人教版--全等三角形讲义

人教版--全等三角形

讲义

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

全等三角形

全等三角形性质

图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．?表示，读作

．．．．．

“全等于”

．．．．．

全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEF

ABC?

?和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作DEF

ABC?

?

?。

F

D

A

B

C

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；

．．．．．．．．．．．．全等三角形的对应角相等。

．．．．．．．．．．．．1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（）

A．①②③④ B．①③④C．①②④D．②③④

2.如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_______,∠BAD的对应角是______．

3.已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=______．

4.如图:△ABC≌△DCB,AB和DC是对应边,∠A和∠D是对应角,则其它对应边是______________,对应角是____________________．

5.已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是____,另外两组对应角是_____．

2题3题4题5题

三角形全等的条件一（SSS）

三角形有六个条件：三条边和三个角

如果两个三角形满足上述六个条件中的一个或两个时有几种情形，能否保证两个三角形全等

满足一个条件：①只有一条边对应相等；②只有一个角对应相等；

A

B C

E

F

A

B

C

E

F

结论：

满足两个条件：①两角对应相等；②两边对应相等；一边一角对应相等

C

D

B F

结论：

如果两个三角形满足上述六个条件中的三个时，有几种可能的情况

①两边一角对应相等

F

结论：

②两角一边对应相等

结论：

③三边对应相等

结论：

④三个角对应相等

结论：

定义：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．等．简写为“边边边”，或简记为（）。．．．．．．．．．．．．．．．．．．

例1. 已知：如图，DE=CE ，DF=CF ．求证：△DEF ≌△CEF ．

例2. 已知：如图，DA=CB ，DB=CA ．求证：△DAB ≌△CBA ．

A

例3.已知：如图AB=CD,AD=BC ，求证：AD ∥BC 。

例4..已知：如图，点A、C、B、D在同一条直线上,AC=BD,AM=CN,BM=DN,求证：△AMB≌△CND．

例6.已知AB=CD，BF=CE，AE=CF，问AB∥CD吗

例6.已知：如图,AB=AE,AC=AD,BC=DE, C,D在BE边上.求证：∠CAE=∠DAB．

课堂练习：

1.如图，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是( )°°°°

2.如图，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，则下面的结论中不正确的是( )

A.△ABC≌△BAD

B.∠CAB=∠DBA =OC D.∠C=∠D

3.如图，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论．

4.如图,AD⊥BC，垂足为D，BD=CD.求证：△ABD≌△ACD.

6.已知：如图，AB=DC，BD=AC，AC，BD交于O．求证：△AOB≌△

DOC．

7.如图，已知：AB=AC，BE=CE ，E为AD上一点，求证：∠BED=∠CED。

8.已知：如图，A、E、F、B在一条直线上，AC=BD , AE=BF，CF=DE。求证：AD ∥BC

课后练习：

1.工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下：如图：∠AOB是一个任意角，在OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线。你知道这样做的理由吗

2.已知：如图：BE=CF，AB=DE，AC=DF ，求证：△ABC≌△DEF。

3.如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．

4.已知AC=BD，AE=CF，BE=DF，问AE∥CF吗

10.如图，AC=BD， BC=AD，求证: △ABC≌△BAD．

能力提高：

1.如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC=

2.已知：如图 , E是AD上的一点 , AB=AC , AE=BD , CE=BD+DE．求证：∠B=∠CAE．

3.如图：AB=DC，BE=CF，AF=DE。 (1)求证：△ABE≌△DCF;(2)CF∥BE.

4.如图,AD=BC,AB=DC. 求证：∠A+∠D=180°.

三角形全等的条件二(SAS)

定义：

．．．如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

等．

．．简．写成“边角边”或简记为（）

．．．．．．．．．．．．．

两边一角对应相等

A

B C

D

F

结论：

例1.如图，AE=DB,BC=EF,BC∥EF,

求证:△ABC≌△DEF．

例2.如图，AB＝AD，AC＝AE

，∠BAE＝∠DAC，求证：△ABC≌△ADE．例3.已知:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．

3

题

例4.如图，已知，等腰Rt △OAB 中，∠AOB=90o ，等腰Rt △EOF 中，∠EOF=90o ，连结AE 、BF ．

求证：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF

．

例5.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .

课堂练习：

1.在△ABC 和△A'B'C'中 , 要使△ABC ≌△A'B'C' , 需满足条件（ ） =A'B',AC=A'C',∠B=∠B' =A'B', BC=B'C',∠A=∠A' =A'C',BC=B'C',∠C=∠C' =A'C', BC=B'C',∠C=∠B'

2.如图 , 在∠AOB 的两边上截取AO=BO , 在AO 和BO 上截取CO=DO , 连结AD 和BC 交于点P , 则△AOD ≌△BOC 理由是（ ）

3.如图，在ABC △和DEF △中，已知AB DE =，BC EF =，根据（SAS ）判定

ABC DEF △≌△，还需的条件是（ ）

A.A D ∠=∠

B.B E ∠=∠

C.C F ∠=∠

D.以上三个均可以

4.如图,AD=AE,AB=AC,BE 、CD 交于F,则图中相等的角共有___对,（除去∠DFE=∠BFC ）( )

2题

4题

6.如果两个三角形全等,则不正确的是（）

A.它们的最小角相等

B.它们的对应外角相等

C.它们是直角三角形

D.它们的最长边相等

7.如图,已知:△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正确的等式是（） =AC B.∠BAE=∠CAD =DC =DE

7题8题

8.下图中全等的三角形是（）

A.Ⅰ和Ⅱ

B.Ⅱ和Ⅳ

C.Ⅱ和Ⅲ

D.Ⅰ和Ⅲ

9.如图，已知∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，还需条件（）

=AD，BC=DE =DE，AC=AE C.∠B=∠D，∠C=∠E =AE，AB=AD

10.已知：AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA．

11.如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD.

12.如图，AD ＝BC,∠ADC ＝∠BCD.求证：∠BAC ＝∠ABD ．

13.如图,已知:AC=DF,AC ∥FD,AE=DB,求证:△ABC ≌△DEF.

14.如图,在ABC △中,40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB,AC 为边作两个等腰直角△ABD 和△ACE ， 使90BAD CAE ∠=∠=°．（1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．

15.如图：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE.求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE

16.如图∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE 。 求证：AB=AC 。

课后练习：

1.下面各条件中，能使△ABC ≌△DEF 的条件的是（ ） =DE,∠A=∠D,BC=EF =BC,∠B=∠E,DE=EF =EF,∠A=∠D,AC=DF =EF,∠C=∠F,AC=DF

2.如图，AD,BC 相交于点O ，OA=OD ，OB=OC ．下列结论正确的是（ ） A.AOB DOC △≌△ B.ABO DOC △≌△ C.A C ∠=∠ D.B D ∠=∠

3.如图，已知AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠．下列结论不正确的有（ ）．

A.BAD CAE ∠=∠

B.ABD ACE △≌△ =BC =CE

4.如图所示,△ABC 与△BDE 都是等边三角形,ABCD

5.已知：如图 , CE AB , DF

AB , 垂足分别为E , F , AF=BE , 且AC=BD , 则不正确

的结论是（ ）

△AEC ≌Rt △BFD B.∠C+∠B=90° C.∠A=∠D ∥BD.

6.如果△ABC和△DEF全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等，如果△ABC和△DEF不全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△

GHI______全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）

7.如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE=____.

8.已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FB＝EB，AF 交CE于G，则∠AGC的度数是______.

9.如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D ，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_____个．

10.如图，已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是。

11.已知:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4。

12.已知:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE．

13.如图,已知:AD∥BC,AD=BC．求证:AB∥CD．

14.已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF．

15.已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

16.如图，在ABC

中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系说明你判断的理由。

17.如右图，已知DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F，AE=CF，DC∥AB，

（1）试证明：DE=BF ；（2）连接DF 、BE ，猜想DF 与BE 的关系并证明你的猜想的正确性．

18.已知如图，B 是CE 的中点，AD=BC ，AB=DC ．DE 交AB 于F 点。求证：（1）AD ∥BC （2）AF=BF ．

19.已知:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4。

能力提高：

1.观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ） A.22n + B.44n + C.44n -

D.4n

2.如图,AD ⊥AB,CB ⊥AB,DM=CM=a ，AD=h,CB=k,∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB 的长为 ( )

……

第1个 第2个 第3个

A. a

B. k

C.

2h

k

D. h

3.已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE。

4.如图已知：ΔABC和ΔBDE是等边三角形，D在AE延长线上。求证：

BD+DC=AD 。

5.已知：如图，BE、CF是△ABC的高，分别在射线BE与CF上取点P与Q，使BP=AC，CQ=AB。

求证：（1）AQ=AP；（2）AP⊥AQ

6.如图，△ABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上，且BM=CN，AM与BN 交于Q点。求∠AQN的度数。

7.已知C 为AB 上一点,△ACN 和 △BCM 是正三角形.(1)求证:AM=BN ；(2)求∠AFN 的度数.

8.如图，已知△ABC 的边长为1的正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=1200的等腰三角形，以D 为顶点作一个600角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连MN 形成△AMN

9.已知在ABC ?中，B ∠=∠2