2004考研数一真题及答案解析

令 Y
1 n
n i 1
Xi
,
则
(A)
Cov(
X1,
Y
)
2 n
(B) Cov( X1,Y ) 2
(C)
D( X 1
Y)
n
n
2
2
(D)
D( X 1
Y)
n 1 n
2
三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤)
(15)(本题满分 12 分)
设
e
a
b
e2
,证明
（2）已知 f (e x ) xex ，且 f(1)=0, 则 f(x)= 1 (ln x)2 . 2
【分析】 先求出 f (x) 的表达式，再积分即可。
【详解】 令 e x t ，则 x ln t ，于是有
f (t) ln t ， 即 f (x) ln x .
t
x
积分得 f (x) ln xdx 1 (ln x)2 C . 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故所求函数为 f(x)= 1 (ln x)2 .
【详解】
x2
lim x0
lim x0
tan tdt
0
x cos t 2dt
lim
x0
tan x 2x cos x 2
0 ，可排除(C),(D)选项，
0
又
lim lim
x0
x0
x sin t 3dt
0 x2
tan tdt
lim
x0
3
sin x 2
1
2x
2x tan x
0
= 1 lim 4 x0
0 0 1
是单位矩阵,则 B =__________ .
(6)设随机变量 X 服从参数为 的指数分布,则 P{X DX }= __________ .
二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中,
只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)把 x 0 时的无穷小量
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143 例 10.11，《考研数学大串讲》P122 例 5、例 7 .
（4）欧拉方程
x2
d2y dx 2
4x
dy dx
2y
0( x
0) 的通解为
y
c1 x
c2 x2
.
【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换 x et 化为常系数线性齐次微分方程即可。
c2e2t
c1 x
c2 x2
.
【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 x et ，则欧拉方程
ax 2
d2y dx 2
bx dy dx
cy
f (x) ，
可化为
a[
d2 dt
y
2
dy ] b dy dt dt
cy
f (et ).
完全类似的例题见《数学复习指南》P171 例 6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342 第六题.，《考研数 学大串讲》P75 例 12.
x
2
2
【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。
完全类似的例题见《数学复习指南》P89 第 8 题, P90 第 11 题.
（3）设 L 为正向圆周 x 2 y 2 2 在第一象限中的部分，则曲线积分 xdy 2 ydx 的值为 3 .
L
2
【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。
完全类似例题见《数学最后冲刺》P107 例 2，P118 例 9
（6）设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 P{X
DX }=
1
.
e
【分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。
【详解】
由题设，知 DX
1 2
，于是
P{X
DX }= P{X 1}
（7）把 x 0 时的无穷小量
x cos t 2dt,
x2
tan
tdt,
x sin t 3dt ，使排在后面的是前一个
0
0
0
的高阶无穷小，则正确的排列次序是
(A) , , . (B) , , . (C) , , . (D) , , .
[B]
【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.
3AB 6B A ， 即 (3A 6E)B A ，
再两边取行列式，有 3A 6E B A 3 ， 而 3A 6E 27 ，故所求行列式为 B 1 .
9 【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵 A* ，一般均应先利用公式
A* A AA* A E 进行化简。
【详解】 正向圆周 x 2 y 2 2 在第一象限中的部分，可表示为
x y
2 cos , 2 sin ,
:0 . 2
于是 xdy 2 ydx 2 [ 2 cos 2 cos 2 2 sin 2 sin ]d
L
0
=
2
2 sin 2 d
3
.
0
2
【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法 化为定积分计算即可.
设 A, B 为随机事件,且 P( A) 1 , P(B | A) 1 , P( A | B) 1 ,令
4
3
2
X
1, 0,
A发生, A不发生;
Y
1, B发生, 0, B不发生.
求:(1)二维随机变量 (X ,Y ) 的概率分布.
(2) X 和Y 的相关系数 XY .
(23)(本题满分 9 分)
0, 0,
nx1 nx2 (n a)xn 0,
(n 2) ,
试问 a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
(21)(本题满分 9 分)
1 2 3
设矩阵 A 1 4 3 的特征方程有一个二重根,求 a 的值,并讨论 A 是否可相似
1 a 5
对角化.
(22)(本题满分 9 分)
0 0 1
(12)设 A,B 为满足 AB O 的任意两个非零矩阵,则必有
(A) A 的列向量组线性相关 ,B 的行向量组线性相关
(B) A 的列向量组线性相关 ,B 的列向量组线性相关
(C) A 的行向量组线性相关 ,B 的行向量组线性相关
(D) A 的行向量组线性相关 ,B 的列向量组线性相关
(B) f (x) 在 ( ,0) 内单调减少
(C)对任意的 x (0, ) 有 f (x) f (0)
(D)对任意的 x ( ,0) 有 f (x) f (0)
(9)设 an 为正项级数,下列结论中正确的是 n1
(A)若
lim
n
na n
=0,则级数
n1
an
收敛
(B)若存在非零常数
,使得
2004 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷
一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)
(1)曲线 y ln x 上与直线 x y 1垂直的切线方程为__________ .
(2)已知 f (ex ) x ex ,且 f (1) 0 ,则 f (x) =__________ .
x cos t 2dt,
x2
tan
0
0
tdt, 0 x sin t 3dt ,使排在后面的
是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是
(A), ,
(B), ,
(C) ,,
(D) , ,
(8)设函数 f (x) 连续,且 f (0) 0, 则存在 0 ,使得
(A) f (x) 在(0, ) 内单调增加
1
e
x
dx
= ex
1
1. e
【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。 完全类似例题见《数学一临考演习》P35 第 5 题.
二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把
所选项前的字母填在题后的括号内）
【详解】 令 x et ，则 dy dy dt et dy 1 dy ，
dx dt dx
dt x dt
d2y dx 2
1 x2
dy dt
1 x
d2y dt 2
dt dx
1 x2
[
d2 dt
y
2
dy ] ， dt
代入原方程，整理得
d2y dt 2
3
dy dt
2y
0
，
解此方程，得通解为
y
c1e t
(3)设 L 为正向圆周 x2 y 2 2 在第一象限中的部分,则曲线积分 L xdy 2 ydx 的值
为__________.
(4)欧拉方程
x2
d2y dx 2
4x
dy dx
2y
0( x
0) 的通解为__________
.
2 1 0
(5)设矩阵 A 1 2 0 ,矩阵 B 满足 ABA* 2BA* E ,其中 A* 为 A 的伴随矩阵, E
x x2
，可见
是比 低阶的无穷小量，故应选(B).
【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将 , , 分别与 x n 进行比较，再确定相互的高低次序.
y 0 1 (x 1) ， 即 y x 1 .
【评注】 本题也可先设切点为 (x0 , ln x0 ) ，曲线 y=lnx 过此切点的导数为 y