规律总结(随机事件的概率)
10-1 随机事件的概率汇总
(4)事件 B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订 甲和乙两种报纸”，事件 C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订” “只订甲报纸” “只订乙报纸” ，由于这两个事件可能同时发生，故 B 与 C 不是互斥 事件．(10 分) (5)由(4)的分析， 事件 E“一种报纸也不订”是事件 C 的一种可能， 故事件 C 与事件 E 有可能同时发生，故 C 与 E 不是互斥事件．(12 分)
25
题型3 · 互斥事件与对立事件的概率
解析： 一次射击不够8环的概率：1－0.2－0.3－0.1＝0.4.
题型分类 ·典例研析
题型1 · 互斥与对立事件的判断
例1某城市的电信运营商有甲、乙两种电子报纸供居民们订阅，记事件A为 “只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”， 事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不 是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E. ． 思路点拨：分析各个事件中的子事件，然后看各个事件是否有交集，确定 是否互斥，若互斥再分析它们的并集，确定是否对立．
A∩B(或 AB)
A∩B＝∅ A∩B＝∅且 P(A∪B)＝P(A) ＋P(B)＝1
பைடு நூலகம்
对立事件
4. 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： 0≤P(A)≤1 1 0 ． ． P(A)＋P(B) ． ． (2)必然事件的概率 P(E)＝ (3)不可能事件的概率 P(F)＝ (4)互斥事件概率的加法公式 ①若事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝ ②若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A)＝ 1－P(B) ．
随机事件及其概率(知识点总结)
随机事件及其概率一、随机事件1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件.4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.5、试验为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验.【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象.（3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件.二、基本事件空间1、基本事件在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件.2、基本事件空间所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件.【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏.三、频率与概率1、频数与频率在相同条件S下进行了n次试验，观察某一事件A是否出现，则称在n次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；事件A 出现的比例()A n n f A n =为事件A 出现的频率.2、概率对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数n 的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，则把这个常数称为事件A 的概率，简称为A 的概率，记作()P A .3、频率与概率的关系（1）频率虽然在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，但频率并不是一个完全确定的数. 随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小，但人们从大量的重复试验中发现：随着试验次数的无限增加，事件发生的频率会稳定在某一固定的值上，即在无限次重复试验下，频率具有某种稳定性.（2）概率是一个常数，它是频率的科学抽象. 当试验次数无限多时，所得到的频率就会近似地等于概率. 另外，概率大，并不表示事件一定会发生，只能说明事件发生的可能性大，但在一次试验中却不一定会发生.四、事件的关系与运算1、包含关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，则我们称 事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ），记作B A ⊇（或A B ⊆）.2、相等关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，并且如果事件B 发生时，事件A 一定发生，即若B A ⊇且A B ⊇，则我们称事件A 与事件=.B相等，记作A B3、并事件如果某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则我们称该事件为事件A与事件⋃（或A B+）.B的并事件（或和事件），记作A B4、交事件如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B也发生，则我们称该事件为事件A 与事件B的交事件（或积事件），记作A B⋂（或A B⋅）.5、互斥事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），则我们称事⋂为不可能事件（即A B件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生.6、对立事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），而事件A与⋂为不可能事件（即A B事件B的并事件A B⋃=Ω），则我们称事件A与事件B互⋃为必然事件（即A B为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.【注】事件的关系与运算可以类比集合的关系与运算. 例如，事件A包含事件B 类比集合A包含集合B；事件A与事件B相等类比集合A与集合B相等；事件A 与事件B的并事件类比集合A与集合B的并集；事件A与事件B的交事件类比集合A与集合B的交集……五、互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件是今后考察的重点，因此关于互斥事件与对立事件，我们很有必要再作进一步的说明.1、互斥事件与对立事件的关系互斥事件与对立事件都反映的是两个事件之间的关系. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除了要求这两个事件不同时发生以外，还要求这两个事件必须有一个发生. 因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件. 例如，掷一枚骰子，事件：“出现的点数是1”与事件：“出现的点数是偶数”是互斥事件，但不是对立事件；而事件：“出现的点数是奇数”与事件：“出现的点数是偶数”既是互斥事件，也是对立事件.2、互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+；（2）有限多个互斥事件的概率之和一般地，如果事件1A ，2A ，…，n A 两两互斥，那么事件“12n A A A ⋃⋃⋃发生”（指事件1A ，2A ，…，n A 中至少有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++.【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.3、对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件A 与B 而言，由于在一次试验中，事件A 与事件B 不会同时发生，因此事件A 与事件B 互斥，并且A B ⋃=Ω，即事件A 或事件B 必有一个发生，所以对立事件A 与B 的并事件A B ⋃发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，且和为1，即()()()()1P P A B P A P B Ω=⋃=+=，或()1()P A P B =-.【注】上述这个公式为我们求事件A 的概率()P A 提供了一种方法，当我们直接求()P B，再运用公式P A有困难时，可以转化为先求其对立事件B的概率()P A.=-即可求出所要求的事件A的概率()()1()P A P B4、求复杂事件的概率的方法求复杂事件的概率通常有两种方法：一种是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，然后再运用互斥事件的概率加法公式进行求解；另一种是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件的概率加法公式进行求解. 如果采用方法一，一定要准确地将所求事件拆分成若干个两两互斥的事件，不能有重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准所求事件的对立事件，并准确求出对立事件的概率.六、概率的基本性质1、任何事件的概率都在01之间，即对于任一事件A，都有0()1≤≤.P A2、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.3、若事件A与事件B互斥，则()()()⋃=+.P A B P A P B4、两个对立事件的概率之和为1，即若事件A与事件B对立，则()()1+=.P A P B。
高二数学概率知识点总结
高二数学概率知识点总结
一、随机事件的概率
1. 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
2. 必然事件：在一定条件下必然发生的事件。
3. 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
4. 概率的定义：对于一个随机事件A，它发生的概率P(A)满足0 ≤ P(A) ≤ 1。
如果P(A)=1，则事件A 为必然事件；如果P(A)=0，则事件A 为不可能事件。
二、古典概型
1. 古典概型的特征：
-试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
-每个基本事件出现的可能性相等。
2. 古典概型的概率计算公式：P(A)=事件A 包含的基本事件数÷总的基本事件数。
三、几何概型
1. 几何概型的特征：
-试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个。
-每个基本事件出现的可能性相等。
2. 几何概型的概率计算公式：P(A)=构成事件A 的区域长度（面积或体积）
÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。
四、互斥事件和对立事件
1. 互斥事件：如果事件A 和事件B 不能同时发生，那么称事件A 和事件B 为互斥事件。
-互斥事件的概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)（A、B 互斥）。
2. 对立事件：如果事件A 和事件B 必有一个发生，且仅有一个发生，那么称事件A 和事件 B 为对立事件。
-对立事件的概率计算公式：P(A)=1 - P(A 的对立事件)。
随机事件的概率与计算知识点总结
随机事件的概率与计算知识点总结概率是数学中一个重要的分支，用于描述事件发生的可能性。
在我们日常生活中，随机事件无处不在，了解概率与计算知识点能够帮助我们更好地理解和分析各种事件的发生概率。
本文将对随机事件的概率与计算知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
1. 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值，在0到1之间取值，0表示不可能发生，1表示必然发生。
对于一个随机事件E，其概率记作P(E)。
2. 事件的排列与组合在考虑多种事件同时发生的情况下，我们需要了解事件的排列与组合。
排列是指考虑事件中元素的顺序，而组合则只考虑元素的选择与不考虑顺序。
在计算排列与组合中，我们可以使用阶乘、组合数学公式等方法来求解。
3. 加法法则加法法则用于计算多个事件中至少有一个事件发生的概率。
如果事件A和事件B是互斥事件（即两者不能同时发生），则它们的概率可通过简单相加得到：P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 乘法法则乘法法则用于计算多个事件同时发生的概率。
如果事件A和事件B是相互独立事件（即一个事件的发生不影响另一个事件的发生），则它们的概率可通过简单相乘得到：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
5. 条件概率在一些情况下，事件的发生可能会受到其他事件的影响。
条件概率用于描述在给定其他事件发生的前提下，某个事件发生的概率。
条件概率可通过P(A|B) = P(A∩B) / P(B)来计算，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
6. 贝叶斯定理贝叶斯定理是描述事件的后验概率与先验概率之间关系的数学公式。
它以事件的条件概率为基础，并利用贝叶斯公式来进行计算，即P(A|B) = (P(B|A) × P(A)) / P(B)，其中P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
7. 随机变量与概率分布随机变量是概率论中一个重要的概念，它可以用于描述随机事件的结果。
随机事件及其概率(知识点总结)
随机事件及其概率一、随机事件1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件.4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.5、试验为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验.【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象.（3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件.二、基本事件空间1、基本事件在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件.2、基本事件空间所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件.【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏.三、频率与概率1、频数与频率在相同条件S 下进行了n 次试验，观察某一事件A 是否出现，则称在n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；事件A 出现的比例()A n n f A n=为事件A 出现的频率.对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数n 的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，则把这个常数称为事件A 的概率，简称为A 的概率，记作()P A .3、频率与概率的关系（1）频率虽然在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，但频率并不是一个完全确定的数. 随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小，但人们从大量的重复试验中发现：随着试验次数的无限增加，事件发生的频率会稳定在某一固定的值上，即在无限次重复试验下，频率具有某种稳定性.（2）概率是一个常数，它是频率的科学抽象. 当试验次数无限多时，所得到的频率就会近似地等于概率. 另外，概率大，并不表示事件一定会发生，只能说明事件发生的可能性大，但在一次试验中却不一定会发生.四、事件的关系与运算1、包含关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，则我们称 事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ），记作B A ⊇（或A B ⊆）.2、相等关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，并且如果事件B 发生时，事件A 一定发生，即若B A ⊇且A B ⊇，则我们称事件A 与事件B 相等，记作A B =.3、并事件如果某事件发生当且仅当事件A 或事件B 发生，则我们称该事件为事件A 与事件 B 的并事件（或和事件），记作A B ⋃（或A B +）.如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B也发生，则我们称该事件为事件A 与事件B的交事件（或积事件），记作A B⋂（或A B⋅）.5、互斥事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），则我们称事⋂为不可能事件（即A B件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生.6、对立事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），而事件A与⋂为不可能事件（即A B事件B的并事件A B⋃=Ω），则我们称事件A与事件B互⋃为必然事件（即A B为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.【注】事件的关系与运算可以类比集合的关系与运算. 例如，事件A包含事件B 类比集合A包含集合B；事件A与事件B相等类比集合A与集合B相等；事件A 与事件B的并事件类比集合A与集合B的并集；事件A与事件B的交事件类比集合A与集合B的交集……五、互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件是今后考察的重点，因此关于互斥事件与对立事件，我们很有必要再作进一步的说明.1、互斥事件与对立事件的关系互斥事件与对立事件都反映的是两个事件之间的关系. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除了要求这两个事件不同时发生以外，还要求这两个事件必须有一个发生. 因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件. 例如，掷一枚骰子，事件：“出现的点数是1”与事件：“出现的点数是偶数”是互斥事件，但不是对立事件；而事件：“出现的点数是奇数”与事件：“出现的点数是偶数”既是互斥事件，也是对立事件.2、互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+；（2）有限多个互斥事件的概率之和一般地，如果事件1A ，2A ，…，n A 两两互斥，那么事件“12n A A A ⋃⋃⋃发生”（指事件1A ，2A ，…，n A 中至少有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++.【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.3、对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件A 与B 而言，由于在一次试验中，事件A 与事件B 不会同时发生，因此事件A 与事件B 互斥，并且A B ⋃=Ω，即事件A 或事件B 必有一个发生，所以对立事件A 与B 的并事件A B ⋃发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，且和为1，即()()()()1P P A B P A P B Ω=⋃=+=，或()1()P A P B =-.【注】上述这个公式为我们求事件A 的概率()P A 提供了一种方法，当我们直接求()P A 有困难时，可以转化为先求其对立事件B 的概率()P B ，再运用公式()1()P A P B =-即可求出所要求的事件A 的概率()P A .4、求复杂事件的概率的方法求复杂事件的概率通常有两种方法：一种是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，然后再运用互斥事件的概率加法公式进行求解；另一种是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件的概率加法公式进行求解. 如果采用方法一，一定要准确地将所求事件拆分成若干个两两互斥的事件，不能有重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准所求事件的对立事件，并准确求出对立事件的概率.六、概率的基本性质1、任何事件的概率都在01之间，即对于任一事件A，都有0()1≤≤.P A2、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.3、若事件A与事件B互斥，则()()()⋃=+.P A B P A P B4、两个对立事件的概率之和为1，即若事件A与事件B对立，则()()1+=.P A P B。
概率论公式总结
概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)(AB A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-反演律：BA B A =⋃BA AB ⋃=n i ini iA A11===ni ini iA A11===2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒ 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j inj i j ini ini i A A A P A A AP A AP AP A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率 ()=A B P)()(A P AB P 乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()()()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==ni i ik k B AP B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布 分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p nk p pC k X P kn kk n,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理 0lim >=∞→λn n np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk n n λλ(3) Poisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ6．连续型随机变量 (1) 均匀分布),(b a U ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f xλλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t ex F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t ex xtd 21)(22π7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()( ⎰+∞∞-=dv v x f x f X),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yYdudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y),()(8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布，U( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x Ay x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的 条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X XYX0)()()(>=y f y x f y f YYX Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dyy f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxx f x y f dx y x f y f X XYY )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X XY =)(x y f XY)(),(x f y x f X =)()()(x f y f y x f X Y Y X =10.随机变量的数字特征 数学期望∑+∞==1)(k kkp xX E⎰+∞∞-=dxx xf X E )()(随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 )(kX E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|kX EX 的 k 阶中心矩 )))(((kX E X E - X 的 方差 )()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 )(lkY X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ()lkY E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) = E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -=协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。
概率论公式总结
率。分布函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
1. 0 F(x) 1, x ；2。 F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有
F(x1) F (x2) ； 3 。 F() lim F(x) 0 ， F() lim F(x) 1 ； 4 。
x
x
F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；5. P(X x) F(x) F(x 0) 。对于离散型
自由度为 n2 的 F 分布，记为 F～f(n1, n2).
F1
(n1 , n2 )
F
1 (n2 , n1 )
第四章 随机变量的数字特征
（1） 期望 一维 随 机 期望就是平均值 变量 的数 字特 征
函数的期望
离散型
连续型
设 X 是离散型随机变量，其分布 设 X 是连续型随机变
律 为 P( X xk ) ＝ pk ，
乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
乘法公式
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
W
服从自由度为
n
的
2
分布记为
i 1
W～ 2 (n)
2 分布
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布 中的一个重要参数。
2 分 布 满 足 可 加 性 ： 设 Yi 2 (ni ), 则
随机事件与概率的计算知识点总结
随机事件与概率的计算知识点总结随机事件与概率是数学中的重要概念，在许多实际应用中得到广泛的运用。
下面将对随机事件与概率的计算知识点进行总结。
一、随机事件的基本概念随机事件指的是在一定条件下，结果具有不确定性的事件。
随机事件可以用集合论中的概念进行描述，即事件是样本空间中的一个子集。
二、事件的概率计算事件的概率是指某个事件发生的可能性大小。
概率的计算可以通过频率和几何概率方法进行。
1. 频率法频率指的是在重复实验中，某一事件发生的次数与总实验次数之比。
频率法计算概率的基本步骤是：进行大量实验，记录事件发生的次数，然后计算事件发生的频率。
2. 几何概率法几何概率是指事件发生的可能性与样本空间中所有可能事件的比值。
几何概率计算的基本原理是：事件发生的可能性与事件所占的样本空间的面积成正比。
三、常用概率计算公式在概率计算中，有一些常用的公式可以帮助我们计算事件的概率。
1. 事件的互斥与对立事件互斥事件指的是两个事件不能同时发生，对立事件则指的是两个事件中一个事件发生时，另一个事件一定不发生。
对于互斥事件，可以使用加法法则计算概率；对于对立事件，可以使用减法法则计算概率。
2. 事件的独立性与条件概率事件的独立性指的是两个事件的发生与否互不影响，可以独立计算概率。
条件概率指的是在另一个事件已经发生的条件下，某一事件发生的概率。
四、排列与组合的计算在随机事件与概率的计算中，常常需要用到排列与组合的计算方法。
1. 排列排列是指从若干个元素中取出一部分并按照一定的顺序排列的方式。
排列的计算可以使用阶乘的方法进行。
2. 组合组合是指从若干个元素中取出一部分并不考虑顺序的方式。
组合的计算可以使用组合数的方法进行。
五、事件的加法与乘法规则在复杂事件的计算中，我们需要使用事件的加法与乘法规则。
1. 加法规则加法规则指的是对于两个不互斥事件的概率，可以通过将两个事件的概率相加来计算它们的并集概率。
2. 乘法规则乘法规则指的是对于两个独立事件的概率，可以通过将两个事件的概率相乘来计算它们的交集概率。
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•规律总结
1.客观世界中的事件分为随机事件、不可能事件、必然事件三类.
2．随机事件的统计规律表现在:随机事件的频率即此事件发生的次数与试验总次数的比值具有稳定性.即总是在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.这个常数叫做这个随机事件的概率.概率可以看作频率在理论上的期望值,是概率的一种统计定义.
3.由概率的统计定义可以得到:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,而任意事件A 的概率是在[0,1]内的一个数.虽然必然事件、不可能事件和随机事件是三类不同的事件,但在一定情况下又可以统一起来,这正反映了事物间既对立又统一的辩证关系.。