连续信源的信息熵
连续信源高斯分布微分熵
连续信源高斯分布微分熵介绍连续信源高斯分布微分熵是信息论中的一个重要概念，用于描述连续信源的不确定性。
本文将深入探讨连续信源、高斯分布以及微分熵的概念和性质。
连续信源连续信源是指信源输出的符号集是连续的。
与离散信源不同，连续信源的输出可以是无限个可能值中的任意一个。
连续信源常用于描述实际世界中的连续变量，如温度、压力等。
高斯分布高斯分布，也被称为正态分布，是一种在统计学中常用的概率分布。
它的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x)=1√2πσ2−(x−μ)22σ2其中，x是随机变量的取值，μ是均值，σ是标准差。
高斯分布的图像呈钟形曲线，均值处为峰值，随着离均值的距离增加，概率密度逐渐减小。
微分熵微分熵是对连续信源的不确定性进行度量的指标。
它可以用概率密度函数的负对数积分来计算，表示为：H(X)=−∫f+∞−∞(x)log2(f(x))dx其中，f(x)是连续信源的概率密度函数。
微分熵的单位是比特，表示信源输出的平均信息量。
微分熵的性质微分熵具有以下性质：1. 非负性微分熵始终大于等于零，即H(X)≥0。
当且仅当连续信源的概率密度函数为高斯分布时，微分熵达到最大值。
2. 不变性微分熵对信源的均匀线性变换具有不变性。
即对于连续信源X和线性变换Y=aX+b，有H(Y)=H(X)，其中a和b是常数。
3. 可加性对于相互独立的连续信源X和Y，它们的联合微分熵等于它们各自微分熵的和，即H(X,Y)=H(X)+H(Y)。
4. 连锁规则对于连续信源X、Y和Z，有H(X,Y,Z)=H(X)+H(Y|X)+H(Z|X,Y)。
连锁规则可以推广到更多的连续信源。
应用场景连续信源高斯分布微分熵在许多领域都有重要的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 通信系统设计在通信系统中，了解信源的不确定性非常重要。
通过计算连续信源的微分熵，可以为系统设计提供指导，例如确定合适的编码方式和信道容量。
2. 数据压缩微分熵可以用于数据压缩算法中的信息量度量。
信源及信源熵介绍
2.2.1 自信息量
2. 不确定度 定义：随机事件的不确定度在数量上等于它的 自信息量．
说明:
a. 两者的单位相同，但含义却不相同。 b. 具有某种概率分布的随机事件不管发生与否，都存在
不确定度，不确定度表征了该事件的特性，而自信息 量是在该事件发生后给予观察者的信息量。
15
2.2.1 自信息量
22
2) 因为X中各符号xi的不确定度I（xi）为非负值，p（xi）也 是非负值，且0 p（xi）1，故信源的平均不确定度H（X） 也是非负量。
3) 平均不确定度H（X）的定义公式与热力学中熵的表示形 式相同，所以又把H（X）称为信源X的熵。熵是在平均意 义上来表征信源的总体特性的，可以表征信源的平均不确 定度。
2
p(xi ) log 2 p(xi ) i 1
= 0.72比特/次 说明：
1) 自信息量I（x1）和I（x2）只是表征信源中各个 符号的不确定度，一个信源总是包含着多个符 号消息，各个符号消息又按概率空间的先验概 率分布，因而各个符号的自信息量就不同。所 以自信息量不能作为信源总体的信息量。
=3 × 105 × 3.32 比特/画面
25
有一篇千字文章，假定每字可从万字表中任选， 则共有不同的千字文 N=100001000=104000 篇 仍按等概率1/100001000计算，平均每篇千字文 可提供的信息量为 H（X）＝log2N ＝4 × 103 × 3．32
1．3 × 104 比特／千字文
离散消息的信源，如文字、数字、数据等符号都是
离散消息。
{ 离散信源
离散无记忆信源 离散有记忆信源
{ {
5
发出单个符号的无记忆信源 发出符号序列的无记忆信源 发出符号序列的有记忆信源 发出符号序列的马尔可夫信源
2.6连续信源的熵
2.6连续信源的熵所谓连续信源就是指其输出在时间上和取值上都是连续的信源。
见图2.6.1。
各采样值的概率可用其概率分布密度函数来确定。
图2.6.2表示一个连续信源输出的幅度和其概率分布密度的关系。
设各种采样值之间无相关性，信源熵可写成：])(log[)(dx x p dx x p i ii ∑[例2.6.1]一连续信源，其输出信号的概率分布密度如图2.6.3所示，试计算其熵。
连续信源的熵不再具有非负性，这与离散信源显然不同。
同样可以定义两个连续变量的联合熵：⎰⎰-=dxdy xy lbp xy p XY H )()()(以及定义两个连续变量的条件熵；⎰⎰-=dxdy y x lbp xy p Y X H )/()()/( ⎰⎰-=dxdy x y lbp xy p X Y H )/()()/(连续信源的共熵、条件熵、单独熵之间也存在如下关系：)()()(Y H X H XY H +≤2.6.1三种特定连续信源的最大熵与离散信源不同，求连续信源的最大熵需要附加条件，常见的有三种。
1．输出幅度范围受限（或瞬时功率受限）的信源2．输出平均功率受限的信源 3．输出幅度平均值受限的信源 (1)限峰值功率的最大熵定理若代表信源的N 维随机变量的取值被限制在一定的范围之内，则在有限的定义域内，均匀分布的连续信源具有最大熵。
设N 维随机变量∏=∈Ni iib a X 1),( iia b>其均匀分布的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∉-∈-=∏∏∏===Ni i i Ni i i Ni i i a b x a b x a b x p 111)(0)()(1)(除均匀分布以外的其他任意概率密度函数记为)(x q ，并用[]X x p H c),(和[]X x q H c),(分别表示均匀分布和任意非均匀分布连续信源的熵。
在1)()(11112121==⎰⎰⎰⎰N b a b a N b a b a dx dx dxx q dx dx dxx p N NN N的条件下有[]⎰⎰-=1112)(log)(),(b a Nb ac dx dx x q x q X x q H NN⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙=111111121212)()(log)()(log)()()()(1log )(b a Nb a b a N b a b a Nb a dx dx x q x p x q dx dx x p x q dx dx x p x p x q x q NNNNN N令0,)()(≥=z x q x p z显然运用著名不等式1ln -≤z z 0>z 则]),([11)(log1)()()()(1log)(]),([1211121111X x p H a bdx dx x q x p x q dx dx a bx q X x q H c Ni i ib a Nb a b a N Ni i ib ac N N NN=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--≤∏⎰⎰⎰∏⎰==则证明了，在定义域有限的条件下，以均匀分布的熵为最大。
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
6.1 单符号连续信源的熵与微分熵
1、单符号连续信源
定义
信源发出的消息为单一符号，这些符号随机取值于 一个连续域
表示
连续型随机变量X
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
X x [a , b] dP(X x ) p( X x ) p( x ) dX
随机变量X的取值x为信源发出的消息
定义
对应于单符号连续信源和单符号连续信宿的信道
表示
信源——连续型随机变量X 信宿——连续型随机变量Y
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
X x [a , b] dP(X x ) p( X x ) p( x ) dX 随机变量X的取值x为信源发出的消息
Y y [c, d] 通常[c, d] [a , b] dP(Y y) p( Y y) p( y) dY 随机变量Y的取值y为信宿收到的消息
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息 与信道容量
教学内容和要求
理解单符号连续信源及其模型，理解其熵，掌握 其微分熵 理解单符号连续信道及其模型，掌握其平均互信 息，理解其信道容量 掌握高斯信道的信道容量，香农公式
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
微分熵不能作为信息度量，平均互信息——微分熵 差，具有信息度量的意义 信宿每收到一条消息所含信源一条消息的平均信息
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
I(X; Y) h(X) h(X / Y)
以信宿为参考，利用信宿的微分熵和信道的噪声 微分熵来度量信道中传输的平均信息 以信源为参考，利用信源的微分熵和信道的损失 微分熵来度量信道中传输的平均信息
2.4 连续信源的熵
+∞ +∞
−∞ −∞
p( x ) log p( x )dx − lim log ∆ ；
∆ →0
(2) 连续信源的相对熵定义为 连续信源的相对熵 相对熵定义为
H相 ( X ) = −∫
+∞ −∞
p( x ) log p( x )dx
记为
H(X ).
即连续信源的相对熵简称为连续信源的熵。 即连续信源的相对熵简称为连续信源的熵。 连续信源的熵 8
16
第 二 章 基 本 信 息 论
§2.4 连续信源的熵
三、连续信源的最大熵
2. 瞬时功率 或幅值)受限 瞬时功率(或幅值 受限 或幅值 约束条件 − V ≤ x ≤ V ,
∫
V
−V
p( x )dx = 1 .
结论 若信源输出的幅值限定在区域 [ −V ,V ] 内，则当输出 信号的概率密度是均匀分布时，信源具有最大熵。 信号的概率密度是均匀分布时，信源具有最大熵。 H max ( X ) = ln 2V ( na t )
∂F ∂ϕ 1 令 = −[1 + ln p( x )] + λ 1 = 0 , + λ1 ∂p ∂p
⇒ ln p( x ) = λ 1 − 1 ,
⇒ p( x ) = e λ 1−1 ,
代入
∫
V
−V
p( x )dx = 1 得
λ 1−1
∫
V
−V
e λ 1−1dx = e λ 1−1 2V = 1 ,
= log 2V (bi t ) .
1. 连续信源的离散化(逼近) 连续信源的离散化(逼近)
~ 离散化(或者说量化)为离散信源 或者说量化 连续信源 X 被离散化 或者说量化 为离散信源 X ：
信息熵的计算
根据Charles H. Bennett对Maxwell's Demon的解释，对信息的销毁是一个不可逆过程所以销毁信息是符合热力学第二定律的。
而产生信息，则是为系统引入负（热力学）熵的过程。
所以信息熵的符号与热力学熵应该是相反的。
一般而言，当一种信息出现概率更高的时候，表明它被传播得更广泛，或者说，被引用的程度更高。
我们可以认为，从信息传播的角度来看，信息熵可以表示信息的价值。
这样我们就有一个衡量信息价值高低的标准，可以做出关于知识流通问题的更多推论。
信源的平均不定度。
在信息论中信源输出是随机量，因而其不定度可以用概率分布来度量。
记H(X)＝H(P1，P2，…，Pn)＝P(xi)logP(xi)，这里P(xi)，i＝1，2，…，n为信源取第i个符号的概率。
P(xi)=1，H(X)称为信源的信息熵。
熵的概念来源于热力学。
在热力学中熵的定义是系统可能状态数的对数值，称为热熵。
它是用来表达分子状态杂乱程度的一个物理量。
热力学指出，对任何已知孤立的物理系统的演化，热熵只能增加，不能减少。
然而这里的信息熵则相反，它只能减少，不能增加。
所以热熵和信息熵互为负量。
且已证明，任何系统要获得信息必须要增加热熵来补偿，即两者在数量上是有联系的。
可以从数学上加以证明，只要H(X)满足下列三个条件：①连续性：H(P，1－P)是P的连续函数(0≤P≤1)；②对称性：H(P1，…，Pn)与P1，…，Pn的排列次序无关；③可加性：若Pn＝Q1+Q2＞0，且Q1，Q2≥0，则有H(P1，…，Pn-1，Q1，Q2)＝H(P1，…，Pn-1)+PnH；则一定有下列唯一表达形式：H(P1，…，Pn)＝-CP(xi)logP(xi)其中C为正整数，一般取C＝1，它是信息熵的最基本表达式。
信息熵的单位与公式中对数的底有关。
最常用的是以2为底，单位为比特(bit)；在理论推导中常采用以e为底，单位为奈特(Nat)；还可以采用其他的底和单位，并可进行互换。
信息论第3章信源及信息熵
举例
数学描述
离散信源 （数字信源）
连续信号
文字、数据、 离散化图象
离散随机变量 序列
跳远比赛的结果、语音 连续随机变量
信号抽样以后
序列
波形信源 （模拟信源）
语音、音乐、热噪声、 图形、图象
不常见
随机过程
表3.1 信源的分类
3.1 信源的分类及其数学模型
我们还可以根据各维随机变量的概率分布是否随时间的推移 而变化将信源分为平稳信源和非平稳信源，根据随机变量间 是否统计独立将信源分为有记忆信源和无记忆信源。
定义3.2 随机变量序列中，对前N个随机变量的联合熵求平
均：
HN
(X)
1 N
H ( X1X 2
XN)
称为平均符号熵。如果当N
时上式极限存在，则
lim
N
H
N
(X)
称为熵率，或称为极限熵，记为
def
H
lim
N
H
N
(
X
)
3.3.1 离散平稳无记忆信源
离散平稳无记忆信源输出的符号序列是平稳随机序列，并且
H(X ) H(X1X2 XN ) H ( X1) H ( X2 | X1) H ( X3 | X1X 2 ) H ( X N | X1X 2 X N1)
定理3.1 对于离散平稳信源，有以下几个结论：
（1）条件熵 H (X N | X1X 2 X N1) 随N的增加是递减的；
（2）N给定时平均符号熵大于等于条件熵，即
s1
si p(s j
| si )
s q
m
状态空间由所有状态及状态间的状态转移概率组成。通过引
入状态转移概率，可以将对马尔可夫信源的研究转化为对马 尔可夫链的研究。
连续信源的最大熵与最大熵条件解析
青岛农业大学本科生课程论文论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件学生专业班级信息与计算科学 0902学生姓名（学号）指导教师吴慧完成时间 2012-6-25 2012 年 6 月 25 日课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件论文内容（需明确列出研究的问题）：1简述连续信源的基本概要。
2 定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源。
3推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。
资料、数据、技术水平等方面的要求：1概率论的均匀分布、高斯分布的相关知识。
2以及在这两种分布下的连续信源和高斯信源。
3在不同的约束条件下，求连续信源差熵的最大值一种是信源的输出值受限，另一种是信源的输出平均功率受限。
4 詹森不等式以及数学分析的定积分和反常积分、不定积分等数学公式。
发出任务书日期 2012-6-6 完成论文日期 2012-6-25 教研室意见（签字）院长意见（签字）连续信源的最大熵与最大熵条件信息与计算科学指导老师吴慧摘要：本文简述了连续信源的基本概要并定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源，推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。
关键词：连续信源最大熵均匀分布高斯分布功率受限The maximum entropy and maximum entropy conditionof consecutive letter of the sourceInformation and Computing Sciences Bian jiangTutor WuhuiAbstract：: On the base of continuous source this eassy describes the basic outline and define differential entropy formula, introduced a uniform distribution and Gaussian distribution of the two special source, derivation of a continuous source of maximum entropy and maximum entropy conditions.Keyword: Continuous source Maximum entropy Uniform distributionNormal distribution Power is limited引言：科学技术的发展使人类跨入了高度发展的信息化时代。
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在取极限的过程中由于n→∞ 相当于 →0，此时这个离散变 量越来越逼近一个连续变量；而离散集合中的信息熵Hn(X)就分解 为两项，其中一项与划分精度无关，趋于一个常量——Hc(X)。 而另一项，随着 →0最终趋于一个无穷大的量。很显然这与取极 限之前的离散熵差别很大，那么这种极限形式能否表达出信源平 均不定度的概念吗？
常我们有一些处理连续变量的方法。
Stochastic
Random
Random
x H( p)
X pr( ot c, ess) discTriemtiezation veu X u cr to r MMaemrkoorvyilaenvs asriabX le Adimscprelittiuzdaetion
l o g x 1 x Rx Ry
p(x y)
Rx Ry
p(y x)
w here, x0
p( x) p( y
Rx Ry
x) 1
p( p( y
y
) x)
dxdy
Q p(x) p(x) p(y)
P(x y) p(xy)
p(xy)
p(y)
p(x)
p(x) p( y x)dxdy p(x) p( y)dxdy
随机过程的熵
最多保持不变。所以简化处理就 得付出代价即：容忍信息的丢失， 除非正交变换和极限处理。
H1 H ( X ) H0 log n
序列熵的表达类型
第三章. 连续信源的信息熵
§3. 2 连续变量的相对熵
( The differential entropy of Continuous random Variable)
§3. 2 连续变量的相对熵
先定义连续变量的条件熵：Hc(X Y )
Q p( x)dx 1;
Rx
q( y)dy 1;
Ry
p( x y)dx 1;
Rx
then : H n ( X Y ) q( y j ) p( x y j ) log p( x y j )
j
i
q( y j ) p( x y j ) log p( x y j ) log
因此任何复杂的统计对象，经多种处理后就可由
浅入深地逐步解决问题。正如我们在离散信源中：
uur
Q
ai
消息
X
随机
X X (t,)
随机 uur
随机
事件
变量
序列 H ( X )
过程
uur
HL (X )
I (ai ) H ( X )
自信息
信息熵
任何处理过程总要丢失信息，
H H m1
M
H X (t,)
一个连续变量总可以采用数字量化的方式简化成一个离散变量
来近似，而且量化单位越小则所得的离散变量就越接近那个连续变 量。因此我们针对连续变量的概率统计规律——概率分布密度函数
( probability density function)也可采用上述近似方法。
x
def x
Q F (x) f (t)dt P(x) p(t)dt
def
H c(X ) H ()
(relative entropy)
def b
H c ( X ) p( x ) log p( x)dx
称为相对熵
a
Differential entropy
def
H ( ) lim (log ) 0
n
称为绝对熵 absolute entropy
§3. 2 连续变量的相对熵
§3. 2 连续变量的相对熵
因为对于一个连续变量, 它的取值有无穷多个, 无论它取任何 值，其随机事件所对应的不定度一定是无穷大量。而对熵来说， 应是这个随机事件集合的平均值, 既然每一个事件的自信息都是 无穷大, 则它的集合平均值也应是无穷大才对。又因为从绝对的 观点来看, 每一个连续信源的平均不定度都是无穷大，那么这个 熵的价值也就无意义了。但是再仔细分析一下, 上式中只有H() 项才与划分精度有关, 这说明只有此项能反映人为地利用离散模 式向连续型逼近的近似程度。换句话说, 这仅是强加上的人为因 素，并不代表事物原有的客观属性。比如, 对于同样概率分布的 随机变量x，如果仅划分精度不同时, 可取1 ，2代表两种划分 精度，则我们所得到的熵的表达式：
Q I(X;Y)Hc(X)Hc(XY)Hc(Y)Hc(Y X)
and
Hc(XY)Hc(X) Hc(Y X)Hc(Y);
I(X;Y)0
and I(X;Y)Hc(X)Hc(Y)Hc(XY) Then: Hc(XY)Hc(X)Hc(Y)I(X;Y)
def
Hc(X) p(x)logp(x)dx
R
where, R is the domain of x. 为什么说相对熵反映连续变量的客观存在的平均不定度？首 先一个随机变量，当它的概率分布一旦确定，则它的不定性就该 给定，而不能随划分精度的变化而变化。第二，由于信息量的概 念是不定度的解除量，如果在相同划分精度下，再讨论两者之差 时,H()将会消失。所以我们可看到仅从Hc(X)上就可真正反映出 信息的全部属性 (包括非负性) 。因此，我们只要相对熵的定义就 足够了。同时我们也能给出两个连续变量的互信息问题：
正交变换 Orthogonal Transformation
x ( )
Amplitude
continuous
H c(X )
所谓正交变换是一种数学处理手段，将在T时间内的 受限于最高频率为F的随机过程，无失真地变换成2FT个 随机变量。最理想的正交变换是： K—L expansion。
§3. 1 连续信源的离散化
p(x) f (x)
于第i个区间的概率就等于：
def
pi Pn ( xi ) P [a (i 1)] x (a i )
a i
a(i1) p( x )dx p( xi )
where : b a ; n
i 1, 2,L n
xi a (i 1), a i
a0
Δ
xi
bxቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Then : 按积分中值定理上式一定成立。
Hn1(X) p(x)logp(x)dxH(1) R
Hn2(X) p(x)logp(x)dxH(2) R
§3. 2 连续变量的相对熵
可见只有H()不同，因此我们说：能真正反映连续信源的客 观属性的应该是第一项，而不是第二项。对于后者我们称之为— —绝对熵(absolute entropy) ；而对于前者我们称之为——相对熵 (differential entropy) 。
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第三章：连续信源的信息熵
§3. Entropy of Continuous Source
§3.1 连续信源的离散化 §3.2 随机变量的相对熵 §3.3 相对熵的性质 §3.4 常见几种概率密度下的相对熵 §3.5 连续信源的最大熵定理 §3.6 平稳高斯随机过程的信息熵与互信息 §3.7 熵功率与功率不等式
( The Properties of Differential Entropy)
1°. 可H 加c(性X Y ) H c(X ) H c(YX ) H c(Y ) H c(X Y )
a n d H c(YX ) H c(Y ); H c(X Y ) H c(X )
proof : let p(xy)p(x)p(y x)p(y)p(x y)
而连续信源是指信源所发出的消息都是由一个个随机
过程( stochastic process)所形成。如：语音信号 X (t, )
它不仅幅度上，而且在时间上也都是 连续的，即分别属 于一个无限的集合之中。
§3. 1 连续信源的离散化
因此，我们所研究的问题就复杂了，然而任何复杂
的问题都可以分解成比较简单的问题分步解决。故通
j
i
lim
n
H
n
(
X
Y)
q( y)p( x y) log p( x y)dxdy lim log n
0
Rx Ry
0
def
Hc(X Y ) H ()
th e n : I(X ;Y ) H (X ) H (X Y )
l i m 0 H n (X ) l i m 0 H n (X Y ) H c (X ) H c (X Y )
第三章. 连续信源的信息熵
§3. 1 连续信源的离散化 ( Discretization of Continuous Source)
我们前面所介绍的信源均指离散信源，即信源所发 的消息都是由符号或符号序列所组成； 而且每一个符号
的取x 值A 都 属p a 1 1 于, ,a p 2 2 一, , K K 个, ,a p 有n n 限 元素f i n 组i t e 成s y 的m 集b o l 合o 之r 中s e 。q u e n c e
then Hc(XY) p(xy)logp(xy)dxdy
Rx Ry
p(x)p(y x)log[p(x)p(y x)]dxdy
Rx Ry
p(y
‖
x)dy
p(x)logp(x)dx
p(x)p(y
x)logp(y
x)dxdy
Ry
1
Rx
Rx Ry
Hc(X)Hc(Y X)