第12章 联立方程模型的估计方法
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12 联立方程模型和识别
将阶条件和秩条件综合在一起，判断结构式参数的可识别性：
（1）如果 G K G 1 ，且识别矩阵的秩=G-1，则 该模型过度识别； （2）如果 G K G 1 ，且识别矩阵的秩=G-1，则 该模型恰好识别； （3）如果 G K G 1 ，且识别矩阵的秩﹤G-1，则 该模型不可识别； （4）如果 G K G 1 ，则该模型不可识别。
二、联立方程模型的类型
1、模型的结构型
如上例。是依据经济理论设定模型时所采用的形式，直 接反映各变量之间的关系，用来描述某一经济结构。
◆模型中的每一个方程叫结构方程； ◆结构方程中的参数叫结构参数，表示每个前定变量对
内生变量的直接影响； ◆模型中结构方程的个数若等于内生变量的个数，该模 型叫完备模型。若模型不完备，则不能求解。
1
Cov( Pt vt )
2 p
2 v 1 1 2 (1 1 ) p
1 P lim pt t n n 1 2 1 pt P lim n n
pv E( ) p
t t 2 t
1
p p
t t 2 t
由此得出结论：如果模型中解释变量与残差项相关，则参数 估计量有偏且不一致。
( )Qt ( 0 0 ) ( 1 1 ) Pt (vt ut )
0 0 1 1 vt ut Qt Pt
※说明组合出来的式子与(1)、(2)具有相同的统计形式，并且
在数目上无限，因而是不可识别的。
0 0 1 1 vt ut 2 Qt Pt Yt
※线性组合与（1）具有不同的统计形式，可识别，但过度识
别；（2）与组合式具有相同的统计形式，不可识别。
计量经济学之联立方程模型
计量经济学之联立方程模型引言联立方程模型（Simultaneous Equation Model，简称SEM）是计量经济学中的一个重要分析工具，用于研究多个经济变量之间的相互关系。
通过建立一组方程，可以理解变量之间的联动效应，并进行预测和政策分析。
本文将介绍联立方程模型的基本概念、建模步骤和常见的估计方法等内容。
基本概念联立方程模型的定义联立方程模型是指由多个方程组成的一种数学模型，用于描述多个经济变量之间的关系。
每个方程都包含一个因变量和若干个解释变量，以及一个误差项。
联立方程模型的核心思想是通过解方程组，得到各个变量的估计值，进而分析它们之间的关系。
基本假设在建立联立方程模型时，需要对变量之间的关系进行假设。
常见的基本假设有：1.线性关系假设：方程中的变量之间的关系是线性的。
2.独立性假设：各个方程中的误差项是独立的，即它们之间不存在相关性。
3.零条件均值假设：解释变量的条件均值为零，即解释变量的期望与误差项无关。
4.同方差假设：各个方程中的误差项方差相等。
建模步骤建立联立方程模型的步骤如下：步骤一：确定变量根据研究主题和数据可获得的变量，确定需要建立模型的变量集合。
步骤二：构建方程根据经济理论和实际问题，构建联立方程模型的方程形式。
每个方程包含一个因变量和若干个解释变量。
步骤三：参数估计通过收集数据，对联立方程模型进行参数估计。
常用的估计方法有最小二乘估计（Ordinary Least Squares，简称OLS）和广义矩估计（Generalized Method of Moments，简称GMM）等。
步骤四：模型诊断对估计得到的模型进行诊断，检验模型的拟合优度、参数显著性和误差项的假设等。
常见的诊断方法有虚拟变量检验、异方差性检验和序列相关性检验等。
步骤五：模型解释与政策分析根据估计得到的模型结果，解释各个变量之间的关系，并进行政策分析。
可以利用模型进行预测和模拟，评估不同政策对经济变量的影响。
联立方程模型估计方法
供给方程 需求方程
Q P
t
1
2t
t
Q P Y
t
1
2t
3t
t
我们可以得到相应的结构式模型和简化式模型：
供给方程 需求方程
q p
t
2t
t
q p y
t
2t
3t
t
q
23
y
2t
2t
y
t t
12 t
1t
2
2
2
2
p
3
y
t
t
y
t t
22 t
2t
2
2
2
2
结构式 简化式
t
1
2t
t
由对应的结构式模型可以导出下面的简化式模型
p t
t
t
2
2
q 2 t
2t
t
2
2
显然由简化式模型无法得到结构式模型参数α2、β2 的估计，因此两个方程都是不可识别的。过市场均衡
点E，根本无法得到确定的供给曲线和需求曲线。
第12章 联立方程模型的估计方法
⑵一个方程含有一个先决变量的模型
已知消费和收入模型
消费方程 收入方程
c y
t
t
t
y c i g
t
t
t
t
其中ct、yt分别表示总消费和国民可支配收入，it、gt 为投资和政府支出，β为边际消费倾向(0<β<1)。
第12章 联立方程模型的估计方法
用OLS法可以得到参数β的估计
ˆ
ct yt
yt (yt
) t
y tt
y2 t
联立方程模型估计
例1：设有如下的农产品供需模型：
供给函数： Qt 0 1 Pt 1t 需求函数： Q P Y
t 0 1 t 2 t
2t
供需均衡量Q与价格P为内生变量，消费个人收入Y 为前定变量。
表 12.1 1970~1991 年美国作物产量指数（Q） 、价格指数（P）与个人消费支出（Y） 单位：1977 年=100，1982 年美元 Q P Y 年份 Q P Y 年份 Q P Y 年份 1970 77 52 3152 1978 102 105 6384 1986 109 107 11843 1971 86 56 3372 1979 113 116 7035 1987 108 106 12568 1972 87 60 3658 1980 101 125 7677 1988 92 126 13448 1973 92 91 4002 1981 117 134 8375 1989 107 134 14241 1974 84 117 4337 1982 117 121 8868 1990 114 127 14996 1975 93 105 4745 1983 88 128 9634 1991 111 130 15384 1976 92 102 5241 1984 111 138 10408 1977 100 100 5772 1985 118 120 11184
Y X Y X
2
1 Y1 X 2 2 Y2 X 2 1 X 1 X 2 X 2 1 Y1 X 3 2 Y2 X 3 1 X 1 X 3 X 3
3
Y X
1
1 Y1 X 1 2 Y2 X 1 1 X 1 X 1 X 1
联立方程模型的估计方法选择和模型检验
联立方程模型的估计方法选择和模型检验引言联立方程模型（Simultaneous Equation Model）是经济学和统计学中常用的一种分析工具，用于研究多个变量之间的相互关系。
在实际应用中，选择合适的估计方法和进行适当的模型检验是十分重要的。
本文将讨论联立方程模型的估计方法选择和模型检验的相关问题。
1. 估计方法选择在联立方程模型的估计中，常见的方法包括最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）、广义矩估计法（Generalized Method of Moments，GMM）、极大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation，MLE）等。
选择合适的估计方法需要考虑以下几个因素：1.1 样本属性样本属性是选择估计方法的重要考虑因素之一。
如果样本数据满足正态性、独立性和同方差性等假设，那么最小二乘法是一种有效的估计方法。
而在面对异方差、序列相关等非典型情况时，广义矩估计法和极大似然估计法可能更加合适。
1.2 模型设定估计方法的选择也需要根据具体的模型设定。
当联立方程模型存在内生性问题时，最小二乘法的结果可能存在偏误，此时可以考虑使用广义矩估计法进行估计。
而当模型中存在随机误差的非正态性时，极大似然估计法可以更好地处理非正态分布的情况。
1.3 计算复杂度不同的估计方法在计算复杂度上也存在差异。
最小二乘法是一种相对简单的估计方法，计算速度快。
而广义矩估计法和极大似然估计法在模型求解时需要进行迭代计算，相对较为复杂，但可以提供更准确的估计和统计推断。
综上所述，选择合适的估计方法需要综合考虑样本属性、模型设定和计算复杂度等因素。
2. 模型检验在进行联立方程模型估计后，对模型进行合理的检验是必不可少的。
常见的模型检验方法包括参数显著性检验、模型拟合优度检验和模型诊断等。
2.1 参数显著性检验参数显著性检验用于判断模型中的各个参数估计是否显著。
常用的检验方法包括t检验和F检验。
第十二章 联立方程组：模型、识别与估计
β11 = β 22 = L = β MM = 1 ， 用以说明它是每个结构式方程中的因变量系数为 1；x t
的第 1 个元素通常是常数 1，主要用以说明 K 个外生变量中含常数项。 运用经济理论可以在参数矩阵上加上一些约束条件， 从而使整个联立方程组
模型能够被估计。 在讨论联立方程组模型的简约式之前，我们再来看一个联立方程组模型结构 式的特殊情况： 如果结构式方程组中的 Β 是一个上三角矩阵，则模型具有如下形式： y t1 = f 1 ( xt ) + ε t1 y t2 = f 2 ( yt1 , xt ) + ε t 2 … … … … … … … … ..
−1 ′ −1 + ε ′ ′ ′ y′ t = − xt ΓΒ t Β = x t Π + vt
′ ′ y′ , 2, L, T 为联立方程组模型的简约式。 t = x t Π + vt ， t = 1
′ −1 。 v′ t = ε tΒ
这里， Π = −ΓΒ −1 ，同时还有
如果完全从矩阵角度描述联立方程组模型的简约式，我们有：
y11 y 21 L y T1 x11 x + 21 L x T1 x12 x22 L xT 2
y12 y 22 L yT 2
L y1M L y 2M L L L y TM
β 11 β 21 L β M1
收入恒等式： Yt = Ct + I t （12.1.5） 其中 C＝消费支出、Y＝收入、I＝投资、t＝时间 。 简单的凯恩斯消费模型展示的是其结构式方程 。里面有二个内生变量，即 Ct , Yt 。所以这个经济模型是完备的。 消费行为方程是根据“收入决定说”的理论建立的，即认为当期消费仅由当 期收入决定。投资被认为是一个外生变量。 收入是一个均衡条件。 1.3 小型宏观经济模型 消费行为方程： 投资行为方程： 需求恒等式： Ct = α 0 + α1 y t + α 2C t−1 + ε t1 I t = β 0 + β1rt + β 2 ( y t − y t−1 ) + ε t 2 y t = Ct + I t + G t （ α1 + β 2 ≠ 1） （12.1.6） （12.1.7） （12.1.8）
计量学-联立方程组模型的参数估计
8
因此第一个结构式方程参数的间接最小二乘估
计，与简约式参数的最小二乘估计的关系为：
βˆ1 Πˆ Γˆ 1
也就是
ˆ11 ˆ12
ˆ1K1
0
0
XX
1
XY
1
ˆ12
ˆ1g1
0
0
9
分别由分块矩阵 和
Y Y1 Y11 Y12
Yi XΠi ui , i 2,, g1
对它们分别作最小二乘估计，得：
Πˆ i XX1XYi , i 2,, g1
因此这些内生变量的估计量为：
Yˆi XΠˆ i XXX1XYi , i 2,, g1
29
它们可以合并为：
Yˆ10 Yˆ 2 Yˆ 3 Yˆ g1
XXX1 X Y2 Y3 Yg1
以简约式的第l个方程为例：
Ylt l1 X1t l 2 X 2t lK X Kt ult
该方程的系数构成行向量 Πl l1,,lK
，它的最小二乘估计量为：
Πˆ l XX1XYl
6
这些参数估计向量可以合并成下列简约式 模型参数的估计量矩阵：
Πˆ
Πˆ 1Πˆ 2 Πˆ g
ˆˆ 1211
X X11 X12
表示 Y 和X 。
X11
X12 X11
ˆ11
X12
ห้องสมุดไป่ตู้
ˆ1K1
0
X11
0
X12 Y1
Y11
1
ˆ12
Y12
ˆ1g1
0
0
10
X11X11
X12X11
ˆ11
X11X12
ˆ1K1
X11Y1
X12X12
因此第一个结构式方程参数的间接最小二乘估
计，与简约式参数的最小二乘估计的关系为：
βˆ1 Πˆ Γˆ 1
也就是
ˆ11 ˆ12
ˆ1K1
0
0
XX
1
XY
1
ˆ12
ˆ1g1
0
0
9
分别由分块矩阵 和
Y Y1 Y11 Y12
Yi XΠi ui , i 2,, g1
对它们分别作最小二乘估计，得：
Πˆ i XX1XYi , i 2,, g1
因此这些内生变量的估计量为：
Yˆi XΠˆ i XXX1XYi , i 2,, g1
29
它们可以合并为：
Yˆ10 Yˆ 2 Yˆ 3 Yˆ g1
XXX1 X Y2 Y3 Yg1
以简约式的第l个方程为例：
Ylt l1 X1t l 2 X 2t lK X Kt ult
该方程的系数构成行向量 Πl l1,,lK
，它的最小二乘估计量为：
Πˆ l XX1XYl
6
这些参数估计向量可以合并成下列简约式 模型参数的估计量矩阵：
Πˆ
Πˆ 1Πˆ 2 Πˆ g
ˆˆ 1211
X X11 X12
表示 Y 和X 。
X11
X12 X11
ˆ11
X12
ห้องสมุดไป่ตู้
ˆ1K1
0
X11
0
X12 Y1
Y11
1
ˆ12
Y12
ˆ1g1
0
0
10
X11X11
X12X11
ˆ11
X11X12
ˆ1K1
X11Y1
X12X12
计量第12章联立方程模型
VS
假设条件
为了使模型具有可解性和可估计性，需要 设定一些假设条件。这些条件可能包括变 量的线性关系、误差项的独立性、同方差 性等。这些假设条件的选择应根据实际问 题和数据的特征来确定。
参数估计方法
最小二乘法（OLS）
最小二乘法是联立方程模型中最常用的参数估计方法之一。它通过最小化残差平方和来估 计模型的参数。这种方法简单易行，但在存在异方差性、自相关等问题时，可能导致估计 结果不准确。
联立方程模型的估计需要使用复 杂的计算方法和软件，对研究者 的计量经济学知识要求较高。
改进方向探讨
模型识别方法的改进
01
通过引入新的识别方法或改进现有数据收集和处理技术的提升
02 利用现代数据收集和处理技术，提高数据的质量和可
获得性，从而扩大联立方程模型的应用范围。
递归模型
模型中某些变量可以由其他变量唯一确定。
非递归模型
模型中所有变量相互依赖，无法由其他变量 唯一确定。
建模目的与意义
分析经济政策变化对经济系统的 影响。
描述经济系统中多个变量之间的 相互关系。
目的
01
03 02
建模目的与意义
• 预测经济变量的未来走势。
建模目的与意义
01
意义
02
提供了一种全面、系统的分析方法，有助于深入了解经济系统的运行 规律。
计量第12章联立方程模型
目录
• 联立方程模型概述 • 联立方程模型的构建 • 联立方程模型的识别与估计 • 联立方程模型的应用举例 • 联立方程模型与其他模型的关系 • 联立方程模型的优缺点及改进方向
01
联立方程模型概述
定义与特点
定义
联立方程模型（Simultaneous Equation Models）是一组 相互依赖的线性方程，用于描述经济系统中多个变量之间的 相互关系。
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第12章 联立方程模型的估计方法
12.1联立方程模型的概念 12.2联立方程模型的识别
12.3联立方程模型参数的一致性估计 12.4本章案例
12.3.1间接最小二乘法（ILS） ⒈方法思路
联立方程模型的结构方程中包含有内生解释变量，不能直 接采用OLS估计其参数。但是对于简化式方程，可以采用 OLS直接估计其参数。 间接最小二乘法：先对关于内生解释变量的简化式方程采 用OLS估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后通 过参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量。 间接最小二乘法只适用于恰好识别的结构方程的参数估计， 因为只有恰好识别的结构方程，才能从参数关系体系中得 到唯一一组结构参数的估计量。
IV和ILS一般只适用于联立方程模型中恰好识别的结构方 程的估计。 在实际的联立方程模型中，恰好识别的结构方程很少出现， 一般情况下结构方程都是过度识别的。
2SLS是一种既适用于恰好识别的结构方程，又适用于过度 识别的结构方程的单方程估计方法。
12.3.3 两阶段最小二乘法 ⒉2SLS的方法步骤
第一阶段：从结构方程导出简化式方程，用普通最小二乘 法进行估计，然后用简化式方程求出结构方程中内生解释 变量的估计值。 第二阶段：用所求出的内生解释变量的估计值替换结构方 程中该内生解释变量的样本观测值，再对结构方程用普通 最小二乘法进行估计，所求出的结构参数估计量即为二阶 段最小二乘法参数估计量。
第12章
联立方程模型的估计方法
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第12章 联立方程模型的估计方法
12.1联立方程模型的概念 12.2联立方程模型的识别
12.3联立方程模型参数的一致性估计 12.4本章案例
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第12章 联立方程模型的估计方法
12.1联立方程模型的概念 12.2联立方程模型的识别
12.3联立方程模型参数的一致性估计
第12章 联立方程模型的估计方法
12.1联立方程模型的概念 12.2联立方程模型的识别
12.3联立方程模型参数的一致性估计 12.4本章案例
12.2.1识别的阶条件 ⒈为什么要对模型进行识别？
从一个例子看 C Y t 0 1 t 1t
I t 0 1Y t 2t Y t Ct It
12.3.2 工具变量法（IV）
1、工具变量的概念
若模型中存在随机解释变量问题，一般随机解释变量 与随机项是高度相关的，应用OLS法得到的参数估计 量是有偏且不一致的。解决这个问题的常用方法是工 具变量法。 工具变量(Instrument Variable , IV)法的基本思想是： 当随机解释变量x与随机项u是高度相关时，则设法寻 找另一个变量z,它与随机解释变量x与高度相关，而与 随机项u不相关，从而用z代替x。变量z称为工具变量。
12.4本章案例
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12.2 联立方程模型的概念
12.1.1几个定义 12.1.2联立方程模型的分类 12.1.3联立方程模型的最小二乘估计
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12.1.1几个定义
⒈内生变量
对联立方程模型系统而言，已经不能用被解释变量与解 释变量来划分变量，而将变量分为内生变量和外生变量 两大类。
工具变量：在校学生人数PS AID对PS回归，并计算残差 AID = -77.95 + 0.8448*PS 残差W1=真实AID-估计AID
将W1加入原回归模型，从而 修正测量误差
例：12.2 公共消费(检验变量aid的联立性)
第一步，用aid对inc pop ps进行回归，然后计算残差变量
第二步，把W2加入，对方程进行修正
12.1.2联立方程模型的分类
12.1.3联立方程模型的最小二乘估计
2、简化式模型
用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量，所形成的 模型称为简化式模型。 简化式模型并不反映经济系统中变量之间的直接关系，并 不是经济系统的客观描述。 由于简化式模型中作为解释变量的变量中没有内生变量， 可以采用普通最小二乘法估计每个方程的参数，所以它在 联立方程模型研究中具有重要的作用。 简化式模型中每个方程称为简化式方程，方程的参数称为 简化式参数
12.2.1识别的阶条件
4、识别的阶条件
如果一个方程是可以识别的，那么它所不包含的先决变量个 数必须大于等于它所包含的内生变量个数减1 这里提到的所包含的内生变量不仅指方程左边的还包含方程 右边的。
阶条件还可以表示成另外一种等价形式：
一个方程可以识别的必要条件是，它所不包含的所有变量的 数目必须大于等于模型的内生变量数减1
谢谢！
12.3.4 有限信息极大似然法（LIML）
以最大或然为准则，通过对简化式模型进行最大或然估计， 以得到结构方程参数估计量的联立方程模型的单方程估计 方法。 由Anderson和Rubin于1949年提出，早于两阶段最小二 乘法。 适用于恰好识别和过度识别结构方程的估计。 在该方法中，以下两个概念是重要的： 这里的“有限信息”指的是每次估计只考虑一个结构方程的 信息，而没有考虑模型系统中其它结构方程的信息； 这里的“最大或然法”是针对结构方程中包含的内生变量的 简化式模型的，即应用最大或然法求得的是简化式参数估 计量，而不是结构式参数估计量。
从而打开New Object（新对象）选择窗。选择System， 并在Name of Object处为联立方程模型起名（图中显示为 Untitled）。
然后点击OK键。从而打开System（系统）窗口。在 System（系统）窗口中键入联立方程模型。
消费方程：Ct = 0 + 1Yt + 2 Ct-1 投资方程：It = 0 + 1 Yt-1 收入方程；Yt = Ct + It+ Gt
12.3.2 工具变量法（IV）
2.选择工具变量应满足的条件：
1.工具变量必须是真正的外生变量； 2.工具变量与所替代的随机解释变量高度相关； 3.工具变量与模型中的其他解释变量不相关，或相关 性很小，避免出现多重共线性。 4.在同一个模型中采用多个工具变量，这些工具变量 之间也必须不相关，或相关性很小，避免出现多重共 线性。
12.1.2联立方程模型的分类
1、结构式模型
根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接结 构关系的计量经济学方程系统称为结构式模型。 结构式模型中的每一个方程都是结构方程。 各个结构方程的参数被称为结构参数。 将一个内生变量表示为其它内生变量、先决变量和随机误 差项的函数形式，被称为结构方程的正规形式。
12.1.3联立方程模型的最小二乘估计
简单宏观经济模型的简化式模型
C t 10 11Y t 1 12 G t t I t 20 21Y t 1 22 G t t Y 31Y t 1 32 G t t 30 t
12.3.2 工具变量法（IV）
3.方法思路
“狭义的工具变量法” 与“广义的工具变量法” 解决结构方程中与随机误差项相关的内生解释变量问题。 方法原理与单方程模型的IV方法相同。 模型系统中提供了可供选择的工具变量，使得IV方法的应 用成为可能。
12.3.3 两阶段最小二乘法
⒈2SLS是应用最多的单方程估计方法
内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是 联立方程系统估计的元素。
内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生 影响。 内生变量一般都是经济变量。
12.1.1几个定义
⒉外生变量
外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随 机变量，其参数不是模型系统研究的元素。
外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。
在EViews命令中用Cons表示Ct，用gdp表示Y，用Inv表 示I，用Gov表示G。把如上的方程式键入System（系统） 窗口，并选C（-1），Y（-1），G为工具变量如下图。
点击System（系统）窗口上的estimation（估计）键，立 刻弹出系统估计方法窗口（见下图）。共有9种估计方法可 供选择。他们是nrelated Regression），2SLS，WTSLS，3SLS， FIML，GMM（White协方差矩阵，用于截面数据）， GMM（HAC协方差矩阵，用于时间序列数据）。
外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。
一般情况下，外生变量与随机项不相关。
12.1.1几个定义 ⒊ 先决变量
外生变量与滞后内生变量统称为先决变量。
滞后内生变量是联立方程计量经济学模型中重要的不可缺 少的一部分变量，用以反映经济系统的动态性与连续性。
先决变量只能作为解释变量。
12.1.1几个定义
案例：中国宏观经济的联立方程模型
C t 0 1Y t 2 C t 1 I t 0 1Y t 2 Y t 1 Yt C t I t G t
（消费方程） （投资方程） （收入方程）
其中：Ct 消费；Yt 国民生产总值；It 投资；Gt 政 府支出。
消费方程是包含C、Y和常数项的直接线性方程。 投资方程和国内生产总值方程的某种线性组合 （消去I）所构成的新方程也是包含C、Y和常数项的直接线 性方程。 如果利用C、Y的样本观测值并进行参数估计后，很难判断 得到的是消费方程的参数估计量还是新组合方程的参数估 计量。这二个方程被认为是“观测上无区别” 只能认为原模 型中的消费方程是不可估计的。这种情况被称为不可识别。 只有可以识别的方程才是可以估计的。
12.2.1识别的阶条件 2、识别的定义 恰好可识别 可识别 过度可识别 识别的类型 不可识别
12.2.1识别的阶条件 2、识别的定义
几个概念
方程恰好可识别 ——若方程中的参数有惟一一组估计值 （前提：对于某一可识别的结构式方程） 方程过度可识别 ——若方程中的参数有有限组估计值 （前提：对于某一可识别的结构式方程） 模型恰好可识别 ——若模型中所有的随机方程都恰好可识别 （前提：对于一个可识别的模型）