=0 整理可得：y 2−2ty −8−16t 2=0， 所以y 1+y 0＝2t ，y 1y 0＝−8−16t 2，所以|AC|=√1+t 24|y 1−y 0|=√1+t 24√(y 1+y 0)2−4y 1y 0=√4+t 2√t 2+16t 2+8，B 到直线AC 的距离为d =|t 22−t 2−4−8t2|√4+t 2=|t 2+16t2+8|2√4+t 2，所以S △ABC =12|AC|⋅d =14√(t 2+16t 2+8)3≥14√(2√16+8)3=16，当且仅当t 4＝16时，面积取到最小值16，即t ＝±2， t ＝2时，直线AC 为y +2＝x −1，即x −y −3＝0， t ＝−2时，直线AC 为y −2＝−(x −1)即x +y −3＝0．综上所述△ABC 面积的最小值为16，且此时直线AC 的方程：x −y −3＝0或x +y −3＝0． 【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】（1）又抛物线的方程可得F 的坐标及准线方程，设A ，B 的坐标，由题意可得E 的坐标，可得EF 的斜率，再由椭圆可得直线AC 的斜率，进而可得直线AC 的方程，与抛物线联立可得两根之和，可得AC 中点M 的纵坐标与B 的相同，所以可证直线BE 经过AC 的中点M ；（2）设B 的坐标，由（1）可得AB 的纵坐标之积为−4可得A 的坐标（用B 的坐标表示），进而可得E 的坐标，求出直线EF 的斜率，由题意可得直线AC 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AC 的值，再求B 到直线AC 的距离，代入面积公式可得，由均值不等式可得面积的最小值，并且求出此时的直线方程． 【解答】由题意可得抛物线的焦F 坐标(1, 0)，准线方程为：x ＝−1，显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：x ＝my +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 联立直线与抛物线的方程：{y 2=4xx =my +1 ，整理可得y 2−4my −4＝0，y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝−4，由题意可得E(−1, y 2)，所以k EF =y2−2，所以直线AC 的方程为：y −y 1=2y 2(x −x 1)，所以x =yy 2−y 1y 22+x 1，代入抛物线的方程：y 2−2y 2y +2y 1y 2−4x 1＝0，可得AC 的中点的纵坐标为y 2， 而直线BE 为y ＝y 2，所以可证直线BE 经过AC 的中点M ；设C(x 0, y 0)，B(t 24, t)，则E(−1, t)，由（1）得y 1y 2＝−4，所以A(4t2, −4t)，因为k EF =−t 2，因为AC ⊥EF ，所以k AC =2t，所以直线AC 的方程为：y +4t =2t (x −4t 2)，由{y 2=4x2x −ty −4−8t 2=0 整理可得：y 2−2ty −8−16t 2=0， 所以y 1+y 0＝2t ，y 1y 0＝−8−16t 2，所以|AC|=√1+t 24|y 1−y 0|=√1+t 24√(y 1+y 0)2−4y 1y 0=√4+t 2√t 2+16t 2+8，B 到直线AC 的距离为d =|t 22−t 2−4−8t2|√4+t 2=|t 2+16t2+8|2√4+t 2，所以S △ABC =12|AC|⋅d =14√(t 2+16t 2+8)3≥14√(2√16+8)3=16，当且仅当t 4＝16时，面积取到最小值16，即t ＝±2， t ＝2时，直线AC 为y +2＝x −1，即x −y −3＝0， t ＝−2时，直线AC 为y −2＝−(x −1)即x +y −3＝0．综上所述△ABC 面积的最小值为16，且此时直线AC 的方程：x −y −3＝0或x +y −3＝0．已知函数f(x)=x −12sin x −m 2ln x +1，f ′(x)是f(x)的导函数．（1）证明：当m ＝2时，f ′(x)在(0, +∞)上有唯一零点；（2）若存在x 1，x 2∈(0, +∞)，且x 1≠x 2时，f(x 1)＝f(x 2)，证明：x 1x 2<m 2． 【答案】当m ＝2时，f(x)=x −12sin x −ln x +1，f ′(x)=1−12cos x −1x，当x ∈(0, π)时，f ′(x)为增函数，且f ′(π3)=1−14−3π=34−3π<0，f ′(π)=32−1π>0，∴ f ′(x)在(0, π)上有唯一零点，当x ∈[π, +∞)时，f ′(x)=1−12cos x −1x ≥1−12−1x ≥12−1π>0， ∴ f ′(x)在[π, +∞)上没有零点，综上知，f ′(x)在(0, +∞)上有唯一零点；不妨设0<x 1<x 2，由f(x 1)＝f(x 2)得x 1−12sin x 1−m2ln x 1+1=x 2−12sin x 2−m2ln x2+1，∴m2(ln x2−ln x1)=x2−x1−12(sin x2−sin x1)，设g(x)＝x−sin x，则g′(x)＝1−cos x≥0，故g(x)在(0, +∞)为增函数，∴x2−sin x2>x1−sin x1，从而x2−x1>sin x2−sin x1，∴m2(ln x2−ln x1)=x2−x1−12(sin x2−sin x1)>12(x2−x1)，∴m>x2−x1ln x2−ln x1，下面证明：x2−x1ln x2−ln x1>√x1x2，令t=x2x1，则t>1，即证明t−1ln t>√t，只要证明ln t−√t<0，(∗)设ℎ(t)=ln t√t ，则ℎ(t)=√t−1)22t√t<0，∴ℎ(t)在(1, +∞)单调递减，当t>1时，ℎ(t)<ℎ(1)＝0，从而(∗)得证，即x2−x1ln x2−ln x1>√x1x2，∴m>√x1x2，即x1x2<m2．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求出f′(x)，分析出当x∈(0, π)时，f′(x)为增函数，且f′(π3)=1−14−3π=34−3π<0，f′(π)=32−1π>0，得到f′(x)在(0, π)上有唯一零点，又因为当x∈[π, +∞)时，f′(x)=1−12cos x−1x≥1−12−1x≥12−1π>0，所以f′(x)在[π, +∞)上没有零点，从而得出f′(x)在(0, +∞)上有唯一零点；（2）不妨设0<x1<x2，由f(x1)＝f(x2)得x1−12sin x1−m2ln x1+1=x2−12sin x2−m 2ln x2+1，即m2(ln x2−ln x1)=x2−x1−12(sin x2−sin x1)．设g(x)＝x−sin x，利用导数得到g(x)在(0, +∞)为增函数，从而m>x2−x1ln x2−ln x1，再证明：x2−x1ln x2−ln x1>√x1x2．从而得出m>√x1x2，即x1x2<m2．【解答】当m＝2时，f(x)=x−12sin x−ln x+1，f′(x)=1−12cos x−1x，当x∈(0, π)时，f′(x)为增函数，且f′(π3)=1−14−3π=34−3π<0，f′(π)=32−1π>0，∴f′(x)在(0, π)上有唯一零点，当x∈[π, +∞)时，f′(x)=1−12cos x−1x≥1−12−1x≥12−1π>0，∴f′(x)在[π, +∞)上没有零点，综上知，f′(x)在(0, +∞)上有唯一零点；不妨设0<x1<x2，由f(x1)＝f(x2)得x1−12sin x1−m2ln x1+1=x2−12sin x2−m2ln x2+1，∴m2(ln x2−ln x1)=x2−x1−12(sin x2−sin x1)，设g(x)＝x−sin x，则g′(x)＝1−cos x≥0，故g(x)在(0, +∞)为增函数，∴x2−sin x2>x1−sin x1，从而x2−x1>sin x2−sin x1，∴m2(ln x2−ln x1)=x2−x1−12(sin x2−sin x1)>12(x2−x1)，∴m>x2−x1ln x2−ln x1，下面证明：x2−x1ln x2−ln x1>√x1x2，令t=x2x1，则t>1，即证明t−1ln t>√t，只要证明ln t−√t<0，(∗)设ℎ(t)=ln t√t ，则ℎ(t)=√t−1)22t√t<0，∴ℎ(t)在(1, +∞)单调递减，当t>1时，ℎ(t)<ℎ(1)＝0，从而(∗)得证，即x2−x1ln x2−ln x1>√x1x2，∴m>√x1x2，即x1x2<m2．。
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2019-2020学年浙江省十校联盟高三（下）开学数学试卷
一、选择题
1．（4分）设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，则（∁R A）∩B＝（）A．R B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，3]D．[﹣2，4]
2．（4分）已知双曲线的上、下焦点分别为F1（0，﹣3），F2（0，3），P是双曲线上一点且||PF1|﹣|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为（）
A．B．
C．D．
3．（4分）已知两非零复数z1，z2，若z1•z2∈R，则一定成立的是（）A．z1+z2∈R B．C．D．
4．（4分）已知a，b∈R，则“|a|≤1”是“|a﹣b|+|b|≤1”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）
A．4B．C．2D．6．（4分）函数y＝的图象大致为（）
A．B．
C．D．
7．（4分）设，相互独立的两个随机变量ξ，η的分布列如表：ξ﹣11
P
η﹣11
P1﹣p p
则当p在内增大时（）
A．E（ξ+η）减小，D（ξ+η）增大
B．E（ξ+η）减小，D（ξ+η）减小
C．E（ξ+η）增大，D（ξ+η）增大
D．E（ξ+η）增大，D（ξ+η）减小
8．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为CD的中点，△ADE沿着AE向上翻折，使点D到D'．若D'在平面ABCD上的投影H落在梯形ABCE内部（不含边界），设二面角D'﹣BC﹣E的大小为α，直线D'C，D'B与平面ABC所成角分别为β，γ，则（）
A．α＜β＜γB．β＜α＜γC．β＜γ＜αD．γ＜β＜α
9．（4分）已知a＞b＞0，给出下列命题：
①若，则a﹣b＜1；②若a3﹣b3＝1，则a﹣b＜1；
③若e a﹣e b＝1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb＝1，则a﹣b＜1．
其中真命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
10．（4分）已知数列{a n}的各项都是正数且满足2a n2﹣3a n＝a n﹣1（n∈N*，n≥2），S n是数列{a n}的前n项和，则下列选项中错误的一项是（）
A．若{a n}单调递增，则0＜a1＜2
B．若a1＝1，则
C．若a1≠2，则
D．若a1＝3，则．
二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）
11．（6分）我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国
古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为α，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则sinα＝，＝．
12．（6分）已知直线l：y＝kx被圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝4截得的弦长为，则k＝，圆C上到直线l的的距离为1的点有个．
13．（6分）（1）若二项式的展开式中存在常数项，则n的最小值为；
（2）从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为．（用数字作答）
14．（6分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，c＝5，B＝2C，则cos C＝，点D为边BC上一点，且BD＝6，则△ADC的面积为．
15．（4分）已知F是椭圆C：的左焦点，A，B是椭圆C上的两个相异动点，若AB中点的横坐标为1，则F到直线AB距离的最小值为．
16．（4分）已知向量满足，且，则的取值范围为．
17．（4分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+ax（a＜0，a∈R），若函数f（x）有三个互不相同的零点0，t1，t2，其中t1＜t2，若对任意的x∈[t1，t2]，都有f（x）≤a+14成立，则实数a 的最小值为．
三、解答题（共5小题，满分74分）
18．（14分）已知函数的图。