江苏省2020年高考数学说明典型例题(教师版)

合集下载

2020年江苏省高考数学试卷试题+答案详解

24.在三棱锥 A—BCD 中，已知 CB=CD= 5 ,BD=2，O 为 BD 的中点，AO⊥平面 BCD，AO=2，
E 为 AC 的中点．（1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；
1
（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF= BC，
4
设二面角 F—DE—C 的大小为θ，求 sinθ的值．
25.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn．（1）求 p1·q1 和 p2·q2；（2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ．
a1
d 2
q 2
1
aq120
，∴
d
q
4
.
b1 1 q
1
b1 1
12【答案】 4 5
【解析】∵
5x2
y2
y4
1，∴
y
0
且
x2
1 y4 5y2
∴
x2
y2
1 y4 5y2
y2
1 5y2
+
4y2 5
2
1 4y2 4 ， 5y2 5 5
当且仅当
1 5y2
4y2 5
，即
x2
3 , y2 10
等差数列 an 的前 n 项和公式为 Pn
na1
nn 1
d 2
d n2 2
a1
d 2
n
，
等比数列bn 的前
n

2020年高考数学解答题核心：立体几何综合问题(专项训练)(教师版)

专题08 立体几何综合问题（专项训练）1．如图,菱形ABCD 中,∠ABC ＝60°,AC 与BD 相交于点O ,AE ⊥平面ABCD ,CF ∥AE ,AB ＝AE ＝2. (1)求证：BD ⊥平面ACFE ；(2)当直线FO 与平面BED 所成的角为45°时,求异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值大小．【答案】见解析【解析】(1)因为四边形ABCD 是菱形,所以BD ⊥AC .因为AE ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以BD ⊥AE .因为AC ∩AE ＝A ,所以BD ⊥平面ACFE .(2)以O 为原点,OA →,OB →的方向为x ,y 轴正方向,过O 且平行于CF 的直线为z 轴(向上为正方向),建立空间直角坐标系,则B (0,3,0),D (0,－3,0),E (1,0,2),F (－1,0,a )(a >0),OF →＝(－1,0,a )．设平面EBD 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB →＝0，n ·OE →＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0，x ＋2z ＝0，令z ＝1,则n ＝(－2,0,1),由题意得sin 45°＝|cos 〈OF →,n 〉|＝|OF →·n ||OF →||n |＝|2＋a |a 2＋1·5＝22.因为a >0,所以解得a ＝3.所以OF →＝(－1,0,3),BE →＝(1,－3,2),所以cos 〈OF →,BE →〉＝OF →·BE →|OF →|·|BE →|＝－1＋610·8＝54.故异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值为54.2．(2019·河南郑州模拟)如图,在△ABC 中,∠ABC ＝π4,O 为AB 边上一点,且3OB ＝3OC ＝2AB ,已知PO ⊥平面ABC ,2DA ＝2AO ＝PO ,且DA ∥PO .(1)求证：平面PBAD ⊥平面COD ；(2)求直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：因为OB ＝OC ,又因为∠ABC ＝π4,所以∠OCB ＝π4,所以∠BOC ＝π2,即CO ⊥AB .又PO ⊥平面ABC ,OC ⊂平面ABC ,所以PO ⊥OC .又因为PO ,AB ⊂平面PAB ,PO ∩AB ＝O ,所以CO ⊥平面PAB ,即CO ⊥平面PBAD .又CO ⊂平面COD ,所以平面PBAD ⊥平面COD .(2)以OC ,OB ,OP 所在射线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示．设|OA |＝1,则|PO |＝|OB |＝|OC |＝2,|DA |＝1.则C (2,0,0),B (0,2,0),P (0,0,2),D (0,－1,1),所以PD →＝(0,－1,－1),BC →＝(2,－2,0),BD →＝(0,－3,1)．设平面BDC 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BD →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，－3y ＋z ＝0，令y ＝1,则x ＝1,z ＝3,所以n ＝(1,1,3)．设PD 与平面BDC 所成的角为θ,则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PD →·n |PD →||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×0＋1×(－1)＋3×(－1)02＋(－1)2＋(－1)2×12＋12＋32＝22211.即直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值为22211. 3．(2019·湖北武汉调考)如图, 四棱锥S －ABCD 中,AB ∥CD ,BC ⊥CD ,侧面SAB 为等边三角形,AB ＝BC ＝2,CD ＝SD ＝1.(1)证明：SD ⊥平面SAB ；(2)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】方法一 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ,则D (1,0,0),A (2,2,0),B (0,2,0),设S (x ,y ,z ),则x >0,y >0,z >0,且AS →＝(x －2,y －2,z ,),BS →＝(x ,y －2,z ).DS→＝(x －1,y ,z )．由|AS →|＝|BS →|,得(x －2)2＋(y －2)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2,得x ＝1,由|DS →|＝1得y 2＋z 2＝1,①由|BS →|＝2得y 2＋z 2－4y ＋1＝0,②由①②解得y ＝12,z ＝32,所以S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，32,AS →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32，32,BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32,DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32,所以DS →·AS →＝0,DS →·BS →＝0,所以DS ⊥AS ,DS ⊥BS ,又AS ∩DS ＝S ,所以SD ⊥平面SAB .(2)设平面SBC 的一个法向量为m ＝(a ,b ,c ),BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32,CB →＝(0,2,0),AB →＝(－2,0,0),由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BS →＝0，m ·CB →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a －32b ＋32c ＝0，2b ＝0，所以可取m ＝(－3,0,2),故AB 与平面SBC 所成的角的正弦值为cos 〈m ,AB →〉＝m ·AB →|m |·|AB →|＝－2×(－3)7×2＝217. 方法二 (1)证明：如下图,取AB 的中点E ,连接DE ,SE ,则四边形BCDE 为矩形,所以DE ＝CB ＝2,所以AD ＝DE 2＋AE 2＝ 5.因为侧面SAB 为等边三角形,AB ＝2,所以SA ＝SB ＝AB ＝2,且SE ＝3,又SD ＝1,所以SA 2＋SD 2＝AD 2,SE 2＋SD 2＝ED 2,所以SD ⊥SA ,SD ⊥SB ,又AS ∩DS ＝S ,所以SD ⊥平面SAB .(2)作S 在DE 上的射影G ,因为AB ⊥SE ,AB ⊥DE ,AB ⊥平面SDE ,所以平面SDE ⊥平面ABCD ,两平面的交线为DE ,所以SG ⊥平面ABCD ,在Rt △DSE 中,由SD ·SE ＝DE ·SG 得1×3＝2×SG ,所以SG ＝32,作A 在平面SBC 上的射影H ,则∠ABH 为AB 与平面SBC 所成的角,因为CD ∥AB ,AB ⊥平面SDE ,所以CD ⊥平面SDE ,所以CD ⊥SD ,在Rt △CDS 中,由CD ＝SD ＝1,求得SC ＝ 2.在△SBC 中,SB ＝BC ＝1,SC ＝2,所以S △SBC ＝12×2×22－12＝72,由V A －SBC ＝V S －ABC 得13·S △SBC ·AH ＝13·S △ABC ·SG ,即13×72×AH ＝13×12×2×2×2,得AH ＝2217,所以sin ∠ABH ＝AHAB ＝217,故AB 与平面SBC 所成的角的正弦值为217. 4．(2019·安徽江南名校联考)如图,在四棱锥P －ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,AB ∥DC ,AB ⊥AD ,DC ＝6,AD ＝8,BC＝10,∠PAD ＝45°,E 为PA 的中点． (1)求证：DE ∥平面BPC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ,满足CF ⊥DB ？若存在,试求出二面角F －PC －D 的余弦值；若不存在,请说明理由．【答案】见解析【解析】(1)证明：取PB 的中点M ,连接EM 和CM ,过点C 作CN ⊥AB ,垂足为点N .因为CN ⊥AB ,DA ⊥AB ,所以CN ∥DA ,又AB ∥CD ,所以四边形CDAN 为平行四边形,所以CN ＝AD ＝8,DC ＝AN ＝6,在Rt △BNC 中,BN ＝BC 2－CN 2＝102－82＝6,所以AB ＝12,而E ,M 分别为PA ,PB 的中点,所以EM ∥AB 且EM ＝6,又DC ∥AB ,所以EM ∥CD 且EM ＝CD ,四边形CDEM 为平行四边形,所以DE ∥CM .因为CM ⊂平面PBC ,DE ⊄平面PBC ,所以DE ∥平面BPC .(2)由题意可得DA ,DC ,DP 两两互相垂直,如图,以D 为原点,DA ,DC ,DP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ,则A (8,0,0),B (8,12,0),C (0,6,0),P (0,0,8)．假设AB 上存在一点F 使CF ⊥BD ,设点F 坐标为(8,t,0),则CF →＝(8,t －6,0),DB →＝(8,12,0),由CF →·DB →＝0得t ＝23.又平面DPC 的法向量为m ＝(1,0,0),设平面FPC 的法向量为n ＝(x ,y ,z )．又PC →＝(0,6,－8),FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，163，0.由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·FC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧6y －8z ＝0，－8x ＋163y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝34y ，x ＝23y ，不妨令y ＝12,有n ＝(8,12,9)．则cos 〈n ,m 〉＝n ·m |n ||m |＝81×82＋122＋92＝817.又由图可知,该二面角为锐二面角,故二面角F －PC －D 的余弦值为817.5．(2017·山东卷)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是DF的中点．(1)设P是CE上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小；(2)当AB＝3,AD＝2时,求二面角E－AG－C的大小．【答案】见解析【解析】(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP＝A,所以BE⊥平面ABP,又BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP,又∠EBC＝120°,因此∠CBP＝30°.(2)方法一取EC的中点H,连接EH,GH,CH.因为∠EBC＝120°,所以四边形BEHC为菱形,所以AE＝GE＝AC＝GC＝32＋22＝13.取AG中点M,连接EM,CM,EC,则EM⊥AG,CM⊥AG,所以∠EMC为所求二面角的平面角．又AM＝1,所以EM＝CM＝13－1＝2 3.在△BEC中,由于∠EBC＝120°,由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos120°＝12,所以EC＝23,因此△EMC为等边三角形,故所求的角为60°.方法二以B 为坐标原点,分别以BE ,BP ,BA 所在的直线为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0,0,3),E (2,0,0),G (1,3,3),C (－1,3,0),故AE →＝(2,0,－3),AG →＝(1,3,0),CG →＝(2,0,3),设m ＝(x 1,y 1,z 1)是平面AEG 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AG →＝0可得⎩⎨⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0.取z 1＝2,可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3,－3,2)．设n ＝(x 2,y 2,z 2)是平面ACG 的法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AG →＝0，n ·CG →＝0可得⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0.取z 2＝－2,可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3,－3,－2)．所以cos 〈m ,n 〉＝m ·n |m |·|n |＝12.由图可得此二面角为锐二面角,故所求的角为60°.6．(2017·全国卷Ⅲ)如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD ＝∠CBD ,AB ＝BD . (1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ,若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角D －AE －C 的余弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：由题设可得△ABD ≌△CBD ,从而AD ＝CD . 又△ACD 是直角三角形,所以∠ADC ＝90°. 取AC 的中点O ,连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO ＝AO . 又因为△ABC 是正三角形,故BO ⊥AC , 所以∠DOB 为二面角D －AC －B 的平面角．在Rt △AOB 中,BO 2＋AO 2＝AB 2,又AB ＝BD ,所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2, 故∠BOD ＝90°.所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由题设及(1)知,OA ,OB ,OD 两两垂直,以O 为坐标原点,OA →的方向为x 轴正方向,|OA →|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ,则A (1,0,0),B (0,3,0),C (－1,0,0),D (0,0,1)．由题设知,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12,即E 为DB 的中点,得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12,故AD →＝(－1,0,1),AC →＝(－2,0,0),AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，12.设n ＝(x ,y ,z )是平面DAE 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋32y ＋12z ＝0，可取n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，1.设m 是平面AEC 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AE →＝0，同理可取m ＝(0,－1,3),则cos 〈n ,m 〉＝n·m |n||m|＝77.所以二面角D －AE －C 的余弦值为77.。

2020年江苏高考数学试题解析

绝密★启用前2020年一般高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式：（1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高（3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

一、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 那么_______,=⋂B A 答案：{}1－，2解析：考察简单的集合运算，容易题。

二、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________答案：+∞1（－）2解析：考察函数性质，容易题。

3、设复数i 知足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），那么z 的实部是_________ 答案：1解析：简单考察复数的运算和概念，容易题。

4、依照如下图的伪代码，当输入b a ,别离为2，3时，最后输出的m 的值是________答案：3解析：考察算法的选择结构和伪代码，是容易题。

五、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，那么其中一个数是另一个的两倍的概率是______★此卷上交考点保存★ 姓名___________________ 准考证号___________________9第题图答案：13解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。

六、某教师从礼拜一到礼拜五收到信件数别离是10，6，8，5，6，那么该组数据的方差___2=s 答案：165解析：考察方差的计算，能够先把这组数都减去6再求方差，165，容易题。

7、已知,2)4tan(=+πx 那么xx2tan tan 的值为__________答案：49解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。

22tan()11tan tan 1tan 44tan tan(),2tan 443tan 229tan()141tan x x x x x x x x x xππππ+-+-===++（－）＝＝＝－八、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，那么线段PQ长的最小值是________ 答案：4解析：考察函数与方程，两点间距离公式和大体不等式，中档题。

江苏省2020高考数学科考试说明及典型题示例苏教版

2020年江苏省高考说明－数学科一、命题指导思想根据普通高等学校对新生文化素质的要求，2020年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题将依据中华人民共和国教育部颁发的《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》，结合江苏普通高中课程教学要求，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，注重知识内在联系的考查，注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.2．重视数学基本能力和综合能力的考查数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.（1）空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断.（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性.（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算. （5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题.数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题.3．注重数学的应用意识和创新意识的考查数学的应用意识的考查，要求能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.创新意识的考查要求是:能够综合，灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.二、考试内容及要求数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）.对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题. 具体考查要求如下：2．附加题部分（一）考试形式闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟.（二）考试题型1．必做题必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分.2．附加题附加题部分由解答题组成，共6题.其中，必做题2小题，考查选修系列2（不含选修系列1）中的内容；选做题共4小题，依次考查选修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生只须从中选2个小题作答.填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（三）试题难易比例必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为4：4：2.附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为5：4：1.四、典型题示例 A.必做题部分 1. 设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_____ 【解析】本题主要考查复数的基本概念,基本运算.本题属容易题. 【答案】12. 设集合}3{},4,2{},3,1,1{2=++=-=B A a a B A I ，则实数a 的值为_ 【解析】本题主要考查集合的概念、运算等基础知识.本题属容易题. 【答案】1. 3. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是．【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识，本题属容易题. 【答案】54. 函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是【解析】本题主要考查对数函数的单调性，本题属容易题. 【答案】,+∞1（-）25.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间]40,5[中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有_ _根棉花纤维的长度小于mm 20.【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题. 【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于mm 20的频率为 3.0501.0501.0504.0=⨯+⨯+⨯,故频数为301003.0=⨯.6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．结束k ←k +1开始 k ←1 k 2－5k +4>0 N 输出k Y【解析】本题主要考查等比数列的定义，古典概型.本题属容易题.【答案】0.6.7. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 cm 3．【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力和运算能力.本题属容易题.【答案】6.8.设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和．若11=a ,公差24,22=-=+k k S S d , 则正整数=k【解析】本题主要考查等差数列的前n 项和及其与通项的关系等基础知识．本题属容易题．【答案】5 9.设直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值是 . 【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法.本题属中等题. 【答案】ln21-.10．函数ϕωϕω,,(),sin()(A x A x f +=是常数，)0,0>>ωA 的部分图象如图所示，则____)0(=f【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查特殊角的三角函数值．本题属中等题．【答案611. 已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则实数k 的值为【解析】本题主要考查用坐标表示的平面向量的加、减、数乘及数量积的运算等基础知识. 本题属中等题. 【答案】45=k . 12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是【解析】本题主要考查圆的方程、圆与圆的位置关系、点到直线的距离等基础知识，考查灵活运用相关知识解决问题的能力．本题属中等题DA BC 1C1D 1A1B【答案】34 13. 已知函数⎩⎨⎧<≥+=0,10,1)(2x x x x f ,则满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 的取值范围是__【解析】本题主要考查函数的单调性和奇偶性,简单不等式的解法,以及数形结合与分类讨论的思想；考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力. 本题属难题. 【答案】)12,1(--.14.满足条件2,AB AC ==的三角形ABC 的面积的最大值是____________.【解析】本题主要考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.本题属难题.【答案】二、解答题15．在ABC ∆中，2C A π-=, 1sin 3B =. （1）求A sin 值；(2)设AC =，求ABC ∆的面积.【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,考查运算求解能力. 本题属容易题. 【参考答案】（1）由π=++C B A 及2π=-A C ,得,22B A -=π故,40π<<A并且.sin )2cos(2cos B B A =-=π即,31sin 212=-A 得⋅=33sin A (2)由(1)得36cos =A .又由正弦定理得ABC B AC sin sin = 所以.23sin sin =⋅=B A AC BC 因为,2A C +=π所以⋅==+=36cos )2sin(sin A A C π因此，23621cos 21sin 21⨯⨯=⋅⋅=⋅⋅=∆A BC AC C BC AC S ABC .2336=⨯16．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1111C A B A =，D E ，分别是棱1,CC BC 上的点（点D 不同于点C ），且⊥AD F DE ,为11C B 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11B BCC ；（2）直线//1F A 平面ADE ．【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．本题属容易题【参考答案】证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC ，又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥.又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111BCC B CC DE E =I ，， ∴AD ⊥平面11BCC B ,又∵AD ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面11BCC B .（2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥. 又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥.又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，1111CC B C C =I ，∴1A F ⊥平面111A B C . 由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD .又∵AD ⊂平面1, ADE A F ⊄平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE .17. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得D C B A ,,,四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，F E ,在AB 上是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设cm x FB AE ==.（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

2020年江苏卷数学高考试题(详细解析版)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = ▲．答案：{02}，解析：因为A ，B 的公共元素有0，2，由交集的定义可知{02}，A B = 2．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是▲．答案：3解析：(1i)(2i)12(1)(12)i =3+i z =+-=⨯--+-+，故z 的实部为33．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是▲．答案：2解析：由平均数的定义可得42(3)5645a a ++-++=，解得2a =4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是▲．答案：19解析：点数和为5可能的情况有，{1，4}，{2，3}，{3，2}，{4，1}，共有4种，样本空间中样本点的个数为36，故点数和为5的概率是41369=5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是▲．答案：3-解析：因为20x >，而输出的y 的值为负数，故输出的是1x +，即12x +=-，故3x =-6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =，则该双曲线的离心率是▲．答案：32解析：设题中双曲线的焦距为2c ，虚半轴长为b ，则由双曲线的一条渐近线方程可得52b a =，故此双曲心的离心率32c e a ===7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则()8f -的值是▲．答案：4-解析：因为y =f (x )是奇函数，所以23(8)(8)84f f -=-=-=-8．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是▲．答案：13解析：因为sin sin cos cos sin (sin cos )4442πππααααα⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭，所以22112sin (sin cos )(1sin 2)4223παααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.所以1sin 23α=.9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是▲cm 3.答案：2π-解析：正六棱柱的底面面积为cm ，高为2cm ，故正棱柱的体积为cm 3，圆柱的体积为20.522ππ⨯⨯=，故此六角螺帽毛坯的体积是（2π-）cm 310．将函数πsin(32)4y x =+的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是▲．答案：524πx =-解析：将函数πsin(324y x =+的图象向右平移π6个单位长度，得到函数3sin 2()3sin 26412πππy x x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，由2122ππx kπ-=+（k ∈Z ）可得7224kππx =+，当1k =-时，对称轴离y 轴最近，此时对称轴方程为524πx =-11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和*221()n n S n n n =-+-∈N ，则d +q 的值是▲．答案：4解析：1111a b S +==，当2n ≥时，22111(21)[(1)(1)21]2(1)2n n n n n n n a b S S n n n n n ---+=-=-+-----+-=-+.当n=1时，上式也成立，对任意正整数n ，都有12(1)2n n n a b n -+=-+，因为1(1)n a a n d =+-，11n n b b q -=，。

2020年江苏卷数学高考试题(精编解析版)

0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm3 ．
（第 9 题）
【答案】12 3 2
【解】V 6 1 2 2 3 2 ( 1 )2 2 12 3 .
2
2
2
2
10．将函数 y 3sin(2x ) 的图象向右平移个单位 . 则平移后的图象中与 y 轴最近的
【答案】4
【解】 n 1 时， a1 b1 1 ， n 2 时， an bn 2n 2 2n1 ， a1 b1 适用上式，所以
an bn 2n 2 2n1 dn a1 d b1qn1 ，对 n N 恒成立，所以 d 2, q 2 ，所以 d q 4 .
12．在已知 5x2 y 2 y 4 1(x, y R) ，则 x2 y 2 的最小值是 ▲ ．
输出y
【答案】 2 4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，
结束（第 5 题）
则点数和为 5 的概率是 ▲ ．
玩转高中数学交流群（7211441S29）数旨在学打I造试课卷外辅第导专1用页讲义（，共更多11资页料）关注公众号玩转高中数学研讨
【答案】 1 9
5．右图是一个算法流程图，若输出 y 的值为 2 ，则输入 x 的值是 ▲ ．
2 y (d 1)2 (36 d 2 ) ，0 d 6 ， y 2(d 1)(2d 9)(d 4) 0 ， d 4 ，所以 S 在 d 4 时取得最
【答案】 -3
6．
在平面直角坐标系
xOy
中，若双曲线
x2 a2
y2 5
1(a 0)
的一条渐近线方程为
y
5x， 2
则双曲线的离心率是 ▲ ．
【答案】 2 3

江苏省南通市2020届高三数学专题复习课程资源——三次型函数切线问题的求解策略(教师版)

三次型函数切线问题的求解策略三次函数频频出现在高考试卷中,成为高考试卷的一大亮点.其中三次函数的切线问题是高频考点，通常结合三次函数的零点问题考查.三次型函数最值问题是竞赛和自主招生的难点，有一定的思考力.三次型函数的切线问题（一）一、三次函数的概念：形如()320y ax bx cx d a =+++≠的函数，称之为三次函数. 二、三次函数的图象特征和零点分布：对于三次函数()32()0f x ax bx cx d a =+++≠，其导函数为二次函数()2()320f x ax bx c a '=++≠，()f x '的判别式()243b ac ∆=-.现以0a >为例，（1）若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数，)(x f 在R 上无极值；（2）若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aacb b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.)(x f 在R 上有两个极值，且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.综上可得，当三次函数存在极值时，其图象、零点、极值的关系：问题一：过三次函数极值点的切线例1（2016年天津卷）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中,.a b R ∈ 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=. 策略一：验证1032x x =-，即验证()()1032f x f x =-.()32200000001(32)(22)3(1)(32)(1)21()()f x x x x b x x b f x f x -=-----=----== 根据函数()f x 的单调性直接推出结论.本策略不具有一般性，能否寻求解决这类问题的一般性思路呢？策略二：直接求零点33010011()()[(1)][(1)]f x f x x ax b x ax b -=------- 330101(1)(1)()x x a x x =-----22010011()[(1)(1)(1)(1)]x x x x x x a =--+--+--2220100110()[(1)(1)(1)(1)3(1)]x x x x x x x =--+--+--- 22010011()[2(1)(1)(1)(1)]x x x x x x =---+--+- 20101()[2(1)(1)]x x x x =-----20101()(23)0x x x x =---+=（*）又01x x ≠，故1023x x +=.我们可以关注到策略二可以推广到一般情形，利用三次函数在极值点处的切线列出等式，（*）式的一般形式含有因式()20x x -，从而迅速求出另外一个交点横坐标.其一般形式如下：若0x 为三次函数32()f x ax bx cx d =+++的极值点，过00(,())x f x 的直线y k =与三次函数()f x 交于点11(,())x f x ，则研究函数()()g x f x k =-的零点问题可以利用201()()()g x a x x x x =--.例2（2012年江苏卷）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.设()(())h x f f x c =-，其中[]2,2c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.思路分析：本题本质上是研究由三次函数复合的函数零点问题，可先从“形”入手，直接将c 的取值分为2c =和2c <两类.我们以2c =为例，直线2y =为过极值点1x =的切线，则32()232(1)(2)y f t t t t t =-=--=--，迅速求得另一交点横坐标为2.为零点的讨论带来极大的方便.解：易得==3a b -0，.令()=f x t ，则()()h x f t c =-. 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和一2 ，注意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和 2.当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <----- ，∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根.由（1）知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根. ② 当()12x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数.又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根.同理，()=f x d 在（一2 ，一1）内有唯一实根. ③ 当()11x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数.又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根.因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，；当2d < 时，()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点：（i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，. 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点.（ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点.综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9个零点. 拓展研究：当2c <-或2c >时，函数()y h x =的零点个数情形如下：当2(1)c f >=-时，方程()f t c =有且仅有一个大于2的实根，故()y h x =有且仅有一个零点；同理，当2c <-时，()y h x =有且仅有一个零点.提示：解决复合函数零点问题需要强化数形结合基本数学思想. 练习：设函数32()3f x x x bx c =-++的图象如图所示，且与直线y =0在原点处相切.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）设1m >，如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线，求证：13()m n f m -<<.解：（1）由图可知，函数的图象经过（0，0）点，∴0c =，又图象与x 轴相切于（0，0）点，2'()36f x x x b =-+，由'(0)0f =得b =0，32()3f x x x ∴=-.（2）由（1）可知2()36f x x x '=-，设函数在点(,())t f t 处的切线方程为232(36)()(3)y t t x t t t =--+-. 若切线过点(,)m n ，则存在实数t ，使232(36)()(3)n t t m t t t =--+-，即322(33)60t m t mt n -+++=.令()g t =322(33)6t m t mt n -+++，则2()66(1)66()(1)g t t m t m t m t '=-++=--.1,m >∴Q 当1t <或t m >时，()0g t '>；当1t m <<时，()0g t '<.()g t ∴在1t =时取得极大值(1)31g m n =+-，在t m =时取得极小值()()g m n f m =-.如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线，则方程322(33)60t m t mt n -+++=有三个相异的实数根， (1)310()()0g m n g m n f m =+->⎧∴⎨=-<⎩， ∴13()m n f m -<<. 三次型函数的切线问题（二）问题二：过三次函数图象上任一点的切线设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切.若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线. 证明：设),(11y x P ，过点P 的切线可以分为两类：①若P 为切点，则21111'()32k f x ax bx c ==++，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-②若P 不是切点，则过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点22(,)Q x y ，12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--=()()22212112a x x x x b x x c =+++++xyO又22222'()32k f x ax bx c ==++ (1)∴c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-ab x x x x ∴a bx x 22112--=代入（1）式得 c ab bx ax k +-+=4214321212，当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121 ， ∴当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线；当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线，其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-，))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 综上可得：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ，…，),(n n n y x P ，…，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点n P 趋近三次函数图象的对称中心，即三次函数图象上的拐点.特别地，过三次函数图象上拐点的切线只有一条.例3(2012北京卷)已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+.（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；（2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．思路分析：本题容易忽视“在它们的交点(1,)c 处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于,a b 的方程组，从而使题目无法求解. 简析：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，所以(1)(1)'(1)'(1)f g f g =⎧⎨=⎩，容易求得3a b ==.（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )，∵a 2＝4b ，∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2，令h ′(x )＝0，解得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.(5分)由a >0，得h (x )与h ′(x )的变化情况如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2 －a 2 ⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6 －a 6⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞ h ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋h (x )∴函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6. ①当－1≤－a2，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －a 24；②当－a 2<－1<－a6，即2<a <6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a 2，－1上单调递减，在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1； ③当－1≥－a 6，即a ≥6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a 6，－1上单调递增，又因为h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0，所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 综上所述，当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －a 24；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 问题三：过三次函数图象外一点的切线设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切. 令00()()'()()g x y f x f x x x =-+-，则（1）若,30a bx -=则过点P 恰有一条切线；（2）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -0>，则过点P 恰有一条切线；（3）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -=0，则过点P 有两条不同的切线；（4）若,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<，则过点P 有三条不同的切线.证明：设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为),)(23(11211x x c bx ax y y -++=-把点),(00y x P 代入得：02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ，设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=200'()62(3)2,g x ax b ax x bx =+-- ,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆令'()0,g x =则.3,0ab x x x -== ①0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴只有一个交点，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以03b x a=-或,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0>时，过点P 恰有一条切线. ②0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -=0时，过点P 有两条不同的切线. ③0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<时，过点P 有三条不同的切线. 例4（2014·北京卷）已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论) 解：(1)略(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0，设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图象知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切；过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切；过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切．练习1：已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=,在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y .若过点)2)(,2(≠m m M ,可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围.解析：设切点坐标为()00,x y ，则30003y x x =-，200()33f x x '=-Q ,∴切线的斜率为203 3.x -则()()3200003332x x m x x --=--，即32002660x x m -++=.又过(2,)(2)M m m ≠可作三条切线，故关于0x 的方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解.即函数32()266x x x m ϕ=-++有三个不同的零点. 令2'()6120x x x ϕ=-=，解得或.20m ⎧⎨-<⎩，解得62m -<<. ∴实数m 的取值范围为(6,2).-练习2：（07全国II 理22）已知函数3()f x x x =-．设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<. 解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()0t t a =-=，解得0t =或t a =．()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评：（1）本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体；（2）本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 小结：三次函数图象切线条数的研究：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，设其切线的斜率为.k 与系数的关系0a >0<aa b ac k 332-=一条一条 a b ac k 332->两条零条 ab ac k 332-<零条两条证明：2()32f x ax bx c '=++，若0>a ，则当abx 3-=时，min 3().3ac b f x a -'=∴当a b ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以此时切线有且只有一条；其方程为).3(33)3(2abx a b ac a b f y +-=-- 当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=ab 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称，所以斜率为k 的切线有两条.当ab ac k 332-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在.同理可证，0<a 时结论成立.例5（2015天津卷）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（3）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+-.【解析】（1）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时， ()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. ②当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （2）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（3）证明：不妨设12x x ≤，由（2）知()()2()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（2）)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111121210(')(),',''1a h x a f x x x x x x x x n==<-<-=+-，12n -=1(11)n -+≥1+11n C n -=，故2≥11n n-=0x ，原结论成立.三次函数通常围绕以下四个点进行命题：第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是利用函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．。

2020年高考数学真题试卷(江苏卷)

2020年高考数学真题试卷（江苏卷）14小题，每题5分，共计70分．1．已知集合 A ={−1,0,1,2},B ={0,2,3} ，则 A ∩B = . 2．已知i 是虚数单位，则复数 z =(1+i)(2−i) 的实部是 . 3．已知一组数据 4,2a,3−a,5,6 的平均数为4，则a 的值是 .4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为-2，则输入x 的值是 .6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x 2a2 ﹣ y 25 =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y= √52 x ，则该双曲线的离心率是 .7．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， f(x)=x 23 ，则f(-8)的值是 . 8．已知 sin 2(π4+α) = 23，则 sin2α 的值是 .9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.10．将函数y= 3sin(2x ﹢π4) 的图象向右平移 π6 个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 .11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和 S n =n 2−n +2n −1(n ∈N +) ，则d+q 的值是．12．已知 5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R) ，则 x 2+y 2 的最小值是．13．在△ABC 中， AB =4，AC =3，∠BAC =90°， D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP=9，若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ （m 为常数），则CD 的长度是．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知 P(√32，0) ，A ，B 是圆C ： x 2+(y −12)2=36 上的两个动点，满足 PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是．6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作15．在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB△AC ，B 1C△平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF△平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C△平面ABB 1．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 a =3,c =√2,B =45° ．（1）求 sinC 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得 cos∠ADC =−45，求 tan∠DAC 的值．17．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行， OO ′ 为铅垂线( O ′ 在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离 ℎ1 (米)与D 到 OO ′ 的距离a(米)之间满足关系式 ℎ1=140a 2 ；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离 ℎ2 (米)与F 到 OO ′ 的距离b(米)之间满足关系式 ℎ2=−1800b 3+6b .已知点B 到 OO ′ 的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于 OO ′ 的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k(万元)、桥墩CD 每米造价 32k (万元)(k>0).问 O ′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 E:x 24+y 23=1 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2△F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19．已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与ℎ(x)=kx+b(k,b∈R)在区间D上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．（1）若f(x)=x2+2x，g(x)=−x2+2x，D=(−∞，+∞)，求h(x)的表达式；（2）若f(x)=x2−x+1，g(x)=klnx，ℎ(x)=kx−k,D=(0，+∞)，求k的取值范围；（3）若f(x)=x4−2x2，g(x)=4x2−8，ℎ(x)=4(t2−t)x−3t4+2t2(0<|t|≤√2)，D=[m,n]⊆[−√2,√2]，求证：n−m≤√7．20．已知数列{a n}(n∈N∗)的首项a1=1，前n项和为S n．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有Sn+11k−S n1k=λa n+11k成立，则称此数列为“λ–k”数列．（1）若等差数列{a n}是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{a n}是“ √33−2”数列，且a n＞0，求数列{a n}的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n}为“λ–3”数列，且a n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并21．[选修4-2：矩阵与变换]平面上点A(2,−1)在矩阵M=[a1−1b]对应的变换作用下得到点B(3,−4)．（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵M−1．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知点A(ρ1,π3)在直线l:ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C:ρ=4sinθ上（其中ρ≥0，0≤θ<2π）．（1）求ρ1，ρ2的值（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标．23．设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|≤4．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题24．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= √5,BD=2，O为BD的中点，AO△平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF= 14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．25．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示) ．答案解析部分1．【答案】{0,2}【解析】【解答】∵A ={−1,0,1,2} , B ={0,2,3}∴A ∩B ={0,2} 故答案为： {0,2} .【分析】根据集合的交集即可计算.2．【答案】3【解析】【解答】∵复数 z =(1+i)(2−i)∴z =2−i +2i −i 2=3+i ∴复数的实部为3. 故答案为：3.【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.3．【答案】2【解析】【解答】∵数据 4,2a,3−a,5,6 的平均数为4∴4+2a +3−a +5+6=20 ，即 a =2 . 故答案为：2.【分析】根据平均数的公式进行求解即可．4．【答案】19【解析】【解答】根据题意可得基本事件数总为 6×6=36 个.点数和为5的基本事件有 (1,4) ， (4,1) ， (2,3) ， (3,2) 共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为 P =436=19. 故答案为： 19.【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．5．【答案】-3【解析】【解答】由于 2x >0 ，所以 y =x +1=−2 ，解得 x =−3 .故答案为：-3【分析】根据指数函数的性质，判断出 y =x +1 ，由此求得x 的值.6．【答案】32【解析】【解答】双曲线 x 2a2−y 25=1 ，故 b =√5 .由于双曲线的一条渐近线方程为 y =√52x ，即b a =√52⇒a =2 ，所以c =√a 2+b 2=√4+5=3 ，所以双曲线的离心率为 c a =32 . 故答案为： 32【分析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.7．【答案】-4【解析】【解答】 f(8)=823=4 ，因为 f(x) 为奇函数，所以 f(−8)=−f(8)=−4故答案为：-4【分析】先求 f(8) ，再根据奇函数求 f(−8)8．【答案】13【解析】【解答】 ∵sin 2(π4+α)=(√22cosα+√22sinα)2=12(1+sin2α)∴12(1+sin2α)=23∴sin2α=13故答案为： 13【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.9．【答案】12√3−π2【解析】【解答】正六棱柱体积为 6×√34×22×2=12√3圆柱体积为 π(12)2⋅2=π2所求几何体体积为 12√3−π2 故答案为： 12√3−π2【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.10．【答案】x =−5π24【解析】【解答】 y =3sin[2(x −π6)+π4]=3sin(2x −π12)2x −π12=π2+kπ(k ∈Z)∴x =7π24+kπ2(k ∈Z) 当 k =−1 时 x =−5π24故答案为： x =−5π24【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.11．【答案】4【解析】【解答】设等差数列 {a n } 的公差为d ，等比数列 {b n } 的公比为q ，根据题意 q ≠1 .等差数列 {a n } 的前n 项和公式为 P n =na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d 2)n ，等比数列 {b n } 的前n 项和公式为 Q n =b 1(1−q n )1−q =−b 11−q q n +b 11−q，依题意 S n =P n +Q n ，即 n 2−n +2n −1=d 2n 2+(a 1−d2)n −b 11−q q n +b 11−q ，通过对比系数可知 {d2=1a 1−d 2=−1q =2b 11−q =−1⇒ {d =2a 1=0q =2b 1=1 ，故 d +q =4 . 故答案为：4【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得 {a n },{b n } 的公差和公比，由此求得 d +q .12．【答案】45【解析】【解答】∵5x 2y 2+y 4=1∴y ≠0 且 x 2=1−y 45y 2∴x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=15y 2+4y 25≥2√15y 2⋅4y 25=45 ，当且仅当 15y 2=4y 25 ，即 x 2=310,y 2=12 时取等号.∴x 2+y 2 的最小值为 45 .故答案为： 45.【分析】根据题设条件可得 x 2=1−y 45y 2 ，可得 x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=15y2+4y 25 ，利用基本不等式即可求解.13．【答案】185【解析】【解答】∵A,D,P 三点共线， ∴可设 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0) ， ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 m ≠0 且 m ≠32，则 B,D,C 三点共线，∴m λ+(32−m)λ=1 ，即 λ=32 ， ∵AP =9 ，∴AD =3 ，∵AB =4 , AC =3 , ∠BAC =90° ， ∴BC =5 ，设 CD =x ， ∠CDA =θ ，则 BD =5−x ， ∠BDA =π−θ .∴根据余弦定理可得 cosθ=AD 2+CD 2−AC 22AD⋅CD =x 6， cos(π−θ)=AD 2+BD 2−AB 22AD⋅BD =(5−x)2−76(5−x) ，∵cosθ+cos(π−θ)=0 ，∴x 6+(5−x)2−76(5−x)=0 ，解得 x =185 ， ∴CD 的长度为185.当 m =0 时， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =32PC⃗⃗⃗⃗⃗ ， C,D 重合，此时 CD 的长度为 0 ，当 m =32时， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =32PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， B,D 重合，此时 PA =12 ，不合题意，舍去. 故答案为：0或185. 【分析】根据题设条件可设 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0) ，结合 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 B,D,C 三点共线，可求得 λ ，再根据勾股定理求出 BC ，然后根据余弦定理即可求解.14．【答案】10√5【解析】【解答】 ∵PA =PB ∴PC ⊥AB设圆心 C 到直线 AB 距离为d ，则 |AB|=2√36−d 2,|PC|=√34+14=1所以 S △PAB ≤12⋅2√36−d 2(d +1)=√(36−d 2)(d +1)2令 y =(36−d 2)(d +1)2(0≤d <6)∴y ′=2(d +1)(−2d 2−d +36)=0∴d =4 （负值舍去）当 0≤d <4 时， y ′>0 ；当 4≤d <6 时， y ′≤0 ，因此当 d =4 时， y 取最大值，即 S △PAB 取最大值为 10√5 ，故答案为： 10√5【分析】根据条件得 PC ⊥AB ,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值.15．【答案】（1）证明：由于 E,F 分别是 AC,B 1C 的中点，所以 EF//AB 1 .由于 EF ⊂ 平面 AB 1C 1 , AB 1⊂ 平面 AB 1C 1 ，所以 EF// 平面 AB 1C 1 . （2）证明：由于 B 1C ⊥ 平面 ABC ， AB ⊂ 平面 ABC ，所以 B 1C ⊥AB . 由于 AB ⊥AC,AC ∩B 1C =C ，所以 AB ⊥ 平面 AB 1C , 由于 AB ⊂ 平面 ABB 1 ，所以平面 AB 1C ⊥ 平面 ABB 1 .【解析】【分析】（1）通过证明 EF//AB 1 ，来证得 EF// 平面 AB 1C 1 .（2）通过证明 AB ⊥ 平面AB 1C ，来证得平面 AB 1C ⊥ 平面 ABB 1 .16．【答案】（1）解：由余弦定理得 b 2=a 2+c 2−2accosB =9+2−2×3×√2×√22=5 ，所以b =√5 .由正弦定理得 c sinC =b sinB ⇒sinC =csinB b =√55.（2）解：由于 cos∠ADC =−45 ， ∠ADC ∈(π2,π) ，所以 sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35 .由于 ∠ADC ∈(π2,π) ，所以 C ∈(0,π2) ，所以 cosC =√1−sin 2C =2√55.所以 sin∠DAC =sin(π−∠DAC) =sin(∠ADC +∠C)=sin∠ADC ⋅cosC +cos∠ADC ⋅sinC =35×2√55+(−45)×√55=2√525.由于 ∠DAC ∈(0,π2) ，所以 cos∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525 .所以 tan∠DAC =sin∠DAC cos∠DAC =211.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得 b ，利用正弦定理求得 sinC . （2）根据 cos∠ADC 的值，求得 sin∠ADC 的值，由（1）求得 cosC 的值，从而求得 sin∠DAC,cos∠DAC 的值，进而求得tan∠DAC 的值.17．【答案】（1）解：由题意得 140|O ′A|2=−1800×403+6×40∴|O ′A|=80 ∴|AB|=|O ′A|+|O ′B|=80+40=120 米（2）解：设总造价为 f(x) 万元， |O ′O|=140×802=160 ，设 |O ′E|=x ，f(x)=k(160+1800x 3−6x)+32k[160−140(80−x)2],(0<x <40) ∴f(x)=k(160+1800x 3−380x 2),∴f ′(x)=k(3800x 2−680x)=0∴x =20 (0舍去)当 0<x <20 时， f ′(x)<0 ；当 20<x <40 时， f ′(x)>0 ，因此当 x =20 时， f(x) 取最小值，答：当 O ′E =20 米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.【解析】【分析】（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.18．【答案】（1）解：∵椭圆 E 的方程为 x 24+y 23=1∴F 1(−1,0) , F 2(1,0)由椭圆定义可得： AF 1+AF 2=4 . ∴△AF 1F 2 的周长为 4+2=6（2）解：设 P(x 0,0) ，根据题意可得 x 0≠1 . ∵点 A 在椭圆 E 上，且在第一象限， AF 2⊥F 1F 2∴A(1,32)∵准线方程为 x =4 ∴Q(4,y Q )∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,0)⋅(x 0−4,−y Q )=(x 0−4)x 0=(x 0−2)2−4≥−4 ，当且仅当 x 0=2 时取等号. ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 −4 . （3）解：设 M(x 1,y 1) ，点M 到直线 AB 的距离为d.∵A(1,32) ， F 1(−1,0)∴直线 AF 1 的方程为 y =34(x +1)∵点O 到直线 AB 的距离为 35 ， S 2=3S 1∴S 2=3S 1=3×12×|AB|×35=12|AB|⋅d∴d=9 5∴|3x1−4y1+3|=9①∵x124+y123=1②∴联立①②解得{x1=2y 1=0，{x1=−27y1=−127.∴M(2,0)或(−27,−127).【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得AF1+AF2=4，从而可求出△AF1F2的周长；（2）设P(x0,0)，根据点A在椭圆E上，且在第一象限，AF2⊥F1F2，求出A(1,32)，根据准线方程得Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设M(x1,y1)，点M 到直线AB的距离为d，由点O到直线AB的距离与S2=3S1，可推出d=95，根据点到直线的距离公式，以及M(x1,y1)满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.19．【答案】（1）解：由题设有−x2+2x≤kx+b≤x2+2x对任意的x∈R恒成立.令x=0，则0≤b≤0，所以b=0.因此kx≤x2+2x即x2+(2−k)x≥0对任意的x∈R恒成立，所以Δ=(2−k)2≤0，因此k=2.故ℎ(x)=2x.（2）解：令F(x)=ℎ(x)−g(x)=k(x−1−lnx)(x>0)，F(1)=0.又F′(x)=k⋅x−1x.若k<0，则F(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，则F(x)≤F(1)=0，即ℎ(x)−g(x)≤0，不符合题意.当k=0时，F(x)=ℎ(x)−g(x)=0,ℎ(x)=g(x)，符合题意.当k>0时，F(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，则F(x)≥F(1)=0，即ℎ(x)−g(x)≥0，符合题意.综上所述，k≥0.由f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k)=x2−(k+1)x+(k+1)≥0当x=k+12<0，即k<−1时，y=x2−(k+1)x+k+1在(0,+∞)为增函数，因为f(0)−ℎ(0)=k+1<0，故存在x0∈(0,+∞)，使f(x)−ℎ(x)<0，不符合题意.当x=k+12=0，即k=−1时，f(x)−ℎ(x)=x2≥0，符合题意.当x=k+12>0，即k>−1时，则需Δ=(k+1)2−4(k+1)≤0，解得−1<k≤3.综上所述，k的取值范围是k∈[0,3].（3）解：因为x4−2x2≥4(t3−t)x−3t4+2t2≥4x2−8对任意x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立，x4−2x2≥4(t3−t)x−3t4+2t2对任意x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立，等价于(x−t)2(x2+2tx+3t2−2)≥0对任意x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立.故x2+2tx+3t2−2≥0对任意x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立.令M(x)=x2+2tx+3t2−2，当0<t2<1，Δ=−8t2+8>0,−1<−t<1，此时n−m≤√2+|t|<√2+1<√7，当1≤t2≤2，Δ=−8t2+8≤0，但4x2−8≥4(t3−t)x−3t4+2t2对任意的x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立.等价于4x2−4(t3−t)x+(3t2+4)(t2−2)≤0对任意的x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立.4x2−4(t3−t)x+(3t2+4)(t2−2)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t,x1⋅x2=3t 4−2t2−84，所以n−m=|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ,λ∈[1,2]，则|n−m|=√λ3−5λ2+3λ+8.构造函数P(λ)=λ3−5λ2+3λ+8(λ∈[1,2])，P′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以λ∈[1,2]时，P′(λ)<0，P(λ)递减，P(λ)max=P(1)=7.所以(n−m)max=√7，即n−m≤√7.【解析】【分析】（1）求得f(x)与g(x)的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得ℎ(x)的表达式.（2）先由ℎ(x)−g(x)≥0，求得k的一个取值范围，再由f(x)−ℎ(x)≥0，求得k 的另一个取值范围，从而求得k的取值范围.（3）先由f(x)≥ℎ(x)，求得|t|的取值范围，由方程g(x)−ℎ(x)=0的两个根，求得n−m的表达式，利用导数证得不等式成立.20．【答案】（1）解: S n+1−S n=λa n+1∴a n+1=λa n+1∵a1=1∴a n+1≡0∴λ=1（2）解: ∵an >0∴S n+1>S n∴S n+112−S n12>0∵S n+112−S n 12=√33(S n+1−S n )12∴(S n+112−S n 12)2=13(S n+112−S n 12)(S n+112+S n 12)∴S n+112−S n 12=13(S n+112+S n 12)∴S n+112=2S n 12∴S n+1=4S n ∴S n =4n−1∵S 1=a 1=1 ， S n =4n−1∴a n =4n−1−4n−2=3⋅4n−2,n ≥2∴a n ={1,n =13⋅4n−2,n ≥2（3）解: 假设存在三个不同的数列 {a n } 为 "λ−3" 数列.S n+113−S n 13=λa n+113∴(S n+113−S n 13)3=λ3(S n+1−S n )∴S n+113=S n13或 (Sn+113−S n 13)2=λ3(S n+123+S n23+S n+113S n 13)∴S n+1=S n 或 (λ3−1)Sn+123+(λ3−1)S n 23+(λ3+2)S n+113S n13=0∵对于给定的 λ ，存在三个不同的数列 {a n } 为 "λ−3" 数列，且 a n ≥0∴a n ={1,n =10,n ≥2 或 (λ3−1)S n+123+(λ3−1)S n 23+(λ3+2)S n+113S n 13=0(λ≠1) 有两个不等的正根. (λ3−1)S n+123+(λ3−1)S n23+(λ3+2)S n+113S n13=0(λ≠1)可转化为 (λ3−1)S n+123S n 23+(λ3−1)+(λ3+2)S n+113S n 13=0(λ≠1) ，不妨设 (S n+1S n)13=x(x >0) ，则 (λ3−1)x 2+(λ3+2)x +(λ3−1)=0(λ≠1) 有两个不等正根，设 f(x)=(λ3−1)x 2+(λ3+2)x +(λ3−1)=0(λ≠1) . ①当 λ<1 时， Δ=(λ3+2)2−4(λ3−1)2>0⇒0<λ3<4 ，即 0<λ<1 ，此时 f(0)=λ3−1<0 ， x 对=−(λ3+2)2(λ3−1)>0 ，满足题意.②当 λ>1 时， Δ=(λ3+2)2−4(λ3−1)2>0⇒0<λ3<4 ，即 1<λ<√43 ，此时 f(0)=λ3−1>0 ， x 对=−(λ3+2)2(λ3−1)<0 ，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上， 0<λ<1【解析】【分析】（1）根据定义得 S n+1−S n =λa n+1 ，再根据和项与通项关系化简得 a n+1=λa n+1 ，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得 S n+112−S n 12=√33(S n+1−S n )12 ，根据平方差公式化简得 S n+1=4S n ，求得 S n ，即得 a n ；（3）根据定义得 Sn+113−S n13=λa n+113 ，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果 21．【答案】（1）解：∵平面上点 A(2,−1) 在矩阵 M =[a1−1b ] 对应的变换作用下得到点 B(3,−4) ∴[a1−1b ][2−1]=[3−4] ∴{2a −1=3−2−b =−4 ，解得 {a =2b =2 （2）解：设 M −1=[mn cd ] ，则 MM −1=[2m +c2n +d −m +2c −n +2d ]=[1001] ∴{2m +c =12n +d =0−m +2c =0−n +2d =1 ，解得 { m =25n =−15c =15d =25∴M −1=[25−151525]【解析】【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数 a,b 的值；（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.22．【答案】（1）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系， ∵ρ1cos π3=2,∴ρ1=4 ，因为点B 为直线 θ=π6 上，故其直角坐标方程为 y =√33x ，又 ρ=4sinθ 对应的圆的直角坐标方程为： x 2+y 2−4y =0 ，由 {y =√33x x 2+y 2−4y =0解得 {x =0y =0 或 {x =√3y =1 ，对应的点为 (0,0),(√3,1) ，故对应的极径为 ρ2=0 或 ρ2=2 . （2）解： ∵ρcosθ=2,ρ=4sinθ,∴4sinθcosθ=2,∴sin2θ=1 ， ∵θ∈[0,2π),∴θ=π4,5π4，当 θ=π4 时 ρ=2√2 ；当 θ=5π4时ρ=−2√2<0 ，舍；即所求交点坐标为当 (2√2,π4), 【解析】【分析】(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.23．【答案】解： ∵{x <−1−2x −2−x ≤4或 {−1≤x ≤02x +2−x ≤4 或 {x >02x +2+x ≤4 ∴−2≤x <−1 或 −1≤x ≤0 或 0<x ≤23所以解集为 [−2，23]【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果 24．【答案】（1）解：连 CO ∵BC =CD,BO =OD ∴CO ⊥BD以 OB,OC,OA 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2),B(1,0,0),C(0,2,0),D(−1,0,0)∴E(0,1,1)∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√5√3=−√1515 从而直线 AB 与 DE 所成角的余弦值为 √1515（2）解：设平面 DEC 一个法向量为 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z),∵DC⇀=(1,2,0),{n 1⇀⋅DC ⇀=0n 1⇀⋅DE ⇀=0∴{x +2y =0x +y +z =0 令 y =1∴x =−2,z =1∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,1)设平面 DEF 一个法向量为 n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1), ∵DF ⇀=DB ⇀+BF ⇀=DB ⇀+14BC ⇀=(74,12,0),{n 2⇀⋅DF ⇀=0n 2⇀⋅DE ⇀=0∴{74x 1+12y 1=0x 1+y 1+z 1=0 令 y 1=−7∴x 1=2,z 1=5∴n 2⃗⃗⃗⃗ =(2,−7,5)∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=√6√78=√13因此sinθ=√12√13=2√3913【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.25．【答案】（1）解：p1=1×33×3=13,q1=2×33×3=23，p 2=p1×1×33×3+q1×1×23×3=13×13+23×29=727，q 2=p1×2×33×3+q1×1×1+2×23×3+0=23×23+23×59=1627.（2）解：pn =pn−1×1×33×3+q n−1×1×23×3=13p n−1+29q n−1，q n =pn−1×2×33×3+q n−1×1×1+2×23×3+(1−p n−1−q n−1)×3×23×3=−19q n−1+23，因此2p n+q n=23p n−1+13q n−1+23，从而2p n+q n=13(2p n−1+q n−1)+23,∴2p n+q n−1=13(2p n−1+q n−1−1)，即2p n+q n−1=(2p1+q1−1)13n−1,∴2p n+q n=1+13n.又X n的分布列为故E(X n)=2p n+q n=1+1 3n.【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求p n ，qn，即得递推关系，构造等比数列求得2p n+q n，最后根据数学期望公式求结果.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2020年江苏省高考说明-----典型题示例(一)填空题1．函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________. 【解析】本题主要考查对数函数的单调性．本题属容易题. 【答案】+∞1（－，）2. 2．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 为虚数单位），则z 的实部是_______. 【解析】本题主要考查复数的基本概念、基本运算．本题属容易题. 【答案】1.3．设集合{1,1,3}A =-，2{2,4}B a a =++，{3}A B ⋂=，则实数a 的值为_______. 【解析】本题主要考查集合的概念、运算等基础知识．本题属容易题. 【答案】1.4．从1，2，3，4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是______.【解析】本题主要考查古典概型．本题属容易题. 【答案】13. 5．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根棉花纤维中，有根的长度小于20mm.【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计．本题属容易题. 【答案】306．右图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是________. 【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识．本题属容易题. 【答案】63.7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若11a =，公差2d =，22k k S S +-=，则正整数k =________.【解析】本题主要考查等差数列的前n 项和与其通项的关系等基础知识．本题属容易题. 【答案】5.8．设直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 . 【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法．本题属中等题. 【答案】ln21-.(第6题)(第5题)9．函数ϕϕ,,)(sin()(w A wx A x f +=是常数,)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则)0(f 的值为________.【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查特殊角的三角函数值．本题属中等题.【答案】26.10．已知→→21,e e 是夹角为32π的两个单位向量，.,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则实数k 的值为________.【解析】本题主要考查平面向量的加、减、数乘及数量积的运算等基础知识．本题属中等题. 【答案】45. 11．在平面直角坐标系xOy 中,曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上,则圆C 的方程为 .【解析】本题主要考查圆的方程等基础知识，考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力．本题属中等题.【答案】226210.x y x y +--+=12．设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 .【解析】本题主要考查代数式的变形及基本不等式等基础知识．本题属中等题. 【答案】3.13．已知函数21,0,()1,0,x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是 .【解析】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，简单不等式的解法，以及数形结合与分类讨论的思想.考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力．本题属难题. 【答案】).12,1(-- 14．满足条件2,AB AC ==的三角形ABC 的面积的最大值是_________.【解析】本题主要考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力．本题属难题. 【答案】. （二）解答题 15．在∆ABC 中，C －A=2π，sinB=13.（1）求sinA 的值；（2）设AC=6，求∆ABC 的面积.【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力．本题属容易题.【参考答案】（1）由A B C π++=及2C A π-=，得22A B π=-，故04A π<<，并且cos 2cos()sin 2A B B π=-=，即2112sin 3A -=，得3sin 3A =. （2）由（1）得36cos =A .又由正弦定理得sin sin AC BCB A=，所以sin 32sin AC A BC B ⋅==.因为2C A π=+，所以6sin sin()cos .23C A A π=+==因此，116sin 6323 2.223ABC S AC BC C ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯= 16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900. （1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离.【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．本题属容易题. 【参考答案】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC. 由∠BCD=900，得BC ⊥DC.又PD DC D ⋂=，PD ⊂平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD.因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC.（2）如图，连结AC.设点A 到平面PBC 的距离h. 因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900. 从而由AB=2，BC=1，得ABC ∆的面积12121=⨯⨯=∆ABC S . 由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P ABC -的体积11.33ABC V S PD ∆==g 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC. 又PD=DC=1，所以2=PC .(第16题（1）)由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ∆的面积22=∆PBC S . 由1113323PBC V S h h ∆===g，得h =因此点A 到平面PBC17．请你设计一个包装盒.如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E 、F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).（1）某广告商要求包装盒的侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取何值？（2）若厂商要求包装盒的容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解析】本题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力．本题属中等题. 【参考答案】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得a =，)h x ==-，030.x <<（1）248(30)8(15)1800S ah x x x ==-=--+（030x <<），所以当x=15时，S 取得最大值.（2）23230)(030)V a h x x x ==-+<<，)20(26'x x V -=.由'0V =得0x =（舍），或20.x =当200<<x 时，'0V >，V 递增；当3020<<x 时，'0V <，V 递减. 所以当20=x 时，V 取得极大值，此时12a h =. 由题设的实际意义可知20=x 时，V 取得最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为12. 答案：（1）x=15cm 时包装盒的侧面积S(cm 2)最大；P(第17题)（2）20=x cm 时包装盒的容积V(cm 3)最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为12. 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的直线交椭圆12422=+y x 于P 、A 两点，其中点P 在第一象限. 过P 作x 轴的垂线，垂足为C.连接AC ，并延长交椭圆于点B.设直线PA 的斜率为k.（1）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离；（2）对任意k>0，求证：PA⊥PB .【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、直线的垂直关系以及点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力．本题属中等题. 【参考答案】（1）由题设知直线PA 的方程为2y x =，代入椭圆方程得224142x x +=，解得23x =±，所以2424(,),(,)3333P A --.于是2(,0)3C ，从而得直线AC 的斜率为40312233+=+，直线AB 的方程为203x y --=.因此，点P 到直线AB3=（2）解法一：将直线PA 的方程y kx =代入12422=+y x，解得x =记μ=，则(,)P k μμ，(,)A k μμ--.于是(,0)C μ，从而直线AB 的斜率为02k k μμμ+=+，其方程为()2ky x μ=-.代入椭圆方程得22222(2)2(32)0k x k x k μμ+--+=，解得22(32)2k x kμ+=+或x μ=-.所以2322(32)(,)22k k B kkμμ+++.(第18题)于是直线PB 的斜率332212222(2)12(32)32(2)2k k k k k k k k k k k k μμμμ--++===-++-+-+，得11k k =-.故PA PB ⊥.解法二：设1122(,),(,),P x y B x y 则12120,0,,x x x x >>≠111(,),(,0)A x y C x --，且11y k x =. 设直线,PB AB 的斜率分别为12,.k k 因为C 在直线AB 上，所以1121110().()22y y kk x x x --===--从而21211121121()12121()()y y y y k k k k x x x x ---+=+=+----gg22222221221122222221212122(2)(2)4410y y x y x y x x x x x x -+-+-=+===---，得11k k =-.故PA PB ⊥.19．（1）设12,,,n a a a L 是各项均不为零的n （4≥n ）项等差数列，且公差0≠d ，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列. （i ）当4=n 时，求da 1的数值；（ii ）求n 的所有可能值. （2）求证：存在一个各项及公差均不为零的)4(≥n n 项等差数列，任意删去其中的k 项(13)k n ≤≤-，都不能使剩下的项(按原来的顺序)构成等比数列．【解析】本题以等差数列、等比数列为平台，主要考查学生的探索与推理能力．本题属难题. 【参考答案】首先证明一个“基本事实”：一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差00=d . 事实上，设这个数列中的连续三项00,,d a a d a +-成等比数列，则),)((002d a d a a +-=由此得2022d a a -=,故.00=d（1）（i ）当4=n 时，由于数列的公差0d =/，故由“基本事实”推知，删去的项只可能为2a或3a ．①若删去2a ，则由431,,a a a 成等比数列，得)3()2(1121d a a d a +⋅=+.因,0=/d 故由上式得,41d a -=即.41-=da 此时数列为,3,4d d --,,2d d --满足题设． ②若删去3a ,则由421,,a a a 成等比数列,得).3()(1121d a a d a +⋅=+因,0=/d 故由上式得,1d a =即.11=da 此时数列为d d d d 4,3,2,,满足题设．综上可知da 1的值为4-或1．（ii ）当6≥n 时，则从满足题设的数列n a a a a ,,,,321Λ中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列n a a a a ,,,,321Λ的公差必为0，这与题设矛盾．所以满足题设的数列的项数.5≤n 又因题设,4≥n 故4=n 或5．当4=n 时，由（i ）中的讨论知存在满足题设的数列．当5=n 时，若存在满足题设的数列54321,,,,a a a a a ,则由“基本事实”知，删去的项只能是3a ，从而5421,,,a a a a 成等比数列，故),3()(1121d a a d a +⋅=+及).4)(()3(1121d a d a d a ++=+分别化简上述两个等式，得21d d a =及,521d d a -=故0d =，矛盾．因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列．综上可知n 只能为4．（2）我们证明：若一个等差数列)4(,,,21≥n b b b n Λ的首项1b 与公差d '之比值为无理数，则此等差数列满足题设要求．证明如下：假设任意删去等差数列)4(,,,21≥n b b b n Λ中的)31(-≤≤n k k 项后，得到的新数列(按原来的顺序)构成等比数列，设此新数列中的连续三项为+1b ),10(,,32131211-≤<<≤'+'+'n m m m d m b d m b d m 于是有),)(()(3111221d m b d m b d m b '+'+='+化简得d b m m m d m m m '-+='-123123122)2()((*)由01=/'d b 知，3122m m m -与2312m m m -+同时为零或同时不为零．若,02231=-+m m m 且,03122=-m m m 则有,0)2(31231=-+m m m m 即,0)(231=-m m 得,31m m =从而,321m m m ==矛盾．因此，2312m m m -+与3122m m m -都不为零，故由(*)式得⋅-+-='231312212m m m m m m d b (**) 因为321,,m m m 均为非负整数，所以(**)式右边是有理数，而d b '1是一个无理数，所以(**)式不成立．这就证明了上述结果．因12+是一个无理数，因此，取首项,121+=b 公差'1d =，则相应的等差数列)4(2,,32,22,12≥++++n n Λ是一个满足题设要求的数列．。