第三章流体动力学基础

3.1 流场及其描述方法
拉格朗日法
1.定义 跟踪个别 流体质点 研究其位 移、速度、 加速度等随 时间的变 化情况 综合流场中 所有流体质 点的运动
又称随体法
3.1 流场及其描述方法
一、拉格朗日法（续）
3.方程
流体质点的位置坐标： 速度：
x = x (a，b，c，t ) y = y(a，b，c，t ) z = z (a，b，c，t )
dx dy = u x = kx, = u y = −ky dt dt 分离变量并积分 ln x = kt + ln c1 ln y = −kt + ln c2 其中，c1 , c2是积分常数。从两式消 去参数t得迹线方程 xy = c1c2
3.3
流体流动的基本术语和概念
3.3
流体流动的基本术语和概念
电话号码
3.1 流场及其描述方法
一、拉格朗日法（续）
5、优缺点： √ 直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程 × 数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用 (流体的 振动和波动问题)
欧拉法
通过描述物理 量在空间的分 布来研究流体 运动的方法。
站岗、流场法
着眼于研究空间 固定点的情况
要点：1、分析某固定位置处，流体运动要素随时间的变化规律； 2、分析由某一位置转移到另一位置时，运动要素随位置变化的 规律。
一、定常流动和非定常流动
流动参量不随时间变化的流动。
v = v ( x, y , z ) p = p ( x, y , z )
= ( x, y , z )
特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数， 而与时间无关。 即：
（） ＝0 t
3
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3.2
2. 非定常流动
矢量形式
或
a=
v + (v )v t
2
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二、欧拉法（续）
质点加速度：
a=
当地加速度
3.1 流场及其描述方法
二、欧拉法（续）
4.加速度及其他物理量的时间变化率（续）
（2）其他物理量的时间变化率
d = + (v ) dt t
dv v = + ( v ) v dt t
ux = dx dy dz , u y = , uz = dt dt dt
流速场：
压强场： 密度场：
p = p ( x, y , z , t )
= ( x, y, z, t )

其他物理量（N）场：
N = N( x, y, z, t )
u x u u u + ux x + u y x + uz x t x y z u y u y u y u y ay = + ux + uy + uz t x y z u u u u az = z + u x z + u y z + u z z t x y z ax =
dx dy dz = = ux u y uz
5
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例题
已知流场中质点的速度为
u x = kx u y = − ky( y 0) uz = 0
试求流场中质点流线方程和迹线方程
求流线方程
❖ 求迹线方程
dx dy dx dy = = ux u y kx − ky 消去k，积分得 ln x = − ln y + ln c xy = c
迁移加速度
质点全导数：
全导数
d = + ( v ) dt t
迁移导数 当地导数
压强的质点导数
dp p = + (v ) p dt t
密度：
dρ ρ = + v ρ dt t
dρ ρ ρ ρ ρ = + ux + uy + uy dt t x y z
3.1 流场及其描述方法
3. 流线的性质
（1）流线彼此不能相交。 （2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点。 （3）定常流动时流线形状不变， 非定常流动时流线形状发生变化。 （4）流线簇（谱）的疏密反应了流速的大小 （流线密集，流速大。流线稀疏，流速小）
v2
s1
s2
v1
折点
u dx cos(u , x) = x = u ds u y dy cos(u , y ) = = u ds u dz cos(u , z ) = z = u ds
❖ 解这个方程并消去参 数t，可得到迹线方程
1
2
5
6 u 5
u4
不同边界的流线图
3.3
流体流动的基本术语和概念
3.3
流体流动的基本术语和概念
v1
交点
二、流线（续）
二、流线（续）
ds dx = u ux ds dy = u uy ds dz = u uz
2. 流线微分方程
u = u( x, y, z, t )
u x = u x ( x, y, z , t ) u y = u y ( x, y, z , t ) u = u ( x, y, z , t ) z z
ax =
dux u x u x dx u x dy u x dz = + + + dt t x dt y dt z dt
描述流体运动的方法 流体只能在固体壁面所限制的空间内外进行运动；
流场 —— 充满运动流体的空间称为流场
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数 个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据 的空间。 流场中流体质点的连续性决定表征流体质点运动和物性 的参数（速度、加速度、压强、密度等）在流场中也是连续 的。并且随时间和空间而变化。
流动的分类
一、定常流动和非定常流动（续）
流动参量随时间变化的流动。
v = v ( x, y , z , t ) p = p ( x, y , z , t )
= ( x, y , z , t )
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数， 而且与时间有关。 （） 即： 0 t
3.2
3.6 3.7 3.8 3. ������ 欧拉运动微分方程（欧拉方程） ❖ ������ 连续性方程——质量守恒* ❖ ������ 伯努利方程——能量守恒** 重点 ❖ ������ 动量方程——动量守恒** 难点 ❖ ������ 方程的应用
3.1 流场及其描述方法
v2
dx dy dz = = ux u y uz
s
迹线、流线区别：
迹线
定义
质点的运动轨迹
流线
某一瞬时，速度方向线 欧拉法
❖ 驻点速度为0。如图 A点。
❖ 奇点(源点、汇点） 速度无穷大。如图 B点。
研究方法
拉格朗日法
微分方程
在驻点和奇点处，流线可以相交
dx dy dz = = = dt ux u y uz
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3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
流场及其描述方法 流动的分类 流体流动的基本术语和概念 系统与控制体 一维流动的连续方程 理想流体一维稳定流动伯努利能量方程 沿流线主法线方向的压力和速度变化 粘性流体总流的伯努利方程 伯努利方程的应用 动量方程和动量矩方程
第三章 流体动力学基础
u = u (a，b，c，t )＝ x(a，b，c，t ) t y (a，b，c，t ) v = v(a，b，c，t ) = t z (a，b，c，t ) w = w(a，b，c，t ) = t
着眼于流体质点
2. 研究对象 流体质点
流场分布
流体质点的加速度：
5、欧拉法的优越性： A、利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工 具来研究。
B、采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二 阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微 分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。 C、在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点 原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。 拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中方便。
1. 定义
一维流动 二维流动 三维流动
流动的分类
v = v( x) v = v( x, y) v = v( x, y, z )
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体 情况加以简化。
二、一维流动、二维流动和三维流动 流动参量是几个坐标变量的函数，即 为几维流动。
三维流动: 速度场必须表示为三个方向坐标的函数
u x u u u + u x x + u y x + u z x = 2 + 7.4 3 + 2.3 1 + 3.3 0 = 26.5 t x y z u y u y u y u y ay = + ux + uy + uz = 1 + 0 7.4 + 2.3 (−1) + 3.3 2 = 5.3 t x y z u u u v az = z + u x z + u y z + u z = 1 + 7.4 2 + 2.3 0 + 3.3 (−1) = 12.5 t x y z
ax =
例题
已知流速场u x = 2t + 3x + y；u y = t − y + 2 z；u z = t + 2 x − z。 试求当t = 2时，某空间点（0.9,0.7,0.5）上质点的加速度a。
解：将t = 2，x = 0.9, y = 0.7, z = 0.5代入上述流场各方程式。