新课标高考总复习数学选修坐标系
高中数学人教新课标A版选修4-4第一章坐标系1.1.6柱坐标系与球坐标系课件2
3.坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐标系可以实现几何
问题与代数问题的相互转化.但不同的坐标系有不同的特点，
在实际应用时，要根据问题的特点选择适当的坐标系，使
研究过程方便、简捷.
提高训练
设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，
70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球
故点 M 的柱坐标为
π
1, ,5
2
2
.
[A
基础达标]
5π
4， ，3
1．点 P 的柱坐标是
4
，则其直角坐标为(
)
A ． 2 2，2 2，3
B ． －2 2，2 2，3
C ． －2 2，－2 2，3
D ． 2 2，－2 2，3
5π
5π
解析：选 C．x＝ρcos θ＝4cos
＝－2 2，y＝ρsin θ＝4sin
π
6
.故点 M 的球坐标为 2 2, ,
6
7π
4
.
B基础训练达标
4．已知点
则|P1P2|＝(
π 5π
π
P1 的球坐标为4， 2， 3 ，P2 的柱坐标为2， 6，1，
)
A． 21
B． 29
C． 30
D．4 2
解析：选 A．设点 P1 的直角坐标为(x1，y1，z1)，
数学选修4-4：坐标系与参数方程
第一章 坐标系
1.1.6 柱坐标系与球坐标系
学习目标
思维脉络
1.了解在柱坐标系、
球坐标系中刻画空间 柱坐标系与球坐标系
高中数学 选修4-4 1.坐标系
1.坐标系
教学目标班级______姓名_________
1.了解常见的坐标系.
2.了解坐标法，并能运用解决相关问题.
教学过程
一、知识要点.
1.坐标系：坐标系是联系几何与代数的桥梁；是数形结合的有力工具；利用坐标系可以使数与形相互转化.
2.常用坐标系：①数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系；②极坐标系（重点）、柱坐标系、球坐标系.
3.坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的坐标法.
二、例题分析.
1.运用坐标法解决实际问题.
例1：某信息中心O接到位于正西、正北、正东方向三个观测点A、B、C的报告：A、B 两个观测点同时听到一声巨响，C观测点听到巨响声的时间比它们晚4s. 已知各观测点到信息中心的距离都是1020m. 试确定巨响发生的位置.（假设声音传播速度为340m/s，各观测点均在同一平面上）
练1：已知ABC ∆的三边a ，b ，c 满足2225a c b =+，BE ，CF 分别是边AC ，AB 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.
作业：1.两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹.
2.已知点A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，已知4||=BC ，点A 到直线l 的距离为3，求ABC ∆外心的轨迹方程.。
高中数学选修4-4坐标系
1 3 1 2
得
x
1 3
x
y
1 2
y
2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换
x y3x yFra bibliotek后，曲线C变为 x2 9y2 9，求曲线C的方程并画出
图形。
2.解：将xy3yx代入x2 9y2 9
得9x29y2 9即x2 y2 1
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
(4)定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设方程 再确定其中的基本量．
3．在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上还要注 意：
(1)选择适当的坐标系，坐标系如果选择恰当，可使解 题过程简化，减少计算量．
(2)要注意给出曲线图形的范围，要在限定范围的 基础上求曲线方程．如果只求出曲线的方程，而 没有根据题目要求确定出x、y的取值范围，最后 的结论是不完备的．
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为 p x, y
x x
y
3
y
2
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸 长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。
一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系
思考:
思考:
思考:
探究
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
2023版高考数学一轮总复习选修4：坐标系与参数方程课件文
过点(a,0),与极轴垂直的
直线.
图形
极坐标方程
(1)θ=α(ρ∈R)或
θ=π+α(ρ∈R),
(2)θ=α和θ=π+α.
ρcosθ =a
.
ρsinθ=a(0<θ<π)
.
考点2
参数方程
1. 参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,将参数方程化为普
通方程需消去参数.
形如ρcosθ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换)
根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,
得C1,C2的直角坐标方程分别为 3x-y-2=0,x2-y2=2.
考向1
极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化
(2)将 3x-y-2=0和x2-y2=2联立,消去y,
得x2-2 3x+3=0,解得x= 3,∴y=1,
(1)将曲线C1,C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设P是曲线C1,C2的公共点,求点P的极坐标以及|PA|-|PB|的值.
考向1
解析
极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化
1
3
(1)曲线C1,C2的极坐标方程可化为 ρsinθ- ρcosθ=-1和
2
2
(ρcosθ)2-(ρsinθ)2=2,(极坐标方程化为直角坐标方程时构造
考点1
坐标系
2. 极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一 定点 O,叫作极点,自
极点O引一条 射线 Ox,叫作极轴;再选定一个长度单位,一
个角度单位(通常取弧度)及其正方向 (通常取逆时针方向),
这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标:如图所示,设M是平面内一点,极点O与点M的 距离|OM| 叫作点M
高考数学冲刺讲义选修4-4坐标系与参数方程(选考)
(1 t ) (1 t ) 4,
2 2
因此t1 1, t2 1
t 1
2
x1 0 分别代入直线方程，得 y1 2 交点为A(0，2)和B(2，0)。
x2 2 y2 0
选修4-4
六.圆锥曲线的参数方程
x x0 lt ,t R y y0 mt
例10:直线过点A(1，3)，且与向量(2，-4)共线: (1)求出直线的参数方程；(2)练习:求点P(-2，-1) 到此直线的距离。
x 1 2t y 3 4t
解:(1)
(2)解第二问的方法很多，最简单的方法就是把直线才 参数方程转换为直线的一般方程，然后利用点到直线 的距离公式求解。 答案: 2 2
又因为(t以s为单位)，得参数方程
x 2 cos 60 t ,t 0 y 2 sin t 60
O
A 2 x
曲线的直角坐标方程常常可以转化为参数方程，转化的 关键是找到一个适当的参数。
曲线的普通方程和参数方程之间有些容易转化，有些则 较困难，有些无法转化。
由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系。这是极 坐标与直角坐标的 0 ，此时极坐标 ( , ) 对应的点M 的位置下面规则确定:点M在与极轴成 角的射线的反向 延长线上， 它到极点O的距离为 ，即规定当 0 时，点
M ( , ) 就是点M ( , ) 。
选修4-4
坐标系 与 参数方程
选修4-4
一.坐标系 在生产实践中，随着活动范围的扩大和对精度要 求的提高，为了更快，更准确的表述物体的位置， 我们通常要建立新的坐标系，叫做极坐标。
2021届新课标数学一轮复习讲义_选修4-4_第1讲_坐标系
第1讲 坐标系1．坐标系(1)坐标变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0）y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yx（x ≠0）. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a ； (3)直线过M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin_θ＝b ．4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ； (3)当圆心位于M (a ，π2)，半径为a ：ρ＝2a sin_θ．考点一__平面直角坐标系中的伸缩变换__________求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)为所求． [规律方法] 平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．1.在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，与x －2y ＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .因此，经过变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y后，直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4. 考点二__极坐标与直角坐标的互化______________在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求a 的值．[解] 由ρ＝4sin θ，可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由ρsin θ＝a ，可得y ＝a . 设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形， 如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a .在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴⎝⎛⎭⎫33a 2＋a 2－4a ＝0，即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.[规律方法] 极坐标与直角坐标互化的注意点：(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．2.在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.(ρ≥0，0≤θ<2π) (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求． 考点三__曲线极坐标方程的应用______________在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．[解] (1)圆C 的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3.设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（sin θ2＋3cos θ2）＝33，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝3，θ2＝π3.由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝2，所以线段PQ 的长为2.[规律方法] 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．3.在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3、⎝⎛⎭⎫4，π6，求△AOB (其中O 为极点)的面积．解：由题意知A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3、⎝⎛⎭⎫4，π6， 则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ·OB ·sin ∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3.1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12xy ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝3y ′，∴4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1.∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．求经过极点O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎫6，π2，B ⎝⎛⎭⎫62，9π4三点的圆的极坐标方程． 解：将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3，3)，半径为32， 圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0， 即ρ＝62cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，求直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ.解：参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t 化为普通方程为y ＝x ＋1.由ρsin 2θ－4cos θ＝0，得ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0，其对应的直角坐标方程为y 2－4x ＝0，即y 2＝4x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝4x 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故直线和抛物线的交点坐标为(1，2)，故交点的极径为12＋22＝ 5.4．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标； (2)点B 经过φ变换得到点B ′⎝⎛⎭⎫－3，12，求点B 的坐标； (3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得到的直线l ′的方程．解：(1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2， 于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)即为所求．(2)设B (x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′.由于点B ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，12，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1， ∴B (－1，1)即为所求．(3)由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入直线l ：y ＝6x ，得到经过伸缩变换后的方程y ′＝x ′，因此直线l ′的方程为y ＝x . 5．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.6．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．证明：建立如图所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为ρ＝p1－cos θ(p >0)．PQ 是抛物线的弦，若点P 的极角为θ， 则点Q 的极角为π＋θ， 因此有|FP |＝p1－cos θ，|FQ |＝p 1－cos （π＋θ）＝p1＋cos θ.所以1|FP |＋1|FQ |＝1－cos θp ＋1＋cos θp ＝2p(常数)．原命题得证．1．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为 C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2，得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．2．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1， 从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)． θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)由(1)得点M 的直角坐标为(2，0)，点N 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．4．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，且曲线C 1上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π4与曲线C 2交于点D (2，π4)．(1)求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；(2)若A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)是曲线C 1上的两点，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)将M (2，3)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，得⎩⎨⎧2＝a cosπ33＝b sinπ3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2， ∴曲线C 1的普通方程为x 216＋y 24＝1，设圆C 2的半径为R ，则圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ，将点D (2，π4)代入得2＝2R ·22，解得R ＝1，∴圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)代入得ρ21cos 2 θ16＋ρ21sin 2 θ4＝1，ρ22sin 2 θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，∴1ρ21＋1ρ22＝⎝⎛⎭⎫cos 2θ16＋sin 2θ4＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ16＋cos 2θ4＝516.。
高三数学专题复习--极坐标与参数方程
五、考点练习：
1
在极坐标系中，已知
A2，π6
，B2，－π6
，求
A，B
两点
间的距离．
2.将参数方程xy＝＝1－＋24＋co4ssitn，t(t 为参数，0≤t≤π )化为普通方程，并
说明方程表示的曲线．
3
将方程x＝
t＋1， (t 为参数)化为普通方程．
y＝1－2 t
2、高考出现的题型：
（1）、求曲线的极坐标方程、参数方程； （2）、极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化； （3）、解决与极坐标方程、参数方程研究有关的距离、 最值、交点等问题。
三、（1）
x y
= =
x0 y0
+ t cos + t sin
a a
， (t
为参数
)
类似地 过原点倾斜角为a的直线l的参数方程为：
解：（1）曲线C化为直角坐标方程为
x1 2 +(y
2
3) =1
，
它表示圆心为C（1， 3 ），半径r=1的圆。
∵ d = co 1（+
3） 2 = 2 ＞1，
∴点O在圆的外部，
当动点与O、C三点在同一直线上时，动点到原点O的距离最小。
d ∴
= d r =2-1=1,
m in
即圆心C上动点到原点O的距离最小值为1。
链接高考2014
以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系
中取相同单位的长度. 已知直线L的方程为
，
曲线C的参数方程为
，点M是曲线C上的一动点.
（Ⅰ)求线段OM的中点P的轨迹方程；
(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线L的距离的最小值.
高考选修坐标系知识点
高考选修坐标系知识点：坐标系知识点解析随着高考改革的推进，选修课程成为了高考中的重要一环。
其中，数学选修课程在高考中的占比逐渐增加，坐标系作为数学选修课程中的一个重要知识点，备受考生关注。
本文将从坐标系的概念、性质以及在几何、代数中的应用等方面，对坐标系知识点进行深入解析。
一、坐标系的概念与性质坐标系是数学中用来确定点在平面或空间中位置的一种方法。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和三维坐标系。
其中，直角坐标系是最常用的坐标系，它由x轴和y轴组成，以原点为起点，形成一个平面。
坐标系中的每一个点都可以由一组有序数对表示，如(x, y)。
在直角坐标系中，x轴和y轴分别构成了横纵坐标轴，而点(x, y)则表示这个点在x轴上的坐标是x，在y轴上的坐标是y。
通过坐标系，我们可以准确地描述和研究点在数学中的位置、距离以及相对关系等性质。
二、坐标系在几何中的应用在几何学中，坐标系广泛应用于直线、曲线、多边形、圆等图形的研究。
通过坐标系，我们可以将图形中的点用数学的方式来描述和研究。
以直线为例，我们可以通过两点确定一条直线。
在坐标系中，给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以通过计算斜率来确定直线的方程式。
斜率可以表示直线的陡峭程度，计算方法为：斜率=（y2-y1）/（x2-x1）。
通过斜率和一个已知点，我们可以唯一地确定一条直线的方程。
对于曲线来说，我们可以通过坐标系将曲线的形状和函数关系相联系。
曲线上的每一个点都可以用函数来表示，而函数则可以转换成坐标方程。
通过坐标系和函数的分析，我们可以研究和描述曲线上点的运动、变化等特性。
三、坐标系在代数中的应用在代数学中，坐标系也具有重要的意义。
通过坐标系，我们可以将代数中的符号和代数式与几何中的图形联系起来，进而推导出一些代数性质。
例如，在坐标系中，我们可以将代数中的一次方程转化为对应的图形。
一次方程的一般形式为：Ax + By + C = 0，在坐标系中，其图形为一条直线。
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抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究
悟真题 透析解 题策略
提素能 高效题 组训练
2014 ·新课标高考总复习 ·数学（B ·理）
第一节 坐标系
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悟真题 透析解 题策略
提素能
一、平面上的伸缩变换
高效题
组训练
设点P(x，y)是平面上某曲线的任意一点，在变换φ：
X＝ax，a>0 Y＝byb>0
的作用下，点P(x，y)变为新点Q(X，Y)，称φ为平面上
伸缩变换的坐标表达式．
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二、极坐标系
研考向 要点知 识探究
数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角．
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研考向
要点知
识探究
2．极坐标与直角坐标的关系
悟真题
透析解
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种
题策略
提素能 坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标
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研考向 要点知 识探究
悟真题
透析解 题策略
4．(课本习题改编)极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直
提素能 角坐标方程为________．
高效题
组训练
解析：由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ，
∴x2＋y2－2x－y＝0.
答案：x2＋y2－2x－y＝0
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研考向
要点知
识探究
5．曲线ρ＝4sin θ与ρ＝2的交点坐标是________．
悟真题
透析解 题策略
解析：由已知 4sin θ＝2，sin θ＝12，
提素能
高效题 组训练
x′＝3x， 2y′＝y.
(1)求点 A13，－2经过 φ 变换所得的点 A′的坐标；
(2)点 B 经过 φ 变换得到点 B′－3，12，求点 B 的坐标；
(3)求直线 l：y＝6x 经过 φ 变换后所得到的直线 l′的方程；
(4)求双曲线 C：x2－6y42 ＝1 经过 φ 变换后所得曲线 C′的焦点坐标．
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研考向 要点知 识探究
悟真题 透析解 题策略
提素能 高效题 组训练
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研考向 要点知
1 ． (2013 年 佛 山 模 拟 ) 设 平 面 上 的 伸 缩 变 换 的 坐 标 表 达 式 为
A．钝角三角形
B．直角三角形
提素能
C．锐角三角形
D．等边三角形
高效题
组训练
解析：由题意知∠AOB＝3π－－π6＝2π，故选 B.
答案：B
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抓主干 双基知 能优化
3．(2013 年株洲模拟)在极坐标系中，直线 ρsin θ＋π4＝2 被圆 ρ＝4
解析：因为点 P(1，－ 3)在第四象限，与原点的距离为 2，且 OP
与 x 轴所成的角为－3π. 答案：C
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研考向 要点知
2．在极坐标系中，若点A，B的坐标分别是 3，π3，4，－π6，则
识探究 △AOB为( )
悟真题 透析解 题策略
识探究
悟真题
透析解 题策略
x′＝12x，
提素能 y′＝3y，
高效题
组训练 ________．
则 在 这 一 坐 标 变 换 下 正 弦 曲 线 y ＝ sin x 的 方 程 变 为
解析：∵x′＝12x， y′＝3y，
∴xy＝ ＝213xy′ ′， .
代入 y＝sin x 得 y′＝3sin 2x′.
研考向
要点知 识探究
截得的弦长为(
)
悟真题 透析解 题策略
A．2 2 C．4 2
B．2 3 D．4 3
提素能
高效题 组训练
解析：直线 ρsin θ＋π4＝2 可化为 x＋y－2 2＝0，圆 ρ＝4 可化为
x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得
2 r2－d2＝2
42－2
222＝4
3.
答案：D
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答案：y′＝3sin 2x′
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抓主干
双基知 能优化
考向二 极坐标与直角坐标的互化
研考向 要点知
[例2] (2013年苏州模拟)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin
识探究
θ和直线l：ρsin
悟真题 透析解
1．极坐标的定义
悟真题
在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单
透析解
题策略 位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O
提素能 高效题
点称为 极点 ，Ox称为 极轴 ．平面上任一点M的位置可以由线段OM
组训练
的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序
高效题
组训练 是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ ρcos_θ ，
y＝ρsin_θ .另一种关系为ρ2＝ x2＋y，2 tan θ＝
yx(x≠0) ．
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研考向 要点知 识探究
悟真题 透析解 题策略
提素能 高效题 组训练
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三、常见曲线的极坐标方程
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研考向
1．(课本习题改编)点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的极坐标
要点知
识探究 为(
)
悟真题 透析解 题策略
提素能 高效题 组训练
A.2，π3 C.2，－π3
B.2，43π D.2，坐标分别为2，π6和2，56π.
答案：2，π6、2，56π
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研考向
要点知
识探究
考向一 平面直角坐标系下图形的变换
悟真题
透析解 题策略
[例1] 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
提素能 高效题 组训练