计量经济学 第十章 联立方程模型
计量经济学-联立方程计量经济学模型的系统估计
利用联立方程模型，可以分析金融市场波动性的成因和传导机制，如市
场风险、信用风险和流动性风险等。
02 03
资产配置与投资组合优化
通过构建包含多个资产类别的计量模型，可以研究不同资产之间的相关 性、风险收益特征和投资者偏好，为资产配置和投资组合优化提供决策 支持。
2
货币政策效果评估
通过构建包含多个方程的计量经济学模 型，可以评估货币政策对产出、就业、 通胀等宏观经济指标的影响，为政策制 定提供科学依据。
3
国际经济关系研究
系统估计方法可用于分析国际贸易、国 际投资和国际金融等宏观经济现象，揭 示不同国家之间经济的相互依存和影响 因素。
微观经济学领域的应用
劳动力市场分析
03
系统估计方法介绍
最小二乘法（OLS）
01 最小二乘法是计量经济学中最常用的估计方法之 一。
02
它通过最小化残差平方和来估计模型参数。
03 在满足经典假设条件下，OLS估计量具有无偏性、 一致性和有效性等优良性质。
工具变量法（IV）
1
工具变量法用于解决内生性问题，即解释变量与 误差项相关的问题。
联立方程模型的应用范围
广泛应用于宏观经济、微观经济、劳动经济、国际经济等领域的研究。
系统估计的目的和意义
系统估计的定义
系统估计是指对联立方程模型中的所有方程进行同时估计的方法。
系统估计的目的
通过同时估计所有方程，得到更加准确和一致的参数估计结果，进 而对经济现象进行更加深入的分析和预测。
系统估计的意义
2SLS可以在一定程度上减轻内生性 问题，但也可能导致估计效率降低。
三阶段最小二乘法（3SLS）
第十章联立方程模型(计量经济学北京大学,岳昌君)
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021 年7月下 午8时5 4分21. 7.2020:54July 20, 2021
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021 年7月20 日星期 二8时5 4分55 秒20:54:5520
u2t
3.1 3.2
Yt Ct It G
3.3
一般形式：BY X U (1)
其中B是内生变量结构系数矩阵；
Y是内生变量向量；是前定变量结构参数矩阵；
X是前定变量向量；U是随机扰动项向量；
更一般的形式 : [B, ][Y , X ]T U
[B, ]为结构参数矩阵；
注：T表示转置。
12
例3的表示：
1k 2k
X 1t
u1t u2t
3k X kt ukt
20
§5、模型识别的概念
一、定义 所谓识别问题，是指能否从所估计的简化式模
型系数求出一个结构式方程的参数的数字估计。 如果可以，就说该方程是可以识别的 （identified）；如果不能，就说所考虑的方程 是不可以识别的（unidentified）或不足识别的 （underidentified）。
（1）行为方程：反映经济活动主体，如政府、 企业和消费者个人的经济行为方式的关系式。 例如：1.1， 1.2， 2.2 消费者 供给者 投资者
（2）技术方程：基于客观经济技术关系而建立 的函数关系式。 如cobb - Douglas生产函数，它反映了投入和产 出的经济技术关系。 例如（2.3）的利率方程就是一个技术方程。
计量经济学之联立方程模型
计量经济学之联立方程模型引言联立方程模型（Simultaneous Equation Model，简称SEM）是计量经济学中的一个重要分析工具，用于研究多个经济变量之间的相互关系。
通过建立一组方程，可以理解变量之间的联动效应，并进行预测和政策分析。
本文将介绍联立方程模型的基本概念、建模步骤和常见的估计方法等内容。
基本概念联立方程模型的定义联立方程模型是指由多个方程组成的一种数学模型，用于描述多个经济变量之间的关系。
每个方程都包含一个因变量和若干个解释变量，以及一个误差项。
联立方程模型的核心思想是通过解方程组，得到各个变量的估计值，进而分析它们之间的关系。
基本假设在建立联立方程模型时，需要对变量之间的关系进行假设。
常见的基本假设有：1.线性关系假设：方程中的变量之间的关系是线性的。
2.独立性假设：各个方程中的误差项是独立的，即它们之间不存在相关性。
3.零条件均值假设：解释变量的条件均值为零，即解释变量的期望与误差项无关。
4.同方差假设：各个方程中的误差项方差相等。
建模步骤建立联立方程模型的步骤如下：步骤一：确定变量根据研究主题和数据可获得的变量，确定需要建立模型的变量集合。
步骤二：构建方程根据经济理论和实际问题，构建联立方程模型的方程形式。
每个方程包含一个因变量和若干个解释变量。
步骤三：参数估计通过收集数据，对联立方程模型进行参数估计。
常用的估计方法有最小二乘估计（Ordinary Least Squares，简称OLS）和广义矩估计（Generalized Method of Moments，简称GMM）等。
步骤四：模型诊断对估计得到的模型进行诊断，检验模型的拟合优度、参数显著性和误差项的假设等。
常见的诊断方法有虚拟变量检验、异方差性检验和序列相关性检验等。
步骤五：模型解释与政策分析根据估计得到的模型结果，解释各个变量之间的关系，并进行政策分析。
可以利用模型进行预测和模拟，评估不同政策对经济变量的影响。
计量经济学联立方程模型
1 B 0 1
0 1 1
0 2 0
0 0 1
随堂练习二:
将前述商品的市场局部均衡模型（10-2）表示为式 （10-4）的矩阵形式
D t 0 1 Pt 2 Y t 1 t S t 0 1 Pt 2 Pt 1 2 t D S t t
1 1t 1 2 t 1 1 1 1 1t 1 2 t 1 1 1
又如:
（对于前述商品的市场局部均衡模型）
考察商品的市场局部均衡时，根据经济理论，商品需求Dt主要取决于 市场价格Pt和消费者收入Yt ，商品供给St主要取决于市场价格Pt和前一期 的市场价格Pt-1 。
提出原因:
1）为了完整、准确地描述经济系统中的变量之间的复杂关系， 2）为了进一步分析经济系统中的这种变量之间的复杂关系。
二、联立方程模型中的变量与方程
1．变 量
联立方程模型反映变量之间的双向或多向因果关系，在一个方程中
作为结果的变量，在另一方程中可能会作为原因，反之亦然。
分类:
依据——每个变量的内在含义和作用 内生变量 外生变量
D t 0 1 Pt 2 Y t 1 t S t 0 1 Pt 2 Pt 1 2 t D S t t
联立方程模型定义:
由多个方程构成的，用于描述经济系统中变量之间的相互依存关系的，
联立方程组形式的计量经济学模型。
需建立商品的市场局部均衡模型如下：
D t 0 1 Pt 2 Y t 1 t S t 0 1 Pt 2 Pt 1 2 t D S t t
需建立宏观经济模型如下：
计量经济学知识点整理：联立方程
联立方程模型一、概念：联立方程模型系统将变量分为内生变量和外生变量两大类。
内生变量：是具有某种概率分布的随机变量，是由模型系统决定的，取值也是由系统决定的，同时也对模型系统产生影响，它会受到随机项的影响。
一般都是经济变量。
每一个内生变量的值都要利用模型中的全部方程才能决定。
外生变量：是不由系统决定的变量，是系统外变量，取值由系统外决定。
一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。
外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。
外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。
先决变量：外生变量和滞后内生变量注：联立方程模型中有多少个内生变量就必定有多少个方程结构式模型：根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接结构关系的计量经济学方程系统称为结构式模型。
结构方程的正规形式：将一个内生变量表示为其他内生变量、先决变量和随机干扰项的函数形式完备的结构式模型：g 个内生变量、k 个先决变量、g 个结构方程行为方程：描述变量之间经验关系的方程，含有未知的参数和随机扰动项。
例如：凯恩斯收入决定模型中的消费函数制度方程：由法律、制度、政策等制度性规定的经济变量之间的函数关系，如税收方程。
恒等式：定义方程式和平衡方程。
简化式模型：用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量所形成的模型。
参数关系体系：描述简化式参数与结构式参数之间的关系。
二、识别方程之间的关系有严格的要求，一个方程模型想要能估计，必须可识别。
∴进行模型的估计之前需要判断模型是否可以识别（即是否能被估计）。
1、识别的基本定义：是否具有确定的统计形式。
注：识别的定义是针对结构方程而言的。
模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识别问题。
如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型系统是可以识别的。
反之不识别。
恒等方程由于不存在参数估计问题，所以也不存在识别问题。
但是，在判断随机方程的识别性问题时，应该将恒等方程考虑在内。
计量经济学第十章联立方程模型
计量经济学第十章联立方程模型（simultaneous-equations model ）10.1 联立方程模型的概念 10.1.1联立方程模型及其特点有时由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。
有时为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。
这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。
从而引出联立方程模型的概念。
联立方程模型：关于实际经济问题，描述变量间联立依存性的方程体系。
联立方程模型的最大问题是E(X 'u ) ≠ 0，当用OLS 法估量模型中的方程参数时会产生联立方程偏倚，即所得参数的OLS 估量量βˆ是有偏的、不一致的。
比如需求供给模型：011012d t t t s t t t d st t Q a a P u Q b b P u Q Q =++=++= 从需求方程看，u 1t 代表了除商品价格以外的其他阻碍因素，如消费者收入水平、替代商品价格、消费者爱好和消费政策等。
当这些回素变化时，u 1t 将发生变化，进而引起需求典线的移动，这将改变均衡价格P 和均衡交易量Q 。
同理u 2t 的变化（由于生产技术水平，产品成本、气候变化及产业政策等因素），将会使供给曲线发生移动，从而改变均衡价格和均衡交易量。
这种现象被称为相互依存性。
正是这种相互依存性，使得u 1t 、u 2t 与P 将严峻违抗说明变量与随机误差项不相关的假设，产生联立方程偏误。
凯恩斯的收入决定模型：01t t t t t tC a a Y u Y C I =++=+其中，C 为消费支出，Y 为收入，I 为投资（假设为外生变量），当u t 发生位移时，消费函数将随之发生位移，进而阻碍Y ，即Y 与u t 不相互独立。
假如考虑政府支出G ，投资为内生变量，模型可变为：01101212t t tt t t t t t t tC a a Y u I b bY b Y u Y C I G -=++=+++=++这是一个简单的宏观经济模型，反映了国内生产总值中各项指标之间的关系。
计量经济学第十章联立方程组模型
第十章 联立方程组模型第一节 联立方程组模型概述一、问题的提出1、单一方程模型存在的条件是单向因果关系。
2、对于变量之间存在的双向因果关系，则需要建立联立方程组模型。
3、经济现象的表现多以系统或体系的形式进行，仅用单一方程来反映存在局限性。
二、联立方程组的概念1、联立方程组模型的定义。
由一个以上的相互联系的单一方程组成的系统（模型），每一个单一方程中包含了一个过多个相互联系（相互依存）的内生变量。
联立方程组表现的是多个变量间互为因果的联立关系。
联立方程组与单一方程的区别是估计联立方程组模型的参数必须考虑联立方程组所能提供的信息（包括联立方程组里方程之间的关联信息），而单一方程模型的参数估计仅考虑被估计方程自身所能提供的信息。
2、联立方程组模型的例子。
（1）一个均衡条件下市场供给与需求的关系。
)3()2(0)1(012101110s i d i ii s i ii d i Q Q u P Q u P Q =>++=<++=βββααα 称（1）式为需求方程，（2）式为供给方程，（3）式为供需均衡式；d i Q 表示需求量，s i Q 表示供给量，i P 表示价格，i i u u 21,分别为（1）式和（2）式的随机误差项。
按照经济学基本原理，商品的供给与商品的需求共同作用于价格，反过来，价格也要分别决定商品的供给与需求。
这就是方程（1）与方程（2）的作用机制，如果考虑了均衡条件，这又是方程（3）的作用。
因此，通过这一联立方程组将上述商品的供需与价格的相互作用过程得到了反映。
（2）一个凯恩斯宏观经济模型。
011012(4)(5)(6)t t tt t tt t t t C Y u I Y u T C I G ββαα=++=++=++ 式中，C 表示消费，Y 表示国民总收入（又GDP ，实际上它们是有区别的），I 表示私人投资，G 表示政府支出，u1、u2分别为消费函数和投资函数中的随机误差项。
联立方程组
5
p
lim
(b2
)
=
β2
+
σ
2
/
(1−
σ
2 Y
β2
)
=
β2
+
1 1− β2
σ2
σ
2 Y
显然，b2 的概率极限值始终大于 β2 ，b2 将高估（overestimate） β2 。因此 b2 是有偏和不一
致的估计量，而且不管样本容量有多大，这个 bias 都不会消失。
3. The Identification Problem
2
得到无偏和一致的估计量，这是因为消费支出依赖于可支配收入，可支配收入依赖于国家总
收入，而国家总收入依赖于利率、政府支出和 π1 中的各因素（包括依赖于消费支出）。
例 5：LM 曲线 非随机的货币市场均衡的 LM 模型为：
Money demand function:
M
d t
=
a
+ bYt
− crt
1) Notations and Definitions
模型一般形式： 考虑一个一般的有 M 个内生变量的 M 个方程构成的联立方程组模型：M 个内生变量分别出 现在方程的左端，右端不重复出现；然后有 K 个外生变量在每一个方程的右端，其中一个 表示截距项。这只是一般的形式，当然不是每一个变量都要在每一个方程中出现。 这样的联立方程组模型称为 structural, or behavioral equations，因为它们描绘了一个经济 的经济模型结构，或者描绘了一个经济行为者比如生产者或消费者的行为。内生变量和外生 变量的参数称为 structural parameters or coefficients。 从这个结构方程组可以解出 M 个内生变量，并且推导出 reduced-form equations and the associated reduced-form coefficients。
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9
10.2 联立方程的识别问题
• 回顾前一节中引入的需求模型，假若我们仅有销售量Q和价格P的时 间序列数据，而没有更多的信息，比如有关消费者收入、前期价格或 者气候等方面的消息，那么这时我们究竟是在估计需求函数还是供给 函数呢？这样就涉及到联立方程的模型识别问题。
计 量 经 济 学
需求函数 : Qtd 0 1Pt 1t 供给函数：Qts 0 1Pt 2t 均衡条件：Qtd (需求) Qts (供给)
P
P0
S
D
Q0
Q
根据经验，预期需求函数的斜率参数1为负，而供给函数的斜率参数1为正
2
不难看出价格P和需求量Q是联合因变量，例如，由 于影响需求的其他变量(如收入、财富或嗜好)的改变， 需求函数的随机误差项也将改变
计 量 经 济 学
ˆ 是 的一个非一致估计量 2、 1 1
ˆ 1 (Ct C )(Yt Y )
2 ( Y Y ) t
设yt Yt Y
t t t t t
(C C ) y C y C y C y y y y
t t 2 t 2 t 2 t
•
计 量 经 济 学
在前面的章节中，我们所讨论的都是单一方程模型，也就是只有 一个因变量Y和一个或若干个自变量X的模型，在这些模型中，我们分 析的重点是因变量和自变量之间单向的关系，自变量是原因，而因变 量是结果。但是在现实经济活动中，经济变量之间的影响是双向的， 一个经济变量影响另外一个(或多个)经济变量，反过来又受到另外一 个(或多个)变量的影响。例如在货币M对利率r的影响分析中，单一方 程隐含地假定利率是由中央银行制定的，并且试图求出货币需求对利 率水平变化地反应，但是如果利率依赖于货币供给，这时就需要建立 两个方程，一个把货币M联系到利率r，另外一个把r联系到货币M,从 而导致对 联立方程模型的考虑。
计 量 经 济 学
P
价格上升
左移
S
P0
价格下降
D
Q0
右移
Q
4
例10.2 凯恩斯收入决定模型
考虑一下简单的凯恩斯收入决定模型
消费函数：Ct 0 1Yt t ,0 1 1
10.1.4
收入恒等式：Yt Ct I t (或St ) 10.1.5 计 量 其中，Yt－收入，Ct－消费支出，I t－投资，St－储蓄 经 参数 为边际消费倾向，表明增加一单位收入带来消费支出的增加。 1 济 学 从消费函数中可以明显看出，C和Y是相互依赖的，并 且当随机误差项发生偏移时，消费函数也随之移动，而消 费的移动反过来又会影响Y，对这个函数使用普通最小二 乘法也是不适用，得出的估计量将会是非一致的。
Yt
令 0
0 1 , 1 , wt t 1 1 1 1 1 1
0 1 1 It t 1 1 1 1 1 1
10.1.6
Yt 0 1I t wt
10.2.2
公式(10.2.2)就是一个诱导型方程，它把内生变量Y表 达为仅由外生变量I和随机误差项组成的函数
计 量 • 10.2.1 符号和定义 经 为了说明怎样解决识别问题，首先引入一些符号和定义。 一般 济 而言，有M个内生和联合因变量的方程模型可以写成如下方程组的形 学 式：
10
Y1t 12Y2t 13Y3t 1mYmt 11 X 1t 12 X 2t 1k X kt 1t Y2t 21Y1t 23Y3t 2mYmt 21 X 2t 12 X 2t 2k X kt 2t
• 诱导型方程：纯粹由前定变量和随机误差项来表达的一个内生变量的方 程。 以前面的凯恩斯收入模型为例，回顾公式(10.1.4)和(10.1.5)
计 量 经 济 学
消费函数：Ct 0 1Yt t ,0 1 1 收入恒等式：Yt Ct I t (或St )
把(10.1.4)带入(10.1.5)式，有 Yt 0 1Yt I t t
所选定的估计量与总体指标的绝对离差小于任意小正数
的概率大于其他估计量。
6
联立方程偏误：普通最小二乘估计量的非一致性
• 从前面所举的两个联立方程例子中可以看出，方程中有一个或多个自 变量与随机误差项相关，使用普通最小二乘法估计模型，所得的参数 估计量将是非一致的，为了说明这一点，以凯恩斯收入决定模型为例， 假设估计消费函数中的参数，要求随机误差项满足线性回归模型的基 本假定
若1t为正，则需求曲线上移，价格Pt上升 若1t为负，则需求曲线下移，价格Pt下降
计 量 经 济 学
因而需求曲线的迁移同时改变了价格P和需求量Q
P
价格上升 上移
S
P0
价格下降
D
下移
Q0
Q
3
同理，由于影响供给的其他变量(如罢工、气候和进出口限制)的改变，供 给曲线发生迁移，同样也会影响价格P和需求量Q,正是由于价格和需求 量的这种同时相依性，在需求和供给函数中，随机误差项和价格之间 的独立是不可能的，因此直接对供给和需求函数进行回归将破坏经典 线性回归模型的基本假定，无法得出无偏一致的统计量。
计 量 经 济 学
可以证明：1、因变量和随机误差项相关 即Cov(Yt , t ) 0 把(10.1.4)带入(10.1.5)式，有
Yt 0 1Yt I t t
Yt
0 1 1 It t 1 1 1 1 1 1
0 1 It 1 1 1 1
13
把(10.2.2)带回到式(10.1.4)中，得到另一个诱导方程
Ct 2 3 I t wt
计 量 经 济 学
其中， 2
10.2.3
0 , 3 1 , wt t 1 1 1 1 1 1
诱导型(外生变量)系数度量外生变量取值的单位变 化对内生变量的即期影响。对于诱导型或简化式方程， 由于前定变量和随机干扰项都在方程右边而且假定外 生变量和随机干扰项不相关，因而可以用普通最小二 乘法估计出来的诱导型系数来计算结构系数，这种方 法就称为间接最小二乘法，, X k 称为k个外生或者前定变量
1, 2 ,, m称为m个随机干扰项
t 1,2,, t为总观测值个数
11
内生变量：其值由模型内部决定，视为随机变量 前定变量：其值由模型外部决定，视为非随机变量 外生前定变量：当前以及滞后的外生变量 计 量 经 济 学
如X t 1为滞后的外生变量
14
10.2.2 联立方程模型的识别
联立方程的识别就是指能否从所估计出来的诱导型系数求出一个结构 方程的参数估计值，如果能够，那么就说这个联立方程是可以识别的，否 则就说该方程是不可识别的。 • (1)完全不可识别情形 以例10.1中个需求和供给函数为例，由供给均衡条件可得
计 量 经 济 学
Qtd Qts ,即0 1Pt 1t 0 1Pt 2t
10.2.1
Y3t 31Y1t 32Y2t 3mYmt 31 X 3t 32 X 3t 3k X kt 3t
计 量 经 Y Y Y mt m1 1t m 2 2t m ,m 1Ym 1,t m1 X mt m 2 X 3t mk X kt mt 济 学 其中Y1, Y2 ,, Ym称为M个内生或者联合因变量
10.2.4
0 0 , vt 2 t 1t 1 1 1 1
求得均衡价格
Pt
0 0 2t 1t 1 1 1 1
令 0
则Pt 0 vt
10.2.5
同样可以求得均衡销售量 Qt
令1
1 0 0 1 1 2t 11t 1 1 1 1
则Qt 1 wt
10.2.6
15
1 0 0 1 11t , wt 1 2 t 1 1 1 1
计 量 经 济 学
式(10.2.4)和(10.2.5)是两个诱导型(简化型)方程，但 是原来的供求模型中有4个未知的结构参数，要估计出4 个未知参数，必须要有4个独立的方程，因此用两个诱导 型方程是没有办法估计出这4个参数的，这也意味着给定 价格P和销售量Q的数据，如果没有其他信息，没有办法 保证估计出来的是供给函数还是需求函数。一双给定的P 和Q，在供求相等的均衡条件下，仅表示适当的需求和供 给曲线的交点。
10.1.6
则E (Yt )
10.1.7
7
用(10.1.6)-(10.1.7)，得
Yt E (Yt )
E ( t2 ) 2 Cov(Yt , t ) E[(Yt E (Yt ))( t E ( t ))] 1 1 1 1
t 1 1
因为假定E ( t ) 0，所以 t E ( t ) 0
滞后内生前定变量：
如Yt 1为滞后一期的内生变量，但因为在当前 时期里，Yt 1是已知的，因此把它看作是非随机的
出现在方程组中的方程也许描述了一个经济社会的结构或 者描述一个经济人(或消费者或生产者)的行为，因此把这 些方程称为结构或者行为方程，众多的β、γ系数称为结构 系数，从结构性方程中可以解出m个内生变量的系数，并 且导出诱导型方程和相应的诱导型系数。 12
1
10.1 联立方程的性质
• 首先举两个联立方程的例子，然后再说明联立方程估计时会出现的问题。 • 例10.1 需求和供给模型 我们知道一种商品的价格P和它的需求量Q是对该商品需求和供给曲线的 交点来决定的，为了分析方便，假定需求和供给曲线都是线性的，那么加 上随机误差项，可以写出需求和供给方程：