南京市2020届高三数学二轮专题复习资料专题5：不等式问题

专题5：不等式问题问题归类篇类型一: 解不等式一、前测回顾1． 解下列不等式：(1)－3x 2＋4x ＋4＞0 (2)－2＋xx ＋1≤2 (3) 4x －3·2x ＋12－8≤0 （4）ax 2－ax ＋1＜0答案：(1)(－23，2)；(2) (－∞，－4]∪(－1，＋∞)； (3)(－∞，52]；(4) 当0≤a ≤4时，解集为∅；当a ＞4时，a －a 2－4a 2a ＜x ＜a ＋a 2－4a 2a ；当a ＜0时，x ＞a －a 2－4a 2a 或x ＜a ＋a 2－4a2a ．二、方法联想一元二次不等式从四个方面考虑：(1)二次项系数为0和正负情况；(2)二次方程根是否存在情况(优先用十字相乘法求根)；(3)二次方程根的大小情况； (4)二次不等式的不等号方向． 分式不等式(1) f (x )g (x )＞0等价于f (x )g (x )＞0； f (x )g (x )＜0等价于f (x )g (x )＜0．(2) f (x )g (x )≥0等价于⎩⎨⎧f (x )g (x )≥0，g (x )≠0； f (x )g (x )≤0等价于⎩⎨⎧f (x )g (x )≤0，g (x )≠0．三、归类巩固*1、设0απ≤≤,不等式28(8sin )cos 20x x αα-+≥对x R ∈恒成立,则α的取值范围为____________.(一元二次不等式恒成立)答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,656,0Y **2、已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．答案：36(判别式法)类型二:不等式恒成立一、前测回顾1．若对任意x ∈R ，都有(m －2)x 2－2(m －2)x －4＜0恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 2． 若对任意x ＞0，都有mx 2－2x －1＜0恒成立，则实数m 的取值范围是 ．3． 若对任意－1≤m ≤1，都有mx 2－2x ＋1－m ＜0恒成立，则实数x 的取值范围是 ． 答案：(1)(－2，2]；(2)(－∞，0]；(3)(3－1，2)．二、方法联想恒成立问题(1)二次不等式恒成立问题方法1 结合二次函数图象分析． 方法2 分离变量法 (2)一次不等式恒成立问题①若关于x 的不等式ax ＋b ≥0对任意x ∈ [m ，n ]上恒成立，则⎩⎨⎧f (m )≥0，f (n )≥0；②若关于x 的不等式ax ＋b ≤0 对任意x ∈[m ，n ]上恒成立，则⎩⎨⎧f (m )≤0，f (n )≤0．三、归类巩固*1、已知当x ∈(0，+∞)时，不等式9x -m ·3x +m +1>0恒成立，求实数m 的取值范围.答案：m <2+2 2.（数形结合解决恒成立）**2、若对任意x R ∈，不等式23324xax x -≥-恒成立，则实数a 的范围是 ． 答案：11a -≤≤（分离参数求范围）** 3、已知函数()2ln x f x a x x a =+-，对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式()()121f x f x a -≤-恒成立，则a 的取值范围是___________答案：[),e +∞（函数性质研究恒成立）**4、若存在正数x 使1)(2<-a x x成立,则a 的取值范围是 .答案：1->a (注意存在性问题与恒成立问题的关联)**5、已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________；答案 2(考查不等式恒成立).**6、当[]1,2-∈x 时，不等式03423≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是________；答案 [-6,-2] (考查不等式恒成立).**7、已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________；答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞(考查不等式恒成立).类型三:基本不等式一、前测回顾1、函数y ＝1－4x ＋15－4x (x ＞54)的最大值为 ．2、已知x ＞0，y ＞0 ，且1x ＋9y ＝2，则x ＋y 的最小值为 ．答案：(1)－6；(2)8．二、方法联想利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．三个不等式关系：(1)a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．三、归类巩固*1、设a >0，b >0，a +b =5，则a +1+b +3的最大值为 .解答：3 2**2、若不等式x 2＋2xy ≤a (x 2＋y 2)对于一切正数x ，y 恒成立，则实数a 的最小值为________．(结构特征,消元)答案：215+**3.若正实数y x ,满足xy y x =++62，则xy 的最小值是 ；(考查基本不等式)答案 )0,(-∞**4．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，若f (x )恒为正值，则k 的取值范围是________；(考查不等式恒成立).答案 (－∞，－1＋22)***5．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为________；(考查函数性质应用,基本不等式).答案 4类型四: f (x )＝x ＋ax 型函数 一、前测回顾求下列函数的值域：(1)y ＝ x 2＋5x 2＋4； (2)f (x )＝x ＋ax ，x ∈[1，2]答案：(1)52；(2)当a ≤1时，值域为[1＋a ，2＋a 2]，当1＜a ＜2时，值域为[2a ，2＋a2]，当2≤a ≤4．值域为[2a ，1＋a ]，当a ＞4时，值域为[2＋a2，1＋a ]．二、方法联想对于f (x )＝x ＋ax，当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数；当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)为增函数；在(－a ，0)，(0，a )为减函数．注意 在解答题中利用函数f (x )＝x ＋ax的单调性时，需要利用导数进行证明．三、归类巩固*1、若函数222)(-+=x x ax f 的值域为[)+∞,0,则实数a 的取值范围是 . 答案：(]1,∞- (问题转化)**2、设k >0，若关于x 的不等式kx +4x -1≥5在(1，+∞)上恒成立，则k 的最小值为 . 答案：1类型五: f (x )＝ax 2＋bx ＋c dx ＋e (或f (x )＝dx ＋eax 2＋bx ＋c )型一、前测回顾求下列函数的值域：(1)y ＝ x 2－2x ＋22x －1(x ＞12) (2)y ＝ x －1x 2－x ＋2(x ≤－1)答案：(1)[5－12，＋∞)；(2)[－12，0)． 二、方法联想令dx ＋e ＝t 进行换元(即将二次部分用一次部分表示)，转化为f (x )＝x ＋ax型函数问题．三、归类巩固*1、已知x ≥52，求f (x )＝x 2－4x ＋52x －4最小值．答案：14**2、若不等式)(322b a b b a +≥+λ对任意R b a ∈,恒成立,则实数λ的最大值为 .(结构特征,消元) 答案：2类型六: 线性规划一、前测回顾．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，则(1) z ＝x ＋2y 的最小值为 ；(2)z ＝2x －y 的最大值为 ；(3) z ＝x 2＋2x ＋y 2的最大值为 ；(4) z ＝yx ＋4的最大值为 ．答案：(1)3；(2)8；(3)39；(4)2225．二、方法联想利用线性规划区域求最值将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值．三、归类巩固**1.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为________；(考查线性规划).答案 1**2、已知函数c ax x f +=2)(,且5)2(2,3)1(1≤≤≤≤f f ,则)3(f 的取值范围是 .(看成线性规划问题或同向不等式相加) 答案： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡335,31 **3、三次函数()()32,,f x x bx cx d b c d R =+++∈在区间[]1,2-上是减函数，那么b c +的取值范围是（线性规划与二次函数、导数等知识结合） 答案： 15,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦***4、已知,αβ是三次函数()()32112,32f x x ax bx a b R =++∈的两个极值点，且()()0,1,1,2αβ∈∈，则21b a --的取值范围是 （线性规划与根的分布结合） 答案： 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭***5、已知三个正实数,,a b c 满足2,2b a c b a b c a <+≤<+≤，则ab的取值范围是______ （三个变量向两个变量转化的线性规划问题） 答案：23,32⎛⎫⎪⎝⎭综合应用篇一、例题分析例1 设函数f (x )＝x 2＋ax ＋3．(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；(2)当x ∈[－2，2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；(3)设不等式f (x )≥a 对于满足1≤a ≤3的一切a 的取值都成立，求x 的取值范围． 解：(1)－6≤a ≤2． (2) －7≤a ≤2．思路1：(利用二次函数的图象)注：此方法可改进，由f (2)≥a ，f (－2)≥a 得－7≤a ≤73．对称轴x ＝－a 2∈[－76，72]，可少讨论一种情况．思路2：(求函数的最值)注：此方法可改进，由f (2)≥a ，f (－2)≥a 得－7≤a ≤73，再进行分类讨论．思路3：(变量分离后，再求函数的最值) (3) x ≤－3或x ≥0． 【教学建议】1．本题涉及到不等式恒成立问题，通常思路有3种，①f (x )≥0，∀x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥0转化为求函数f (x )的最小值(求最值时，可能要对参数进行讨论)； ②选进行变量分离，再求函数的最值；即f (x )≥a ，∀x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ． ③利用函数的图象和几何意义； 2．本题是二次不等式恒成立问题，第一问是二次不等式对任意实数恒成立，可由图象法及判别式处理． 第二问是二次不等式对x ∈[－2，2]恒成立，所以图象法，求最值，或变量分量后求最值均可，以方法二较优．例2 设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，求m ＋n 的取值范围． 解 m ＋n ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)．思路1：(基本不等式)思路2：(消元转化为求函数的值域) 思路3：(利用图形的几何意义)【教学建议】1．本题是求二元函数的值域问题．这类问题主要有3种解题思路： ①直接利用基本不等式，这种方法往往只能求最大值或最小值；②消元转化为一元函数，再求最值；③将两个变量看成一个有序实数对，当作平面内一个动点，从图形的几何意义方面，考虑求目标函数的值域．2．本题3种方法均可，方法一只适用于本题，方法二是一般方法，本题中方法三难度较大，对思维的要求很高，但比较直观，在小题中使用较好．例3 在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 中点，且BD ＝3，求△ABC 的面积的最大值． 解：S 取最大值2． 思路1：（代数方法）建立目标函数，求最值．思路2：（几何方法）【教学建议】1．本题是实际问题中的最值问题．这类问题通常有2种思路： ①根据图形的几何意义，确定取得最值的情形，再进行计算； ②建立目标函数，转化为求函数的最值．2．本题采用思路2，通过建立目标函数，再求函数的最值，再表示面积时，有两种方法，一是通过两边及夹角求面积，一是通过底边与高求面积，因而有方法一与方法二．3．方法一有纯代数的方法，转化为求双二次函数的最值，运算量较大；方法二结合图形的几何性质，由于BD 已知，因而要使面积最大，只需A 到BD 的距离最大，由于点A 要求满足AB ＝2AD ，因而它的轨迹是一个圆，问题就转化为求轨迹上的点到直线BD 距离的最大值问题，所以法二采用了建系求轨迹的方法，运算量小，比方法一简单，但思维的要求更高．二、反馈巩固**1． (2016江苏)已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 ．(考查线性规划).答案 4[,13]5**2．设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,048,022y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为8，则b a +的最小值为 ．(考查线性规划).答案 4*3．函数)1(11072->+++=x x x x y 的最小值是 ．(考查基本不等式).答案 9 **4.若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．(考查基本不等式).答案233**5.（2016上海）设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________(考查基本不等式).答案2+∞（，）***6.已知632,,,=++∈c b a R c b a ，则22294c b a ++的最小值为 ．(考查基本不等式).答案 12**7．如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为_________________(考查函数的单调性, 线性规划).答案 18***8.若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x ≥0 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________． (考查不等式恒成立问题，不等式与函数的关系). 答案：12；**9．已知函数f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥+.0,1)21(,0),11(log 2x x x x 若f (3－2a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围为________；(考查函数性质应用).答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞)**10．已知f (x )是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m ，使得f (m －sinx )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m －74＋cos 2x 对定义域内的一切实数x 均成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．(考查函数性质应用,基本不等式).解 假设实数m 存在，依题意， 可得⎩⎪⎨⎪⎧m －sin x ≤4，m －sin x ≥1＋2m －74＋cos 2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧m －4≤sin x ，m －1＋2m ＋12≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122.因为sin x 的最小值为－1，且－(sin x －12)2的最大值为0，要满足题意，必须有⎩⎪⎨⎪⎧m －4≤－1，m －1＋2m ＋12≥0，解得m ＝－12或32≤m ≤3.所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12.**11．某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？(考查函数性质应用,基本不等式).解 (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为：y ＝f (x )＝800x ＋x (x －1)2×20＋9 000 ＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)；(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：g (x )＝f (x )2 000x ×10 000＝5(10x 2＋790x ＋9 000)x＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋900x ＋79≥50×(2900＋79)＝6 950(元)． 当且仅当x ＝900x，即x ＝30时等号成立．[来源:学。