高中数学竞赛辅导(证明两直线垂直或平行)
两条直线平行和垂直的判定-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件
作 业
难
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情ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课
景 导
判断两条不重合直线是否平行的步骤
堂 小
学
结
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探
提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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[跟进训练]
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情 景
1．已知▱ABCD
的三个顶点的坐标分别为
A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，
课 堂
导
小
学 求顶点 D 的坐标．
·
结
探
提
新 知
[解]
设 D(m，n)，由题意，得 AB∥DC，AD∥BC，则有 kAB＝
作
课
探 究
所以 kAC·kAB＝－1，
堂 小
学 探
类型
斜率存在
斜率不存在
·
结 提
新 知
条件 α1＝α2_≠_9_0_°__
α1＝α2_＝__9_0°_
素 养
合
对应关系 l1∥l2⇔_k_1_＝__k2__ l1∥l2⇔两直线斜率都不存在
作
课
探
时
究
图示
分 层
释
作
疑
业
难
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情
课
景
堂
导 学
思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？
素 养
合 kDC，kAD＝kBC.
作
探 究
释
01－ －10＝43－－mn ，
《两条直线平行和垂直的判定》示范公开课教学PPT课件【高中数学】
答案：设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量 分别是a=(1，k1)，b=(1，k2)，于是
l1⊥l2 ⇔a⊥b ⇔a·b=0 ⇔1×1+k1k2=0 ⇔k1k2=–1.
解：如图，
AB边所在直线的斜率kAB=
–
1，
2
CD边所在直线的斜率kCD=
–
1，
2
BC边所在直线的斜率kBC=
3，
2
DA边所在直线的斜率kDA=
3．
2
y
D
C
A
O
x
B
知识应用
例2
已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)， 试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
解：
因为kAB=kCD，kBC=kDA， 所以AB∥CD，BC∥DA． 因此四边形ABCD是平行四边形．
y
D
C
A
O
x
B
知识应用
例3
已知A(–6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，–6)，试判断直线AB与PQ的
位置关系．
解：直线AB的斜率kAB=
2，
3
直线PQ的斜率kPQ=
–
3．
2
因为kABkPQ=23×
y l1
l2
α1
α2
O
x
若没有特别说明， 说“两条直线l1，l2”时， 指两条不重合的直线.
l1∥l2
α1=α2 tanα1=tanα2 k1=k2 ⇒l1∥l2
高一数学竞赛培训讲义：直线方程(教师版)
直线方程讲义1. 直线的倾斜角α的取值范围是[0,π).2. 已知直线上不同的两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),当x 1≠x 2时,直线PQ 的斜率为;当x 1=x 2时,直线PQ 的斜率不存在.3. 当直线与x 轴不垂直时,直线的斜率k 与直线的倾斜角α之间的关系是k=tan α.?4. 直线方程的五种形式: (注意 “截距”这个概念)5.两条直线的平行与垂直 1. 平行(1) 已知两条直线l 1,l 2的斜率分别是k 1,k 2,它们在y 轴上的截距分别是b 1,b 2,那么l 1∥l 2的充要条件是k 1=k 2,b 1≠b 2;l 1与l 2相交的充要条件是k 1≠k 2.(2) 已知两条直线l 1:a 1x+b 1y+c 1=0,l 2:a 2x+b 2y+c 2=0,那么l 1∥l 2的充要条件是l 1与l 2的斜率相等或都不存在.(3) 当两直线l 1,l 2的斜率都不存在时,则l 1与l 2平行.(填“平行”、“相交”或“垂直”)2. 垂直2121--y y x x(1) 已知两条直线l 1,l 2的斜率分别是k 1,k 2,那么l 1⊥l 2 ⇔k 1k 2=-1. (2) 已知两条直线l 1:a 1x+b 1y+c 1=0,l 2:a 2x+b 2y+c 2=0,那么l 1⊥l 2 的充要条件是a 1a 2+b 1b 2=0.(3) 当两直线中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l 1与l 2的位置关系为垂直.(填“平行”、“相交”或“垂直”)3. 两直线公共点的个数设两直线方程分别是l 1:a 1x+b 1y+c 1=0,l 2:a 2x+b 2y+c 2=0.(1) 若方程组(*)的解有一组,则l 1与l 2的位置关系为相交.(2) 若方程组(*)的解有无穷多组,则l 1与l 2的位置关系为重合. (3) 若方程组(*)无解,则l 1与l 2的位置关系为平行. 4. 距离(1) 平面上两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)之间的距离(2) 点P(x 0,y 0)到直线l:ax+by+c=0的距离d=(3) 两平行直线ax+by+m=0与ax+by+n=0间的距离.例题讲解直线的斜率公式例1已知点A(1,-3),B(2,m-1),C(-1,4),直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍,求实数m 的值.[思维引导]直线AC 的斜率为定值,可以根据斜率公式建立等量关系,进而确定m 的值.根据题意得k AC =3k BC ,即=3×,解得m=. 直线的倾斜角与斜率例2已知线段PQ 两端点的坐标分别为(-1,1),(2,2).若直线l:x+my+m=0与线段PQ 有交点,求实数m 的取值范围.[思维引导]直线l 过定点(0,-1),借助图形观察直线l 的斜率的变化情况,很容易1112220,0a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩7-25--3m 32发现斜率的变化情况.[解答]如图:(例2)①当m=0时,直线l 的斜率不存在,即x=0与已知线段PQ 有交点,满足题意.②当m ≠0时,直线l 的斜率为-,要想使直线l 与线段PQ 有交点,必须满足k l≥k AQ 或k l ≤k AP ,即-≥或-≤-2,所以-≤m<0或0<m ≤.综上所述,m ∈.[精要点评]本题直线l 必过一个定点(0,-1),直线l 夹在直线AQ 与直线AP 之间,所以学生很容易把直线l 的斜率认为只是k l ≥k AQ 或k l ≤k AP ,忽视直线l 倾斜角的变化.当倾斜角范围中有90°的时候,直线的斜率范围要分开写. 利用待定系数法求直线的方程例3经过点A(-5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程是 .[解析]当截距为0时,直线经过点A(-5,2)和O(0,0),直线方程为2x+5y=0.当截距不为0时,设直线方程为+=1,由直线经过点A(-5,2),得+=1,解得b=-,则直线方程为x+2y+1=0.[精要点评]截距不是距离,可以为0,也可以为正数或负数.过点A(-5,-4)作一直线l,使它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形面积为5,求直线l 的方程.[解答]设直线l 的方程为y+4=k(x+5),交x 轴于点,交y 轴于点(0,5k-4),1m 1m 321m 231221-,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦2x b y b -52b 2b 124-5,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭则有S=××|5k-4|=5,即=10,即25k 2-30k+16=0或25k 2-50k+16=0,解得k=或 k=.所以直线l 的方程为2x-5y-10=0或8x-5y+20=0. 两直线的平行与垂直关系例4(2014·广东六校联考)如果直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,那么a= .[解析]由于直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则有(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得a=±2.若直线l 1:(3+a)x+4y=5-3a 和直线l 2:2x+(5+a)y=8平行,则a= .[解析]根据题意有=≠,解得a=-7.利用直线之间的关系求直线方程例5 已知两点M(0,2),N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k 为常数).若点M,N 到直线l 的距离相等,求直线l 的方程.[解答]因为点M,N 到直线l 的距离相等, 所以l ∥MN 或l 过MN 的中点. 因为M(0,2),N(-2,0),所以k MN =1,MN 的中点坐标为C(-1,1). 又直线l:kx-y-2k+2=0过点D(2,2), 当l ∥MN 时,k=k MN =1,经检验符合题意;当l 过MN 的中点时,-k-1-2k+2=0,解得k=.综上,直线l 的方程为x-y=0或x-3y+4=0. 关于直线(或点)的对称问题例6 已知点A 的坐标为(-4,4),直线l 的方程为3x+y-2=0.(1) 求点A 关于直线l 的对称点A'的坐标;124-5k 1640--25k k 258532a +45a +5-38a 13(2) 求直线l 关于点A 的对称直线l'的方程.[思维引导](1) 点A 与A'关于直线l 对称,主要运用两点,一个是AA'⊥l,另一个是AA'的中点坐标满足直线l 的方程3x+y-2=0;(2) 关于点A 对称的两直线l 与l'互相平行,由此可以求出直线l 关于点A 的对称直线l'的方程.[解答](1) 设点A'的坐标为(x',y').因为点A 与A'关于直线l 对称,所以AA'⊥l,且AA'的中点在l 上,而直线l 的斜率是-3,所以k AA'=,即=. ①因为直线l 的方程为3x+y-2=0,AA'的中点坐标是,所以3·+-2=0. ②由①和②,解得x'=2,y'=6,所以点A'的坐标为(2,6).(2) 因为关于点A 对称的两直线l 与l'互相平行,于是可设l'的方程为3x+y+c=0.在直线l 上任取一点M(0,2),其关于点A 对称的点为M'(x',y'),于是M'点在l'上,且MM'的中点为点A,由此得=-4,=4,即x'=-8,y'=6,故有M'(-8,6).因为点M'在l'上,所以3×(-8)+6+c=0,所以c=18. 故直线l'的方程为3x+y+18=0. 在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:(1) 点P 到点A(4,1)和B(3,4)的距离之和最小; (2) 点P 到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大.[思维引导](1) A,B 两点在直线l 的同侧,直线l 上点P 到A,B 两点的距离之和等价于点P 到A,B'两点的距离之和(点B'与点B 关于直线l 对称);这样就将原来的问题转化为简单问题“在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得点P 到点A(4,1)和点B'的距离之和最小”了,所求点即为直线l 与AB'的交点.(2) A,B 两点在直线l 的异侧,直线l 上点P 到A,B 两点的距离之差等价于点P 到A,B'两点的距离之差(点B'与点B 关于直线l 对称);这样就将原来的问题转化为简13'-4'4y x +13'-4'4,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭'-42x '42y +'02x +'22y +单问题“在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得点P 到点A(4,1)和点B'的距离之差最大”了,所求点即为直线l 与AB'的交点.[规范答题](1) 如图(1),设点B 关于直线l 的对称点为B',则PA+PB=PA+PB'≥AB',即PA+PB 的最小值等于AB'.此时直线AB'与直线l 的交点即为点P.(2分)设点B'(m,n),则解得 即点B'的坐标为. (6分)由两点式可求得直线AB'的方程为19x+17y-93=0.则易得直线AB'与l 的交点坐标为,即为所求的点P 的坐标. (7分)图(1) 图(2)(2) 如图(2),设点B 关于直线l 的对称点为B',则PA-PB=PA-PB'≤AB',即PA-PB 的最大值等于AB'.此时直线AB'与直线l 的交点即为点P.(9分)设点B'(m,n),则解得即点B'的坐标为(3,3).所以直线AB' 的方程为2x+y-9=0.(12分)343--10,22-41-,-33m nn m ++⎧⋅=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3,524.5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩324,55⎛⎫⎪⎝⎭1126,77⎛⎫ ⎪⎝⎭43--10,22-41-,3m n n m +⎧⋅=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3,3.m n =⎧⎨=⎩所以直线AB'与直线l 的交点为(2,5),即点P 的坐标为(2,5).(14分) [精要点评]本题无法直接去做,需通过求点B 的对称点B',将PB 转化为PB',从而实现问题的解决.这里运用了重要的数学思想方法——化归思想!习题精选1. 直线l:xtan +y+1=0的倾斜角α= .[解析]因为α∈[0,π),k=tan α=-tan =tan （π-）=tan ,所以α=. 2. 已知两点A(3,2),B(8,12),若点C(-2,a)在直线AB 上,则实数a 的值是 .-8[解析]直线AB 的方程为y-2=(x-3),即y=2x-4,所以a=-8.3. 若点A(ab,a+b)在第一象限,则直线bx+ay-ab=0不经过第 象限.三 [解析]因为点A 在第一象限,所以ab>0且a+b>0,即a>0,b>0.因为bx+ay-ab=0⇒y=-x+b,因为-<0,直线与y 轴的交点为(0,b),所以直线不过第三象限. 4.若不论m 取何实数,直线l:mx+y-1+2m=0恒过一定点,则该定点的坐标为 . (-2,1)[解析]l:mx+y-1+2m=0变形为(x+2)m+y-1=0,易知定点坐标是(-2,1).5. 已知直线l 的方程为-3x+2y=12,那么直线l 的斜率为 ,在x 轴上的截距为 ,在y 轴上的截距为 . -4 6[解析]直线l 的斜截式方程为y=x+6,故k=.令y=0,得x=-4,所以直线l 在x 轴上的截距为-4;令x=0,得y=6,所以直线l 在y 轴上的截距为6.5π45π5π5π45π45π12-28-3b a ba 3232326. (必修2P73练习3改编)若直线l经过点A(1,2),且倾斜角是直线y=x+3的倾斜角的2倍,则直线l的方程为.x=1[解析]直线y=x+3的倾斜角为α=45°,所以所求直线的倾斜角为2α=90°,所以直线l的方程为x=1.7 (必修2P96练习3改编)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为.x-2y+7=0[解析]因为所求直线与直线x-2y+3=0平行,故可设所求直线方程为x-2y+c=0,又因为点(-1,3)在所求直线上,所以-1-2×3+c=0,解得c=7.8. 过点M(3,-4),且与直线2x+3y-21=0垂直的直线的方程是3x-2y-17=09. 若点A(1,3)在直线l上的射影为(-5,1),那么直线l的方程是. 3x+y+14=010.若动点P在直线x+2y-4=0上,O为原点,则OP的最小值为.11.已知直线l:y=3x+3.(1) 直线l关于点M(3,2)对称的直线的方程为y=3x-17;(2) 直线l关于直线x+y+2=0对称的直线的方程为x-3y-1=0. [解析](1) 设点N(x,y)是所求直线上任一点,则点N关于点M(3,2)的对称点(6-x,4-y)在直线l:y=3x+3上,代入得3x-y-17=0.(2) 设点M(x,y)是所求直线上任一点,则点M关于直线x+y+2=0的对称点为(-y-2,-x-2)在直线l:y=3x+3上,代入得x-3y-1=0.12、已知△ABC的顶点A(0,1),AB边上的中线CD所在直线的方程为2x-2y-1=0,AC 边上的高BH所在直线的方程为y=0.求△ABC的顶点B,C的坐标和BC边所在直线的方程.解析 AC边上的高BH所在直线方程为y=0,所以AC:x=0;又CD:2x-2y-1=0,所以C;设B(b,0),则AB的中点为D,代入方程2x-2y-1=0,解得b=2,所以B(2,0),所以kBC =,BC边所在直线的方程为x-4y-2=0.510,-2⎛⎫⎪⎝⎭1,22b⎛⎫⎪⎝⎭1413. 在△ABC 中,已知点A(5,-2),B(7,3),且AC 边的中点M 在y 轴上,BC 边的中点N 在x 轴上.(1) 求顶点C 的坐标; (2) 求直线MN 的方程.解析(1) 设点C(x 0,y 0),则AC 的中点M ,BC 的中点为N .因为点M 在y 轴上,点N 在x 轴上,所以x 0=-5,y 0=-3,即点C(-5,-3).(2) 由(1)得点M ,N(1,0),所以直线MN 的方程为+=1,即5x-2y-5=0.14. 过点P(4,1),作直线l 分别交x,y 轴正半轴于A,B 两点. (1) 当△AOB 面积最小时,求直线l 的方程; (2) 当OA+OB 取最小值时,求直线l 的方程.解析设直线l:+=1(a>0,b>0),因为直线l 经过点P(4,1),所以+=1. (1) +=1≥,所以ab ≥16,当且仅当a=8,b=2时等号成立,所以a=8,b=2时,△AOB 的面积最小,此时直线l 的方程为+=1,即x+4y-8=0. (2) 因为+=1,a>0,b>0,所以OA+OB=a+b=(a+b)=5++≥9,当且仅当a=6,b=3时等号成立,所以OA+OB 最小时,直线l 的方程为x+2y-6=0.005-2,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭0073,22x y ++⎛⎫⎪⎝⎭50,-2⎛⎫⎪⎝⎭1x 5-2y x a y b 4a 1b 4a 1b 8x 2y4a 1b 41a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b 4b a。
高中数学选择性必修一(人教版)《2.1.2两条直线平行和垂直的判定》课件
图示
l1 与 l2 中的一条斜率不
对应 l1 与 l2 的斜率都存在， 存在(倾斜角为 90°)，另
关系 分别为 k1，k2，则 l1⊥ 一条斜率 为零 (倾斜 角
l2⇔ k1·k2＝－1
为 0°)，则 l1 与 l2 的位置
关系是 l1⊥l2
(二)基本知能小试
1．已知直线 l1 的斜率 k1＝2，直线 l2 的斜率 k2＝－12，则 l1 与 l2
故选 A. 答案：A
2．已知定点 A(－1,3)，B(4,2)，以 A，B 为直径作圆，与 x 轴有 交点 C，则交点 C 的坐标是_______．
解析：以线段 AB 为直径的圆与 x 轴的交点为 C， 则 AC⊥BC.设 C(x,0)，则 kAC＝x－＋31，kBC＝x－－24， 所以x－＋31·x－－24＝－1.解得 x＝1 或 2. 所以 C 的坐标为(1,0)或(2,0)． 答案：(1,0)或(2,0)
解得ab＝ ＝－ 6. 1，
所以 D(－1,6)． (2)因为 kAC＝43－ －21＝1，kBD＝－6－1－05＝－1，
所以 kAC·kBD＝－1. 所以 AC⊥BD.故平行四边形 ABCD 为菱形．
二、应用性——强调学以致用 2．如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，
已知矩形花园长 AD 为 5 m，宽 AB 为 3 m， 其中一条小路定为 AC，另一条小路过点 D，问如何在 BC 上 找到一点 M，使得两条小路所在直线 AC 与 DM 互相垂直？
解：由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置如图所示， 由斜率公式可得 kAB＝2－5－－34＝13， kCD＝－0－3－36＝13，kAD＝－30－－3－4＝－3， kBC＝36－ －52＝－12.
高中数学竞赛辅导（证明两直线垂直或平行）
高中数学竞赛辅导（证明两直线垂直或平行）高中数学竞赛辅导（证明两直线垂直）一、利用三角形中的基本定理（1）勾股定理的逆定理：在△ABC中，若222+=，则AB⊥AC;(2) 在△ABC中，AB AC BCD在边BC所在的直线上，若2222-=-，则AD⊥BC；（3）在Rt△ABC中，∠AB AC BD CDBAC=900，D是边BC上一点，若2AB BD BC=?，则AD⊥BC。
1．已知⊙O和⊙O'相交于点A、B过点A的直线分别交⊙O和⊙O'于点P、Q，且AP=AQ，又M为PB（不含点A的）中点，N为QB（不含点A的）中点，求证：MN⊥AB。
2．圆内接四边形ABCD中，延长AB、DC交于点E，延长AD、BC交于F，EM、FN为圆的切线，分别以E、F为圆心，EM、FN为半径作弧，两弧交于K，求证：EK⊥KF。
3．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，PA=AB，D为BP的三等分点（即2BD=DP），求证：AD⊥PO。
二、利用全等、相似或圆的性质，直接计算4．△ABC的内心为I，内切圆分别切BC、CA于点D、E，如果BI 交DE于点G，求证：AG⊥BG。
5．已知两个半径不相等的⊙O1和⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1和⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点，又S、N、T三点共线，求证：OM⊥MN。
6．半圆圆心为O，直径为AB，一直线交圆周于C、D，交AB于M（MB<ma,mc三、利用另外的线作“桥”7．已知⊙O 和⊙O '相交于A 、B 两点，P 为⊙O 上的点，PA 、PB 分别交⊙O '于C 、D ，求证：PO ⊥CD8．已知⊙O 和⊙O '相交于A 、D 两点，过点D 作直线BC 垂直于AD ，分别交⊙O 、⊙O '于C 、B 两点，K 是BC 中点，过点A 的任一直线QP 交⊙O 、⊙O '于Q 、P 两点，M 是PQ 的中点，求证：MK ⊥PQ 。
专题 7用向量法证明平行与垂直2021届高考数学核心素养大秘籍(解析版)
第七篇 立体几何与空间向量 专题7.05 用向量法证明平行与垂直【考纲要求】1.理解直线的方向向量与平面法向量的意义．2.能用向量语言表达直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系．3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 【命题趋势】空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题. 【核心素养】本讲内容主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 【素养清单•基础知识】1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔ v 1∥v 2 .(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔ 存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2 .(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔ v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β ⇔ u 1∥u 2 . 3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2， 则l 1⊥l 2⇔ v 1⊥v 2 ⇔ v 1·v 2＝0 . (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ， 则l ⊥α⇔ v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β ⇔ u 1⊥u 2 ⇔ u 1·u 2＝0 .【基础检测题】一、选择题1．若直线l ∥平面α，直线l 的方向向量为s ，平面α的法向量为n ，则下列结论可能正确的是( ) A ．s ＝(－1,0,2)，n ＝(1,0，－1) B ．s ＝(－1,0,1)，n ＝(1,2，－1) C ．s ＝(－1,1,1)，n ＝(1,2，－1) D ．s ＝(－1,1,1)，n ＝(－2,2,2) 【答案】C【解析】由已知需s ·n ＝0，逐个验证知，只有C 项符合要求，故选C. 2．(2019·邢台期末)已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量为( ) A ．(13，－23，23) B ．(－13，23，－23) C ．±(13，－23，23) D ．(23，13，－23) 【答案】C【解析】设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AC →·n ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0.令z ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－1.所以n ＝(12，－1,1)．所以平面ABC 的单位法向量为±n|n|＝±(13，－23，23)． 3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥平面α，则x ＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．±2【答案】D【解析】 由已知得s ·n ＝0，故－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0，解得x ＝±2. 4．(2019·合肥八中月考)已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3,6)，则下列点P 在平面α内的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4) 【答案】A【解析】 因为n ＝(6，－3,6)是平面α的法向量，所以n ⊥MP →，在选项A 中，MP →＝(1,4,1)，所以n ·MP →＝0. 5．(2019·南阳期末)若两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，则l 1与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不确定 【答案】A【解析】v 2＝－2v 1，所以l 1∥l 2.6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．斜交B ．平行C ．垂直D ．不确定 【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，由于A 1M ＝AN ＝2a 3，则M ⎝⎛⎭⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，a ，MN →＝⎝⎛⎭⎫－a 3，0，2a 3，又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，所以C 1D 1→＝(0，a,0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量．因为MN →·C 1D 1→＝0，所以MN →⊥C 1D 1→，所以MN ∥平面BB 1C 1C ，故选B.二、填空题7．若直线l 的方向向量e ＝(2,1，m )，平面α的法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝________.【答案】4【解析】因为l ⊥α，所以e ∥n ，即e ＝λn (λ≠0)，亦即(2,1，m )＝λ⎝⎛⎭⎫1，12，2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，m ＝2λ.则m ＝4.8．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为________． 【答案】407，－157，4【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3＋5－2z ＝0，x －1＋5y ＋6＝0，x －＋y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y＝－157，z ＝4.9．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________． 【答案】平行【解析】由已知得，AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)，设平面α的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥AB →，m ⊥AC →，得⎩⎪⎨⎪⎧ y －z ＝0，x －z ＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝z ，令z ＝1，得m ＝(1,1,1)． 又n ＝(－1，－1，－1)，所以m ＝－n ，即m ∥n ，所以α∥β. 三、解答题10．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段PA ，PD ，AB 的中点．求证： (1)PB ∥平面EFH ； (2)PD ⊥平面AHF.【答案】见解析；【解析】：证明 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.所以A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，H (1,0,0)． (1)因为PB →＝(2,0，－2)，EH →＝(1,0，－1)，所以PB →＝2EH →， 所以PB ∥EH .因为PB ⊄平面EFH ，EH ⊂平面EFH ， 所以PB ∥平面EFH .(2)PD →＝(0,2，－2)，AH →＝(1,0,0)，AF →＝(0,1,1)，所以PD →·AF →＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD →·AH →＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，所以PD ⊥AF ，PD ⊥AH ，又因为AF ∩AH ＝A ，所以PD ⊥平面AHF .11．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1的中点． (1)求证：AG ∥平面BEF ；(2)试在棱长BB 1上找一点M ，使DM ⊥平面BEF ，并证明你的结论．【答案】见解析；【解析】：(1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，1，F ⎝⎛⎭⎫12，1，1，G ⎝⎛⎭⎫0，12，1，因为EF →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0，BF →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1，而AG →＝⎝⎛⎭⎫－1，12，1，所以AG →＝EF →＋BF →，故AG →与平面BEF 共面，又因为AG 不在平面BEF 内，所以AG ∥平面BEF .(2)设M (1,1，m )，则DM →＝(1,1，m )，由DM →·EF →＝0，DM →·BF →＝0，所以－12＋m ＝0⇒m ＝12 ，所以M 为棱BB 1的中点时，DM ⊥平面BEF .12．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1. (1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.【答案】见解析；【解析】：证明 (1)以B 为原点，以BA ，BC ，BB 1为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，E (3,0,1)，F (0,3,2)，D 1(3,3,3)，则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)，BD 1→＝(3,3,3)，所以BD 1→＝BE →＋BF →.由向量共面的充要条件知E ，B ，F ，D 1四点共面．(2)设M (0,0，z 0)，G ⎝⎛⎭⎫0，23，0，则GM →＝⎝⎛⎭⎫0，－23，z 0， 而BF →＝(0,3,2)，由题设得GM →·BF →＝－23×3＋z 0·2＝0， 得z 0＝1.故M (0,0,1)，有ME →＝(3,0,0)．又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0)，所以ME →·BB 1→＝0，ME →·BC →＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC . 又BB 1∩BC ＝B ，故ME ⊥平面BCC 1B 1.13．如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC ，EA ⊥EB . (1)求证：AB ⊥DE ；(2)求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面FBD ？若存在，求出EFEA ；若不存在，请说明理由．【答案】见解析；【解析】：(1)证明：取AB 的中点O ，连接EO ，DO .因为EB ＝EA ，所以EO ⊥AB . 因为四边形ABCD 为直角梯形．AB ＝2CD ＝2BC ，AB ⊥BC ，所以四边形OBCD 为正方形，所以AB ⊥OD . 因为EO ∩DO ＝O ，所以AB ⊥平面EOD ，所以AB ⊥ED . (2)因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且EO ⊥AB ， 所以EO ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥OD .由OB ，OD ，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . 因为三角形EAB 为等腰直角三角形， 所以OA ＝OB ＝OD ＝OE ，设OB ＝1，所以O (0,0,0)，A (－1,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，E (0,0,1)． 所以EC →＝(1,1，－1)，平面ABE 的一个法向量为OD →＝(0,1,0)． 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈EC →，OD →〉|＝|EC →·O D →||EC →||OD →|＝33，即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为33. (3)存在点F ，且EF EA ＝13时，有EC ∥平面FBD . 证明如下：由EF →＝13EA →＝⎝⎛⎭⎫－13，0，－13，得F ⎝⎛⎭⎫－13，0，23，所以FB →＝⎝⎛⎭⎫43，0，－23，BD →＝(－1,1,0)． 设平面FBD 的法向量为v ＝(a ，b ，c )，则有⎩⎪⎨⎪⎧v ·BD →＝0，v ·FB →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，43a －23c ＝0，取a ＝1，得v ＝(1,1,2)．因为EC →·v ＝(1,1，－1)·(1,1,2)＝0，且EC ⊄平面FBD ，所以EC ∥平面FBD ，即点F 满足EF EA ＝13时，有EC ∥平面FBD .【高考真题解密】1. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A −MA 1−N 的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）5. 【解析】（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点， 所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ．又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ． 由题设知A 1B 1=DC ，可得B 1C =A 1D ，故ME =ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ．又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(12)A M =--，1(1,0,2)A N =--，(0,MN =．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，所以2040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是cos ,||5⋅〈〉===‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【解析】（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ， 故11B C ⊥BE ．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知190BEB ∠=︒．由题设知Rt ABE △≌11Rt A B E △，所以45AEB ∠=︒， 故AE AB =，12AA AB =．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，||DA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D –xyz ，则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），(1,0,0)CB =，(1,1,1)CE =-，1(0,0,2)CC =．设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则 0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0,x x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取n =(0,1,1)--.设平面1ECC 的法向量为m =（x ，y ，z ），则10,0,CC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,0.z x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取m =（1，1，0）． 于是1cos ,||||2⋅<>==-n m n m n m ． 所以，二面角1B EC C --【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.3.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ．又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）作EH ⊥BC ，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ． 由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，EH以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H –xyz ，则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，0CG =（1，0AC =（2，–1，0）．设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 所以可取n =（3，6，）．又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0），所以cos ,||||2⋅〈〉==n m n m n m ． 因此二面角B –CG –A 的大小为30°．【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，最后通过建系的向量解法将求二面角转化为求二面角的平面角问题，突出考查考生的空间想象能力.4.【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （1）求证：CD ⊥平面PAD ；（2）求二面角F –AE –P 的余弦值；（3）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）（3）见解析. 【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ．又因为AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ．（2）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系A −xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2）．因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）．所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AE PC AP ==-=． 所以1222224,,,,,3333333PF PC AF AP PF ⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设平面AEF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,2240.333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令z =1，则1,1y x =-=-．于是=(1,1,1)--n ．又因为平面PAD 的法向量为p =（1，0，0），所以cos ,||3⋅〈〉==-‖n p n p n p . 由题知，二面角F −AE −P（3）直线AG 在平面AEF 内．因为点G 在PB 上，且2,(2,1,2)3PG PB PB ==--， 所以2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由（2）知，平面AEF 的法向量=(1,1,1)--n . 所以4220333AG ⋅=-++=n . 所以直线AG 在平面AEF 内.【名师点睛】（1）由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；（2）建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F −AE −P 的余弦值；（3）首先求得点G 的坐标，然后结合平面AEF 的法向量和直线AG 的方向向量即可判断直线是否在平面内.5.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）35．【解析】方法一：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC．（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）．不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E EG由于O 为A 1G的中点，故12A G EO OG === 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅． 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，B，1，0），1B，3,2F ，C (0，2，0)．因此，33(,2EF =，(BC =． 由0EF BC ⋅=得EF BC ⊥．（2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(310)=(02BC A C --，，，，，． 设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，， 由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅，n n n |，因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35． 【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.【考法拓展•题型解码】考法一 利用空间向量证明平行问题解题技巧(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．【例1】 如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .【答案】见解析；【解析】：证明 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，G (1,2,0)．所以PB →＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)，FG →＝(1,1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.所以PB →＝2FE →＋2FG →，又因为FE →与FG →不共线，所以PB →，FE →与FG →共面．因为PB ⊄平面EFG ，所以PB ∥平面EFG .考法二 利用空间向量证明垂直问题解题技巧证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．【例2】 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .【答案】见解析；【解析】：证明 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，连OO 1，以O 为原点，分别以OB →，OO 1→，OA →所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A (0,0，3)，A 1(0,2，3)，B 1(1,2,0)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1,2，3)，BD →＝(－2,1,0)．因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，⇒⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1,2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量，而AB 1→＝(1,2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD .【例3】 (2019·四川绵阳中学模拟)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为棱AD ，PB 的中点，且PD ＝AD .求证：平面CEF ⊥平面PBC .【答案】见解析；【解析】：证明 建立如图所示空间直角坐标系，令PD ＝1，则A (1,0,0)，P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，0，0，F ⎝⎛⎭⎫12，12，12，设平面CEF 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·EF →＝0，n 1·EC →＝0，得⎩⎨⎧ 12y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0，取x ＝1，则n 1＝⎝⎛⎭⎫1，12，－12. 同理求得平面PBC 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎫0，12，12.因为n 1·n 2＝1×0＋12×12－12×12＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面CEF ⊥平面PBC .考法三 利用空间向量解决探索性问题归纳总结对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是先根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．【例4】 如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1.若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．【答案】见解析；【解析】：(1)证明：设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，由余弦定理得A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3，所以AO 2＋A 1O 2＝AA 21， 所以A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，所以A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分別为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,2，3)． 则BD →＝(－23，0,0)，AA 1→＝(0,1，3)，AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0，所以BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1.(2)假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0,1，3)．从而有P (0,1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ)．设n 3＝(x 3，y 3，z 3)为平面DA 1C 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0,2,0)，DA 1→＝(3，0，3)， 则⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1,0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1，则n 3⊥BP →， 即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP . 【规范解答】关键点 坐标系建立要恰当、点的坐标要写准确【典例】 如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)． (1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【规范解答】：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)， P (0,0，λ)，M (2,1,2)，N (1,0,2)，BC 1→＝(－2,0,2)， FP →＝(－1,0，λ)，FE →＝(1,1,0)，MN →＝(－1，－1,0)， NP →＝(－1,0，λ－2)．(1)证明：当λ＝1时，FP →＝(－1,0,1)，因为BC 1→＝(－2,0,2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)． 同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1)．若存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成二面角为直二面角，则m·n ＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角． 答题模板1．建立适当的空间直角坐标系，让一些点、线段尽量与坐标轴重合． 2．写准点的坐标是关键，要利用中点、向量共线、相等来确定点的坐标．3．利用a ＝λb 证明直线平行需强调两直线不重合，证明直线与平面平行仍需强调直线在平面外． 【跟踪训练】 (2019·河北衡水中学检测)如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点． (1)求证：AC ⊥SD .(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析；【解析】：连接BD ，设AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD .由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图空间直角坐标系．设底面边长为a ，则高|SO |＝62a . 于是S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0， B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0.(1)证明：OC →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，SD →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ， 则OC →·SD →＝0.故OC ⊥SD ，从而AC ⊥SD . (2)棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC .理由如下：由已知条件知DS →是平面PAC 的一个法向量，且DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0. 设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝错误!， 而BE →·DS →＝0， 所以错误!·错误!＝0， 解得t ＝13，即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →. 又BE ⊄平面PAC ，故BE ∥平面PAC . 【递进题组】1．如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .【答案】见解析；【解析】：证明 如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线分别为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知，A (0，2，2)，.B (0，－2，0)，D (0，2，0)． 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)．因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1)．又P 为BM 的中点，故P ⎝⎛⎭⎫0，0，12，所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)，故=0PQ a ⋅，又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .2．如图所示，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ，BC 的中点，求证： (1)DE ∥平面ABC ； (2)B 1F ⊥平面AEF .【答案】见解析；【解析】：证明 (1)如图建立空间直角坐标系Axyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4) .取AB 中点为N ，连接CN ，则N (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,0,2)，所以DE →＝(－2,4,0)，NC →＝(－2,4,0)， 所以DE →＝NC →，所以DE ∥NC ，又因为NC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC .故DE ∥平面ABC .(2)B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2,2,0)． B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4) ×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.所以B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ， 又因为AF ∩EF ＝F ，所以B 1F ⊥平面AEF .3．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角． (1)求证：CM ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .【答案】见解析；【解析】：证明 (1)以C 为坐标原点，分别以CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，因为PC ⊥平面ABCD ，所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，所以∠PBC ＝30°.因为PC ＝2，所以BC ＝23，PB ＝4.所以D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫32，0，32， 所以DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32， 令n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，所以⎩⎨⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．因为n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， 所以n ⊥CM →，又CM ⊄平面PAD ，所以CM ∥平面PAD .(2)取AP 的中点E ，则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)．因为PB ＝AB ，所以BE ⊥PA .又因为BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， 所以BE →⊥DA →，所以BE ⊥DA ，又PA ∩DA ＝A ，所以BE ⊥平面PAD ，又因为BE ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .4．(2019·济南调研)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)在线段BC 1上是否存在点D ，使得AD ⊥A 1B ？若存在，试求出BDBC 1的值．【答案】见解析；【解析】：(1)证明：在正方形AA 1C 1C 中，A 1A ⊥AC .又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C .所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ，在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5，所以BC 2＝AC 2＋AB 2，所以AB ⊥AC .所以以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz .A (0,0,0)，A 1(0,0,4)，B (0,3,0)，C 1(4,0,4)，于是A 1B→＝(0,3，－4)，BC 1→＝(4，－3,4)．假设存在点D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，使AD ⊥A 1B ，且BD →＝λBC 1→(λ∈[0,1])．所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)，解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ，所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)，又AD ⊥A 1B ，所以0＋3(3－3λ)－16λ＝0，解得λ＝925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，此时BD BC 1＝925.。
【高中数学】2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
2.1.2两条直线平行和垂直的判定基础过关练题组一两条直线平行1.已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则实数m 的值为()A.1B.0C.0或1D.0或22.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是(易错)A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合3.已知直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,其中l1∥l2,且k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两根,则k1+k2+k3的值是()A.1B.32C.72D.1或724.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与方向向量为a=(-5,5)的直线平行,则实数m 的值是()A.13B.-13C.2D.-25.已知直线l1经过点A(0,-1)和点B(-4a,1),直线l2经过点M(1,1)和点N(0,-2),若l1与l2没有公共点,求实数a的值.题组二 两条直线垂直6.若直线l 经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与斜率为-23的直线垂直,则实数a 的值是( ) A.-23B.-32C.23D.327.下列条件中,使得l 1⊥l 2的是( ) ①l 1的斜率为-23,l 2经过点A(1,1),B (0,−12);②l 1的倾斜角为45°,l 2经过点P(-2,-1),Q(3,-5); ③l 1经过点M(1,0),N(4,-5),l 2经过点R(-6,0),S(-1,3). A.①②B.①③C.②③D.①②③8.已知△ABC 的两顶点坐标为B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A 的坐标为( )A.(-19,-62)B.(19,-62)C.(-19,62)D.(19,62)9.若不同两点P,Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ 的垂直平分线的斜率为 .10.已知点A(-3,-2),B(6,1),点P 在y 轴上,且∠BAP=90°,则点P 的坐标是 . 题组三 两条直线平行和垂直的应用11.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l 过点B,且交y 轴于点C(0,y),O 是坐标原点,且O,A,B,C 四点共圆,则y 的值是( ) A.19 B.194C.5D.412.在平面直角坐标系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点构造平行四边形,下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是( ) A.(-3,1)B.(4,1)C.(-2,1)D.(2,-1)13.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2+2√2),B(0,2-2√2),C(4,2),则△ABC是.(填△ABC的形状)14.已知正方形ABCD的边长为4,若E是BC的中点,F是CD的中点,求证:BF⊥AE.15.已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求实数m的值.答案全解全析 基础过关练1.C 解法一:∵A(m,3),B(2m,m+4), ∴其方向向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m+1). ∵C(m+1,2),D(1,0), ∴其方向向量为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-m,-2),由直线AB 与直线CD 平行,得m×(-2)-(m+1)×(-m)=0,解得m=0或m=1. 经检验,m=0或m=1时,两直线不重合,故选C.解法二:当m=0时,直线AB 与直线CD 的斜率均不存在,此时AB ∥CD,满足题意. 当m ≠0时,k AB =m+4−32m -m=m+1m,k CD =2−0m+1−1=2m,由题意得k AB =k CD ,即m+1m=2m,解得m=1或m=0(舍去).经检验,m=0或m=1时,两直线不重合, ∴m 的值为0或1.故选C.2.D 由题意得,直线l 1的斜率为tan 135°=-1,直线l 2的斜率为-6-(-1)3−(−2)=-1,∴直线l 1与l 2平行或重合.易错警示 当两直线斜率都存在时,两直线平行可以推出两直线的斜率相等;反之不成立,即两直线的斜率相等推不出两直线平行,此时还有可能重合.解题时要注意验证.3.D 因为k 1,k 3是方程2x 2-3x-2=0的两根,所以{k 1=−12,k 3=2或{k 1=2,k 3=−12.又l 1∥l 2,所以k 1=k 2,所以k 1+k 2+k 3=1或72.4.B 解法一:由题意得,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-m-3,2-2m)与a=(-5,5)共线,所以5(-m-3)-(-5)·(2-2m)=0,解得m=-13.经检验知,m=-13符合题意,故选B.解法二:由a=(-5,5)得直线的斜率为5-5=-1,因此直线PQ 的斜率为2m -23−(−m)=-1,解得m=-13.经检验知,m=-13符合题意,故选B.5.解析 由题意得l 1∥l 2,所以k l 1=k l 2.因为k l 1=k AB =1−(−1)-4a-0=-a 2,k l 2=k MN =-2-10−1=3,所以-a2=3,所以a=-6.经检验,a=-6时,直线AB 与直线MN 没有公共点,满足题意. 6.A 依题意得,-23×k l =-1,即k l =1+1-a -2-a+2=32,解得a=-23,故选A.7.B 由两直线垂直的判定知①③正确.故选B.8.A 设A 的坐标为(x,y),由已知得,AH ⊥BC,BH ⊥AC,且直线AH,BH 的斜率存在, 所以{k AH ·k BC=−1,k BH ·k AC =−1,即{y -2x+3×(-14)=−1,(-15)×y -3x+6=−1, 解得{x =−19,y =−62,即顶点A 的坐标为(-19,-62).9.答案 -1解析 由题意得k PQ =3−a -b 3−b -a=1,所以线段PQ 的垂直平分线的斜率为-1.10.答案 (0,-11)解析 设P(0,y),由题意知,k AB ,k AP 存在,又知∠BAP=90°,所以k AB ·k AP =1−(−2)6−(−3)×y+23=y+29=-1,解得y=-11.所以点P 的坐标是(0,-11).11.B 由O,A,B,C 四点共圆可以得出四边形OABC 的对角互补,又由题意得∠COA=90°,所以∠CBA=90°,所以AB ⊥BC,所以k AB ·k BC =-1,即4−03−2·4−y 3−0=-1,解得y=194.故选B.12.A 设第四个顶点为C.当点C 的坐标为(-3,1)时,|OC|=√10,|AB|=√5,|AC|=4,|OB|=3.∵|OC|≠|AB|,|AC|≠|OB|,∴四边形ABOC 不是平行四边形.同理,可验证当C 点坐标为(4,1)或(-2,1)或(2,-1)时,满足题意.故选A. 13.答案 直角三角形解析 因为AB 边所在直线的斜率k AB =2−2√2-(2+2√2)0−2=2√2,CB 边所在直线的斜率k CB =2−2√2-20−4=√22,AC 边所在直线的斜率k AC =2−(2+2√2)4−2=-√2,所以k CB ·k AC =-1,所以CB ⊥AC,所以△ABC 是直角三角形.14.证明 建立平面直角坐标系,如图所示,则B(4,0),E(4,2),F(2,4),A(0,0),所以k AE =24=12,k BF =4−02−4=-2.又k AE ·k BF =12×(-2)=-1, 所以AE ⊥BF.15.解析 如图,易知直线l 1的倾斜角为30°+30°=60°,∴直线l 1的斜率k 1=tan 60°=√3.当m=1时,直线AB 的斜率不存在,此时l 2的斜率为0,不满足l 1∥l 2. 当m ≠1时,直线AB 的斜率k AB =m -1-21−m=m -31−m,∴线段AB 的垂直平分线l 2的斜率k 2=m -1m -3.∵l 1与l 2平行,∴k 1=k 2,即√3=m -1m -3, 解得m=4+√3.综上,实数m 的值为4+√3.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学两条直线平行与垂直的判定
3.1.2两条直线平行与垂直的判定【知识提炼】1.两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l1∥l2⇔k1=k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示2.两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关l1⊥l2(两直线斜率都存在, l1的斜率不存在,l2的斜率系且都不为零)⇔k ·k =-1 为0⇒ l ⊥l 21 2 1【即时小测】1.思考下列问题:(1)如果两条直线平行,则这两条直线的斜率一定相等吗?提示:不一定.只有在两条直线的斜率都存在的情况下,斜率才相等.(2)如果两条直线垂直,则它们的斜率的积一定等于-1吗?提示:不一定.若两条直线的斜率都存在,它们垂直时斜率之积是-1,但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0,另一个不存在.2.若两条直线的斜率都不存在,那么这两条直线都与x轴()A.垂直B.相交C.平行D.答案不确定【解析】选A.当两条直线的斜率都不存在时,这两条直线都垂直于x 轴.3.若直线l1的斜率为,直线l2的倾斜角为60°,则两直线的位置关系为()A.平行B.垂直C.相交D.重合【解析】选A.由于直线l2的倾斜角为60°,则该直线的斜率为,故两直线的斜率相等,所以两直线平行.4.已知点A(2,-1),B(3,2),则线段AB的垂直平分线的斜率为. 【解析】直线AB的斜率为k AB==3,由于线段AB的垂直平分线与直线AB垂直,故两直线的斜率乘积等于-1,则线段AB的垂直平分线的斜率为答案:5.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6), 且l1∥l2,则x=.【解析】由于直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),所以l1垂直于x轴,又因为l1∥l2,故x=2.答案:2【知识探究】知识点1 两条直线平行的判定观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:两条直线平行与两条直线的斜率有什么关系? 问题2:利用斜率判定两条直线平行有什么前提条件?【总结提升】1.判定两条直线平行的理论依据(1)依据直线的倾斜角的定义可知:若两条不重合的直线的倾斜角相等,则这两条直线平行.(2)依据直线的斜率的定义可知:①若不重合的两条直线l1,l2的斜率都存在,分别为k1,k2,倾斜角分别为α1,α2,则l1∥l2⇔α1=α2⇔k1=k2;②当不重合的两条直线的斜率都不存在时,由于它们的倾斜角都是90°,故它们也互相平行.2.对两条直线平行的判定条件的理解l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件有两个:(1)两条直线的斜率都存在.(2)这两条直线不重合.知识点2 两条直线垂直的判定观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:两条直线垂直与两条直线的斜率有什么关系? 问题2:判定两条直线垂直应注意哪些问题?【总结提升】两条直线垂直的判定必须注意的三个问题(1)利用l1⊥l2⇔k1·k2=-1判断两条直线垂直的前提是这两条直线的斜率都存在,且都不为0.(2)如果k1·k2≠-1,则两条直线一定不会垂直.(3)若两条直线中,一条直线斜率不存在,同时另一条直线斜率等于零, 则两条直线垂直.这样,两条直线垂直的判定的条件就可叙述为:l1⊥l2⇔k1·k2=-1或一条直线斜率不存在,同时另一条直线斜率等于零.【知识拓展】求直线斜率的四种常用方法(1)设α为直线的倾斜角(α≠90°),则k=tanα.(2)已知两点A(x1,y1),B(x2,y2),则k=(x1≠x2),此时k的大小与两点顺序无关.(3)利用两斜率存在的直线平行的条件:k1=k2.(4)利用两斜率存在的直线垂直的条件:k1k2=-1.【题型探究】类型一两直线平行【典例】1.下列直线l1与直线l2平行的有.(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7).(2)l1经过点E(0,1),F(-2,-1),l2经过点G(3,4),H(2,3).(3)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(-2,-2).(4)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5).2.(2015·通辽高一检测)已知P(-2,m),Q(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若直线PQ∥直线MN,求m的值.【解题探究】1.典例1中判断直线l1与直线l2是否平行要从哪两个方面分析?提示:一是判断两条直线的斜率是否相等,二是判断两条直线是否重合.2.典例2中由直线PQ∥直线MN,需要讨论直线PQ,MN斜率的存在性吗?如何讨论?提示:分当m=-2或m=-1以及m≠-2且m≠-1时进行讨论.【解析】1.(1)由题意知,所以直线l1与直线l2平行或重合, 又k BC=故l1∥l2.(2)由题意知,所以直线l1与直线l2平行或重合,k FG=故直线l1与直线l2重合.(3)由题意知,k1=tan60°=,k2=k1=k2,所以直线l1与直线l2平行或重合.(4)由题意知l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,恰好是y轴,所以l1∥l2.答案:(1)(4)2.当m=-2时,直线PQ的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与PQ不平行,不合题意;当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线PQ的斜率存在,MN与PQ不平行,不合题意;当m≠-2且m≠-1时,因为直线PQ∥直线MN,所以k PQ=k MN,即解得m=0或m=1. 综上,m的值为0或1.【方法技巧】判断两条直线是否平行的步骤【拓展延伸】在证明两直线平行时应注意的特殊情况在证明两直线平行时,要区分平行与重合,必须强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.【补偿训练】试确定m的值,使过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行.【解析】由题意得:k AB=k CD=由于AB∥CD,即k AB=k CD,所以所以m=-2.类型二两条直线垂直【典例】1.下列直线l1与直线l2垂直的有.(1)l1经过点A(-1,-2),B(1,2),l2经过点M(-2,-1),N(2,1).(2)l1经过点A(3,4),B(3,-20),l2经过点M(5,-10),N(-5,-10).(3)l1过点A(),B(0,3),l2过点M(),N(2,0).2.(2015·大同高一检测)已知定点A(-1,3),B(4,2),以A,B为直径作圆,与x轴有交点C,求交点C的坐标.【解题探究】1.典例1中如何由两点的坐标求直线的斜率? 提示:k=(x1≠x2).2.典例2中点C的坐标有何特点?直线AC,BC有何位置关系? 提示:点C的纵坐标为0,直线AC与BC垂直.【解析】1.(1)k1=k2=k1k2=1,所以直线l1与直线l2不垂直.(2)l1的倾斜角为90°,则l1⊥x轴, k2=则l2平行于x轴,所以l1⊥l2.(3)k1=则k1·k2==-1,所以l1⊥l2. 答案:(2)(3)2.以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.则AC⊥BC,设C(x,0),则所以所以x=1或2,所以C(1,0)或(2,0).【延伸探究】(改变问法)判断本例1(1)中直线AM和直线BM是否垂直?【解题指南】利用斜率公式求出直线AM和直线BM的斜率,再利用两直线垂直的条件判断.【解析】由斜率公式可得k AM=k BM=因为k AM·k BM=-1,所以直线AM和直线BM垂直.【方法技巧】1.两条直线垂直的判定条件(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为-1,则两条直线一定垂直.(2)两条直线中,如果一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率为0,那么这两条直线也垂直.2.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看:就是看所给两点的横坐标是否相等,若不相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则进行第二步.(2)二代:就是将点的坐标代入斜率公式.(3)求值:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式对参数进行讨论.【变式训练】已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,求m的值.【解析】因为A,B两点纵坐标不等,所以AB与x轴不平行或重合.因为AB⊥CD,所以CD与x轴不垂直,所以-m≠3,m≠-3.当AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1.此时,C,D纵坐标均为-1,所以CD与x轴平行,所以AB⊥CD满足题意.当AB与x轴不垂直时,由斜率公式因为AB⊥CD,所以k AB·k CD=-1,即解得m=1. 综上,m的值为1或-1.【误区警示】解答本题易漏掉直线斜率不存在的情况.【补偿训练】直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,2),B(0,a),且l1⊥l2,求实数a的值.【解析】由l1⊥l2可知k1k2=-1,即解得a=类型三垂直与平行的综合应用【典例】(2015·衡水高一检测)已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标.【解题探究】典例中由矩形可得哪些平行和垂直关系?如何建立等量关系?提示:可得邻边垂直,对边平行,利用斜率关系建立等式求解.【解析】设第四个顶点D的坐标为(x,y),因为AD⊥CD,AD∥BC,所以k AD·k CD=-1,且k AD=k BC.所以解得所以第四个顶点D的坐标为(2,3).【延伸探究】1.(变换条件)若在本例中假设点D的坐标为(3,2),求点C的坐标.【解析】设点C的坐标为(x,y),因为AD⊥CD,AD∥BC,所以k AD·k CD=-1,且k AD=k BC.所以即解得故点2.(变换条件)若将本题中的矩形改为平行四边形ABCD,其三个顶点的坐标分别变为A(1,5),B(-1,1),C(3,2),求顶点D的坐标.【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥DC,AD∥BC,即k AB=k DC,k AD=k BC,设D(x,y),则解得x=5,y=6,故点D(5,6).【方法技巧】利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤(1)描点:在坐标系中描出给定的点.(2)猜测:根据描出的点,猜测图形的形状.(3)求斜率:根据给定点的坐标求直线的斜率.(4)结论:由斜率之间的关系,判断形状.【补偿训练】△ABC的顶点A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形,求m的值.【解析】因为∠A为直角,则AC⊥AB,所以k AC·k AB=-1,即=-1,得m=-7.【延伸探究】1.(变换条件)本例中若改为∠A为锐角,其他条件不变,如何求解m的值. 【解析】由于∠A为锐角,故∠B或∠C为直角.若∠B为直角,则AB⊥BC,所以k AB·k BC=-1,即=-1,得m=3;若∠C为直角,则AC⊥BC,所以k AC·k BC=-1,即=-1,得m=±2.综上可知,m=3或m=±2.2.(变换条件)若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉,改为若△ABC为直角三角形,如何求解m的值.【解析】若∠A为直角,则AC⊥AB,所以k AC·k AB=-1, 即=-1,得m=-7;若∠B为直角,则AB⊥BC,所以k AB·k BC=-1,即=-1,得m=3;若∠C为直角,则AC⊥BC,所以k AC·k BC=-1,即=-1,得m=±2.综上可知,m=-7或m=3或m=±2.规范解答由两条直线平行、垂直的条件求参数的值【典例】(12分)已知直线l1经过A(3,m),B(m-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,m+2).(1)若l1∥l2,求m的值.(2)若l1⊥l2,求m的值.【审题指导】(1)直线l2的斜率存在,当l1∥l2时,则有k1=k2,列等式求解m.(2)由l1⊥l2,要分情况讨论k2=0或k2≠0,再由k1·k2=-1列出等式求得m的值.。
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高中数学竞赛辅导（证明两直线垂直）
一、利用三角形中的基本定理
（1）勾股定理的逆定理：在△ABC中，若222
+=，则AB⊥AC;(2) 在△ABC中，
AB AC BC
D在边BC所在的直线上，若2222
-=-，则AD⊥BC；（3）在Rt△ABC中，∠
AB AC BD CD
BAC=900，D是边BC上一点，若2
AB BD BC
=⋅，则AD⊥BC。
1．已知⊙O和⊙O'相交于点A、B过点A的直线分别交⊙O和⊙O'于点P、Q，且AP=AQ，又M为PB（不含点A的）中点，N为QB（不含点A的）中点，求证：MN⊥AB。
2．圆内接四边形ABCD中，延长AB、DC交于点E，延长AD、BC交于F，EM、FN为圆的切线，分别以E、F为圆心，EM、FN为半径作弧，两弧交于K，求证：EK⊥KF。
3．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，PA=AB，D为BP的三等分点（即2BD=DP），求证：
AD⊥PO。
二、利用全等、相似或圆的性质，直接计算
4．△ABC的内心为I，内切圆分别切BC、CA于点D、E，如果BI交DE于点G，求证：AG⊥BG。
5．已知两个半径不相等的⊙O
1和⊙O
2
相交于M、N两点，且⊙O
1
和⊙O
2
分别与⊙O内切
于S、T两点，又S、N、T三点共线，求证：OM⊥MN。
6．半圆圆心为O，直径为AB，一直线交圆周于C、D，交AB于M（MB<MA,MC<MD）,设K 是△AOC与△DOB的外接圆除点O之外的另一点，求证：∠MKO=900
三、利用另外的线作“桥”
7．已知⊙O 和⊙O '相交于A 、B 两点，P 为⊙O 上的点，PA 、PB 分别交⊙O '于C 、D ，求证：PO ⊥CD
8．已知⊙O 和⊙O '相交于A 、D 两点，过点D 作直线BC 垂直于AD ，分别交⊙O 、⊙O '于C 、B 两点，K 是BC 中点，过点A 的任一直线QP 交⊙O 、⊙O '于Q 、P 两点，M 是PQ 的中点，求证：MK ⊥PQ 。
9．AB 是⊙O 非直径的弦，过AB 中点P 作两弦1122,A B A B ，过点11,A B 作⊙O 的切线得交点1C ，过点22,A B 作⊙O 的切线得交点2C ，求证：OP ⊥1C 2C 。
四、利用垂心、等腰三角形或矩形、菱形等
10．M是等腰△ABC底边AC的中点，MH⊥BC于H，P是MH的中点，求证：AH⊥BP
11．△ABC的外接圆为⊙O，∠C=600，N是AB的中点，H是垂心，求证：CN⊥OH。
12．圆内接四边形ABCD的一组对边AD和BC的延长线相交于点P，另一组对边AB、DC 的延长线相交于点Q，∠P和∠Q的平分线相交于点R，对角线AC与BD相交于点K，∠DKC 的平分线交CP于M，求证：（1）PR⊥QR；（2）QR⊥KM。
13．⊙O
1和⊙O
2
相交于P、Q两点，⊙O
1
的弦PA与⊙O
2
相切，⊙O
2
的弦PB与⊙O
1
相切，
设△PAB的外心为O，证明：OQ⊥PQ。
14．证明：如果一个凸四边形既有内切圆，又有旁切圆，则这个四边形的对角线相互垂直（这里四边形的旁切圆是指与四边形各边的延长线相切的圆）
五、利用同一法（利用这一点作已知直线的垂线是唯一的或某些几何量是唯一的平面几何的特性，用同一法来证明两直线垂直）
15．AB是半圆O的直径，过A、B引弦AC与BD，设AC、BD相交于E，又过C、D引圆的切线交于点P，连接PE，证明：PE⊥AB。
16．在矩形ABCD中，AB=3AD，E、F为AB边上的两点，且AE=EF=FB，AC与DF交于点G，求证：EG⊥DF。
17．以△ABC的边为直径作半圆，与AB、AC分别交于D和E，过D、E作BC的垂线，垂足分别为F、G，线段DG、EF交于点M，求证：AM⊥BC。
六、利用旋转变换（旋转变换中，利用对应线段的夹角等于旋转角的性质证明两直线垂直，即如果两个全等或相似的三角形中，有一组对应边互相垂直，那么另外的对应边互相垂直，对应线（如对应角的角平分线，对应边上的中线或高线）亦互相垂直）18．在凸四边形ABCD中，AC=BD=AB，且AC⊥BD，垂足为E，设I为△AEB的内心，M为AB的中点，求证：MI⊥CD，且CD=2MI。
高中数学竞赛辅导（证明两直线平行）
一、利用两直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等或同旁内角互补判定两直线平行
1．等要△ABC（AC=BC），O是它的外心，I是它的内心，点D在BC上，且OD⊥BI，证明：ID∥AC。
2．设H为△ABC的垂心，P为该三角形外接圆上的点，E是高BH的垂足，并设PAQB与PARC都是平行四边形，AQ与HR交于X，证明：EX∥AP。
EF GH上分别作圆O的切线，3．菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在,
交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP。
二、利用平行线截线段成比例逆定理
4．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AD是∠BAC的平分线，作BG⊥AD，分别交AM和AD的延长线于F、G，求证：FD∥AB。
三、利用别的线作中介（（1）平行于同一直线的两直线平行；（2）垂直于同一直线的两直线平行，（平面内））
5．四边形ABCD对角线AC的中点为O，连接OB、OD，过O作∠ACB，∠BOC，∠COD和∠DOA的平分线分别交AB、BC、CD、DA于点E、F、G、H，求证：EF∥GH
6．设A、B、C、D是同一圆上顺次四点，L、M、N分别是,,
AB BC CD的中点，弦AM与CL 相交于P，弦BN与DM相交于Q，求证：PQ∥LN。
四、利用平行四边形等特殊图形的性质
7．在△ABC中，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，过点A的直线分别交DE及FD的延长线于点G、H，求证：CG∥BH。
五、利用面积法
8．若四边形ABCD一双对边BC、AD中点M、N的直线将这四边形面积二等分，则AD∥BC。
9．在△ABC中，M为BC的中点，P、R分别在AB、AC上，Q为AM与PR的交点，且PQ=QR，求证：PR∥BC。
六、利用同一法
10．在△ABC中，∠A=0
90，以AB为直径作圆，D在这圆上，CD是切线，E在线段AB上，DE与BC相交于M，且DM=ME，求证：DE∥AC。
11．已知△ABC的外接圆上三点P、Q、R分别是圆弧BC、AC、AB的中点，弦PR交AB于D，弦PQ交AC于E，求证：DE∥BC。
七、其他证法
12．在锐角△ABC中，BD是AC边上的高，E是AB边上一点，满足∠AEC=0
45，BD=2CE，求证：DE∥BC的充要条件是CE=AC+AD。
13．在△ABC中，∠ACB=0
90，CH⊥AB，AD=DC，CE平分∠ACH，DE与CH的延长线相交于F，求证：BF∥CE。