大学物理-常微分方程的本征值问题
22 二阶线性常微分方程的级数解法和一般本征值问题
(3)
k=0
k=0
k=0
其中的展开系数 pk 和 qk 是已知的，而 ak 是未知的．将这些展开式代入方程 (1)，合并同 幂项，将左边整理成一个幂级数，由于右边为零，故所有 (x − x0)k 的系数均必须为零，由
§2 Legendre 方程及其本征值问题
3
此可得 ak 间的一系列代数方程．求解这些代数方程即可用 a0 和 a1 表出 a2, a3, · · · ，从而 得到级数解．容易看出，a0 = c0，a1 = c1．如果不给定初始条件，则级数解中含有两个任意 常数 a0 和 a1，所以是方程 (1) 的通解．
下面补充讨论两个有关问题．它们与级数解法无关，也与常点或奇点无关．
首先，如果我们已经求得方程 (1) 的一个解 y1(x)（不管用什么方法），则第二解就可以用积分表出． 事实上，令 y2(x) = C(x)y1(x)，其中 C(x) 是未知函数．代入方程 (1)，容易得到 y1C +(2y1 +py1)C = 0，这是 C (x) 的一阶线性方程，容易求出 C (x)，再积分一次即得 C(x)，最后得到
y(x0) = c0, y (x0) = c1.
(2)
如果不附加初始条件，则通解中含有两个任意常数．
显然，方程 (1) 的解的行为取决于系数的行为．我们假定在复平面的某区域 D 内，p(x)
和 q(x) 除有限个孤立奇点外是单值解析的．级数解法就是在 D 内某点 x0 的邻域或去心邻 域内将 y(x) 展开为幂级数，即 Taylor 级数、Laurent 级数或更一般的幂级数（见后）．展开
∞
y(x) = akxk.
k=0
容易得到下列各式：
∞
∞
第5章 - 常微分方程初值问题
xn b x
的近似曲线 ， 折线 p1 p2 pn , 称为欧拉折线，所以欧拉方法又称为
折线法。
二、隐式Euler方法和梯形方法 (Euler方法的改进) 1. 隐式 Euler方法 将 y( xk ) 在 x xk 1 点进行Taylor展开 y(k ) 2 2 y( xk ) y( xk 1 ) hk f ( xk 1 , y( xk 1 )) hk ,k [ xk , xk 1 ]，忽略 hk 项, 用 yk , yk 1 , fk 1 f ( xk 1 , yk 1 ) 分别近似 y( xk ), y( xk 1 ), f ( xk 1 , y( xk 1 )), 可得隐式欧拉方法: (13) yk 1 yk hk f ( xk 1 , yk 1 ), k 0,1,, n 1 或 yk 1 yk hk fk 1 , k 0,1,, n 1 说明: (1)隐式 Euler方法也可用向后差商,即用 dy y ( xk ) y ( xk 1 ) ， 近似微分 dx x x hk y y( x ) 或者用右矩数值求积公式来建立. (2)隐式 Euler方法(13)是关于 yk 1 的方程，若求 yk 1 需要 解方程(13).
y(x)存在且适定.
二、 初值问题数值解的基本概念 因为初值问题的数值解法是通过微分方程离散化而给出解在某些 为了讨论问题方便,引入以下概念。 离散点上(节点上)的近似值， 在 [a , b]上引入节点{ x k }n 0 , a x0 x1 x2 xn b, hk xk xk 1 k ba h , 则有 xk a kh( k 0,, n). ( k 1,2,, n) 称为步长。 常用等步长: n (1)，(2)的准确解记为y(x), y( xk ) 的近似解记为 yk ,记 f ( xk , yk ) fk .
第3章常微分方程的边值和本征值问题讲义.
注意 Numerov 算法与前面所讲算法的区别 前面的算法都是首先
而Numerov算法则是
3.2 边值问题的直接积分
电荷密度分布为
求解泊松方程
这个方程存在解析解
应用Numerov算法，递推关系为
其中
启动递推关系还需
的值
为了求得
，直接对方程积分
计算结果发现，当 r 增大时， 的误差变大
首先，写出本问题的 Numerov 算法递推关系
而 y1 是未知的，需要一个一步迭代格式来产生 y1 ，例如可选 择 Euler 方法或 Taylor 级数展开，并利用初始条件 来确定 y1 。 这里我们采用 Taylor级数展开，并取
它可以保证有 O(h3)的精度．
当然我们可以将 y1 展开到 O(h6)，使它有与 Numerov 算
其中 S(x) 为驱动项。 K2(x)是一个实函数，自变量 x 通常表
示空间位置．
边值问题的例子——泊松方程
例如泊松方程
对于这个方程，我们通常关心的是在 r= 0 和 r=+∞ 上 满足某种约束条件的解，这个问题就是一个边值问题． 球对称形式为
作变换
为标准形式
本征值问题的例子——薛定谔方程
量子力学中，中心势场 V(r) 中运动的粒子波函数满足定态 薛定谔方程
在球坐标系下可写为
在分离变量之后可得径向波函数 R(r) 满足的方程为
对于该方程，我们感兴趣的是对哪些能量本征值E， 能够导 出满足适当边界条件的物理上可以接受的非零解， 这个问题
就是一个本征值问题
3.1 Numerov 算法
Numerov 算法是处理下面的方程的一个高精度的算法
代入递推关系
第二章 常微分方程的初值问题讲解
改进的欧拉法 用 xn xn+1 两点斜率的平均值来近似 [xn, xn+1] 平均斜率
K1、K2 分别是 xn xn+1 点处的斜率 但是由于 yn+1 待定，因此需要做“预报”
Runge-Kutta 法 思想：为了提高精度，多取几点的斜率值作为加权平均当作平 均斜率
其中 αi (i = 1,2,...,m) 和 νij (i = 2,3,...,m 且 j < i) 是待定参数
假设强迫外 力为 , 阻力为 那么 Newton 运动方程就可以写成如下形式
其中 并且取 (l/g)1/2 为时间单位。
设 该运动方程就可以化为一阶方程组
杆和垂线的夹角、角速 度随时间演化过程
角速度与夹角的轨迹
q=0.5,b=0.9, ω0 =2/3, t=100。 在这 种情况下,钟 摆运动是一个有序的周期运动
将上式展开到 O(hm)，得到 m 个方程，而有 m+m(m?1)/2 个待定参数 αi , νij. 所以还有灵活选择的空间 以 m=2 为例 , Runge-Kutta 法公式为
其中
将 K2 做泰勒展开到 O(h2) 项，得 利用 将 yn+1在 xn 点附近做泰勒展开至 O(h2) 项，得
Henon-Heiles 位势所确定的 Hamilton 方程为 该问题不能精确求解，所以必须用数值方法研究.
二维粒子的运动轨迹
(x, px ) 平面和 (y, py ) 平面的轨迹图
两式相比，有
可选解为 或
若取 得二阶Runge-Kutta法
二阶Runge-Kutta 法与二阶泰勒级数法比较
可以看出，相比二阶泰勒级数法而言，二阶Runge-Kutta法 适用性更广，使用也更为方便
数学物理方程 特-本征值问题
2
( x, y, z )
r
z
y
(r
2
u r
)
1
2
r sin
(sin
u
)
1
2 2
u
2 2
r sin
0
x
分离变量
Y r r
2
u ( r , , ) R ( r )Y ( , )
) R
2
(r
2
R r
r sin
l
D r
l 1
＃
]
1
sin
(sin
Y
)
1
2
Y
2 2
sin
l ( l 1) Y 0
b. 球方程 再令
d (sin d d
d d
Y ( , ) ( ) ( )
sin d
sin d d
)
本征值问题 9.1 特殊函数的常微分方程 在三维空间使用球座标或柱座标。
z
z
r
( x, y, z )
( x, y, z )
z
y
r
z
y
x
边界
x
球极座标
r , ,
z
( x, y, z )
r
柱坐标
, z,
h
z
y
x
一、正交曲线座标系中的拉普拉斯方程
（见附录6）
直角坐标系中的拉普拉斯算子：
0
0 0 0 1
数学物理方法常微分方程的本征值问题
dx
N
2 n
9
常微分方程的本征值问题
1
Nn
b a
yn2
x
dx
2
称为归一化因子。
y b 2 an
x
dx
N
2 n
b
yn
x
yn
x
dx
1
a Nn
Nn
令n x
yn x
Nn
则有
b
an
xm
x dx
δnm
1 0
b
a
f1 x
f2
xdx
0
，则称它们在区间
a, b 上正交
如果函数是复函数，则写为
b a
f1*
x
f2
x dx
0
2、归一化定义：
由正交定义，对一本征函数系 yn x
当
n
m
时，
b a
yn
x
ym
x
dx
0
当 n m 时，
y b 2
an
x
2、性质 ① 结论1：所有本征值都是实数，且非负，即 λn 0 ② 结论2：存在无穷多个实的本征值，成一递增数列 λ1 λ2 λn 对应有无穷多个本征函数 y1 , y2 , yn 称为本征函数系，同一本征值对应 的本征函数可能不止一个。
13
常微分方程的本征值问题
③ 结论3：对应于不同本征值的本征函数 yn、ym ，
两种情况下，求解S-L型本征值问题
数学物理方法第九章二阶常微分方程的劫数解法本征值问题
特殊函数常微分方程
球坐标下拉普拉斯方程的分离变量
一般情况 欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程 轴对称情况 勒让德方程
极坐标下热传导方程的分离变量
一般情况 亥姆霍兹方程，贝塞尔方程 轴对称情况
§9.2常点邻域上的级数解法
常微分方程中点的分类 各点邻域级数解的形式 勒让德方程的级数解 贝塞尔方程的级数解
常微分方程中点的分类
二阶变系数常微分方程的一般形式
w”+p(z)w’+q(z)w=0
方程中点的分类
常点：z0 是 p(z) 和 q(z) 的解析点
正则奇点：z0 是 (z-z0) p 和 (z-z0)2 q 的解析点 非正则奇点：其它情况
各点邻域级数解的形式
•常点z0邻域
sin 1 cos
2 1 2
1 12
2、柱坐标下拉普拉斯方程
2 2 1 u 1 u u 2 ( ) 2 2 0 2 z
0为正则奇点，邻域解为 ：y k 0 ak x s k
x y k 0 ak x
2
sk 2
k 2 ak 2 x
sk
k 0 ak 2 x s k
级数解的导数为： y ' k 0 ( s k )ak x s k 1 y" k 0 ( s k )(s k 1)ak x s k 2
1 v 1 2v 2v 2 ( ) 2 k v 0 2 2 z
令
v( , , z ) R( ) ( )Z ( z )
数值分析(本科)常微分方程数值解
三、数值积分与多步方法
������������+������ = ������������ + ������(������������������ ������������ + ������������������ ������������−������ + ⋯ + ������������������ ������������−������ )
第九章
常微分方程数值解
一、常微分方程初值问题
一阶常微分方程初值问题 ������′ = ������ ������, ������ ，������ ∈ ,������, ������������ ������������ = ������������ 由常微分方程理论知：如果函数������(������, ������)在区域������������ 上连续，且关 于变量满足李普希茨条件，即任意������ ∈ ������, ������ ，������������ ，������������ ∈ ������，存 在正常数 L 满足 |������ ������, ������������ − ������ ������, ������������ | ≤ ������|������������ − ������������ | 那么该初值问题存在唯一解，且解连续依赖于初始条件和右端 项。
三、数值积分与多步方法
若取������ + ������个点为������������+������ , ������������ , … , ������������−������+������ 类似地可以导出
∗ ∗ ������ ������������+������ = ������������ + ������(������∗ ������ + ������ ������ + ⋯ + ������ ������ ������−������ ������������ ������−������ ) ������������ ������������
第八章 常微分方程初值问题的解法
第八章常微分方程初值问题的解法在科学与工程问题中，常微分方程描述物理量的变化规律，应用非常广泛. 本章介绍最基本的常微分方程初值问题的解法，主要针对单个常微分方程，也讨论常微分方程组的有关技术.8.1引言本节介绍常微分方程、以及初值问题的基本概念，并对常微分方程初值问题的敏感性进行分析.8.1.1 问题分类与可解性很多科学与工程问题在数学上都用微分方程来描述，比如，天体运动的轨迹、机器人控制、化学反应过程的描述和控制、以及电路瞬态过程分析，等等. 这些问题中要求解随时间变化的物理量，即未知函数y(t)，t表示时间，而微分方程描述了未知函数与它的一阶或高阶导数之间的关系. 由于未知函数是单变量函数，这种微分方程被称为常微分方程（ordinary differential equation, ODE），它具有如下的一般形式①：g(t,y,y′,⋯,y(k))=0 ,(8.1) 其中函数g: ℝk+2→ℝ. 类似地，如果待求的物理量为多元函数，则由它及其偏导函数构成的微分方程称为偏微分方程（partial differential equation, PDE）. 偏微分方程的数值解法超出了本书的范围，但其基础是常微分方程的解法.在实际问题中，往往有多个物理量相互关联，它们构成的一组常微分方程决定了整个系统的变化规律. 我们先针对单个常微分方程的问题介绍一些基本概念和求解方法，然后在第8.5节讨论常微分方程组的有关问题.如公式(8.1)，若常微分方程包含未知函数的最高阶导数为y(k)，则称之为k阶常微分方程. 大多数情况下，可将常微分方程(8.1)写成如下的等价形式：y(k)=f(t,y,y′,⋯,y(k−1)) ,(8.2) 其中函数f: ℝk+1→ℝ. 这种等号左边为未知函数的最高阶导数y(k)的方程称为显式常微分方程，对应的形如(8.1)式的方程称为隐式常微分方程.通过简单的变量代换可将一般的k阶常微分方程转化为一阶常微分方程组. 例如对于方程(8.2)，设u1(t)=y(t),u2(t)=y′(t),⋯,u k(t)=y(k−1), 则得到等价的一阶显式常微分方程组为：{u1′=u2u2′=u3⋯u k′=f(t,u1,u2,⋯,u k).(8.3)本书仅讨论显式常微分方程，并且不失一般性，只需考虑一阶常微分方程或方程组.例8.1 (一阶显式常微分方程)：试用微积分知识求解如下一阶常微分方程：y′=y .[解] 采用分离变量法进行推导：①为了表达式简洁，在常微分方程中一般省略函数的自变量，即将y(t)简记为y，y′(t)简记为y′，等等.dy dt =y ⟹ dy y=dt , 对两边积分，得到原方程的解为：y (t )=c ∙e t ,其中c 为任意常数.从例8.1看出，仅根据常微分方程一般无法得到唯一的解. 要确定唯一解，还需在一些自变量点上给出未知函数的值，称为边界条件. 一种边界条件设置方法是给出t =t 0时未知函数的值:y (t 0)=y 0 .在合理的假定下，从t 0时刻对应的初始状态y 0开始，常微分方程决定了未知函数在t >t 0时的变化情况，也就是说这个边界条件可以确定常微分方程的唯一解（见定理8.1）. 相应地，称y (t 0)=y 0为初始条件，而带初始条件的常微分方程问题：{y ′=f (t,y ),t ≥t 0y (t 0)=y 0 . (8.4)为初值问题（initial value problem, IVP ）.定理8.1：若函数f (t,y )关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L >0，使得对任意t ≥t 0，任意的y 与y ̂，有：|f (t,y )−f(t,y ̂)|≤L |y −y ̂| ,(8.5) 则常微分方程初值问题(8.4)存在唯一的解.一般情况下，定理8.1的条件总是满足的，因此常微分方程初值问题的解总是唯一存在的. 为了更清楚地理解这一点，考虑f (t,y )的偏导数ðf ðy 存在，则它在求解区域内可推出李普希兹条件(8.5)，因为f (t,y )−f (t,y ̂)=ðf ðy (t,ξ)∙(y −y ̂) , 其中ξ为介于y 和y ̂之间的某个值. 设L 为|ðf ðy (t,ξ)|的上界，(8.5)式即得以满足.对公式(8.4)中的一阶常微分方程还可进一步分类. 若f (t,y )是关于y 的线性函数，f (t,y )=a (t )y +b (t ) ,(8.6) 其中a (t ),b (t )表示自变量为t 的两个一元函数，则对应的常微分方程为线性常微分方程，若b (t )≡0, 则为线性齐次常微分方程. 例8.1中的方程属于线性、齐次、常系数微分方程，这里的“常系数”是强调a (t )为常数函数.8.1.2 问题的敏感性对常微分方程初值问题，可分析它的敏感性，即考虑初值发生扰动对结果的影响. 注意这里的结果（解）是一个函数，而不是一个或多个值. 由于实际应用的需要，分析常微分方程初值问题的敏感性时主要关心t →∞时y (t )受影响的情况，并给出有关的定义. 此外，考虑到常微分方程的求解总与数值算法交织在一起、以及历史的原因，一般用“稳定”、“不稳定”等词汇说明问题的敏感性.定义8.1：对于常微分方程初值问题(8.4)，考虑初值y 0的扰动使问题的解y (t )发生偏差的情形. 若t →∞时y (t )的偏差被控制在有界范围内，则称该初值问题是稳定的（stable ），否则该初值问题是不稳定的（unstable ）. 特别地，若t →∞时y (t )的偏差收敛到零，则称该初值问题是渐进稳定的（asymptotically stable ）.关于定义8.1，说明两点：● 渐进稳定是比稳定更强的结论，若一个问题是渐进稳定的，它必然是稳定的. ● 对于不稳定的常微分方程初值问题，初始数据的扰动将使t →∞时的结果误差无穷大. 因此为了保证数值求解的有效性，常微分方程初值问题具有稳定性是非常重要的.例8.2 (初值问题的稳定性): 考察如下“模型问题”的稳定性：{y ′=λy,t ≥t 0y (t 0)=y 0 . (8.7)[解] 易知此常微分方程的准确解为：y (t )=y 0e λ(t−t 0). 假设初值经过扰动后变为y 0+Δy 0，对应的扰动后解为y ̂(t )=(y 0+Δy 0)e λ(t−t 0),所以扰动带来的误差为Δy (t )=Δy 0e λ(t−t 0) .根据定义8.1，需考虑t →∞时Δy (t )的值，它取决于λ. 易知，若λ≤0，则原问题是稳定的，若λ>0，原问题不稳定. 而且当λ<0时，原问题渐进稳定.图8-1分三种情况显示了初值扰动对问题(8.7)的解的影响，从中可以看出不稳定、稳定、渐进稳定的不同含义.对例8.2中的模型问题，若考虑参数λ为一般的复数，则问题的稳定性取决于λ的实部，若Re(λ)≤0, 则问题是稳定的，否则不稳定. 例8.2的结论还可推广到线性、常系数常微分方程，即根据f (t,y )中y 的系数可确定初值问题的稳定性. 对于一般的线性常微分方程(8.6)，由于方程中y 的系数为关于t 的函数，仅能分析t 取某个值时的局部稳定性.例8.3 (局部稳定性): 考察如下常微分方程初值问题的稳定性：{y ′=−10ty,t ≥0y (0)=1 . (8.8)[解] 此常微分方程为线性常微分方程，其中y 的系数为a (t )=−10t . 当t ≥0时，a (t )≤0，在定义域内每个时间点上该问题都是局部稳定的.事实上，方程(8.8)的解析为y (t )=e −5t 2，初值扰动Δy 0造成的结果误差为Δy (t )=Δy 0e −5t 2. 这说明初值问题(8.8)是稳定的.对于更一般的一阶常微分方程(8.4)，由于其中f (t,y )可能是非线性函数，分析它的稳定性非常复杂. 一种方法是通过泰勒展开用一个线性常微分方程来近似它，再利用线性常微分方程稳定性分析的结论了解它的局部稳定性. 具体的说，在某个解函数y ∗(t)附近用一阶泰勒展开近似f (t,y )，f (t,y )≈f (t,y ∗)+ðf ðy(t,y ∗)∙(y −y ∗) 则原微分方程被局部近似为（用符号z 代替y ）: 图8-1 (a) λ>0对应的不稳定问题, (b) λ=0对应的稳定问题, (c) λ<0对应的渐进稳定问题. (a) (b) (c)z′=ðfðy(t,y∗)∙(z−y∗)+f(t,y∗)这是关于未知函数z(t)的一阶线性常微分方程，可分析t取某个值时的局部稳定性. 因此，对于具体的y∗(t)和t的取值，常微分方程初值问题(8.4)的局部稳定性取决于ðfðy(t,y∗)的实部的正负号. 应注意的是，这样得到的关于稳定性的结论只是局部有效的.实际遇到的大多数常微分方程初值问题都是稳定的，因此在后面讨论数值解法时这常常是默认的条件.8.2简单的数值解法与有关概念大多数常微分方程都无法解析求解（尤其是常微分方程组），只能得到解的数值近似. 数值解与解析解有很大差别，它是解函数在离散点集上近似值的列表，因此求解常微分方程的数值方法也叫离散变量法. 本节先介绍最简单的常微分方程初值问题解法——欧拉法（Euler method），然后给出数值解法的稳定性和准确度的概念，最后介绍两种隐格式解法.8.2.1 欧拉法数值求解常微分方程初值问题，一般都是“步进式”的计算过程，即从t0开始依次算出离散自变量点上的函数近似值. 这些离散自变量点和对应的函数近似值记为：t0<t1<⋯<t n<t n+1<⋯y 0,y1,⋯y n,y n+1,⋯其中y0是根据初值条件已知的. 相邻自变量点的间距为 n=t n+1−t n, 称为步长.数值解法通常使用形如y n+1=G(y n+1,y n,y n−1,…,y n−k)(8.9) 的计算公式，其中G表示某个多元函数. 公式(8.9)是若干个相邻时间点上函数近似值满足的关系式，利用它以及较早时间点上函数近似值可算出y n+1. 若公式(8.9)中k=0，则对应的解法称为单步法（single-step method），其计算公式为：y n+1=G(y n+1,y n) .(8.10) 否则，称为多步法（multiple-step method）. 另一方面，若函数G与y n+1无关，即:y n+1=G(y n,y n−1,…,y n−k),则称为显格式方法（explicit method），否则称为隐格式方法（implicit method）. 显然，显格式方法的计算较简单，只需将已得到的函数近似值代入等号右边，则可算出y n+1.欧拉法是一种显格式单步法，对初值问题(8.4)其计算公式为：y n+1=y n+ n f(t n,y n) , n=0,1,2,⋯.(8.11) 它可根据数值微分的向前差分公式（第7.7节）导出. 由于y′=f(t,y)，则y′(t n)=f(t n,y(t n))≈y(t n+1)−y(t n)n,得到近似公式y(t n+1)≈y(t n)+ n f(t n,y(t n))，将其中的函数值换为数值近似值，则得到欧拉法的递推计算公式(8.11). 还可以从数值积分的角度进行推导，由于y(t n+1)=y(t n)+∫y′(s)dst n+1t n =y(t n)+∫f(s,y(s))dst n+1t n,用左矩形公式近似计算其中的积分（矩形的高为s=t n时被积函数值），则有y(t n+1)≈y(t n)+ n f(t n,y(t n)) ,将其中的函数值换为数值近似值，便得到欧拉法的计算公式.例8.4 (欧拉法)：用欧拉法求解初值问题{y ′=t −y +1y (0)=1. 求t =0.5时y (t )的值，计算中将步长分别固定为0.1和0.05.[解] 在本题中，f (t,y )=t −y +1, t 0=0, y 0=1, 则欧拉法计算公式为：y n+1=y n + (t n −y n +1) , n =0,1,2,⋯当步长h=0.1时，计算公式为y n+1=0.9y n +0.1t n +0.1; 当步长h=0.05时，计算公式为y n+1=0.95y n +0.05t n +0.05. 两种情况的计算结果列于表8-1中，同时也给出了准确解y (t )=t +e −t 的结果.表8-1 欧拉法计算例8.4的结果 h=0.1h=0.05 t ny n y (t n ) t n y n t n y n 0.11.000000 1.004837 0.05 1.000000 0.3 1.035092 0.21.010000 1.018731 0.1 1.002500 0.35 1.048337 0.31.029000 1.040818 0.15 1.007375 0.4 1.063420 0.41.056100 1.070320 0.2 1.014506 0.45 1.080249 0.5 1.090490 1.106531 0.25 1.023781 0.5 1.098737 从计算结果可以看出，步长取0.05时，计算的误差较小.在常微分方程初值问题的数值求解过程中，步长 n ,(n =0,1,2,⋯)的设置对计算的准确性和计算量都有影响. 一般地，步长越小计算结果越准确，但计算步数也越多（对于固定的计算区间右端点），因此总计算量就越大. 在实际的数值求解过程中，如何设置合适的步长达到准确度与效率的最佳平衡是很重要的一个问题.8.2.2数值解法的稳定性与准确度在使用数值方法求解初值问题时，还应考虑数值方法的稳定性. 实际的计算过程中都存在误差，若某一步的解函数近似值y n 存在误差，在后续递推计算过程中，它会如何传播呢？会不会恶性增长，以至于“淹没”准确解？通过数值方法的稳定性分析可以回答这些问题. 首先给出稳定性的定义.定义8.2：采用某个数值方法求解常微分方程初值问题(8.4)，若在节点t n 上的函数近似值存在扰动δn ,由它引起的后续各节点上的误差δm (m >n )均不超过δn ，即|δm |≤|δn |,(m >n)，则称该方法是稳定的.在大多数实际问题中，截断误差是常微分方程数值求解中的主要计算误差，因此我们忽略舍入误差. 此外，仅考虑稳定的常微分方程初值问题.考虑单步法的稳定性，需要分析扰动δn 对y n+1的影响，推导δn+1与δn 的关系式. 以欧拉法为例，先考虑模型问题(8.7)，并且设Re(λ)≤0. 此时欧拉法的计算公式为②：y n+1=y n + λy n =(1+ λ)y n ,由y n 上的扰动δn 引起y n+1的误差为：δn+1=(1+ λ)δn ,要使δn+1的大小不超过δn ，则要求|1+ λ|≤1 . (8.12)② 对于稳定性分析以及后面的一些场合，由于只考虑一步的计算，将步长 n 记为 .。
第三章 常微分方程的边值和本征值问题
因此比 较明智的做法是，在每一个试验本征值上，由 xmax
出发向后直接积分产生另一个数值解 Ѱ>。 为了判断 这个试验本征值是不是一个能量本征值,可以在一
个接合点 xm上比较 Ѱ<和 Ѱ>，其中接合点 xm要这样选择， 使得两个积分都是准确的。这里接合点 xm 的一个方便的选 择是左转折点或右转折点。
问题转化为求下面方程的根
Φk (1)= 0
3.3 一维薛定谔方程的定态解
一维位势 V(x) 中一个质量为 m 的粒子的 量子力学定态
在 x = xmin 和 x = xmax 处两点位势变为无穷大，也就是说在这 两点上有刚壁，在 这两点之间则是一个势阱。
定解问题
其中
求使这个问题有非零解的能量本征值 E 及其相应的波函数
Ѱ<和 Ѱ>的归一化总是可以这样选择，使得两个函数值在
xm 上相等。这时如果 它们的微商在 xm上也相等，那么就可 以断言这个试验本征值就是能量本征值.
数学表达式为
这里的
提供了一个方便的标尺
打靶法的基本思想是将边值问题当作一个含可调参数 δ 的
初始问们就可以通过积分这个初始问
题得到 yδ (b) ．
一般来说，由于可调参数 δ 的随意选择， yδ(b) 和 yb 很难相等。
打靶法就是通过使用一个搜索算法去调整参数 δ ，使得 yδ (b) 和 yb 在误差容忍范围内相等，从而达到数值求解边 值问题的目的． 问题转化为求下面方程的根
3.2 打靶法求解本征值问题
考虑一根密度均匀的绷紧的弦的振动，分离变量后，空间
部分满足的方程和边界条件可以写成
φ 是弦的横向位移， k 是波数 解析解为
相比边值问题，本征值问题多了一个待定参数 策略：我们先猜测一个试验本征值 k，同时任取一个非零数 δ ， 把微分方程变化为一个初始值问题
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类型
定解问题中的 边界条件
分离变量后的 边界条件
本征函数系
(1)
(2) (3) (4)
利克莱条件：(1) 连续或只有有限个第一类间断点；(2) 只 有有限个极值点，则 f (x) 在 [–l, l ] 上可展开为傅里叶级数
利用三角函数的正交关系，可得
量子力学中的正交完备矢量组： 设 F 为厄米算符，则 F 对应于不同本征值的本征矢
相互正交，这些本征矢构成正交完备矢量组。记正交完 备矢量组为 { | i > (i =1, 2, …)}，有
数集的正交性只是这里的特殊例子。
等本征函
4. 完备性定理 若函数 f (x) 在区间 [a,b] 有连续的一阶导数和分段连
续的二阶导数，且满足本征值问题的边界条件，则可利用 本征函数系{yn(x)} 将它展开为绝对且一致收敛的广义傅 里叶级数，即
其中展开式的系数为
备忘：傅里叶级数 一个以 2l 为周期的函数 f (x)，若在区间 [–l, l ] 满足狄
二阶线性常微分方程的普遍形式为 (6-4-1)
其中：A(x), B(x), C(x)——已知函数
—— 分离变量过程中引入的常数
方程 (6-4-1) 化为以下施图姆—刘维尔方程 (施—刘型方程)
(6-4-2)
其中：
核函数
已知函数
权函数
参数 勒让德方程、连带勒让德方程、贝塞尔方程均可化 为施—刘型方程：
(1) 存在无穷多个实的、分立的本征值 = n (n = 1,2,…)，
且对应着无穷多个本征函数 yn (x) (n = 1,2,…)； (2) 当同一本征值对应的本征函数不止一个时，称为简并。
证明：本征值 是实的。 若 为复数，施—刘型方程及其复共轭为
用 y 乘 (6-4-4) 减去 y* 乘 (6-4-3)，有
对上式右边第一项分部积分，得到
在 (a,b) 内，因 k(x) > 0, (x) > 0, Q(x) ≥ 0，所以上式中右
边后两个积分不小于零，而且可以证明等式右边第一与第 二项之和大于或等于零，因此，有
而以上不等式左边的积分大于零，故
3. 正交性定理 对应于不同本征值的本征函数在区间[a,b]上带权重
二、施—刘型本征值问题
在一定的边界条件下，求施图姆—刘维尔方程的本 征值和相应的非零解 (本征函数)。
施—刘型方程与三类边界条件构成本征值问题。
1. 齐次边界条件 (1) 第一类边界条件 (2) 第二类边界条件 (3) 第三类边界条件 它们可归结为：
y(a) = 0, y(b) = 0 y'(a) = 0, y'(b) =0 y' (a)–hy(a) = 0, y'(b) + hy(b) = 0
6.4 常微分方程的本征值问题
分离变量法的一个重要步骤：求解本征值问题 本征值、本征函数
实质：在一定的边界条件下，求一个含参数 (分离变量过程 中引入) 的齐次常微分方程的非零解。
例子：
(
参 见 第 八 章
…… 以上例子都可归结为施图姆—刘维尔本征值问题。
)
一、斯图姆—刘维尔本征值方程
二阶线性齐次偏微分方程 二阶线性齐次常微分方程
(x) 正交，即
证明：将本征值、本征函数 m , ym(x) 和 n , yn(x) 分别代
入斯—刘型方程得 (6-4-8)
(6-4-9)
y*n×(6-4-8) 式 – ym×(6-4-9) 式的复共轭，然后对 x 由 a 到 b 积分，有
仿照前面的办法，可得右端为 0 。所以
而 m ≠ n ，故有
(3) 一些本征值具备分立的或者是量子化的特征。这为量 子力学打下基础。
(4) 特殊函数：勒让德多项式、连带勒让德函数、球函数、 贝塞尔函数、诺埃曼函数、汉克尔函数…。
常见形式
施–刘形式
核函数
0
1
(1–x2)
0
1
(1–x2)
1
x
x
一维波动问题与一维输运问题中的本征函数系
代入 (6-4-5) 式右边得到：
从而 (6-4-5) 右边为 0 。 (iii) 自然边界条件：a,b 为 k(x) 的一阶零点，即k(a)=k(b)=0
导致 (6-4-5) 右边为零。 此外，若 a 点为自然边界条件：k(a) = 0，而 b 点为齐 次边界条件，则有
同样使得 (6-4-5) 右边为 0。
(正交性)
希尔伯特空间中的任意矢量 | > 可用正交完备矢量
组展开： (完备性)
本征函数系{yn(x)}与欧氏空间基底{en}的比较
三维欧氏空间
复函数空间
基底
正交性
完备性
展开系数
说明： (1) 完备性：三维欧氏空间中 e1, e2, e3 构成一个完备系， 是指不存在任何矢量与 e1, e2, e3 都正交，于是三维空间中 的任意矢量 A 可用 {en} (n=1,2,3) 展开，即有
三、施—刘型本征值问题的基本性质
常见的工程和物理问题中，施—刘型方程的 k(x), (x), Q(x) 在[a,b]为实函数，在(a,b)内有 k(x)>0, (x)>0, Q(x)≥0， 且在 (a,b) 内 k(x), k' (x), (x), Q(x) 连续。在这些条件下，
讨论其性质。
1. 存在定理 (关于本征值、本征函数)
在复函数空间中，本征函数系{yn(x)}的完备性就是指 满足一定条件的任意函数 f (x) 可用 {yn(x)} 来展开。 (2) 施—刘型本征值问题的基本定理是分离变量法的理论
基础。(为什么？)
用分离变量法求解问题时要由满足边界条件的特解 叠加而得到一般解，就是要求它的解能用特解展开成级 数。由本征函数的完备性知道，这实际上是按本征函数 系展开。
其中 1 , 2 , 1 , 2 为实数，且不能同时为零，即要求
2. 周期性边界条件
例：对于
，有
3. 自然边界条件 (有界性条件) 当边界点是核函数 k(x) 的一阶零点时，则该边界点上
存在自然边界条件，即
在边界点a上有k(a)=0时，a点上有自然边界条件：y(a)有界 在边界点b上有k(b)=0时，b点上有自然边界条件：y(b)有界 例：勒让德方程中核函数 k(x) = 1– x2，边界点 x =1、x = –1 为其一阶零点，有自然边界条件：y(1), y(–1) 有界。
总之，在三类边界条件下，均有
又在[a,b]内， (x) > 0，且 |y|2 不小于零、也不恒为 0，故
从而
即本征值 为实数。
2. 非负定理 (关于本征值)
所有本征值都是非负的，即 n ≥ 0 (n = 1,2,…)。 证明：设 yn(x) 是对应于 n 的本征函数，满足斯—刘型方程
两边乘以 yn* (x) 后对 x 从 a 到 b 积分，有
即 上式对 x 从 a 到 b 积分，得到
(6-4-3) (6-4-4)
(6-4-5)
下面分三种情况讨论：
(i) 齐次边界条件： 其复共轭方程：
因 1, 2 不能同时为零，则边界条件方程系数行列式为零
即有
(6-4-6)
同理，对 b 点，有
(6-4-7)
将 (6-4-6)、(6-4-6) 代入 (5)，则 (6-4-5) 右边为零。 (ii) 周期性条件