排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

一.基本原理

1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。

二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一

.m n m

n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从

1.公式:1.()()()()!

!

121m n n m n n n n A m n -=+---=……

2.

规定:0!1=

(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3)

111111

(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!

n n n n n n n n n +-+==-=-

+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。

1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n

m

n m m

m ==--+=

-11……!!

!! 10

=n C 规定:

组合数性质:

.2 n n

n n n m n m n m

n m

n n m

n C C C C C C C C 21011

=+++=+=+--……

,,

①;②;③;④

111

12111212211

r r r r r r r r

r r r r

r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++

+=+++

+=++

+=注: 若1

2

m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或

四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。

2.解排列、组合题的基本策略

(1)两种思路:①直接法;

②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解

决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

(2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。

(3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。其原则是先分类,

后分步。

(4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法。

3.排列应用题:

(1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑;

(3).相邻问题:捆邦法:

对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。

(4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。

(5)、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插

解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排,再除以定序元素的全排列。

解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;若不要求,则有2种排法;

(6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略

对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列。

(7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。(8).数字问题(组成无重复数字的整数)

①能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数。②能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数;

③能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数。⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5。

⑥能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75。⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数。

4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2).“含”与“不含”用间接排除法或分类法:

3.分组问题:

均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。即除法处理。

非均匀分组:分步取,得组合数相乘。即组合处理。

混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。

4.分配问题:

定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。

随机分配:(不指定到具体位置)即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合分堆后排,注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。

5.隔板法:不可分辨的球即相同元素分组问题

例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示). 解:分二步:首尾必须播放公益广告的有A22种;中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填 A22·A44=48. 从而应填48.

例3.6人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法?

解一:间接法:即6554

6554720212024504

A A A A

--+=-?+=

解二:(1)分类求解:按甲排与不排在最右端分类.

(1) 甲排在最右端时,有5

5

A种排法; (2) 甲不排在最右端(甲不排在最左端)时,则甲有14A

种排法,乙有1

4

A种排法,其他人有44A种排法,共有14A14A44A种排法,分类相加得共有

5

5

A+14A14A44A=504种排法

例.有4个男生,3个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排法?

分析一:先在7个位置上任取4个位置排男生,有A4

7

种排法.剩余的3个位置排女生,因要

求“从矮到高”,只有1种排法,故共有A4

7

·1=840种.

1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有

解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,

故不同的取法共有333

94570

C C C

--=种,选.C

解析2:至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型

1台;故不同的取法有2112

545470C C C C +=台,选C .

2.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛

(1)如果4人中男生和女生各选2人,有 种选法; (2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有 种选法; (3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有 种选法; (4)如果4人中必须既有男生又有女生,有 种选法

分析:本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异,所以是组合问题.

解:(1)先从男生中选2人,有25C 种选法,再从女生中选2人,有24C 种选法,所以共有2254C C =60(种);

(2)除去甲、乙之外,其余2人可以从剩下的7人中任意选择,所以共有2227C C =21(种);

(3)在9人选4人的选法中,把甲和乙都不在内的去掉,得到符合条件的选法数:4497

C C -=91(种);

直接法,则可分为3类:只含甲;只含乙;同时含甲和乙,得到符合条件的方法数

131322332

171727777

C C C C C C C C C ++=++=91(种). (4)在9人选4人的选法中,把只有男生和只有女生的情况排除掉,得到选法总数

444

954

C C C --=120(种). 直接法:分别按照含男生1、2、3人分类,得到符合条件的选法为132231

545454C C C C C C ++=120

(种).

1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为( ) A .40 B .50 C .60 D .70

[解析] 先分组再排列,一组2人一组4人有C 2

6=15种不同的分法;两组各3人共有C 36A 22

=10

种不同的分法,所以乘车方法数为25×2=50,故选B.

2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A .36种 B .48种 C .72种 D .96种

[解析] 恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插

空,从而共A 33A 2

4=72种排法,故选C.

3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( )

A .6个

B .9个

C .18个

D .36个

[解析] 注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选

四个数字共有C 13=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A 22×C 23=6(种)排法,所以

共有3×6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.

4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有( )

A .2人或3人

B .3人或4人

C .3人

D .4人

[解析] 设男生有n 人,则女生有(8-n )人,由题意可得C 2n C 18-n =30,解得n =5或n =6,代

入验证,可知女生为2人或3人.

5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有( )

A .45种

B .36种

C .28种

D .25种

[解析] 因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C 28=28种走法.

6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有( )

A.24种B.36种 C.38种D.108种

[解析] 本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C13种分法,然后再分到两部门去共有C13A22种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C13种方法,由分步乘法计数原理共有2C13A22C13=36(种).

7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )

A.33 B.34 C.35 D.36

[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33=12个;

②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33+A33=18个;

③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13=3个.

故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.

8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) A.72 B.96 C.108 D.144

[解析] 分两类:若1与3相邻,有A22·C13A22A23=72(个),若1与3不相邻有A33·A33=36(个) 故共有72+36=108个.

9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( )

A .50种

B .60种

C .120种

D .210种

[解析] 先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C 16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A 25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C 16·A 25=120种,故选C.

10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)

[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班,有A 25=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A 55=120(种)排法,所以共有20×120=2400(种)安排方法.

11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)

[解析] 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C 49·C 25·C 33=1260(种)

排法.

12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).

[解析] 先将6名志愿者分为4组,共有C 26C 2

4

A 22

种分法,再将4组人员分到4个

不同场馆去,共有A 4

4种分法,故所有分配方案有:C 26·C 24A 22

·A 44=1 080种.

13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).

[解析] 5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、

3不同色,2有1种种法,∴有4×3×2×(1×2+1×1)=72种.

14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有

(A )12种 (B )18种 (C )36种 (D )54种

【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两

个有种方法,共有种,故选B.

15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有

A. 504种

B. 960种

C. 1008种

D. 1108种

解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有4

414222A A A ?种方法

甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43

313134422A A A A A +种方法

故共有1008种不同的排法

排列组合 二项式定理

1,分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法(每一种都可以独立的完成这个事情)

分步计数原理 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法 2,排列

排列定义:从n 个不同元素中,任取m (m≤n)个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

排列数定义;从n 个不同元素中,任取m (m≤n)个元素的所有排列的个数

m n

A

公式

m n

A

=

!

()!

n n m - 规定0!=1

3,组合

组合定义 从n 个不同元素中,任取m (m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合

组合数 从n 个不同元素中,任取m (m≤n)个元素的所有组合个数 m

n C

m n

C

=

!

!()!

n m n m -

性质 m

n C =n m

n C - 1

1m

m

m n n n C C C -+=+

排列组合题型总结

一. 直接法

1 .特殊元素法

例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字1不排在个位和千位

(2)数字1不在个位,数字6不在千位。

分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择25A ,其余2位有四个可供选择24A ,由乘法原理:25A 2

4A =240

2.特殊位置法

(2)当1在千位时余下三位有35A =60,1不在千位时,千位有14A 种选法,个位有14A 种,余下的有24A ,共有14A 14A 24

A =192所以总共有192+60=252 二 间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法24

35462A A A +-=252 例:有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?

分析::任取三张卡片可以组成不同的三位数33

3352A C ??个,其中0在百位的有2242?C ?22A 个,这是不合题意的。故共可组成不同的三位数3

3

3352A C ??-2242?C ?22A =432

例: 三个女生和五个男生排成一排

(1) 女生必须全排在一起 有多少种排法( 捆绑法) (2) 女生必须全分开 (插空法 须排的元素必须相邻) (3) 两端不能排女生 (4) 两端不能全排女生

(5) 如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法 二. 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法?

分析:原有的8个节目中含有9个空档,插入一个节目后,空档变为10个,故有110

19A A ?=100中插入方法。 三. 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。

1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有 种(3324A C )

,2,某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较

多,要安排连续参观2天,其余只参观一天,则植物园30天内不同的安排方法有(1928129A C ?)(注意连续参观2天,即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进

行排列)

四. 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法

例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共 种 。

分析:此例的实质是12个名额分配给8个班,每班至少一个名额,可在12个名额种的11个空当中插

入7块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有711C 种

五 平均分推问题

例:6本不同的书按一下方式处理,各有几种分发? (1) 平均分成三堆, (2)

平均分给甲乙丙三人

3,5

2,4

(3) 一堆一本,一堆两本,一对三本

(4) 甲得一本,乙得两本,丙得三本(一种分组对应一种方案) (5)

一人的一本,一人的两本,一人的三本

分析:1,分出三堆书(a 1,a 2),(a 3,a 4),(a 5,a 6)由顺序不同可以有3

3A =6种,而这6种分法只算一种分堆方式,故6本不同的书平均分成三堆方式有3

3

2

2

2426A C C C =15种 2,六本不同的书,平均分成三堆有x 种,平均分给甲乙丙三人 就有x 3

3A 种 2226

4

2

C C C

3,

1

2

3

653C C C 5,33A 1

2

3

653C C C

五. 合并单元格解决染色问题

Eg 如图1,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种(以数字作答)。 分析:颜色相同的区域可能是2、3、4、5. 下面分情况讨论:

(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时,将2、4合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于4个元

素 ①③⑤的全排列数A 4

4

(ⅱ)当2、4颜色不同且3、5颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得A 4

4 种着色法. (ⅲ)当2、4与3、5分别同色时,将2、4;3、5分别合并,这样仅有三个单元格

从4种颜色中选3种来着色这三个单元格,计有A C 3

33

4?种方法. 由加法原理知:不同着色方法共有2A C A 3

33

44

4+=48+24=72(种) 练习1(天津卷(文))将3种作物种植

1 2 3 4 5

2,4

在如图的5块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 , 不同的种植方法共 种(以数字作答) (72)

2.某城市中心广场建造一个花圃,花圃6分为个部分(如图3),现要栽种4种颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽种方法有 种(以数字作答).(120)

图3 图4

3.如图4,用不同的5种颜色分别为ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,则符合这种要求的不同着色种数.(540)

4.如图5:四个区域坐定4个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法是 种(84)

图5 图6

5.将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用,则不同的染色方法共 种(420)

5

4

6

13

2

E

D C

B A

4

3

21

D B

C

E

A

计数原理与排列组合经典题型

计数原理与排列组合题型解题方法总结 计数原理 一、知识精讲 1、分类计数原理: 2、分步计数原理: 特别注意:两个原理的共同点:把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。 不同点:如果完成一件事情共有n类办法,这n类办法彼此之间相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情,求完成这件事情的方法种数,就用分类计数原理。分类时应不重不漏(即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类) 如果完成一件事情需要分成n个步骤,各个步骤都是不可缺少的,需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后,相互依存,缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4.组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3)组合数的性质 二、.典例解析 题型1:计数原理 例1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;

③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。 例2(1)如图为一电路图,从A 到B 共有 条不同的线路可通电。 例3: 把一个圆分成3块扇形,现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色,要求相邻扇形的颜色互不相同,问有多少钟不同的涂法?若分割成4块扇形呢? 例4、某城在中心广场造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答) 例5、 四面体的顶点和各棱的中点共10个,在其中取4个不共面的点,问共有多少种不同的取法? 例6、(1)电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? (2)三边均为整数,且最大边长为11的三角形的个数是 D C B A

排列组合典型例题(带详细答案)

例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数? 例2三个女生和五个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法? 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种? (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种? 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法. 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员,每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种? 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法? 例77名同学排队照相. (1)若分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法?

(2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法? (3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法? (4)若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法? 例8计算下列各题: (1) 215 A ; (2) 66 A ; (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ; 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队,限定a 要排在b 的前面(a 与b 可以相邻,也可以不相邻),求共有几种排法. 例10 八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排办法? 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端,那么不同陈列方式有 例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数的个数共有( ). 例13 用5,4,3,2,1,这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ). 例14 用543210、、、、、共六个数字,组成无重复数字的自然数,(1)可以组成多少个无重 复数字的3位偶数?(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数?

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型与通用方法 1. 相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列 例1. A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 A,B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有( ) A 、60 种 B 、48 种 C 、36 种 D 、24 种 2. 相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几 个元素全排列,再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端 ? 例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( ) A 、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种 3. 定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在A 的右边(A, B 可以不相邻)那么不同的排法有 ( ) 4. 标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上, 可 先把某个元素按规定排入, 第二步再排另一个元素, 如 此继续下去,依次即可完成 ? 例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所 填数字均不相同的填法有( ) A 、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种 5. 有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法 例5.( 1 )有甲乙丙三项任务,甲需 2人承担,乙丙各需一人承担,从 10人中选出4人承担这三项任务, 不同的选法种数是( ) A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种 (2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口 6. 全员分配问题分组法: 例6.( 1)4名优秀学生全部保送到 3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种? A 、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、 120 种 4人,则不同的分配方案有( 4 4 4 C 12C 8C 4 种 4 4 3C 12C 8C C 、 C 12C 8 A 3 种

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定: 组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集, 所有各类的并集为全集。 (3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分 类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (43.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑; (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 (5)、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插 解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排,再除以定序元素的全排列。 解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;若不要求,则有2种排法; (6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列。 (7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。 (8).数字问题(组成无重复数字的整数) ① 能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数。②能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数; ③能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75。 ⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数。 4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2). “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3.分组问题: 均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组:分步取,得组合数相乘。即组合处理。 混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。 4.分配问题: 定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 (一)典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种, 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是: 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排,如果,A B必须相邻且B在A 的右边,则不同的排法有() A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是() A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(,A B可以不相邻)那么不同的排法有()A、24种 B、60种 C、90种D、120种

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. 例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( ) A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. 例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是( ) A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 (2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有( ) A 、44412 8 4 C C C 种 B 、44412 8 4 3C C C 种 C 、44312 8 3 C C A 种 D 、 4441284 33 C C C A 种

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定: 组合数性质: .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ,, ①;②;③;④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。

高考排列组合典型例题

高考排列组合典型例题 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

排列组合典型例题 例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数 分析:这一问题的限制条件是:①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8、,从限制条件入手,可划分如下: 如果从个位数入手,四位偶数可分为:个位数是“0”的四位偶做,个位数是 2、4、6、8的四位偶数(这是因为零不能放在千位数上).由此解法一与二. 如果从千位数入手.四位偶数可分为:千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类,由此得解法三. 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类,先求出四位个数的个数,用排除法,得解法四. 解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有39A 个; 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有281814A A A ??(个). ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439 =+=??+A A A A 个. 解法2:当个位数上排“0”时,同解一有39A 个;当个位数上排2、4、6、8中之一时,千位,百位,十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千 位数是“0”排列数得:)(283914 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 22961792504)(28391439 =+=-?+A A A A 个.

高中排列组合知识点汇总和典型例题[全]

一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3)111111(1)! (1)! (1)!(1)! !(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定: 组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意: 分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。 (3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计 数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法。 3.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑; (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空

排列组合典型例题

排列组合典型例题

典型例题一 例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数? 分析:这一问题的限制条件是:①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8、,从限制条件入手,可划分如下: 如果从个位数入手,四位偶数可分为:个位数是“0”的四位偶做,个位数是 2、4、6、8的四位偶数(这是因为零不能放在千位数上).由此解法一与二. 如果从千位数入手.四位偶数可分为:千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类,由此得解法三. 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类,先求出四位个数的个数,用排除法,得解法四. 解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有3 A个; 9 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,

则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有2 8181 4 A A A ??(个). ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 179250428181439=+=??+A A A A 个. 解法2:当个位数上排“0”时,同解一有3 9 A 个;当个位数上排2、4、6、8中之一时,千位,百位,十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得:) (28391 4 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 1792504)(28391439=+=-?+A A A A 个. 解法3:千位数上从1、3、5、7、9中任选一个,个位数上从0、2、4、6、8中任选一个,百位,十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 2 81 515A A A ??个 干位上从2、4、6、8中任选一个,个位数上从余下的四个偶数中任意选一个(包括0在内),百位,十位从余下的八个数字中任意选两个作排列,有 2 81414A A A ??个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有

高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; ' (3)111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10=n C 规定: 组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ① ;②;③;④ 11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 " 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意: 分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。 (3数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (4 3.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑; ) (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空

排列组合专题复习及经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解 1.学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 (1)特殊元素优先安排的策略: (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略. 3.难点 综合运用解题策略解决问题. 4.学习过程: (1)知识梳理 m种不完成一件事,有几类办法,在第一类办法中有1.分类计数原理(加法原理):1mm种不同的方法,类型办法中有种不同的方法……在第n同的方法,在第2类办法中有n2N?m?m?...?m 种不同的方法.那么完成这件事共有n12m种不步有个步骤,做第12.分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n1mm种不同的方法;那么完成这步有种不同的方法……,做第同的方法,做第2步有n n2N?m?m?...?m种不同的方法.件事共有n12特别提醒: 分类计数原理与“分类”有关,要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性; 分步计数原理与“分步”有关,要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性,应用这两个原理进行正确地分类、分步,做到不重复、不遗漏. 3.排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n m?nm?n 时叫做全排列. 时叫做选排列,排列个不同元素中取出m个元素的一个,4.排列数:从n个不同元素中,取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同m P. 个元素的排列数,用符号表示元素中取出m n n!?m)?Nmn(m?)...()(1n?2n?m1)??,n、?(?Pnn5.排列数公式: n(n?m)!1mmm?mPPP??排列数具有的性质:nn1?n特别提醒: 规定0!=1 1 6.组合:从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个不同元素,组成一组,叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合. 7.组合数:从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数,叫做从n个m C. 个不同元素的组合数,用符号表示不同元素中取出m nm Pn(n?1)(n?2)...(n?m?1)n!mn???C.组合数公式:8 nm)!m!(n?m!mP mmn?mmmm?1C?CC?C?C;②组合数的两个性质:①nnnnn?1特别提醒:排列与组合的联系与区别. 联系:都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.

排列组合专题复习及经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解 1. 学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 (1)特殊元素优先安排的策略: (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略. 3.难点 综合运用解题策略解决问题. 4.学习过程: (1)知识梳理 1.分类计数原理(加法原理):完成一件事,有几类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类型办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法……,做第n 步有n m 种不同的方法;那么完成这件事共有n m m m N ???=...21种不同的方法. 特别提醒: 分类计数原理与“分类”有关,要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性; 分步计数原理与“分步”有关,要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性,应用这两个原理进行正确地分类、分步,做到不重复、不遗漏. 3.排列:从n 个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,n m <时叫做选排列,n m =时叫做全排列. 4.排列数:从n 个不同元素中,取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号m n P 表示. 5.排列数公式:)、(+∈≤-= +---=N m n n m m n n m n n n n P m n ,)! (!)1)...(2)(1( 排列数具有的性质:11-++=m n m n m n mP P P 特别提醒: 规定0!=1

排列组合问题经典题型(含解析)

排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排,如果,A B必须相邻且B在A的右边,则不同的排法有() A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是() A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(,A B可以不相邻)那么不同的排法有()A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. 例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有() A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. 例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是() A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 (2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有() A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种? (2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为() A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案? 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案? 9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 (2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种? (3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?

排列组合基础知识及习题分析

排列组合基础知识及习题分析 在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式! C53=(5×4×3)/(3×2×1) C62=(6×5)/(2×1)通过这2个例子看出 n C m n公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N的阶层作 为分母 p53=5×4×3 p66=6×5×4×3×2×1 通过这2个例子 p m n=从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N=M时即M的阶层排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中,任取m (m≤n)个元素,有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二: 其一是看问题是有序的还是无序的?有序用“排列”,无序用“组合”;其二是看问题需要分类还是需要分步?分类用“加法”,分步用“乘法”. 分类:“做一件事,完成它可以有n类方法”,这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次,分类时要注意满足两条基本原则:①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步:“做一件事,完成它需要分成n个步骤”,这是说完成这件事的任何一种方法,都要分成n个步骤.分步时,首先要根据问题的特点,确定一个可行的分步标准;其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后,这件事才算最终完成. 两个原理的区别在于一个和分类有关,一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法,这n 类办法彼此之间是相互独立的,无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用加法原理;如果完成一件事需要分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点: 1.有限制条件的排列问题常见命题形式:“在”与“不在”“邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法: ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”,可把两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后,利用规定顺序的实情求出结果. 2.有限制条件的组合问题,常见的命题形式:“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3.在处理排列、组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重、不漏,按事件的发生过程分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列、组合问题的最基本的,也是最重要的思想方法。. ***************************************************************************** 提供10道习题供大家练习

排列组合习题_[含详细答案解析]

圆梦教育中心 排列组合专项训练 1.题1 (方法对比,二星) 题面:(1)有5个插班生要分配给3所学校,每校至少分到一个,有多少种不同的分配方法? (2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校,每校至少分到一个名额,有多少种不同的名额分配方法? 解析:“名额无差别”——相同元素问题 (法1)每所学校各分一个名额后,还有2个名额待分配, 可将名额分给2所学校、1所学校,共两类: 213 3 C C +(种) (法2——挡板法) 相邻名额间共4个空隙,插入2个挡板,共: 246C =(种) 注意:“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别,且 每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别,元素无差别) 同类题一 题面: 有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 答案:6 9C 详解: 因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有6 9C 种分法。 同类题二 题面: 求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。 答案:36. 详解: 将10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定 由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值, 故解的个数为C 92=36(个)。 2.题2 (插空法,三星) 题面:某展室有9个展台,现有3件展品需要展出,要求每件展品独自占用1个展台,并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有______种;如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有____种. 答案:60,48 同类题一 题面: 6男4女站成一排,任何2名女生都不相邻有多少种排法? 答案:A 66·A 4 7种. 详解: 任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有A 66·A 4 7种不 同排法. 同类题二 题面: 有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A .36种 B .48种 C .72种 D .96种 答案:C. 详解:恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个 空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A 33A 2 4=72种排法,故选C. 3.题3 (插空法,三星) 题面:5个男生到一排12个座位上就座,两个之间至少隔一个空位.

排列&组合计算公式及经典例题汇总

排列组合公式/排列组合计算公式 排列A------和顺序有关 组合 C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1.排列及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A(n,m)表示. A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c(n,m) 表示. c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=A(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列(Anm(n为下标,m为上标)) Anm=n×(n-1)....(n-m+1);Anm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符号);Ann(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;An1(n为下标1为上标)=n

相关文档
最新文档