排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
组合数学例题和知识点总结

组合数学例题和知识点总结组合数学是一门研究离散对象的组合结构及其性质的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些例题来深入理解组合数学中的重要知识点。
一、排列组合排列是指从给定的元素集合中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列。
组合则是指从给定的元素集合中取出若干个元素组成一组,不考虑其顺序。
例题 1:从 5 个不同的元素中取出 3 个进行排列,有多少种不同的排列方式?解:根据排列的公式,\(A_{5}^3 = 5×4×3 = 60\)(种)例题 2:从 5 个不同的元素中取出 3 个进行组合,有多少种不同的组合方式?解:根据组合的公式,\(C_{5}^3 =\frac{5×4×3}{3×2×1} =10\)(种)知识点总结:1、排列数公式:\(A_{n}^m = n×(n 1)×(n 2)××(n m + 1)\)2、组合数公式:\(C_{n}^m =\frac{n!}{m!(n m)!}\)二、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集的元素个数。
例题 3:在一个班级中,有 20 人喜欢数学,15 人喜欢语文,10 人既喜欢数学又喜欢语文,求喜欢数学或语文的人数。
解:设喜欢数学的集合为 A,喜欢语文的集合为 B,则喜欢数学或语文的人数为\(|A ∪ B| =|A| +|B| |A ∩ B| = 20 + 15 10= 25\)(人)知识点总结:容斥原理的一般形式:\(|\cup_{i=1}^{n} A_i| =\sum_{i=1}^{n} |A_i| \sum_{1\leq i < j\leq n} |A_i ∩ A_j| +\sum_{1\leq i < j < k\leq n} |A_i ∩ A_j∩ A_k| +(-1)^{n 1} |A_1 ∩ A_2 ∩ ∩ A_n|\)三、鸽巢原理鸽巢原理也叫抽屉原理,如果有 n + 1 个物体放入 n 个抽屉中,那么至少有一个抽屉中会放有两个或更多的物体。
排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-;(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nm nm mm ==--+=-11……!!!! 10=nC 规定:组合数性质:.2 nn n n n m n m n m n m n n mnC C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,,①;②;③;④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注:若12mm 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-;(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nm nm mm ==--+=-11……!!!! 10=nC 规定:组合数性质:.2 nn n n n m n m n m n m n n mnC C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,,①;②;③;④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注:若12mm 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排列与组合知识总结及经典例题OK

排列与组合1.排列与排列数“排列”的定义包含两个基本内容: 一是“取出元素;二是“按一定的书序排列。
“排列数”是指“从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数”, 它是所有排列的个数, 是一个数值。
)1()2)(1(+---=m n n n n A m n 或)!(!m n n A m n -= (其中m ≤n m,n ∈Z ) 全排列、阶乘的意义;规定 0!=12.组合与组合数“一个组合”是指“从n 个不同元素中取出m 个元素合成一组”, 它是一件事情, 不是一个数;(隐含n ≥m )“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m 个元素的所有组合的个数”, 它是一个数值。
基本公式: 或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且 组合数公式具有的两个性质: (1)常用的等式:(3)0132n n n n n n C C C C ++++= (由二项式定理知)证明: ∵又)!(!!m n m n C m n -=∴m n n m n C C -= )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n)!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n)!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n)!1(!)!1(+-+=m n m nm n C 1+=∴ = + .式(1)说明从n 个不同元素中取出m 个元素, 与从n 个不同元素中取出n-m 个元素是一一对应关系, 即“取出的”与“留下的”是一一对应关系;式(2)说明从a, b, c ……(n+1个元素)中取出m 个元素的组合数可以分为两类: 第一类含某个有元素( ), 第二类不含这个元素( )要解决的问题是排列问题还是组合问题, 关键是看是否与顺序有关排列问题的主要题型⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题, 通常是先排特殊元素或特殊位置, 称为优先处理特殊元素(位置)法(优先法);⑵ 某些元素要求必须相邻时, 可以先将这些元素看作一个元素, 与其他元素排列后, 再考虑相邻元素的内部排列, 这种方法称为“捆绑法”;⑶ 某些元素不相邻排列时, 可以先排其他元素, 再将这些不相邻元素插入空挡, 这种方法称为“插空法”;⑷ 在处理排列问题时, 一般可采用直接和间接两种思维形式, 从而寻求有效的解题途径, 这是学好排列问题的根基.第一部分1.⑴ 7位同学站成一排, 共有多少种不同的排法?⑵ 7位同学站成两排(前3后4), 共有多少种不同的排法? ⑶ 7位同学站成一排, 其中甲站在中间的位置, 共有多少种不同的排法?⑷7位同学站成一排, 甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?⑸7位同学站成一排, 甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?2.7位同学站成一排.⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?⑶甲、乙两同学必须相邻, 而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?3.7位同学站成一排.⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种?4.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单, 如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上, 则共有多少种不同的排法?5.⑴八个人排成前后两排, 每排四人, 其中甲、乙要排在前排, 丙要排在后排, 则共有多少种不同的排法?⑵不同的五种商品在货架上排成一排, 其中a, b两种商品必须排在一起, 而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种?⑶6张同排连号的电影票, 分给3名教师与3名学生, 若要求师生相间而坐, 则不同的坐法有多少种?6.⑴由数字1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字的正整数?⑵由数字1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字, 并且比13 000大的正整数?7、用1, 3, 6, 7, 8, 9组成无重复数字的四位数, 由小到大排列.⑴第114个数是多少?⑵ 3 796是第几个数?8、用0, 1, 2, 3, 4, 5组成无重复数字的四位数, 其中⑴能被25整除的数有多少个?⑵十位数字比个位数字大的有多少个?9、现有8名青年, 其中有5名能胜任英语翻译工作;有4名青年能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任), 现在要从中挑选5名青年承担一项任务, 其中3名从事英语翻译工作, 2名从事德语翻译工作, 则有多少种不同的选法?10、甲、乙、丙三人值周, 从周一至周六, 每人值两天, 但甲不值周一, 乙不值周六, 问可以排出多少种不同的值周表?11.6本不同的书全部送给5人, 每人至少1本, 有多少种不同的送书方法?变题1: 6本不同的书全部送给5人, 有多少种不同的送书方法?变题2: 5本不同的书全部送给6人, 每人至多1本, 有多少种不同的送书方法?变题3: 5本相同的书全部送给6人, 每人至多1本, 有多少种不同的送书方法?12、6本不同的书, 按下列要求各有多少种不同的选法:⑴分给甲、乙、丙三人, 每人两本;⑵分为三份, 每份两本;⑶分为三份, 一份一本, 一份两本, 一份三本;⑷分给甲、乙、丙三人, 一人一本, 一人两本, 一人三本;⑸分给甲、乙、丙三人, 每人至少一本.13.身高互不相同的7名运动员站成一排, 甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种?14.⑴四个不同的小球放入四个不同的盒中, 一共有多少种不同的放法?⑵四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种?15、马路上有编号为1, 2, 3, …, 10的十盏路灯, 为节约用电又不影响照明, 可以把其中3盏灯关掉, 但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏, 在两端的灯都不能关掉的情况下, 有多少种不同的关灯方法?16.九张卡片分别写着数字0, 1, 2, …, 8, 从中取出三张排成一排组成一个三位数, 如果6可以当作9使用, 问可以组成多少个三位数?17、平均分组问题除法策略6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?18、重排问题求幂策略把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法19、排列组合混合问题先选后排策略有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.20、小集团问题先整体后局部策略用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个?第二部分一. 选择题1.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检, 每校分配1名医生和2名护士, 不同分配方法共有()(A)90种(B)180种(C)270种(D)540种2.从8盒不同的鲜花中选出4盆摆成一排, 其中甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为()A. 1320B. 960C. 600D. 3603.20个不加区别的小球放入编号为1号, 2号, 3号三个盒子中, 要求每个盒子内的球数不小于盒子的编号数, 则不同的放法总数是()(A)760 (B)764 (C)120(D)914. 从10名女学生中选2名, 40名男生中选3名, 担任五种不同的职务, 规定女生不担任其中某种职务, 不同的分配方案有()A. B. C. D.5.编号1, 2, 3, 4, 5, 6的六个球分别放入编号为1, 2, 3, 4, 5, 6的六个盒子中, 其中有且只有三个球的编号与盒子的编号一致的放法种数有()A. 20B. 40C. 120D. 4806.如果一个三位正整数形如“”满足, 则称这样的三位数为凸数(如120、363.374等), 那么所有凸数个数为()A. 240B. 204C. 729D. 9207.有两排座位, 前排11个座位, 后排12个座位, 现安排2人就座, 规定前排中间的3个座位不能坐, 并且这2人不左右相邻, 那么不同排法的种数是( )A. 234B. 346C. 350D. 3638. 某校高二年级共有六个班级, 现从外地转入4名学生, 要安排到该年级的两个班级且每班安排2名, 则不同的安排方案种数( )A. B. C. D.9.4名教师分配到3所中学任教, 每所中学至少1名教师, 则不同的分配方案共有( )A. 12 种B. 24 种 C 36 种 D. 48 种10.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师, 派到3个班担任班主任(每班1位班主任)要求这3位班主任中男、女教师都要有, 则不同的选派方案共有A. 210种B. 420种C. 630种D. 840种11.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种, 分别种在不同土质的三块土地上, 其中黄瓜必须种植, 不同的种植方法共有( )A. 24种B. 18种C. 12种D. 6种12.用0、1.2.3.4这五个数字组成无重复数字的五位数, 其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是()A. 48B. 36C. 28D. 1213.已知集合A={1, 2, 3, 4}, B={5, 6}, 设映射, 使集合B中的元素在A中都有原象, 这样的映射个数共有()A. 16B. 14C. 15D. 12 14.ABCD—A1B1C1D1是单位正方体, 黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行, 每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→……, 黑蚂蚁爬行的路是AB→BB1→……, 它们都遵循如下规则: 所爬行的第段所在直线必须是异面直线(其中i是自然数).设白、黑蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处, 这时黑、白两蚂蚁的距离是A. 1B.C.D. 015.5本不同的书,全部分给四个学生,每个学生至少1本,不同分法的种数为.. )A.480B.240C.120D.9616.从1, 2, 3, 4, 5, 6中任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中若有1和3时,3必须排在1的前面,若只有1和3其中一个时,也应排在其它数字的前面,这样的不同三位数个数有( )A321144432A A C C++ B.311443A A C+ C.3612A+24A D.36A17.有7名同学站成一排照毕业照, 其中甲必须站在中间, 并且乙、丙两位同学要站在一起, 则不同的站法有( )(A)240 (B)192 (C)96 (D)48二. 填空题1. 五个不同的球放入四个不同的盒子, 每盒不空, 共有____ 种放法。
排列组合典型题大全含答案

排列组合典型题大全一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数【例1】(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?【解析】:(1)43(2)34(3)34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()A、38 B、83 C、38A D、3C8【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有38种不同的结果。
所以选A1、4封信投到3个信箱当中,有多少种投法?2、4个人争夺3项冠军,要求冠军不能并列,每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还,问最后有多少种情况?3、4个同学参加3项不同的比赛(1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果?(2)每项竞赛只许一名同学参加,有多少种不同的结果?4、5名学生报名参加4项比赛,每人限报1项,报名方法的种数有多少?又他们争夺这4项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少?5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种?6、(全国II 文)5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种 (B) 20种 (C) 25种 (D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组,每个兴趣小组只能有一个人来负责,负责人可以兼职,则不同的负责方法有多少种?8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级,不同的分法有多少种?思考:4名不同科目的实习教师被分配到3个班级,每班至少一个人的不同的分法有多少种?二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有【解析】:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。
(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

g a o o 2. ! ①;②;③;④[解析] 因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2 28步,那么共有C=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有( )A.24种B.36种 C.38种D.108种[解析] 本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有213种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C种分法,然132后再分到两部门去共有C A种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组213人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C种13213方法,由分步乘法计数原理共有2C A C=36(种).7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )A.33 B.34 C.35 D.36123[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C·A=12个;1233②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C·A+A=18个;13③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) A.72 B.96 C.108 D.144213223[解析] 分两类:若1与3相邻,有A·C A A=72(个),若1与3不相邻有forsos的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选。
排列与组合题目及解析

排列与组合题目及解析排列与组合是数学中的一个重要概念,用于描述事物的排列顺序和组合方式。
它在解决实际问题和推理推断中起到非常关键的作用。
本文将介绍排列与组合的基本概念,以及几个常见的排列与组合题目,并给出详细的解析。
一、排列与组合的基本概念排列是指从一组元素中任取若干个元素按一定的顺序排列的方式,常用P表示。
而组合则是指从一组元素中任取若干个元素不考虑顺序的方式,常用C表示。
1.1 排列的计算公式若从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素进行排列,排列的总数可用以下公式表示:P(n, m) = n! / (n-m)!其中"!"表示阶乘运算,表示连乘。
n!表示从1到n的所有正整数相乘。
1.2 组合的计算公式若从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素进行组合,组合的总数可用以下公式表示:C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)二、常见的2.1 例题一:某班共有10名学生,其中5名男生和5名女生,从中选取3名学生作为代表,问有多少种选择方式?解析:根据题意可知,从5名男生中选取1名男生,从5名女生中选取2名女生,然后进行排列。
其中,男生之间没有顺序关系,女生之间也没有顺序关系。
所以,选择方式的总数可以表示为C(5,1) *C(5,2)。
带入计算公式可得:C(5,1) * C(5,2) = 5! / (1! * (5-1)!) * 5! / (2! * (5-2)!) = 5 * 10 = 50所以,选择方式的总数为50种。
2.2 例题二:某队共有12名队员,包括4名门将和8名场上队员。
现需从中选取7名队员作为比赛首发人员,其中至少包括1名门将,问有多少种选法?解析:根据题意可知,首发人员中至少包括1名门将,那么有两种情况:选取1名门将和6名场上队员,或选取2名门将和5名场上队员。
第一种情况:选取1名门将和6名场上队员。
门将有4人可选,场上队员有8人可选,所以选择方式的总数可以表示为C(4,1) * C(8,6)。
排列组合12种题型归纳(解析版)

第30讲 排列组合12类【题型一】 人坐座位模型1:捆绑与插空【典例分析】1.有四男生,三女生站一排,其中只有俩个女生相邻:2.有四男生,4女生站一排,女生若相邻,则最多2个女生相邻:解答(1):先捆绑俩女生,再排列捆绑女生,然后排列四个男生,两个“女生”插孔即可,22423245C A A A(2)分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A ()都不相邻:A 两队各自相邻:一对两人相邻:!【方法技巧】人坐座位模型:特征:1.一人一位;2、有顺序;3、座位可能空;4、人是否都来坐,来的是谁;5、必要时,座位拆迁,剩余座位随人排列。
主要典型题:1.捆绑法;2.插空法;3.染色。
出现两个实践重叠,必要时候,可以使用容斥原理来等价处理:容斥原理()n A B ⋃=()()()n A n B n A B +-⋂【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能连着出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为 A .30 B .36 C .60 D .72【答案】C【分析】记事件:A 2位男生连着出场,事件:B 女生甲排在第一个,利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为()()()()5555A n A B A n A n B n A B ⎡⎤-⋃=-+-⋂⎣⎦,再利用排列组合可求出答案.【详解】记事件:A 2位男生连着出场,即将2位男生捆绑,与其他3位女生形成4个元素,所以,事件A 的排法种数为()242448n A A A ==,记事件:B 女生甲排在第一个,即将甲排在第一个,其他四个任意排列,所以,事件B 的排法种数为()4424n B A ==,事件:A B ⋂女生甲排在第一位,且2位男生连着,那么只需考虑其他四个人,将2位男生与其他2个女生形成三个元素,所以,事件A B 的排法种数为232312A A =种,因此,出场顺序的排法种数()()()()5555A n A B A n A n B n A B ⎡⎤-⋃=-+-⋂⎣⎦()12048241260=-+-=种,故选C .2.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.144B.120C.72D.48【答案】B【分析】先求出只有3个歌舞类节目不相邻的方法,然后求出3个歌舞类节目不相邻且2个小品类节目相邻的排法,相减可得.【详解】先考虑只有3个歌舞类节目不相邻,排法有3334144A A=种,再考虑3个歌舞类节目不相邻,2个小品类节目相邻的排法有:22322324A A A=,因此同类节目不相邻的排法种数是14424120-=.故选:B.3.2021年4月15日,是第六个全民国家安全教育日,教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲,时间顺序要求是:高校甲必须排在第二或第三个,且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲,高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻,则不同的宣讲顺序共有()A.28种B.32种C.36种D.44种【答案】B【分析】由题意,对高校甲排在第二或第三个进行分类讨论,接着考虑乙和丙的排法,最后考虑其他两所高校的排法,综合利用分类和分步计数原理进行分析即可.【详解】根据题意:分成以下两种情况进行分类讨论高校甲排在第二个时,高校丁必排在第三个,当乙或丙排在第一个时共有132312C A=种排法,当乙或丙不排在第一个时,乙和丙只能排在第四个和第六个,此时共有22224A A=种排法,所以高校甲排在第二个时共有16种排法;高校甲排在第三个时,高校丁必排在第四个,乙或丙只能一个排在第一二个,一个排在第五六个,则共有1112 222216C C C A=种排法;综上:共有32种排法满足题意.故选:B.【题型二】人坐座位模型2:染色(平面)【典例分析】如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区涂色,规定每个区域只能涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7 答案:D55315232553555351235125122404==4207;(2)4----+++2A C C A C C C C C ----⨯⨯涂色法:(1)用了几种颜色;(2)尽量先图相邻多的“三角形”:本题先把ABE 作为“三角形”1、用了5色:A 、用了4色:(1)先涂ABE:A 用第色:(3)D 用第4种:(相同)3、用了3色:同先涂ABE:A 结束。
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排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定:组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注:若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
2.解排列、组合题的基本策略(1)两种思路:①直接法;②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
(2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。
注意:分类不重复不遗漏。
即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。
(3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。
在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。
其原则是先分类,后分步。
(4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法。
3.排列应用题:(1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑;(3).相邻问题:捆邦法:对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。
(4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。
(5)、顺序一定,除法处理。
先排后除或先定后插解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
即先全排,再除以定序元素的全排列。
解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;若不要求,则有2种排法;(6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列。
(7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。
(8).数字问题(组成无重复数字的整数)①能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数。
②能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数;③能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数。
⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5。
⑥能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75。
⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数。
4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2).“含”与“不含”用间接排除法或分类法:3.分组问题:均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。
即除法处理。
非均匀分组:分步取,得组合数相乘。
即组合处理。
混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。
4.分配问题:定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。
随机分配:(不指定到具体位置)即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合分堆后排,注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。
5.隔板法:不可分辨的球即相同元素分组问题例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示). 解:分二步:首尾必须播放公益广告的有A22种;中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填 A22·A44=48. 从而应填48.例3.6人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法?解一:间接法:即65546554720212024504A A A A--+=-⨯+=解二:(1)分类求解:按甲排与不排在最右端分类.(1) 甲排在最右端时,有55A种排法; (2) 甲不排在最右端(甲不排在最左端)时,则甲有14A种排法,乙有14A种排法,其他人有44A种排法,共有14A14A44A种排法,分类相加得共有55A+14A14A44A=504种排法例.有4个男生,3个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排法?分析一:先在7个位置上任取4个位置排男生,有A47种排法.剩余的3个位置排女生,因要求“从矮到高”,只有1种排法,故共有A47·1=840种.1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有33394570C C C--=种,选.C解析2:至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的取法有2112545470C C C C +=台,选C . 2.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛(1)如果4人中男生和女生各选2人,有 种选法; (2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有 种选法; (3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有 种选法; (4)如果4人中必须既有男生又有女生,有 种选法分析:本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异,所以是组合问题.解:(1)先从男生中选2人,有25C 种选法,再从女生中选2人,有24C 种选法,所以共有2254C C =60(种);(2)除去甲、乙之外,其余2人可以从剩下的7人中任意选择,所以共有2227C C =21(种);(3)在9人选4人的选法中,把甲和乙都不在内的去掉,得到符合条件的选法数:4497C C -=91(种);直接法,则可分为3类:只含甲;只含乙;同时含甲和乙,得到符合条件的方法数131322332171727777C C C C C C C C C ++=++=91(种). (4)在9人选4人的选法中,把只有男生和只有女生的情况排除掉,得到选法总数444954C C C --=120(种).直接法:分别按照含男生1、2、3人分类,得到符合条件的选法为132231545454C C C C C C ++=120(种).1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为( ) A .40 B .50 C .60 D .70[解析] 先分组再排列,一组2人一组4人有C 26=15种不同的分法;两组各3人共有C 36A 22=10种不同的分法,所以乘车方法数为25×2=50,故选B.2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A .36种 B .48种 C .72种 D .96种[解析] 恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A 33A 24=72种排法,故选C.3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( )A .6个B .9个C .18个D .36个[解析] 注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C 13=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A 22×C 23=6(种)排法,所以共有3×6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有( )A .2人或3人B .3人或4人C .3人D .4人[解析] 设男生有n 人,则女生有(8-n )人,由题意可得C 2n C 18-n =30,解得n =5或n =6,代入验证,可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有( )A .45种B .36种C .28种D .25种[解析] 因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C 28=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有( )A.24种B.36种 C.38种D.108种[解析] 本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C13种分法,然后再分到两部门去共有C13A22种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C13种方法,由分步乘法计数原理共有2C13A22C13=36(种).7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )A.33 B.34 C.35 D.36[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33=12个;②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33+A33=18个;③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) A.72 B.96 C.108 D.144[解析] 分两类:若1与3相邻,有A22·C13A22A23=72(个),若1与3不相邻有A33·A33=36(个) 故共有72+36=108个.9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( )A .50种B .60种C .120种D .210种[解析] 先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C 16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A 25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C 16·A 25=120种,故选C.10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班,有A 25=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A 55=120(种)排法,所以共有20×120=2400(种)安排方法.11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)[解析] 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C 49·C 25·C 33=1260(种)排法.12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).[解析] 先将6名志愿者分为4组,共有C 26C 24A 22种分法,再将4组人员分到4个不同场馆去,共有A 44种分法,故所有分配方案有:C 26·C 24A 22·A 44=1 080种.13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).[解析] 5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,∴有4×3×2×(1×2+1×1)=72种.14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(A )12种 (B )18种 (C )36种 (D )54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法 甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43313134422A A A A A +种方法 故共有1008种不同的排法排列组合 二项式定理1,分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法(每一种都可以独立的完成这个事情)分步计数原理 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法 2,排列排列定义:从n 个不同元素中,任取m (m≤n)个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。