2018北京数学试题理

2018北京理一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1． 已知集合A ＝{x | |x |＜2}，B ＝{–2，0，1，2}，则A ∩B ＝A ． {0，1}B ． {–1，0，1}C ． {–2，0，1，2}D ． {–1，0，1，2}【解析】因|x |＜2，故－2＜x ＜2，因此A ∩B ＝{–2，0，1，2}∩(－2，2)＝{0，1}，选A ．2．在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于 A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限【解析】11－i＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，对应的点为(12，－12)，故选D ． 3． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．12B ．56C ．76D ．712 【解析】初始化数值k ＝1，S ＝1，循环结果执行如下：第一次：S ＝1＋(－1)1•12＝12，k ＝2≥3不成立；第二次：S ＝12＋(－1)2•13＝56，k ＝3≥3成立，循环结束，输出S ＝56，故选B ． 4． “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A ．32fB ．322fC ．1225fD ．1227f【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f ．由等比数列的定义知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{a n }．则第八个单音频率为a 8＝f ·(122)8－1＝1227f ．5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【解析】在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P －ABCD ，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，是△P AD ，△PCD ，△P AB ．6．设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件【解析】|a －3b |＝|3a ＋b |⇔|a －3b |2＝|3a ＋b |2⇔a 2－6a •b ＋9b 2＝9a 2＋6a •b ＋b 2，因a ，b 均为单位向量，故a •b ＝0，即a ⊥b ，即“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．选C ．7．在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【解析】因cos 2θ＋sin 2θ＝1，故 P 为单位圆上一点，而直线x －my －2＝0过点A (2，0)，故d 的最大值为OA ＋1＝2＋1＝3，选C ．8．设集合A ＝{(x ，y )| x －y ≥1，ax ＋y ＞4，x －ay ≤2}，则A ．对任意实数a ，(2，1)∈AB ．对任意实数a ，(2，1)∉AC ．当且仅当a ＜0时，(2，1)∉AD ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A 【解析】若(2，1)∈A ，则a ＞32且a ≥0，即若(2，1)∈A ，则a ＞32，此命题的逆否命题为：若a ≤32，则有(2，1)∉A ，故选D ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为__________．【解析】设等差数列的公差为d ，因a 1＝3，且a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝36，故d ＝6，故a n ＝3＋(n －1)·6＝6n －3．10．在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a ＞0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝__________．【解析】因ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρcos θ＋ρsin θ＝a (a ＞0)得，x ＋y ＝a (a ＞0)，由ρ＝2cos θ得，ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，因直线与圆相切，故|1－a |/2＝1，故a ＝1±2，因a ＞0，故a ＝1＋2．11．设函数f (x )＝cos(ωx －π6)(ω＞0)．若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________． 【解析】由于对任意的实数都有f (x )≤f (π4)成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f (π4)＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，故ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω＞0，故ωmin ＝23． 12．若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是__________．【解析】作可行域，如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x ，得交点坐标为(1，2)，则直线z ＝2y －x 过点A (1，2)时，取最小值3．13．能说明“若f (x )＞f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，则f (x )在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【解析】令，则f (x )＞f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，但f (x )在[0，2]上不是增函数．又如，令f (x )＝sin x ，则f (0)＝0，f (x )＞f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，但f (x )在[0，2]上不是增函数．14．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________．【解析】设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，故b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，因b 2＝a 2－c 2，故(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，则4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，e 4－8e 2＋4＝0，故e 2＝4＋23(舍)，e 2＝4－23．由0＜e ＜1，得e ＝3－1．三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17． (Ⅰ)求∠A ； (Ⅱ)求AC 边上的高．【解析】(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437．由正弦定理得sin A ＝a sin B b＝32．由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2．所以∠A ＝π3． (2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332． 16．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为AA 1，AC ，A 1C 1，BB 1的中点，AB ＝BC ＝5，AC ＝AA 1＝2．(1)求证：AC ⊥平面BEF ；(2)求二面角B －CD －C 1的余弦值；(3)证明：直线FG 与平面BCD 相交．【解析】(1)证明 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，因CC 1⊥平面ABC ，故四边形A 1ACC 1为矩形．又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点，故AC ⊥EF ．因AB ＝BC ，故AC ⊥BE ．又EF ∩BE ＝E ，故AC ⊥平面BEF ．(2)解 由(1)知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1，又CC 1⊥平面ABC ，故EF ⊥平面ABC ，因BE ⊂平面ABC ，故EF ⊥BE ．如图建立空间直角坐标系E －xyz ，由题意得B (0，2，0)，C (－1，0，0)，D (1，0，1)，F (0，0，2)，G (0，2，1)．故BC →＝(－1，－2，0)，BD →＝(1，－2，1)．设平面BCD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2y 0＝0，x 0－2y 0＋z 0＝0.令y 0＝－1，则x 0＝2，z 0＝－4．于是n ＝(2，－1，－4)．又平面CC 1D 的法向量为EB →＝(0，2，0)，故cos 〈n ，EB →〉＝n ·EB →|n ||EB →|＝－2121．由题知二面角B －CD －C 1为钝角，故其余弦值为－2121． (3)证明 由(2)知平面BCD 的法向量为n ＝(2，－1，－4)，FG →＝(0，2，－1)．因n ·FG →＝2×0＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝2≠0，故直线FG 与平面BCD 相交．17．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数140 50 300 200 800 510 好评率 0．4 0．2 0．15 0．25 0．2 0．1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk ＝1”表示第k 类电影得到人们喜欢，“ξk ＝0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k ＝1，2，3，4，5，6)．写出方差D (ξ1)，D (ξ2)，D (ξ3)，D (ξ4)，D (ξ5)，D (ξ6)的大小关系．【解】(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0．25＝50．故所求概率为502 000＝0．025． (2)设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．故所求概率为P (AB －＋A －B )＝P (AB －)＋P (A －B )＝P (A )(1－P (B ))＋(1－P (A ))P (B )．由题意知：P (A )估计为0．25，P (B )估计为0．2．故所求概率估计为0．25×0．8＋0．75×0．2＝0．35．(3)由题意可知，定义随机变量如下：ξk ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，第k 类电影没有得到人们喜欢，1，第k 类电影得到人们喜欢，则ξk 显然服从两点分布，故D (ξ1)＝0．4×(1－0．4)＝0．24，D (ξ2)＝0．2×(1－0．2)＝0．16，D (ξ3)＝0．15×(1－0．15)＝0．127 5，D (ξ4)＝0．25×(1－0．25)＝0．187 5，D (ξ5)＝0．2×(1－0．2)＝0．16，D (ξ6)＝0．1×(1－0．1)＝0．09．综上所述，D (ξ1)＞D (ξ4)＞D (ξ2)＝D (ξ5)＞D (ξ3)＞D (ξ6)．18．设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ．(Ⅰ)若曲线y ＝ f (x )在点(1，f (1))处的切线与轴平行，求a ；(Ⅱ)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)因f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，故f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3］e x (x ∈R )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ．f ′(1)＝(1－a )e ．由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1．此时f (1)＝3e ≠0．故a 的值为1．(Ⅱ)由(Ⅰ)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x ．若a ＞12，则当x ∈(1a，2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0．故f (x )＜0在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2＜0，ax –1≤12x －1＜0，故f ′(x )＞0．故2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是(12，＋∞)． 19．已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2)．过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值． 【解析】(1)因抛物线y 2＝2px 过点(1，2)，故2p ＝4，即p ＝2．故抛物线C 的方程为y 2＝4x ．由题意知，直线l 的斜率存在且不为0．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0．依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1＞0，解得k ＜1，又k ≠0，故k ＜0或0＜k ＜1．又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1)．(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2．直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)．令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2．同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2．由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N ．故1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2．故1λ＋1μ＝2为定值． 20．设n 为正整数，集合A ＝{α|α＝(t 1，t 2，…，t n )，t n ∈{0，1}，k ＝1，2，…，n }．对于集合A中的任意元素α＝(x 1，x 2，…，x n )和β＝(y 1，y 2，…，y n )，记M (α，β)＝12[(x 1＋y 1－| x 1－y 1|)＋(x 2＋y 2－| x 2－y 2|)＋…＋(x n ＋y n －| x n －y n |)]．(Ⅰ)当n ＝3时，若α＝(1，1，0)，β＝(0，1，1)，求M (α，α)和M (α，β)的值；(Ⅱ)当n ＝4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，M (α，β)是奇数；当α，β不同时，M (α，β)是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；(Ⅲ)给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，M (α，β)＝0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【解析】(Ⅰ)因α＝(1，1，0)，β＝(0，1，1)，故M (α，α)＝12[(1＋1－|1－1|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＋0－|0－0|)]＝2，M (α，β)＝12[(1＋0－|1－0|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＋1－|0－1|)]＝1． (Ⅱ)设α＝(x 1，x 2，x 3，x 4)∈B ，则M (α，α)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4．由题意知x 1，x 2，x 3，x 4∈{0，1}，且M (α，α)为奇数，故x 1，x 2，x 3，x 4中1的个数为1或3．故B ⊆{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．将上述集合中的元素分成如下四组：(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M (α，β)＝1．故每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．故集合B 中元素的个数不超过4．又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件，故集合B 中元素个数的最大值为4．(Ⅲ)设S k ＝(x 1，x 2，…，x n )|(x 1，x 2，…，x n )∈A ，x k ＝1，x 1＝x 2＝…＝x k –1＝0)(k ＝1，2，…，n )，S n ＋1＝{(x 1，x 2，…，x n )| x 1＝x 2＝…＝x n ＝0}，则A ＝S 1∪S 1∪…∪S n ＋1．对于S k (k ＝1，2，…，n －1)中的不同元素α，β，经验证，M (α，β)≥1．故S k (k ＝1，2 ，…，n －1)中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．故B 中元素的个数不超过n ＋1．取e k ＝(x 1，x 2，…，x n )∈S k 且x k ＋1＝…＝x n ＝0(k ＝1，2，…，n －1)．令B ＝(e 1，e 2，…，e n –1)∪S n ∪S n ＋1，则集合B 的元素个数为n ＋1，且满足条件．故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．。