北师大版九年级数学 反比例函数 培优专题训练(有答案)
北师大版九年级数学上学期期末培优训练第六章：反比例函数(含答案)
九年级上学期期末培优训练：反比例函数1．如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，点A的横纵坐标之比为3：4，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，且与BC 交于点F．（1）若OA＝10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，求OA的长和点C的坐标．解：（1）过点A作AH⊥OB于H，∵点A的横纵坐标之比为3：4，∴sin∠AOB＝，OA＝10，∴AH＝8，OH＝6，∴A点坐标为（6，8），根据题意得：8＝，可得：k＝48，∴反比例函数解析式：y＝（x＞0）；（2）设OA＝a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于点N，由平行四边形性质可证得OH＝BN，∵点A的横纵坐标之比为3：4，∴sin∠AOB＝，∴AH＝a，OH＝a，＝×a•a＝a2，∴S△AOH＝12，∵S△AOF∴S 平行四边形AOBC ＝24， ∵F 为BC 的中点， ∴S △OBF ＝6，∵BF ＝a ，∠FBM ＝∠AOB ，∴FM ＝a ，BM ＝a ，∴S △BMF ＝BM •FM ＝×a ×a ＝a 2，∴S △FOM ＝S △OBF +S △BMF ＝6+a 2，∵点A ，F 都在y ＝的图象上，∴S △AOH ＝S △FOM ＝k ，∴a 2＝6+a 2，∴a ＝，∴OA ＝，∴AH ＝，OH ＝2，∵S 平行四边形AOBC ＝OB •AH ＝24， ∴OB ＝AC ＝3，∴ON ＝OB +OH ＝5，∴C （5，）．2．平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，点B与点A关于原点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B．（1）设a＝2，点C（4，2）在函数y1，y2的图象上．分别求函数y1，y2的表达式．（2）如图，设函数y1，y2的图象相交于点C，点C的横坐标为3a，△ABC的面积为16，求k的值．解：（1）∵点C（4，2）在函数y1＝（x＞0）的图象上，∴k＝4×2＝8，∴函数y1的表达式为y1＝．∵点A在y1＝的图象上，∴x＝a＝2，y＝4，∴点A（2，4）．∵A和点B关于原点对称，∴点B的坐标为（﹣2，﹣4）．∵一次函数y2＝mx+n的图象经过点A'和点B，∴，解之，得：，∴函数y2的表达式为y2＝x﹣2；（2）∵点A的横坐标为a，∴点A（a，）．∵A和点B关于原点对称，∴点B的坐标为（﹣a，﹣）．∵点B在y2＝mx+n的图象上，∴点B的坐标为（﹣a，﹣am+n）．∴﹣＝﹣am+n，a2m＝an+k①．∵点C的横坐标为3a，∴点C（3a，3am+n）或（3a，），∴3am+n＝，即9a2m+3an＝k②由①②得：a2m＝，an＝﹣．过点A作AD⊥x轴，交BC于点D，则点D（a，am+n），∴AD＝﹣am﹣n．＝AD（x c﹣x b）＝•4a（﹣am﹣n）＝16，∵S△ABc∴k﹣a2m﹣an＝8，∴k﹣﹣（﹣）＝8，∴k＝6．3．如图，已知正比例函数图象经过点A（2，2），B（m，3）（1）求正比例函数的解析式及m的值；（2）分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限的分支分别交于点C、D（点C、D均在点A、B下方），若BD＝4AC，求反比例函数的解析式；（3）在第（2）小题的前提下，联结AD，试判断△ABD的形状，并说明理由．解：（1）设正比例函数的解析式为y＝kx，∵正比例函数图象经过点A（2，2），∴2＝2k，∴k＝1，∴比例函数的解析式为y＝x；把B（m，3）代入解析式得，m＝3；（2）∵AC∥BD∥y轴，∴C点的横坐标为2，D点的横坐标为3，设反比例函数的解析式为y＝，分别代入得y C＝，y D＝，∴AC＝2﹣，BD＝3﹣，∵BD＝4AC，∴3﹣＝4（2﹣），解得m＝3，∴反比例函数的解析式为y＝；（3）△ABD是等腰直角三角形；理由是：由（2）得：D（3，1），A（2，2），B（3，3），∴AB2＝（3﹣2）2+（3﹣2）2＝2，AD2＝（3﹣2）2+（2﹣1）2＝2，BD2＝（3﹣3）2+（3﹣1）2＝4，∴BD 2＝AB 2+AD 2，且AB ＝AD ， ∴△ABD 是等腰直角三角形．4．如图，直线y ＝x +3分别交x 轴、y 轴于点A 、C ．点P 是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点，PB ⊥x 轴于B ，且S △ABP ＝16． （1）求证：△AOC ∽△ABP ； （2）求点P 的坐标；（3）设点Q 与点P 在同一个反比例函数的图象上，且点Q 在直线PB 的右侧，作QD ⊥x 轴于D ，当△BQD 与△AOC 相似时，求点Q 的横坐标．（1）证明：∵PB ⊥x 轴于B ，QC ⊥x 轴， ∴OC ∥PB ， ∴△AOC ∽△ABP ；（2）解：对于直线y ＝x +3， 令x ＝0，得y ＝3； 令 y ＝0，得x ＝﹣6， ∴A （﹣6，0），C （0，3）， ∴OA ＝6，OC ＝3 ∵△AOC ∽△ABP ，∴，∵S △ABP ＝16，S △AOC ＝，∴，∴，即，∴PB＝4，AB＝8，∴OB＝2，∴点P的坐标为（2，4）；（3）设反比例函数的解析式为y＝，把P（2，4）代入，得k＝xy＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；点Q在双曲线上，可设点Q的坐标为（n，）（n＞2），则BD＝n﹣2，QD＝，①当△BQD∽△ACO时，，∴，整理得，n2﹣2n﹣16＝0，解得n1＝1+，n2＝1﹣；②当△BQD∽△CAO时，，∴，整理得，n2﹣2n﹣4＝0，解得n3＝1+，n4＝1﹣，综上①②所述，点Q的横坐标为1+或1+．5．如图，已知反比例函数y＝的图象经过点A（﹣，b），过点A作x轴的垂线，垂足为B，△AOB的面积是．（1）求k和b的值；（2）若一次函数y＝ax+1的图象经过点A，且与x轴交于点C，求△AOC的面积．解：（1）∵点A的坐标是（﹣，b），∴AB＝b，OB＝，∵△AOB的面积是，∴×b＝，解得：b＝2，即A（﹣，2），把A的坐标代入y＝得：k＝2×（﹣）＝﹣2；（2）把A的坐标（﹣，2）代入y＝ax+1得：2＝﹣a+1，解得：a＝﹣，即y＝﹣x+1，当y＝0时，0＝﹣x+1，解得：x＝，即C点的坐标为（，0），∴△AOC的面积是＝．6．如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b图象与反比例函数y＝图象的两个交点．（1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出△AOB 的面积；（3）根据图象直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围．解：（1）把（﹣4，2）代入y ＝得2＝，则m ＝﹣8．则反比例函数的解析式是y ＝﹣；把（n ，﹣4）代入y ＝﹣得n ＝﹣＝2，则B 的坐标是（2，﹣4）． 根据题意得：解得，所以一次函数的解析式是y ＝﹣x ﹣2；（2）设AB 与x 轴的交点是C ，则C 的坐标是（﹣2，0）． 则OC ＝2，S △AOC ＝2，S △BOC ＝4， 则S △AOB ＝6；（3）由函数图象可知x 的取值范围时﹣4＜x ＜0或x ＞2．7．已知：如图，点A （1，m ）是正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝的图象在第一象限的交点，AB⊥x轴，垂足为点B，△ABO的面积是2．（1）求m的值以及这两个函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△AOP是以OA为腰的等腰三角形，求点P的坐标．解：（1）∵△ABO的面积是2，∴k2＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝．当x＝1时，m＝＝4，∴点A的坐标为（1，4）．又∵点A（1，4）在正比例函数y＝k1x的图象上，∴k1＝4，∴正比例函数的解析式为y＝4x．（2）∵△AOP是以OA为腰的等腰三角形，∴OA＝OP或OA＝AP．①当OA＝OP时，∵点A的坐标为（1，4），∴OA＝＝，∴OP＝，∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0）；②当OA＝AP时，OP＝2OB＝2，∴点P的坐标为（2，0）．综上所述：点P的坐标为（﹣，0），（，0），（2，0）．8．已知：A（a，y1），B（2a，y2）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点．（1）比较y1与y2的大小关系；（2）若A、B两点在一次函数y＝﹣2x+b第一象限的图象上（如图所示），分别过A、B＝12，求a的值；两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，且S△OAB（3）在（2）的条件下，如果m＝﹣2x+12，n＝，求使得m＞n的x的取值范围．解：（1）∵A、B是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点，∴a≠0，当a＞0时，A、B在第一象限，由a＜2a可知，y1＞y2，同理，a＜0时，y1＜y2；（2）∵A（a，y1）、B（2a，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，∴AC＝y1＝，BD＝y2＝，∴y1＝2y2．又∵点A（a，y1）、B（2a，y2）在一次函数y＝﹣2a+b的图象上，∴y1＝﹣2a+b，y2＝﹣4a+b，∴﹣2a +b ＝2（﹣4a +b ）， ∴b ＝6a ，∵S △AOC +S 梯形ACDB ＝S △AOB +S △BOD ， 又∵S △AOC ＝S △BOD ， ∴S 梯形ACDB ＝S △AOB ，∴ [（﹣2a +b ）+（﹣4a +b ）]•a ＝12， ∴a 2＝4， ∵a ＞0， ∴a ＝2；（3）由（2）得，一次函数的解析式为y ＝﹣2x +12，反比例函数的解析式为：y ＝，A 、B 两点的横坐标分别为2、4，且m ＝﹣2x +12、n ＝，因此使得m ＞n 的x 的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围，从图象可以看出2＜x ＜4或x ＜0．9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，点D 的坐标为（4，3）．设AB 所在的直线解析式为y ＝ax +b （a ≠0），若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移m 个单位， ①当菱形的顶点B 落在反比例函数的图象上，求m 的值；②在平移中，若反比例函数图象与菱形的边AD 始终有交点，求m 的取值范围．解：①∵点D 的坐标为（4，3），点C 和原点O 重合，∴CD＝＝5．∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AD＝CD＝5，∴点A的坐标为（4，8），点B的坐标为（0，5）．∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝4×8＝32，∴反比例函数解析式为y＝．当y＝5时，＝5，解得：x＝，∴当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，m的值为．②当y＝3时，＝3，解得：x＝，∵﹣4＝，∴当菱形的顶点D落在反比例函数的图象上时，m的值为，∴在平移中，若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，m的取值范围为0≤m≤．10．如图，已知∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象过点B（﹣3，a），反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A．（1）求a和k的值；（2）过点B作BC∥x轴，与双曲线y＝交于点C．求△OAC的面积．解：（1）∵比例函数y＝﹣（x＜0）的图象过点B（﹣3，a），∴a＝﹣＝1，∴OE＝3，BE＝1，分别过点A、B作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，∴∠BOE+∠AOD＝90°，tan30°＝＝，∴∠OBE＝∠AOD，∵∠OEB＝∠ADO＝90°，∴△BOE∽△OAD∴＝＝＝，∴AD＝•OE＝＝3，OD＝•BE＝＝∴A（，3），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A，∴k＝×＝9；（2）由（1）可知AD＝3，OD＝，∵BC∥x轴，B（﹣3，1），∴C点的纵坐标为1，过点C作CF⊥x轴于F，∵点C在双曲线y＝上，∴1＝，解得x ＝9， ∴C （9，1）， ∴CF ＝1，∴S △AOC ＝S △AOD +S 梯形ADFC ﹣S △COF ＝S 梯形ADCF＝（AD +CF ）（OF ﹣OD ）＝（3+1）（9﹣）＝13．11．如图已知直线y ＝kx +5（k ＜0）与x 、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线y ＝（x ＞0）交于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，连接OC ，设C 点坐标为（a ，b ），t ＝OD •DA （1）当a ＝4时，求k •t 的值； （2）求证：ka 2+5a ＝4；（3）随着a 的变化，k •t 的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．解：（1）设C 点坐标为（a ，b ）， 当a ＝4时，∴C （4，b ），∵点C 在双曲线y ＝上，∴b＝＝1，∴C（4，1），∵点C在直线y＝kx+5上，∴1＝4k+5，∴k＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，令y＝0，则﹣x+5＝0，∴x＝5，∴A（5，0），∴OA＝5，∵CD⊥x轴于D，C（4，1），∴OD＝4，∴DA＝OA﹣OD＝1，∴t＝OD•DA＝4×1＝4，∴k•t＝﹣1×4＝﹣4；（2）∵点C（a，b）在双曲线y＝上，∴ab＝4，∵点C在直线y＝kx+5上，∴b＝ak+5，∴a（ak+5）＝4，∴ka2+5a＝4；（3）不变，理由：在直线AB：y＝kx+5中，令y＝0，则kx+5＝0，∴x＝﹣，∴A（﹣，0），∴OA＝﹣，∵CD⊥x轴于D，∴OD＝a，∴DA＝OA﹣OD＝﹣﹣a，∴t＝OD•DA＝a（﹣﹣a）＝﹣（a2k+5a），由（2）知，ka2+5a＝4，∴t＝﹣（a2k+5a）＝﹣×4＝﹣∴k•t＝k•（﹣）＝﹣4．12．如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，∴a＝4，∴B（2，4），将B（2，4）在反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y＝，当m＝3时，∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴D（2+3，4），即：D（5，4），∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，∴E（5，），∴DE＝4﹣＝，EF＝，∴＝＝；②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，∵A（0，8），B（2，4），∴C（m，8），D（（m+2，4），∵△BCD是以BC为腰的等腰三形，∴Ⅰ、当BC＝CD时，∴BC＝AB，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，Ⅱ、当BC＝BD时，∵B（2，4），C（m，8），∴BC＝，∴＝m，∴m＝5，即：△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．13．平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1＝（x＞0），与y2＝﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．（a、b为任意实数）（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；（2）作边长为2的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，当a≥3时，CD边与函数y1＝（x＞0）的图象有交点，请说明理由．解：（1）A、B的横坐标分别为a、b，则点A、B的坐标分别为（a，）、（b，﹣），AB∥x轴，则，则a＝﹣b，AB＝a﹣b＝2a，S＝×2a×＝3；△OAB（2）如图所示：∵a≥3，AC＝2，则直线CD在y轴右侧且平行于y轴，CD一定与函数有交点，设交点为F，设点A（a，），则点C（a﹣2，），点D（a﹣2，），点F（a﹣2，）则2﹣FC＝2﹣+＝，∵a≥3，∴a﹣3≥0，a﹣2＞0，故2﹣FC≥0，FC≤2，即点F在线段CD上，即当a≥3时，CD边与函数y1＝（x＞0）的图象有交点．14．如图，直线AB：y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（1，0）和点B（0，2），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD．（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点，求k的取值范围．解：（1）将A（1，0），B（0，2）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2．（2）作DF⊥x轴于F，则∠AFD＝90°，∵正方形ABCD，∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∠BAO+∠DAF＝90°，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠DAF．在△ADF和△BAO中，，∴△ADF≌△BAO（AAS），∴AF＝BO＝2，DF＝AO＝1，∴点D的坐标为（3，1）．（3）同（2）可得出点C的坐标为（2，3）．当双曲线过点D时，k＝3×1＝3；当双曲线过点C时，k＝2×3＝6，∴当双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点时，k的取值范围为3≤k≤6．15．如图，直线y1＝k1x+b与双曲线在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．（1）直接写出不等式y2＞y1的解集；（2）求直线AB的解析式；（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，求△PED的面积S的最大值．解：（1）∵A（1，m），B（2，1）．根据函数图象得，不等式y2＞y1的解集为0＜x＜1或x＞2；（2）∵点B（2，1）在双曲线上，∴k2＝2×1＝2，∴双曲线的解析式为y2＝，∵A（1，m）在双曲线y2＝上，∴m＝1×2＝2，∴A（1，2），∵直线AB：y1＝k1x+b过A（1，2）、B（2，1）两点，∴，∴，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；（3）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2，则S＝PD•OD＝＝∵∴当时，S有最大值，最大值为．。
北师版九年级数学上册 第6章 6.2.1 反比例函数的图象 培优训练卷(含答案)
第6章反比例函数6.2.1 反比例函数的图象培优训练卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若反比例函数y ＝k x 的图象经过点(2，－1)，则该反比例函数的图象在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限2．下列各点中，在反比例函数y ＝8x 的图象上的是( )A ．(－1，8)B ．(－2，4)C ．(1，7)D ．(2，4)3. 反比例函数y ＝－7x 的大致图象是( )4．关于反比例函数y ＝3x 图象的对称性，下列叙述错误的是( )A ． 关于x 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于直线y ＝－x 对称D ．关于原点对称5．反比例函数y ＝m x 的图象的两支分布在第一、三象限，则点(－m ，m ＋2)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6. 在同一平面直角坐标系中，函数y ＝x ＋k 与y ＝k x (k 为常数，k≠0)的图象大致是()7. 关于反比例函数y ＝4x的图象，下列说法正确的是( ) A ．必经过点(1，1)B ．两个分支分布在第二、四象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．两个分支关于原点成中心对称8．若点A(a ，b)在反比例函数y ＝2x的图象上，则代数式ab －4的值为( ) A ．0 B ．－2 C ．2 D ．－69．如图，已知OA ＝6，∠AOB ＝30°，则经过点A 的反比例函数的表达式为( )A ．y ＝－93xB ． y ＝9xC ．y ＝93xD ．y ＝－9x10. 如图，平行于x 轴的直线与函数y ＝k 1x (k 1＞0，x ＞0)，y ＝k 2x(k 2＞0，x ＞0)的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC 的面积为4，则k 1－k 2的值为( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4二．填空题（共8小题，3*8=24） 11. 若反比例函数y ＝8x的图象经过点(－2，m)，则m 的值是________. 12. 如图，它是反比例函数y ＝m －5x图象的一支，根据图象可知常数m 的取值范围是_____________．13. ．已知函数y＝(m＋1)xm2－5是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是__________．14．若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝kx图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为______________.15. 已知反比例函数y＝2k－3x的图象经过点(1，1)，则k的值为_____.16. A(3，－4)，B(－2，m)在同一个反比例函数的图象上，则m的值为____.17. 若一个反比例函数的图象经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则这个反比例函数的表达式为_____.18. 如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，点A的坐标为(2，1)，BO＝25，反比例函数y＝kx的图象经过点B，则k的值为________．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 在同一坐标系中画出y＝5x和y＝－5x的图象，它们有什么相同点和不同点．20．(6分)已知反比例函数y1＝kx的图象与一次函数y2＝kx＋m的图象相交于A(2，1)，分别求出这两个函数的表达式，并在同一坐标系内画出它们的大致图象．21．(6分) 在平面直角坐标系中，反比例函数y＝kx(k≠0)的图象与一次函数y＝x＋2的图象的一个交点为P，且点P的横坐标为1，求该反比例函数的表达式．22．(6分)如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y＝kx(x＞0)的图象上，AC∥x轴，AC＝2，若点A的坐标为(2，2)，求点B的坐标．23．(6分) 点P(1，a)在反比例函数y＝kx的图象上，它关于y轴的对称点在一次函数y＝2x＋4的图象上，求此反比例函数的表达式．24．(8分)已知反比例函数y＝k－1x(k为常数，且k≠1)．(1)若点A(1，2)在这个函数的图象上，求k的值；(2)若k＝13，试判断点B(3，4)，C(2，5)是否在这个函数的图象上，并说明理由．25．(8分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为点C，连接AB，AC.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．参考答案：1-5DDDAB 6-10BDBCA 11．－412. m＞513. 214．(1，－2)15. 216. 617. y＝4 x18. -819. 解：如图所示．相同点：①都是双曲线，②都是轴对称图形，③都是中心对称图形，④与坐标轴无交点．不同点：k>0时，图象在第一、三象限，k<0时图象在第二、四象限20. 解：∵反比例函数y1＝kx的图象与一次函数y2＝kx＋m的图象相交于A(2，1)，∴k＝2×1＝2，k×2＋m＝1.∴k＝2，m＝－3.∴y1＝2x，y2＝2x－3.它们的图象如图所示21. 解：∵当x＝1时，y＝x＋2＝3，∴点P的坐标为(1，3)．将点P的坐标(1，3)代入y＝kx，得k＝3，∴反比例函数的表达式为y＝3 x22. 解：∵点A(2，2)在函数y＝k(x＞0)的图象上，∴2＝k，得k＝4.∴点B的横坐标是4，∴y＝44＝1，∴点B的坐标为(4，1)．23. 解：点P(1，a)关于y轴的对称点是P′(－1，a)．∵点P′(－1，a)在一次函数y＝2x＋4的图象上，∴a＝2×(－1)＋4＝2.∵点P(1，2)在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝2，∴反比例函数的表达式为y＝2 x.24. 解：(1)∵点A(1，2)在这个函数的图象上，∴2＝k－1，解得k＝3(2)∵k＝13，∴反比例函数的表达式为y＝12 x.将点B的坐标代入y＝12x，可知点B的坐标满足函数关系式，∴点B在函数y＝12x的图象上；将点C的坐标代入y＝12x，由5≠122＝6可知点C的坐标不满足函数关系式，∴点C不在函数y＝12x的图象上25. 解：(1)设该反比例函数的表达式为y＝kx，由题意，得k＝2×3＝6，∴设反比例函数的表达式为y＝6 x(2)设点B的坐标为(a，b)，过点A作AD⊥BC于点D，则D(2，b)．∵反比例函数y＝6x的图象经过点B(a，b)，∴b＝6a，∴AD＝3－6a，∴S△ABC＝12BC·AD＝12a(3－6a)＝6，解得a＝6，∴b＝6a＝1，∴B(6，1)．。
九年级数学反比例函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附详细答案
九年级数学反比例函数的专项培优易错难题练习题(含答案)附详细答案一、反比例函数1．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．【答案】（1）解：k=4，S△PAB=15．提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y= ，得k=4．解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），则点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∴S△AOP=S△BOP，∴S△PAB=2S△AOP．设直线AP的解析式为y=mx+n，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，求得直线AP的解析式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ，∴S△PAB=2S△AOP=15；（2）解：过点P作PH⊥x轴于H，如图2．B（4，1），则反比例函数解析式为y= ，设P（m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，联立，解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1，联立，解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1，∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），∴H（m，0），∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4，∴MH=NH，∴PH垂直平分MN，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形；（3）解：∠PAQ=∠PBQ．理由如下：过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，则有，解得：，∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1．当y=0时， x+ ﹣1=0，解得：x=c﹣4，∴D（c﹣4，0）．同理可得E（c+4，0），∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4，∴DT=ET，∴QT垂直平分DE，∴QD=QE，∴∠QDE=∠QED．∵∠MDA=∠QDE，∴∠MDA=∠QED．∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，∴∠PAQ=∠PBQ．【解析】【分析】（1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP 与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得S△PAB=2S△AOP，要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．2．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．3．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【答案】（1）解：设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，把B（10，40）代入得，k1=2，∴y1=2x+20．设C、D所在双曲线的解析式为y2= ，把C（25，40）代入得，k2=1000，∴当x1=5时，y1=2×5+20=30，当，∴y1＜y2∴第30分钟注意力更集中．（2）解：令y1=36，∴36=2x+20，∴x1=8令y2=36，∴，∴∵27.8﹣8=19.8＞19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．【解析】【分析】（1）根据一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求出线段AB所在的直线的解析式，和C、D所在双曲线的解析式；把x1=5时和进行比较得到y1＜y2，得出第30分钟注意力更集中；（2）当y1=36时，得到x1=8，当y2=36，得到，由27.8﹣8=19.8＞19，所以经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.4．如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y= （k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于D、E，且BD=2AD（1）求k的值和点E的坐标；（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵AB=4，BD=2AD，∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，∴AD= ，又∵OA=3，∴D（，3），∵点D在双曲线y= 上，∴k= ×3=4；∵四边形OABC为矩形，∴AB=OC=4，∴点E的横坐标为4．把x=4代入y= 中，得y=1，∴E（4，1）；（2）解：（2）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m．∵∠APE=90°，∴∠APO+∠EPC=90°，又∵∠APO+∠OAP=90°，∴∠EPC=∠OAP，又∵∠AOP=∠PCE=90°，∴△AOP∽△PCE，∴，∴，解得：m=1或m=3，∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．【解析】【分析】（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；（2）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．5．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是________四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，a=，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由．【答案】（1）平行（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，∴k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）将x= 带入y=k1x得y= ，故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），又∵OA=OB，∴ = ，两边平方得： +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，∵k1≠k2，所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；（3）解：∵P（x1， y1），Q（x2， y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，∴y1= ，y2= ，∴a= = = ，∴a﹣b= ﹣ = = ，∵x2＞x1＞0，∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，∴＞0，∴a﹣b＞0，∴a＞b．【解析】【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD 是平行四边形；故答案为：平行；【分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 =，两边平分得 +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，则k1k2﹣1=0，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，得到y1= ，y2= ，求出a= = = ，得到a﹣b= ﹣ = = ＞0，即可得到结果．6．在平面直角坐标系中，我们定义点P（a，b）的“变换点”为Q．且规定：当a≥b时，Q 为（b，﹣a）；当a＜b时，Q为（a，﹣b）．（1）点（2，1）的变换点坐标为________；（2）若点A（a，﹣2）的变换点在函数y= 的图象上，求a的值；（3）已知直线l与坐标轴交于（6，0），（0，3）两点．将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M．判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数，以及相应的c的取值范围，请直接写出结论．【答案】（1）（1，﹣2）（2）解：当a≥﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（﹣2，﹣a），代入y= 可得﹣a= ，解得a= ；当a＜﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（a，2），代入y= 可得2= ，解得a= ，不符合题意；综上可知a的值为；（3）解：设直线l的解析式为y=kx+b （k≠0 ），将点（6，0）、（0，3）代入y=kx+b 得：，解得，∴直线l的解析式为y=﹣ x+3．当x=y时，x=﹣ x+3，解得x=2．点C的坐标为（2，﹣2），点C的变换点的坐标为C′（ 2，﹣2 ），点（6，0）的变换点的坐标为（0，﹣6），点（0，3）的变换点的坐标为（0，﹣3），当x≥2时，所有变换点组成的图形是以C′（ 2，﹣2）为端点，过（0，﹣6 ）的一条射线；即：y=2x﹣6，其中x≥2，当x＜2时，所有变换点组成的图形是以C′（2，﹣2）为端点，过（0，﹣3）的一条射线，即y= x﹣3，其中，x＜2．所以新的图形M是以C′（2，﹣2）为端点的两条射线组成的图形．如图所示：由和得：x2﹣x+c+3=0①和x2﹣2x+c+6=0②讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得：①当方程①无实数根时，即：当c＞﹣时，抛物线y=x2+c与图形M没有交点；②当方程①有两个相等实数根时，即：当c=﹣时，抛物线y=x2+c与图形M有一个交点；③当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，即：当﹣5＜c＜﹣时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点；④当方程②有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点C′时，即：当c=﹣5或c=﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有三个交点；⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时，且两根均小于2，即：当﹣6＜c＜﹣5时，抛物线y=x2+c与图形M有四个交点；⑥当c＜﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点．【解析】【解答】解：（1）∵2≥﹣1，∴点（2，1）的变换点坐标为（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）；【分析】（1）由变换点的定义可求得答案；（2）由变换点的定义可求得A的变换点，代入函数解析式可求得a的值；（3）先求得直线y=x与直线l的交点坐标，然后分为当x≥2和x＜2两种情况，求得M的关系式，然后在画出M的大致图象，然后将抛物线y=x2+c与M的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可．7．在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0），如果m=2n，则称双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y=（m＞0）是双曲线y= （n＞0）的“倍双曲线”，双曲线y= （n＞0）是双曲线y= （m＞0）的“半双曲线”，（1）请你写出双曲线y= 的“倍双曲线”是________；双曲线y= 的“半双曲线”是________；（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y= 在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积；（3）如图2，已知点M是双曲线y= （k＞0）在第一象限内任意一点，过点M与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点P，若△MNP的面积记为S△MNP，且1≤S△MNP≤2，求k的取值范围．【答案】（1）y=；y=（2）解：如图1，∵双曲线y= 的“半双曲线”是y= ，∴△AOD的面积为2，△BOD的面积为1，∴△AOB的面积为1（3）解：解法一：如图2，依题意可知双曲线的“半双曲线”为，设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），∴CM= ，CN= ．∴MN= ﹣ = ．同理PM=m﹣ = ．∴S△PMN= MN•PM=∵1≤S△PMN≤2，∴1≤ ≤2．∴4≤k≤8，解法二：如图3，依题意可知双曲线的“半双曲线”为，设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），∴点N为MC的中点，同理点P为MD的中点．连接OM，∵，∴△PMN∽△OCM．∴．∵S△OCM=k，∴S△PMN= ．∵1≤S△PMN≤2，∴1≤ ≤2．∴4≤k≤8．【解析】【解答】解：（1）由“倍双曲线”的定义∴双曲线y= ，的“倍双曲线”是y= ；双曲线y= 的“半双曲线”是y= ．故答案为y= ，y= ；【分析】（1）直接利用“倍双曲线”的定义即可；（2）利用双曲线的性质即可；（3）先利用双曲线上的点设出M的横坐标，进而表示出M，N的坐标；方法一、用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论；方法二、利用相似三角形的性质得出△PMN的面积，进而建立不等式即可得出结论．8．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2 ，sin∠AOC= ，反比例函数y= 的图象经过点C以及边AB的中点D．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）四边形OABC的面积．【答案】（1）解：过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，∵OC=2 ，sin∠AOC= = ，∴MC=4，由勾股定理得：OM= =2，∴C的坐标为（2，4），代入y= 得：k=8，所以这个反比例函数的解析式是y=（2）解：过B作BE⊥x轴于E，则BE=CM=4，AE=OM=2，过D作DN⊥x轴于N，∵D为AB的中点，∴DN= =2，AN= =1，把y=2代入y= 得：x=4，即ON=4，∴OA=4﹣1=3，∴四边形OABC的面积为OA×CM=3×4=12【解析】【分析】（1）过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，解直角三角形求出CM，根据勾股定理求出OM，求出C的坐标，即可求出答案；（2）根据D为中点求出DN的值，代入反比例函数解析式求出ON，求出OA，根据平行四边形的面积公式求出即可．9．（1）如图1所示，在中，，，点在斜边上，点在直角边上，若，求证： .（2）如图2所示，在矩形中，，，点在上，连接，过点作交 (或的延长线)于点 .①若，求的长；②若点恰好与点重合，请在备用图上画出图形，并求的长.【答案】（1）证明：∵在中，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴ .（2）解：①∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，；②如图所示，设，由①得，∴，即，整理，得：，解得：，，所以的长为或 .【解析】【分析】（1）利用平角的定义和三角形的内角和证明即可证得结论；（2）①仿（1）题证明，再利用相似三角形的性质即可求得结果；②由①得，设，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，解方程即可求得结果.10．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．（1）求这条抛物线的解析式及直线的解析式；（2）段上一动点（点不与点、重合），过点向轴引垂线，垂足为，设的长为，四边形的面积为．求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；（3）在线段上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，∴，解得：，∴二次函数的解析式为，∵，∴设直线的解析式为，则有，解得：，∴直线的解析式为（2）解：∵轴，，∴点的坐标为，∴，，，∵为线段上一动点（点不与点、重合），∴的取值范围是．（3）解：线段上存在点，，使为等腰三角形；，，，①当时，，解得，（舍去），此时，②当时，，解得，（舍去），此时，③当时，解得，此时．（1），；（2），的取值范围是；（3）或或【解析】【分析】（1）将A、B俩点代入抛物线解析式即可求出M的坐标，再设直线的解析式为，代入M的值计算即可.（2）由已知轴，，可得点的坐标为，再根据即可求得t的值.（3）存在，根据等腰三角形的性质，分情况进行解答即可.11．如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx+3.（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式.（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；（3）是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD，BD⊥AD；又∵OA⊥OB，∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四边形OADB是矩形；∵⊙C的半径为2，∴AD＝OB ＝4；∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p）；又∵点P也在直线AP上，∴p＝4k+3（2）解：连接DN.∵AD是⊙C的直径，∴∠AND＝90°，∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，∴∠ADN＝∠ABD，又∵∠ADN＝∠AMN，∴∠ABD＝∠AMN，∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP（3）解：存在.理由：把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，AB＝，∵S△ABD＝AB•DN＝AD•DB∴DN＝＝，∴AN2＝AD2﹣DN2＝，∵△AMN∽△ABP，∴，即当点P在B点上方时，∵AP2＝AD2+PD2＝AD2+（PB﹣BD）2＝42+（4k+3﹣3）2＝16（k2+1），或AP2＝AD2+PD2＝AD2+（BD﹣PB）2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝PB•AD＝（4k+3）×4＝2（4k+3），∴，整理得：k2﹣4k﹣2＝0，解得k1＝2+ ，k2＝2﹣当点P在B点下方时，∵AP2＝AD2+PD2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝PB•AD＝ [﹣（4k+3）]×4＝﹣2（4k+3）∴化简得：k2+1＝﹣（4k+3），解得：k＝﹣2，综合以上所得，当k＝2± 或k＝﹣2时，△AMN的面积等于【解析】【分析】（1）由切线的性质知∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，所以可以判定四边形OADB是矩形；根据⊙O的半径是2求得直径AD＝4，从而求得点P的坐标，将其代入直线方程y＝kx＋3即可知p变化的函数关系式；（2）连接DN.∵直径所对的圆周角是直角，∴∠AND＝90°，根据图示易证∠AND＝∠ABD；然后根据同弧所对的圆周角相等推知∠ADN＝∠AMN，再由等量代换可知∠ABD＝∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA 证明△AMN∽△ABP；（3）存在.把x＝0代入y＝kx＋3得y＝3，即OA＝BD＝3，然后由勾股定理求得AB＝5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比.分两种情况进行讨论：①当点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k2−4k−2＝0，解关于k的一元二次方程；②当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k2＋1＝−（4k＋3），解关于k的一元二次方程.12．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC．（1）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°，∴△ABC∽△ADB，∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△BDC，∴∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝AC．∴BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵，∴，∴CD＝，∴AD＝AC+CD＝4+ ＝，∴OD＝AD﹣AO＝，∴点D的坐标为：（，0）；（2）解：如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ，∴△APQ∽△ABD，∴，∴∴m＝，如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时，∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD，∴△APQ∽△ADB，∴，∴∴m＝；综上所述：当m＝或时，△APQ与△ADB相似．【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，可证△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可证△ABC∽△BDC，可得，可求CD 的长，即可求点D坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．。
北师大版九年级数学 反比例函数 培优专题训练(含答案)
北师大版九年级数学反比例函数培优专题训练（含答案）【基础演练】（1）反比例函数y＝的图象位于（）A.第一、三象限B.第二、三象限C.第一、二象限D.第二、四象限（2）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）A.a<0B.a>0C.a<2D.a>2（3）如图Z3-4-1，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M.若△POM的面积等于2，则k的值等于（）A.-4B.4C.-2D.2图Z3-4-1 图Z3-4-2（4）如图Z3-4-2所示，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C为反比例函数y＝（k>0）上不同的三点，连接OA，OB，OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B，C分别作BE，CF 垂直x轴于点E，F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（）A.S1＝S2+S3B.S2＝S3C.S3>S2>S1D.S1S2<S32（5）已知点A 是直线y ＝2x 与双曲线y ＝（m 为常数）一支的交点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，且OB ＝2，则m 的值为（ ）A.-7B.-8C.8D.7 （6）如图Z3-4-3，一次函数y 1＝ax+b 和反比例函数y 2＝的图象相交于A ，B 两点，则使y 1>y 2成立的x 取值范围是（ ）A.-2<x<0或0<x<4B.x<-2或0<x<4C.x<-2或x>4D.-2<x<0或x>4图Z3-4-3 图Z3-4-4（7）如图Z3-4-4，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝的图象相交于A ，C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ）A.8B.6C.4D.2（8）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为（ ） 近视眼镜的度数y （度）200 250 400 5001 000 镜片焦距x（米）0.50 0.40 0.250.20 0.10A.y＝B.y＝C.y＝D.y＝【能力提升】（1）如图Z3-4-5，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B 两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x>0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD 的面积为，则k的值为（）A.2B.3C.4D.6图Z3-4-5 图Z3-4-6（2）如图Z3-4-6，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝和y＝-，则阴影部分的面积是（）A.4πB.3πC.2πD.π（3）如图Z3-4-7，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x>0）的图象相交于点A（，），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是.图Z3-4-7 图Z3-4-8（4）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30 ℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图Z3-4-9所示：（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式.（2）怡萱同学想喝高于50 ℃的水，请问她最多需要等待多长时间?【拓展培优】（1）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图Z3-4-10是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式.（2）求恒温系统设定的恒定温度.（3）若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？图Z3-4-10（2）长为300 m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图Z3-4-11①和②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）.①②图Z3-4-11（1）当v＝2时，解答：①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）.（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程.答案；【基础演练】1 A.2 D.3 A.4 B5 D6 B.7 C8 A【能力提升】1 C.2 C. 34解：（1）观察图象，可知当x＝7 min时，水温y＝100（℃）当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，得即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x+30，当x>7时，设y＝，100＝，得a＝700，即当x>7时，y关于x的函数关系式为y＝.当y＝30时，x＝，∴ y与x的函数关系式为y＝y与x的函数关系式每min重复出现一次.（2）将y＝50代入y＝10x+30，得x＝2，将y＝50代入y＝，得x＝14，∵ 14-2＝12，-12＝，.∴ 怡萱同学想喝高于50 ℃的水，她最多需要等待 min..【拓展培优】1 解：（1）设线段AB的关系式为y＝k1x+b（k≠0）.∵ 线段AB过点（0，10），（2，14），代入得解得∴ AB的关系式为y＝2x+10（0≤x<5）.∵ B在线段AB上，当x＝5时，y＝20，∴ B坐标为（5，20），∴ 线段BC的关系式为y＝20（5≤x<10）.设双曲线CD的关系式为y＝（k2≠0），∵ C（10，20）在双曲线上，∴ k2＝200，∴ 双曲线CD的关系式为y＝（10≤x≤24）.∴ y关于x的函数关系式为y＝（2）由（1）知恒温系统设定恒温为20 ℃.（3）把y＝10代入y＝中，解得x＝20.∴ 20-10＝10.答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害.2 解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴ S头＝2t+300.②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v-v）＝300÷v＝300÷2＝150（s），此时S头＝2t+300＝600（m），甲返回时间为（t-150）s，∴ S甲＝S头-S甲回＝2×150+300-4（t-150）＝-4t+1 200.因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600 m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝-4t+1 200.（2）T＝t追及+t返回＝+＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为v×＝400.因此T与v的函数关系式为T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为400 m.。
北师版数学九年级反比例函数检测题(含答案)
北师版数学九年级反比例函数检测题时间100分钟 满分120分班级 姓名 成绩 等级 一、选择题（每题3分，满分30分）1.不在函数y=x 12图像上的点是（ ）A （2，6）B （-2，-6）C （3，4）D （3，-4）2.若反比例函数y=x k的图像经过点（-3，2），则k 的值为（ ）A 6B -6C 5D -53.反比例函数y=-x 1（x ＞0）的图像如图1所示，随着x 的增大，y的值（ ）A 增大B 减小C 不变D 先增大后减小 4. 如图2，A 、B 是函数x y 2=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ． S=2 B ． S=4 C ．2＜S ＜4 D ．S ＞45.反比例函数y=x k 3-的图像，当x ＞0时，y 随着x 的增大而增大，则k 的取值范围是（ ）A ． k=3B ．k ＜3C ．k ≤3D ．k ＞3 6. 已知点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数xky =（k ＞0）图像上的两点，若1x ＜0＜2x ，则有（ ） A ．1y ＜0＜2y B ．2y ＜0＜1y C ．1y ＜2y ＜0 D ．2y ＜1y ＜07. 若正比例函数y=2kx 与反比例函数y=x k的图像交于点A （m ，1）则k 的值为（ ）A ．2或-2B ．22 或-22C ．22D ．28. 已知：如图3所示，A ，C 是函数y=x 1图像上的任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为点B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为点D ，记Rt △AOB 的面积为1S ，Rt △COD 的面积为2S ，则 （ ）A 1S ＜2SB 1S ＞2SC 1S ＝ 2SD 1S 与2S 大小关系不能确定9. 反比例函数y=x 1，下列结论不正确的是（ ）A 图像经过点（1，1）B 图像分布在一，三象限C 当x ＞1时，0＜y ＜1D 当x ＜0时，y 随x 的增大而增大10. 如图4，直线l 是经过点（1，0）且与y 轴平行的直线．Rt △ABC 中直角边AC=4，BC=3．将BC 边在直线l 上滑动，使A ，B 在函数x ky的图象上．那么k 的值是（ ） A ．3 B ．6 Ｃ．12 D ．415二、填空题（每题3分，满分30分）11.点A （-4，6）在反比例函数y=x k 10+的图像上，则k= 。
北师大版九年级上册第六章反比例函数与几何综合培优专题(真题含答案)
9
（1） SOAB ＝ _____， m ＝ _____；
（2）已知点
P
6,
0 在线段
OE
上，当
PDE
CBO
时，求点
D
的坐标．
23．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 y 轴交于点
B(0, 7) ，与反比例函数
y
8 x
在第二象限内的图象相交于点
A(1,
y3 y4 ，求 x3 x4 的值； ④若直线 y a 与函数图象有三个不同的交点，求 a 的取值范围．
yk 26．（2019·江苏中考真题）如图， A 为反比例函数 x (x>0)图象上的一点，在 x 轴 正半轴上有一点 B ， OB 4 .连接 OA ， AB ，且 OA AB 2 10 .
D． 5
3．（2019·山东中考真题）如图，点 A 的坐标是(-2,0)，点 B 的坐标是(0,6)，C 为 OB
的中点，将△ABC
绕点
B
逆时针旋转
90°后得到
ABC
．若反比例函数
y
k x
的图
象恰好经过 AB 的中点 D，则 k 的值是（ ）
A．9
B．12
C．15
D．18
4．（2019·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴
y
k x
(k
0)
的图象交于第二、四象限内的点
A(a,
4)
和点
B(8, b)
．过点
A
作
x
轴的
10
垂线，垂足为点 C ， AOC 的面积为 4．
北师大版九年级数学上册第六章B反比例函数图形与面积培优专题训练(含答案)
第六章反比例函数图形面积与培优专题训练（一）知识梳理1. 过反比例函数（k ≠0）图象上一点向坐标轴作垂线，与坐标轴形成的矩形的面积等于 |k| 。
2.基本模型：（1）||k S OABC=矩形 （2） AB=CD （3） AB=CD（4）ABCD OCDS S 梯形△= （5） AB//CD（二）典型例题 例1.如图1，点A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，若△ABO 的面积是2，则该反比例函数的关系式是 。
如图2，点A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，若△ABP 的面积是2，则该反比例函数的关系式是 。
如图3，点A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，若△ABP 的面积是2，则该反比例函数的关系式是 。
答案：图1：y=；图2：y=；图3：y= -分析：（1）|k|=2△ABO 的面积；（2） 由同底等高三角形面积相等可得：△ABP 的面积=△ABO 的面积 （3）根据双曲线所在象限确定k 的符号 例2.如图，A,B 是双曲线y=上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴于点C ，交OB 于D 点，若△ADO 的面积为2，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ） A.B.C.6D.8答案答案：选A方法一：作BE ⊥x 轴于点E△AOC 与△BOE 面积相等，∴四边形BECD=△AOD 面积=1 D 为OB 中点，∴△ODC 面积是1/3 ∴△AOC 面积是1+1/3=4/3，k=8/3 方法二：连接ABD 为OB 中点，∴△ODA 的面积=△ABD 的面积=1 ∴梯形ABEC 面积=△AOB 的面积=2设A(m,k/m),则B(2m,k/2m),计算梯形面积得k=8/3 （三）练习1.如图，点P 在反比例函数的图象上，且PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD的面积为6，则k的值是（ ）A ．6 B ．12 C ．﹣6 D ．﹣12（1题）（2题）（3题）2.如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个△P1A10，△P2A20，△P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S1=S2=S33. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上一个定点，点B是双曲线xy3（x>0）上一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（）A.逐渐增大B.不变C.逐渐减小D.先增大后减小4.已知点，点都在反比例函数的图象上，过点分别作两坐标轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积为（）A. B. C. D.5.如图，平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，平行于轴，分别交、的图象于、两点，若的面积为，则值为（）A. B. C. D.(5)（6）（7）6.如图，过轴上任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数，的图象交于点和点，若为轴任意一点．连接、，则的面积为____．7.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠，若点在反比例函数的图象上，则经过点的反比例函数解析式为（）A. B. C. D.8.（2018河南中考）如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）P.（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于的值．9.如图，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C在反比例函数y= (x＞0)的图象上，点A的横坐标为4，点C的横坐标2，且平行四边形OABC的面积为9，则k的值为．11.如图，反比例函数的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为（ ）答案：（三）练习 1. D ． 2. D ．3. C.分析：双曲线xy 3（x>0）的k=3>0,y 随x 的增大而减小，所以点B 的横坐标逐渐增大时，点B 的纵坐标逐渐减小，即△OAB 的高逐渐减小，△OAB 的底部OA 不变，所以△OAB 的面积将会逐渐减小。
北师大版九年级数学上学期期末压轴题培优第六章：反比例函数(含答案)
九年级上学期期末压轴题培优：反比例函数1．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．（1）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值．解：（1）∵AB＝AC＝，BC＝4，点A（3，5）．∴B（1，），C（5，），若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则＝，解得，k＝，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵点A（3，5）．C（5，），将△ABC向下平移m个单位长度，∴A（3，5﹣m），C（5，﹣m），∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，∴3（5﹣m）＝5（﹣m），∴m＝．2．一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象相交于A （﹣1，m ），B （n ，1）两点．（1）求出这个一次函数的表达式； （2）求△OAB 的面积．解：（1）把A （﹣1，m ），B （n ，﹣1）分别代入y ＝得﹣m ＝﹣2，﹣n ＝﹣2，解得m＝2，n ＝2，所以A 点坐标为（﹣1，2），B 点坐标为（2，﹣1），把A （﹣1，2），B （2，﹣1）代入y ＝kx +b 得，解得，所以这个一次函数的表达式为y ＝﹣x +1； （2）设直线AB 交y 轴于P 点，如图， 当x ＝0时，y ＝1，所以P 点坐标为（0，1），所以S △OAB ＝S △AOP +S △BOP ＝×1×1+×1×2＝．3．如图所示，已知双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且x1＜x2，分别过P1，P2向x轴作垂线，垂足为B，D，过P1，P2向y轴作垂线，垂足分别为A，C．（1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1，S2，试比较S1和S2的大小．（2）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的周长分别为C1和C2，试比较C1，C2的大小．（3）若P是双曲线y＝（k＞0，x＞0）上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N．试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？解：（1）根据反比例函数系数k的几何意义可知S1＝S2＝k；（2）∵C1＝2OB+2AO＝2BO+2CO+2AC，C2＝2CO+2OD＝2CO+2OB+2BD，∴当y1﹣y2＝x2﹣x1，即AC＝BD时，C1＝C2；当y1﹣y2＜x2﹣x1，即AC＜BD时，C1＜C2；当y1﹣y2＞x2﹣x1，即AC＞BD时，C1＞C2．（3）设P（x，y），即（x，），四边形PMON的周长＝2（x+y）＝2（x+），因为面积相等的四边形中正方形的周长最小，所以x＝，即x2＝k，解得x＝，故P点坐标为（，）．∴最小值为4．4．如图，在平面直角坐标系中，过点M （0，2）的直线l 与x 轴平行，且直线l 分别与反比例函数y ＝（x ＞0）和y ＝（x ＜0）的图象分别交于点P ，Q ． （1）求P 点的坐标；（2）若△POQ 的面积为9，求k 的值．解：（1）∵PQ ∥x 轴， ∴点P 的纵坐标为2，把y ＝2代入y ＝得x ＝3， ∴P 点坐标为（3，2）；（2）∵S △POQ ＝S △OMQ +S △OMP ，∴|k |+×|6|＝9， ∴|k |＝12， 而k ＜0， ∴k ＝﹣12．5．如图，四边形OABC是矩形，A、C分别在y轴、x轴上，且OA＝6cm，OC＝8cm，点P 从点A开始以2cm/s的速度向B运动，点Q从点B开始以1cm/s的速度向C运动，设运动时间为t．（1）如图（1），当t为何值时，△BPQ的面积为4cm2？（2）当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（3）如图（2），在运动过程中的某一时刻，反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q 两点，求这个反比例函数的解析式．解：（1）由题意AB＝OC＝8cm，AO＝BC＝6cm，∠B＝90°，∵P A＝2t，BQ＝t，∴PB＝8﹣2t，∵△BPQ的面积为4cm2，∴•（8﹣2t）•t＝4，解得t＝2，∴t＝2s时，△PBQ的面积为4．（2）①当△BPQ∽△BAC时，＝，∴＝，解得t＝．②当△BPQ∽△BCA时，＝，∴＝，解得t＝，∴t为s或s时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．（3）由题意P（2t，6），Q（8，6﹣t），∵反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q两点，∴12t＝8（6﹣t），解得t＝，∴P（，6），∴m＝，∴反比例函数的解析式为y＝．6．如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（1，m）都在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）直接写出m和k的值；（2）如图2，将线段AB向右平移n个单位长度（n≥0），得到对应线段CD，连接AC，BD．①在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB有交点，求n的取值范围；②在平移过程中，连接BC，若△BCD是直角三角形，请直接写出所有满足条件n的值．解：（1）∵点A（0，4）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝4，∴b＝4，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，将点B（1，m）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+4中，得﹣2×1+4＝m，∴b＝2，∴B（1，2），将B（1，2）在反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝1×2＝2；（2）①∵将线段AB向右平移n个单位长度，∴A（n，4），把A（n，4）代入y＝中，得，4＝，∴n＝，∴在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB有交点，n的取值范围为0≤n≤；②∵将线段AB向右平移n个单位长度（n≥0），得到对应线段CD，∴AB∥CD，∴∠CDB≠90°，当∠CBD＝90°时，△BCD是直角三角形，∴CB⊥BC，∴C（1，4），∴n＝1；当∠BCD＝90°，△BCD是直角三角形，则C（n，4），D（n+1，2），∵BC2+CD2＝BD2，∴（n﹣1）2+（4﹣2）2+12+（4﹣2）2＝n2，解得：n＝5，综上所述，若△BCD是直角三角形，n的值为1或5．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与图数y＝的限象交于A（﹣2，a），B两点．（1）求a，k的值；（2）已知点P（0，n），过点P作平行于x轴的直线l，交函数y＝的图象于点C（x1，y1），交直线y＝﹣x+1的图象于点D（x2，y2），若|x1|≤|x2|，结合函数图象，请求出m的取值范围．解：（1）∵直线y＝﹣x+1与函数y＝的图象交于A（﹣2，a），把A（﹣2，a）代入y＝﹣x+1解得a＝3，∴A（﹣2，3）．把A（﹣2，3）代入y＝，解得k＝﹣6；（2）画出函数图象如图解得或，∵A （﹣2，3）， ∴B （3，﹣2），根据图象可得：若|x 1|≤|x 2|，则m ≥3或﹣2≤m ＜0．8．如图，在直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的DC 边在x 轴上，D 点坐标为（﹣6，0）边AB 、AD 的长分别为3、8，E 是BC 的中点，反比例函数y ＝的图象经过点E ，与AD 边交于点F ．（1）求k 的值及经过A 、E 两点的一次函数的表达式；（2）若x 轴上有一点P ，使PE +PF 的值最小，试求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF 、PE 、PF ，在直线AE 上找一点Q ，使得S △QEF ＝S △PEF 直接写出符合条件的Q 点坐标．解：（1）在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝8， ∴CD ＝AB ＝3，BC ＝AD ＝8， ∵D （﹣6，0），∴A （﹣6，8），C （﹣3，0），B （﹣3，8）， ∵E 是BC 的中点， ∴E （﹣3，4），∵点D 在反比例函数y ＝的图象上， ∴k ＝﹣3×4＝﹣12，设经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y ＝k 'x +b ，∴，∴，∴经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y ＝﹣x ；（2）如图1，由（1）知，k ＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y ＝﹣，∵点F 的横坐标为﹣6， ∴点F 的纵坐标为2， ∴F （﹣6，2），作点F 关于x 轴的对称点F '，则F '（﹣6，﹣2）， 连接EF '交x 轴于P ，此时，PE +PF 的值最小， ∵E （﹣3，4），∴直线EF '的解析式为y ＝2x +10， 令y ＝0，则2x +10＝0， ∴x ＝﹣5， ∴P （﹣5，0）；（3）如图2，由（2）知，F '（﹣6，﹣2）， ∵E （﹣3，4），F （﹣6，2），∴S △PEF ＝S △EFF '﹣S △PFF '＝×（2+2）×（﹣3+6）﹣（2+2）×（﹣5+6）＝4， ∵E （﹣3，4），F （﹣6，2），∴直线EF 的解析式为y ＝x +6，由（1）知，经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y ＝﹣x ，设点Q （m ，﹣m ），过点Q 作y 轴的平行线交EF 于G ，∴G （m ， m +6），∴QG ＝|﹣m ﹣m ﹣6|＝|2m +6|， ∵S △QEF ＝S △PEF ，∴S △QEF ＝|2m +6|×（﹣3+6）＝4，∴m ＝﹣或m ＝﹣，∴Q （﹣，）或（﹣，）．9．如图，直线y ＝2x +6与反比例数y ＝（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．（1）求m 的值和反比例函数的表达式；（2）在y 轴上有一动点P （0，n ）（n ＜6），过点P 作平行于x 轴的直线，交反比例函数的图象于点M ，交直线AB 于点N ，连接OM ，MN①当n ＝4时，判断四边形BOMN 的形状，并简要写出证明思路； ②若S △BDM ＞S △BOD ，直接写出点P 的纵坐标n 的取值范围．解：（1）当x＝1时，m＝2x+6＝8，∴点A的坐标为（1，8）．∵点A（1，8）在反比例数y＝的图象上，∴k＝1×8＝8，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）①四边形BOMN为平行四边形．证明：当y＝0时，2x+6＝0，解得：x＝﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，0），OB＝3；当y＝4时，2x+6＝4，＝4，解得：x＝﹣1，x＝2，∴点M的坐标为（2，4），点N的坐标为（﹣1，4），∴MN＝2﹣（﹣1）＝3，∴MN＝OB．∵MN∥x轴，OB在x轴上，∴MN∥OB，∴四边形BOMN为平行四边形．②过点O作直线l∥AB，交反比例数y＝（x＞0）的图象于点M．∵直线AB的解析式为y＝2x+6，∴直线l的解析式为y＝2x．联立直线l 和反比例函数解析式成方程组，得：，解得：，（舍去），∴点M 的坐标为（2，4）；同理，可求出直线y ＝2x +12与反比例函数y ＝的图象交点M 3（﹣3﹣，6﹣2）（舍去），M 4（﹣3+，6+2）（舍去）．∵S △BDM ＞S △BOD ， ∴0＜n ＜4．10．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；（2）求图中t的值；（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，依据题意，得，解得：，故此函数解析式为：y＝8x+20；（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y＝，依据题意，得：100＝，即m＝1000，故y＝，当y＝20时，20＝，解得：t＝50；（3）∵57﹣50＝7≤10，∴当x＝7时，y＝8×7+20＝76，答：小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为76℃．11．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B，与x轴，y轴交于点D，E，BC⊥x轴于C，BA⊥y轴于A，＝，△ABE 的面积为24．（1）点E的坐标是（0，﹣2）；（2）求一次函数和反比例函数的表达式；（3）以BC为边作菱形CBMN，顶点M在点B左侧的一次函数y＝kx﹣2的图象上，判断边MN与反比例函数y＝（x＜0）的图象是否有公共点．解：（1）∵一次函数y＝kx﹣2的图象与y轴交于点E，令x＝0，得到y＝﹣2，∴E（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．（2）∵BC⊥x轴于C，BA⊥y轴于A，∴∠BCO＝∠BAO＝∠AOD＝90°，∴四边形ACOB是矩形，∴OC∥AB，OC＝AB，∵＝，∴＝＝＝，∵OE＝2，∴EA＝6，∴OA＝4，＝×AB×6＝24，∵S△ABE∴AB＝8，∴B（﹣8，4），∵点B在y＝上，∴m＝﹣32，把B（﹣8，4）代入y＝kx﹣2得到k＝﹣，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣2，反比例函数的解析式为y ＝﹣．（3）设M （m ，﹣m ﹣2），延长MN 交x 轴于H ．由题意D （﹣，0），∵BC ＝BM ＝4，BD ＝＝，∵BC ∥MH ，∴＝，∴＝，解得m ＝﹣，∴M （﹣，），N （﹣，），对于反比例函数y ＝﹣，当x ＝﹣时，y ＝，∵＜，∴线段MN 与反比例函数的图象有交点．12．如图，已知一次函数y 1＝ax +b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点D ，C ，与反比例函数y 2＝的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标是（1，3）、点B 的坐标是（3，m ）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求C 、D 两点的坐标，并求△AOB 的面积；（3）根据图象直接写出：当x 在什么取值范围时，y 1＞y 2？解：（1）把点A （1，3）代入y 2＝， ∴3＝，即k ＝3，故反比例函数的解析式为：y 2＝．把点B 的坐标是（3，m ）代入y 2＝，得：m ＝＝1， ∴点B 的坐标是（3，1）．把A （1，3），B （3，1）代入y 1＝ax +b ，得，解得，故一次函数的解析式为：y 1＝﹣x +4；（2）令x ＝0，则y 1＝4； 令y 1＝0，则x ＝4， ∴C （0，4），D （4，0），∴S △AOB ＝S △AOD ﹣S △BOD ＝×4×3﹣×4×1＝4；（3）当x 满足1＜x ＜3时，则y 1＞y 2．13．如图，正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直x 轴于点C ，连结BC ．若△ABC 的面积为2． （1）求k 的值；（2）直接写出：①点A 坐标 （1，2） ；点B 坐标 （﹣1，﹣2） ；②当时，x 的取值范围 x ≥1或0＞x ≥﹣1 ；（3）x 轴上是否存在一点D ，使△ABD 为直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝2÷2＝1，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2；（2）①解得，或，∴点A坐标（1，2），点B坐标（﹣1，﹣2），②当时，x的取值范围为x≥1或0＞x≥﹣1；故答案为：（1，2），（﹣1，﹣2），x≥1或0＞x≥﹣1；（3）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），①当AD⊥AB时，如图1，设直线AD的关系式为y＝﹣x+b，将A（1，2）代入上式得：b＝，∴直线AD的关系式为y＝﹣x+，令y＝0得：x＝5，∴D（5，0）；②当BD⊥AB时，如图2，设直线BD的关系式为y＝﹣x+b，将B（﹣1，﹣2）代入上式得：b＝﹣，∴直线BD的关系式为y＝﹣x﹣，令y＝0得：x＝﹣5，∴D（﹣5，0）；③当AD⊥BD时，如图3，∵O为线段A的中点，∴OD＝AB＝OA，∵A（1，2），∴OC＝1，AC＝2，由勾股定理得：OA＝＝＝，∴OD＝，∴D（，0）．根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣，0）．故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或（﹣，0）．14．如图，平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6），直线y ＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值．（2）点P是直线y＝﹣2x位于第二象限上的一个动点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数y＝（x＜0）的图象于点D，设P（n，﹣2n）．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由②当PD≥2PC时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．解：（1）∵函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6），∴k＝﹣1×6＝﹣6；将B（﹣1，0）代入y＝mx﹣2，得：0＝﹣m﹣2，解得：m＝﹣2．（2）①PD＝2PC，理由如下：当n＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2）．当y＝2时，﹣2x﹣2＝2，＝2，解得：x＝﹣2，x＝﹣3，∴点C 的坐标为（﹣2，2），点D 的坐标为（﹣3，2）， ∴PC ＝1，PD ＝2， ∴PD ＝2PC ．②当n ＝﹣3时，点P 的坐标为（﹣3，6）．当y ＝6时，﹣2x ﹣2＝6，＝6，解得：x ＝﹣4，x ＝﹣1，∴点C 的坐标为（﹣4，6），点D 的坐标为（﹣1，6）， ∴PC ＝1，PD ＝2， ∴PD ＝2PC ．∵点P 是直线y ＝﹣2x 位于第二象限上的一个动点， ∴当PD ≥2PC 时，﹣1≤n ＜0或n ≤﹣3．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 在y 轴的正半轴上，D 是BC 边上的一点，OC ：CD ＝5：3，DB ＝6．反比例函数y ＝（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D ，交AB 于点E ，AE ：BE ＝1：2． （1）求这个反比例函数的表达式；（2）动点P 在矩形OABC 内，且满足S △P AO ＝S 四边形OABC ． ①若点P 在这个反比例函数的图象上，求点P 的坐标；②若点Q 是平面内一点使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形求点Q 的坐标．解：（1）设点B 的坐标为（m ，n ），则点E 的坐标为（m ， n ），点D 的坐标为（m ﹣6，n ）．∵点D ，E 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上， ∴k ＝mn ＝（m ﹣6）n ， ∴m ＝9．∵OC ：CD ＝5：3， ∴n ：（m ﹣6）＝5：3， ∴n ＝5，∴k ＝mn ＝×9×5＝15，∴反比例函数的表达式为y ＝．（2）∵S △P AO ＝S 四边形OABC ，∴OA •y P ＝OA •OC ，∴y P ＝OC ＝4．①当y ＝4时，＝4，解得：x ＝，∴若点P 在这个反比例函数的图象上，点P 的坐标为（，4）．②由（1）可知：点A 的坐标为（9，0），点B 的坐标为（9，5）， ∵y P ＝4，y A +y B ＝5，∴y P ≠，∴AP ≠BP ，∴AB不能为对角线．设点P的坐标为（t，4）．分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑（如图所示）：（i）当AB＝AP时，（9﹣t）2+（4﹣0）2＝52，解得：t1＝6，t2＝12（舍去），∴点P1的坐标为（6，4）．又∵P1Q1＝AB＝5，∴点Q1的坐标为（6，9）；（ii）当BP＝AB时，（9﹣t）2+（5﹣4）2＝52，解得：t3＝9﹣2，t4＝9+2（舍去），∴点P2的坐标为（9﹣2，4）．又∵P2Q2＝AB＝5，∴点Q2的坐标为（9﹣2，﹣1）．综上所述：点Q的坐标为（6，9）或（9﹣2，﹣1）．16．（1）如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，证明AB∥CD；（2）①如图2，点M，N在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，E，请利用（1）的结果，证明：MN∥EF；②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行（不用写理由）．（1）证明：在图1中，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，则∠CP A ＝∠DQB ＝90°， ∴CP ∥DQ ．∵△ABC 与△ABD 的面积相等， ∴CP ＝DQ ，∴四边形CPQD 为平行四边形， ∴AB ∥CD ．（2）①证明：在图2中，连接FM ，EN ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）．∵点M ，N 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上， ∴k ＝x 1y 1＝x 2y 2． ∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴OE ＝y 1，OF ＝x 2，ME ＝x 1，NF ＝y 2．∵S △EFM ＝ME •OE ＝x 1y 1＝k ，S △EFN ＝NF •OF ＝x 2y 2＝k ， ∴S △EFM ＝S △EFN ， ∴MN ∥EF ；②解：MN ∥EF ，理由如下： 在图3中，连接MN ，FM ，EN ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）．∵点M ，N 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上， ∴k ＝x 1y 1＝x 2y 2．∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴OE ＝y 1，OF ＝x 2，ME ＝x 1，NF ＝y 2．∵S △EFM ＝ME •OE ＝x 1y 1＝k ，S △EFN ＝NF •OF ＝x 2y 2＝k ， ∴S △EFM ＝S △EFN ， ∴MN ∥EF ；17．如图，正比例函数y 1＝kx 与反比例函数y ＝（x ＞0）交于点A （2，3），AB ⊥x 轴于点B ，平移直线y 1＝kx 使其经过点B ，得到直线y 2，y 2与y 轴交于点C ，与y ＝交于点D ．（1）求正比例函数y 1＝kx 及反比例函数y ＝的解析式；（2）求点D 的坐标； （3）求△ACD 的面积．解：（1）将点A （2，3）分别代入y 1＝kx 、得3＝2k 、，解得k ＝，m ＝6，∴正比例函数及反比例函数的解析式分别为y 1＝x 、；（2）∵y 2由y 1平移得到，所以设y 2＝x +b ，∵AB ⊥x 轴，∴B （2，0），将其代入y 2＝x +b 得b ＝﹣3，∴y 2＝x ﹣3，由题意得：解得：，（舍去），∴点D 坐标为（，）；（3）连接OD ，过点D 作DE ⊥y 轴，垂足为E ，则DE ＝1+，把x ＝0代入y 2＝x ﹣3得，y ＝﹣3， ∴C （0，﹣3） ∵直线y 1∥y 2，∴S △ACD ＝S △OCD ＝OC •DE ＝×3×（）＝．答：△ACD 的面积为．18．已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8），已知直线AC与双曲线y＝（m≠0）在第一象限内有一交点Q（5，n）．（1）求直线AC和双曲线的解析式；（2）若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与的运动时间t秒的函数关系式，并求当t取何值时S＝10．解：设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），过A（10，0）、C（0，8），，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+8，又∵Q（5，n）在直线AC上，∴n＝﹣×5+8＝4，又∵双曲线y＝过Q（5，4），∴m＝5×4＝20，∴双曲线的解析式为：y＝；②当0≤t≤5时，OP＝10﹣2t，过Q作QD⊥OA，垂足为D，如图1，∵Q（5，4），∴QD＝4，∴S＝（10﹣2t）×4＝20﹣4t，当S＝10时，20﹣4t＝10解得t＝2.5，当5＜t≤9时，OP＝2t﹣10，过Q作QE⊥OC，垂足为E，如图2∵Q（5，4），∴QE＝5，∴S＝（2t﹣10）×5＝5t﹣25，当S＝10时，5t﹣25＝10，解得t＝7，综上，S＝，当t＝5秒时，△OPQ的面积不存在，∴当t＝2.5秒或t＝7秒时，S＝10．19．如图，一次函数y1＝k1x+2与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C．（1）k1＝，k2＝16；（2）根据函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC ：S△ODE＝3：1时，求直线OP的解析式．解：（1）把B（﹣8，﹣2）代入y1＝k1x+2得﹣8k1+2＝﹣2，解得k1＝，∴一次函数解析式为y1＝x+2；把B（﹣8，﹣2）代入y2＝得k2＝﹣8×（﹣2）＝16，∴反比例函数解析式为y2＝，故答案为：，16；（2）∵当y1＞y2时即直线在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围，∴﹣8＜x＜0或x＞4；故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；（3）把A（4，m）代入y2＝得4m＝16，解得m＝4，∴点A的坐标是（4，4），而点C的坐标是（0，2），∴CO＝2，AD＝OD＝4．∴S梯形ODAC＝×（2+4）×4＝12，∵S梯形ODAC ：S△ODE＝3：1，∴S△ODE＝×12＝4，∴OD•DE＝4，∴DE＝2，∴点E的坐标为（4，2）．设直线OP的解析式为y＝kx，把E（4，2）代入得4k＝2，解得k＝，∴直线OP的解析式为y＝x．20．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AB边的中点C，且与OA边交于点D．（1）求k的值；（2）连接OC，CD，求△OCD的面积；（3）若直线y＝mx+n与直线CD平行，且与△OAB的边有交点，直接写出n的取值范围．解：（1）∵等边△OAB，∴AB＝BO＝AO＝4，∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，∵点C是AB的中点，∴BC＝AC＝2，过点C作CM⊥OB，垂足为M，在Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，∴BM＝1，CM＝，∴OM＝4﹣1＝3，∴点C的坐标为（﹣3，），代入y＝得：k＝﹣3答：k的值为﹣3．（2）过点A作AN⊥OB，垂足为N，由题意得：AN＝2CM＝2，ON＝OB＝2，∴A（﹣2，2），设直线OA的关系式为y＝kx，将A的坐标代入得：k＝﹣，∴直线OA的关系式为：y＝﹣x，31由题意得：，解得：舍去，，∴D（﹣，3） 过D 作DE ⊥OB ，垂足为E ，S △OCD ＝S CMED +S △DOE ﹣S △COM ＝S CMED＝（+3）×（3﹣）＝3， 答：△OCD 的面积为3．（3）①当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 过点O 时，此时y ＝mx +n 的n ＝0， ②当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 经过点A 时，设直线CD 的关系式为y ＝ax +b ，把C 、D 坐标代入得：，解得：a ＝1，b ＝3+∴直线CD 的关系式为y ＝x+3+， ∵y ＝mx +n 过与直线y ＝x+3+平行， ∴m ＝1，把A （﹣2，2）代入y ＝x +n 得：n ＝2+2因此：0≤n ≤2+2．答：n 的取值范围为：0≤n ≤2+2．。
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北师大版九年级数学反比例函数培优专题训练（含答案）【基础演练】
（1）反比例函数y＝的图象位于（）
A.第一、三象限
B.第二、三象限
C.第一、二象限
D.第二、四象限
（2）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）
A.a<0
B.a>0
C.a<2
D.a>2
（3）如图Z3-4-1，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M.若△POM的面积等于2，则k的值等于（）
A.-4
B.4
C.-2
D.2
图Z3-4-1 图Z3-4-2
（4）如图Z3-4-2所示，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C为反比例函数y＝（k>0）上不同的三点，连接OA，OB，OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B，C分别作BE，CF 垂直x轴于点E，F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（）
A.S1＝S2+S3
B.S2＝S3
C.S3>S2>S1
D.S1S2<S32
（5）已知点A 是直线y ＝2x 与双曲线y ＝
（m 为常数）一支的交点，过点A 作x 轴的垂线，
垂足为B ，且OB ＝2，则m 的值为（ ）
A.-7
B.-8
C.8
D.7 （6）如图Z3-4-3，一次函数y 1＝ax+b 和反比例函数y 2＝
的图象相交于A ，B 两点，则
使y 1>y 2成立的x 取值范围是（ ）
A.-2<x<0或0<x<4
B.x<-2或0<x<4
C.x<-2或x>4
D.-2<x<0或x>4
图Z3-4-3 图Z3-4-4
（7）如图Z3-4-4，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝的图象相交于A ，C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ）
A.8
B.6
C.4
D.2
（8）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为（ ）
A.y＝
B.y＝
C.y＝
D.y＝
【能力提升】
（1）如图Z3-4-5，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B 两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x>0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD 的面积为，则k的值为（）
A.2
B.3
C.4
D.6
图Z3-4-5 图Z3-4-6
（2）如图Z3-4-6，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝和y＝-，则阴影部分的面积是（）
A.4π
B.3π
C.2π
D.π
（3）如图Z3-4-7，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x>0）的图象相交于点A（，），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是.
图Z3-4-7 图Z3-4-8
（4）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30 ℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图Z3-4-9所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式.
（2）怡萱同学想喝高于50 ℃的水，请问她最多需要等待多长时间?
【拓展培优】
（1）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图Z3-4-10是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式.
（2）求恒温系统设定的恒定温度.
（3）若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
图Z3-4-10
（2）长为300 m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图Z3-4-11①和②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排尾从位置O开始行进
的时间为
t（s），排头与O的距离为S头（m）.
①
②
图Z3-4-11
（1）当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O
的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）.
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程.
答案；
【基础演练】
1 A.
2 D.
3 A.
4 B
5 D
6 B.
7 C
8 A
【能力提升】
1 C.
2 C. 3
4
解：（1）观察图象，可知当x＝7 min时，水温y＝100（℃）
当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，
得
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x+30，
当x>7时，设y＝，100＝，得a＝700，
即当x>7时，y关于x的函数关系式为y＝.
当y＝30时，x＝，∴ y与x的函数关系式为y＝y与x的函数关系式每min重复出现一次.
（2）将y＝50代入y＝10x+30，得x＝2，
将y＝50代入y＝，得x＝14，
∵ 14-2＝12，-12＝，
.∴ 怡萱同学想喝高于50 ℃的水，她最多需要等待 min..
【拓展培优】
1 解：（1）设线段AB的关系式为y＝k1x+b（k≠0）.
∵ 线段AB过点（0，10），（2，14），
代入得
解得
∴ AB的关系式为y＝2x+10（0≤x<5）.
∵ B在线段AB上，当x＝5时，y＝20，
∴ B坐标为（5，20），
∴ 线段BC的关系式为y＝20（5≤x<10）.
设双曲线CD的关系式为y＝（k2≠0），
∵ C（10，20）在双曲线上，
∴ k2＝200，
∴ 双曲线CD的关系式为y＝（10≤x≤24）.
∴ y关于x的函数关系式为
y＝
（2）由（1）知恒温系统设定恒温为20 ℃.
（3）把y＝10代入y＝中，
解得x＝20.
∴ 20-10＝10.
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害.
2 解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），
∴ S头＝2t+300.
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v-v）＝300÷v＝300÷2＝150（s），此时S头＝2t+300＝600（m），
甲返回时间为（t-150）s，
∴ S甲＝S头-S甲回＝2×150+300-4（t-150）＝-4t+1 200.
因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600 m，在甲从排头返回到排尾过程中，
S甲与t的函数关系式为S甲＝-4t+1 200.
（2）T＝t追及+t返回＝+＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为v×＝400.
因此T与v的函数关系式为T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为400 m.。