必修一函数经典例题

例4．已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。 解：∵log 4log 4m n <， ∴

4411

log log m n <，

当1m >，1n >时，得4411

0log log m n

<

<，

∴44log log n m <， ∴1m n >>． 当01m <<，01n <<时，得

4411

0log log m n

<<，

∴44log log n m <， ∴01n m <<<．

当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <， ∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<．

综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<． 例5．求下列函数的值域：

（1）2log (3)y x =+；（2）2

2log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．

解：（1）令3t x =+，则2log y t =， ∵0t >， ∴y R ∈，即函数值域为R ． （2）令2

3t x =-，则03t <≤，

∴2log 3y ≤， 即函数值域为2(,log 3]-∞． （3）令2

2

47(2)33t x x x =-+=-+≥，

当1a >时，log 3a y ≥， 即值域为[log 3,)a +∞， 当01a <<时，log 3a y ≤， 即值域为(,log 3]a -∞． 例

6．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。

x >恒成立，故()f x 的定义域为(,)-∞+∞

，

2()log )f x x -=

2log =-

2

log =-

2log ()x f x =-=-，

所以，()f x 为奇函数。

例7．求函数213

2log (32)y x x =-+的单调区间。

解：令2

2

3132()2

4u x x x =-+=--

在3[,)2+∞上递增，在3

(,]2

-∞上递减， 又∵2

320x x -+>， ∴2x >或1x <，

故2

32u x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减， 又∵13

2log y u =为减函数，

所以，函数213

2log (32)y x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减。

例8．若函数2

2log ()y x ax a =--

-在区间(,1-∞-上是增函数，a 的取值范围。

解：令2

()u g x x ax a ==--， ∵函数2log y u =-为减函数，

∴2

()u g x x ax a ==-

-在区间(,1-∞上递减，且满足0u >，

∴12(10a

g ⎧≥⎪⎨⎪≥

⎩

，解得22a -≤≤， 所以，

a 的取值范围为[22]-．

例1 已知函数2

()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x

f b 与()x

f c 的大小关系是_____．

分析：先求b

c ，的值再比较大小，要注意x x

b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．

∴函数()f x 在(]1-，

∞上递减，在[)1+，∞上递增．

若0x ≥，则3

21x

x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；

若0x <，则321x

x

<<，∴(3)(2)x x

f f >． 综上可得(3)(2)x

x

f f ≥，即()()x

x

f c f b ≥．

评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2

321(25)

(25)x

x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．

分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2

2

25(1)441a a a ++=++>≥，

∴函数2(25)x

y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >

．∴x 的取值范围是14⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题

例3 求函数y =

解：由题意可得2

16

0x --≥，即261x -≤，

∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，

∞．

令2

6

x t -=，则y =

又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2

061x -<≤，即01t <≤．

∴011t -<≤，即01y <≤．

∴函数的值域是[)01，

． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例4 函数221(01)x

x y a

a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．