组合数学 试题及答案11

组合数学试题 共 5 页 ，第 1 页电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ，共 2 小时）课程名称 组合数学 教师 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2011 年 11 月 日 成绩 考核方式： （学生填写）一、(共10分) 1、（4分）名词解释：广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。

2、（6分）证明：R(C 4,C 4) ≥ 6，其中C 4为4个顶点的无向回路图。

解：1、使得K n 对于(H 1，H 2，…，H r )不能r －着色的最小正整数n 称为广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。

-----------------4分2、如下图所示的5个顶点的完全图就没有一个纯的C 4，实线和虚线分别代表不同的颜色。

-----------------4分故R(C 4,C 4)>=6。

-----------------2分二、(16分)未来5届欧盟主席职位只能有法国、德国、意大利、西班牙、葡萄牙五国的人当选，一个国家只能当选一次。

假如法国只能当选第一届、第二届或者第三届，德国不能当选第二届和第三届，意大利不能当选第一届，西班牙不能当选第五届，葡萄牙只能能当选第二届、第四届或者第五届。

问未来的5届欧盟主席职位有多少种不同的当选方案？ 解：原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。

-----------------4分学 号 姓 名 学 院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………组合数学试题 共 5 页 ，第 2 页1 5432EDCBA由图,可得C 的棋盘多项式为 R(C)=3223)21()21()1(])21)(1()1([x x x x x x x x x +++++++++ ----------------4分＝543211242281x x x x x +++++-----------------4分 所以安排方案数为5! - 8·4! + 22·3! - 24·2! +11-1 -----------------4分 = 22即共有22种。

-----------------1分 三、（12分）意大利打算用36个月共偿还8000亿欧元国债，计划每个月至少偿还200亿欧元，证明：无论怎样安排偿还时间表，必然存在相继的若干月，在这些月内恰好偿还6000亿欧元国债。

假定每月偿还的国债都以整200亿欧元计。

证明：设1a 是第1个月偿还的国债，2a 是第1、2个月偿还的国债的和，j a 是第1，2，… ，第j 个月偿还的国债的和，j =1,2,…,36。

-----------------3分每月偿还的国债都以整200亿欧元计，用1代表200亿欧元，于是，序列361,...,a a 是严格递增序列(每个月至少偿还200亿欧元)，而且，≥1a 1,4036=a 。

于是序列30,...,30361++a a 也是严格递增的序列，且703036=+a 。

-----------------2分因此72个数361,...,a a ,30,...,30361++a a 都在1和70之间，由鸽笼原理知，这72个数中必有两个是相等的。

-----------------2分由于361,...,a a 中任何两个数都不相等，故30,...,30361++a a 中任何两个数也是不相等学 院答……………题……………无……………效……………………组合数学试题 共 5 页 ，第 3 页的，因此，一定存在两个数,i j 使得i a ＝30+j a ，即i a －j a ＝30。

-----------------4分因此，在第1,2,,j j i ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅这些月中，恰好偿还30×200＝6000亿欧元国债。

-----------------1分四、（14 分）求方程⎩⎨⎧≤≤≤≤=++53,418242321321x x x x x 的非负整数解的个数。

解：设所求的非负整数解的个数为M ，则M 为)1)()(()(84108612963Λ++++++++=x x x x x x x x x x f的82x 的系数。

-----------------5分=)(x f )1)(1)(1(84429639Λ++++++++x x x x x x x x＝)1)(1(84131110987654329Λ++++++++++++++x x x x x x x x x x x x x x -----------------4分＝)621(7354329ΛΛ+++++++x x x x x x -----------------3分82x 的系数为6，故该方程的非负整数解的个数为6。

-----------------2分 五、（15分）解下列递归关系⎩⎨⎧==-=----5,1)3(2141021a a a a a nn n n 解 对应的齐关系的特征方程 x 2-4x -21=0 -----------------3分 有根 x 1 = 7，x 2 = -3。

-----------------1分故齐关系的通解为*n a =c 17n +c 2(-3)n -----------------2分设特解 n a = An (-3)n ，代入原关系：An (-3)n -4A (n -1) (-3)n -1-21A (n -2) (-3)n -2 = (-3)n-----------------3分⇒ A = 1233⇒ n a =12333nn ）（－ -----------------2分 ∴ a n = *n a +n a = c 17n +c 2(-3)n+ 12233nn ）（－ -----------------1分……无……………效……………………组合数学试题 共 5 页 ，第 4 页由初值得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+56333712121－c c c c ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==207202721c c -----------------2分 ∴ a n = 20277n -207 (-3)n+ 12233nn ）（－ -----------------1分六、（12分）求3和5都出现偶数次，1和4都出现奇数次，并且9至少出现1次的r 位十进制数的个数。

解：设a n 是由0,1,……,9组成的满足“3和5都出现偶数次”且“1和4都出现奇数次” 并且“9至少出现1次”的长为n 的序列的个数， -----------------2分 则a n 的指数母函数为： f e (x )=1622)1()2()2()!22!11)(!3!2!1()!3!1()!4!21(25691052253223242x x x x x x xx x x x x e e e e e e e e e e e e x x x x x x x x x -++-=-⋅=++++++++++－－＋＋－－ΛΛΛΛ=!)125262910(1610n x n nn n n n n -+⨯+⨯-∑-∞= -----------------4分 所以a n =)125262910(161-+⨯+⨯--n n n n n ，n ≥3 -----------------2分 以0为首项的长为n 的序列有a n －1个，在上述序列中去掉以0为首项的长为n 的序列便可得到3和5都出现偶数次，1和4都出现奇数次，并且9至少出现2次n 位十进制数的个数： -----------------2分 a n －a n －1＝ ）－－－－－1111125861098109(161n n n n n +⨯+⨯-⨯-⨯ n ≥3 -----------------1分 当n <=2时，结果为0。

-----------------1分 七、（16 分）全国4个片区共36所大学申报国家重点实验室，其中，西部片区有6所大学，华北片区有14所大学，华东片区有11所大学，华南片区有5所大学。

假定同一片区的各所大学不加以区别，现在要从中选取10所大学入围。

（1）问理论上有多少种不同的选取方案？（2）现为了考虑不同片区的特殊情况，如果西部片区至少有3家入围，华北片区至少有1家入围，问理论上有多少种不同的选取方案？组合数学试题 共 5 页 ，第 5 页解 （1）等价于求集合S 0＝{6.A,14.B,11.C,5.D}的所有10-组合构成的集合。

-----------------2分 令集合S 为{,,,}A B C D ∞⋅∞⋅∞⋅∞⋅的所有10-组合构成的集合。

则有 |S|=F(4,10) =286。

令 A 1表示S 中至少含有7个A 的元素构成的集合, A 2表示S 中至少含有6个D 的元素构成的集合， -----------------2分 于是20)3,4(||1==F A ,35)4,4(||2==F A ,0||21=⋂A A -----------------1分由容斥原理，所求的9-组合数为AA 21I ∑∑+-==||21AA A jii iS I ----------------2分=286 – (20+35)=231 -----------------1分（2）设r a 为选取r 所大学入围的方案数，故12(,,,,)r a a a L L 的母函数为)...1()...1()...()()(521121454326543x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++⨯++++⨯++++++⨯+++= -----------------5分...73...104+++=x x -----------------2分 因此理论上有73种不同的选取方案。

-----------------1分八、（5分）设n a 表示一个凸n 边形被它的对角线划分成互不重叠的区域个数(没有三条对角线在该n 边形内交于一点)。

试建立n a 的递规关系（不需要求解）。

解：23 11-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n n a a n n ,n>3.其中： 13=a―――――――――――――――――过程3分，结果2分。

学 号 姓 名 学 院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………。