高中数学公式大全(精选课件)
高中数学选修椭圆公式大全(精选课件)
高中数学选修椭圆公式大全椭 圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF 1F ２在点Ｐ处的外角，则焦点在直线ＰＴ上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点。
...文档交流 仅供参考...3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离．4.以焦点半径ＰF １为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。
5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=．6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P １、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=．7. 椭圆22221x y a b+= （a 〉ｂ＞0）的左右焦点分别为F 1，Ｆ 2，点Ｐ为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+，20||MF a ex =-(1(,0)F c - ， 2(,0)F c 00(,)M x y ）。
9.设过椭圆焦点Ｆ作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和ＡＱ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、Ｎ两点，则ＭＦ⊥NF ．...文档交流 仅供参考...10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Ｑ, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A １P 和A ２Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N,则M Ｆ⊥NF 。
...文档交流 仅供参考...11. A Ｂ是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
高中数学公式大全(完整版)
高中数学公式大全(完整版)高中数学公式大全(完整版)精选1、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2、乘法与因式分解a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) •a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2)3、三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|4、正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径。
5、余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角。
6、圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=^r2 注：(a,b)是圆心坐标。
7、圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0。
8、倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^29、半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))10、某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 51^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3高中数学的学习方法1、养成演算、校核的好习惯，提高计算能力。
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一、函数1、函数的单调性：（1）设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<−上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>−上是减函数. 也可以这样定义：设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x −−>⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>−−上是增函数； []1212()()()0x x f x f x −−<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<−−上是减函数. （2）复合函数单调性：同增异减 2、函数的奇偶性首先判断函数定义域是否关于原点对称，若不对称则为非奇非偶函数；若对称则继续往下判断： 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =−，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f −=−，则)(x f 是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。
3、复合函数定义域求法规则：（1）定义域指的是单个x 的取值范围 (2) 同类型的函数括号内的范围相同 4、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的性质（1）顶点坐标公式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−ab ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2−=，最大（小）值：a b ac 442− （2）.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式 2()()(0)f x a x h k a =−+≠ ; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =−−≠. 5、指数与指数函数 幂的运算法则：（1）a m • a n = a m + n ，（2）nm n m aa a −=÷，（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n • b n（5） n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛（6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）n n a a 1=− （8）m n m na a =（9）m n m naa 1=−根式的性质（1）()nna a =.（2）当n 为奇数时，nna a =； 当n 为偶数时，,0||,0nna a a a a a ≥⎧==⎨−<⎩.指数函数y = a x (a > 0且a ≠1)的性质：（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）6、指数式与对数式的互化： log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.7、对数与对数函数 对数的运算法则：（1）a b = N <=> b = log a N （2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b （5）a log a N= N （6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a (NM) = log a M -- log a N （8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N = aNb b log log（10）推论 log log m n a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). （11）log a N =aN log 1（12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A （其中 e = 2.71828…）对数函数y = log a x (a > 0且a ≠1)的性质：（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）8、幂函数y = x a 的图象:根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .例如： y = x 2 21x x y ==11−==x xy 9、图象平移：若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位， 得到函数b a x f y +−=)(的图象； 规律：左加右减，上加下减10、函数的零点：（1）定义：对于()y f x =，把使()0f x =的X 叫()y f x =的零点。
数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式(共19张ppt)
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
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高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ,U x C A xA .2.德摩根公式();()U U U U U U C AB C AC B C AB C A C B . 3.包含关系A B AA B BU U A B C BC AU AC BU C ABR4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B ()()card AB C cardA cardB cardC card AB ()()()()card AB card BC card C A card AB C .5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a ;(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a ; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a. 7.解连不等式()Nf x M 常有以下转化形式()Nf x M[()][()]0f x M f x N |()|22M NM N f x ()0()f x N Mf x 11()f x N M N.8.方程0)(x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21k f k f ,或0)(1k f 且22211k k ab k ,或0)(2k f 且22122k a b k k .9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2a c bxaxx f 在闭区间q p,上的最值只能在ab x2处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若q p ab x,2，则minmaxmax()(),()(),()2b f x f f x f p f q a；q p ab x,2，maxmax()(),()f x f p f q ，minmin()(),()f x f p f q .(2)当a<0时，若q p abx ,2，则min()min (),()f x f p f q ，若q p ab x,2，则max()max (),()f x f p f q ，min()min (),()f x f p f q .10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n ，则方程0)(x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .设q px x x f 2)(，则（1）方程0)(x f 在区间),(m 内有根的充要条件为0)(m f 或2402pq p m；（2）方程0)(x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n 或2()0()0402f m f n pq p mn或()0()f m af n 或()0()f n af m ；（3）方程0)(x f 在区间(,)n 内有根的充要条件为()0f m 或2402pq p m.11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(的子区间L （形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t (t 为参数)恒成立的充要条件是min(,)0()f x t xL . (2)在给定区间),(的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t (t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()manf x t x L .(3)0)(24cbxaxx f 恒成立的充要条件是000ab c或2040a bac.12.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n 个至多有（1n ）个小于不小于至多有n 个至少有（1n ）个对所有x ，成立存在某x ，不成立p 或q p 且q 对任何x ，不成立存在某x ，成立p 且qp 或q14.四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ15.充要条件（1）充分条件：若p q ，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若pq ，且qp ，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性(1)设2121,,x x b a x x 那么1212()()()0x x f x f x b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()x x f x f x b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在上是减函数.(2)设函数)(x f y在某个区间内可导，如果0)(x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f 也是减函数; 如果函数)(u f y 和)(x g u在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y 是偶函数，则)()(a x f a x f ；若函数)(a x f y 是偶函数，则)()(a xf a xf .20.对于函数)(x f y(R x ),)()(x bf a xf 恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x;两个函数)(a xf y与)(x bf y 的图象关于直线2ba x对称.21.若)()(a xf x f ,则函数)(x f y的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a xf x f ,则函数)(x f y为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()nn n n P x a xa x a 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x 是偶函数()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x 的图象的对称性(1)函数()yf x 的图象关于直线x a 对称()()f a x f a x (2)()f ax f x .(2)函数()yf x 的图象关于直线2a bx 对称()()f a mx f b mx ()()f abmx f mx .24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x 与函数()y f x 的图象关于直线0x (即y 轴)对称.(2)函数()y f mxa 与函数()yf b mx 的图象关于直线2ab xm对称.(3)函数)(x f y和)(1x fy 的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y 的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y )(的图象；若将曲线0),(y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f )()(1. 27.若函数)(b kxf y存在反函数,则其反函数为])([11b x fky ,并不是)([1b kxfy,而函数)([1b kx fy 是])([1b x f ky的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx ,()()(),(1)f xy f x f y f c . (2)指数函数()xf x a ,()()(),(1)0f x y f x f y f a . (3)对数函数()log a f x x ,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a aa.(4)幂函数()f x x ,'()()(),(1)f xy f x f y f .(5)余弦函数()cos f x x ,正弦函数()sin g x x ，()()()()()f x y f x f y g x g y ，()(0)1,lim1xg x f x.29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f ，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(a x f x f ，或)0)(()(1)(x f x f a x f ，或1()()f x a f x (()0)f x ,或21()()(),(()0,1)2f x f x f x a f x ,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f 且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a ，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f ，则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)1mnn ma a（0,,a m n N ，且1n ）. (2)1m nm n aa（0,,am nN ，且1n ）.31．根式的性质（1）()nna a .（2）当n 为奇数时，nnaa ；当n 为偶数时，,0||,0nna a aa a a.32．有理指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s Q . (2) ()(0,,)r s rsa a ar s Q . (3)()(0,0,)rr rab a b a brQ .注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log ba NbaN (0,1,0)aa N .34.对数的换底公式log log log m a m N Na(0a ,且1a ,0m ,且1m ,0N).推论log log mna a nb b m(0a ,且1a ,,0m n,且1m,1n ,0N).35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a MN M N ; (2) log log log aa a MMN N ; (3)log log ()na a Mn M nR .36.设函数)0)((log )(2a c bxaxx f m ,记ac b42.若)(x f 的定义域为R,则0a，且0;若)(x f 的值域为R ,则0a ，且0.对于0a的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广若0a,0b,0x ,1xa ,则函数log ()ax ybx (1)当a b 时,在1(0,)a 和1(,)a上log ()ax ybx 为增函数. ，(2)当ab 时,在1(0,)a 和1(,)a 上log ()ax ybx 为减函数.推论:设1n m ，0p，0a，且1a ，则（1）log ()log m p m n p n . （2）2log log log 2a a am n m n.38.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p .39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2nnn s n a s s n( 数列{}n a 的前n 项的和为12nn s a a a ).40.等差数列的通项公式*11(1)()na a n ddna d nN ；其前n 项和公式为1()2n nn a a s 1(1)2n n na d211()22d n a d n. 41.等比数列的通项公式1*11()n nna a a qq nN q；其前n 项的和公式为11(1),11,1nna q qs q na q或11,11,1n na a qq q s na q . 42.等比差数列n a :11,(0)nna qa d ab q的通项公式为1(1),1(),11nn nb n d q a bqdb q dq q ；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111nnnb n n d q s d qd bn qqq q.43.分期付款(按揭贷款) 每次还款(1)(1)1nnab b xb 元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44．常见三角不等式（1）若(0,)2x，则sin tan xx x .(2) 若(0,)2x ，则1sin cos 2xx.(3) |sin ||cos |1x x .45.同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan =cossin ，tan 1cot .46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n co 212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co 47.和角与差角公式sin()sincoscos sin; cos()cos cos sin sin;tan tan tan()1tantan .22sin()sin()sinsin(平方正弦公式); 22cos()cos()cossin.sin cos a b =22sin()a b (辅助角所在象限由点(,)a b 的象限决定,tanba).48.二倍角公式sin22sin cos .2222cos2cossin2cos112sin.22tan tan21tan.49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin4sin sin()sin()33. 3cos34cos 3cos 4coscos()cos()33.323tantantan3tan tan()tan()13tan33.50.三角函数的周期公式函数sin()y x，x ∈R 及函数cos()y x，x ∈R(A,ω,为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T ；函数tan()y x ，,2x kk Z (A,ω,为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T. 51.正弦定理2sin sin sin a b c R A BC.52.余弦定理2222cos abcbc A ; 2222cos b c a ca B ;2222cos c abab C .(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数)(n 为奇数)53.面积定理（1）111222abc S ah bh ch （a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc Aca B .(3)221(||||)()2OABS OA OB OA OB .54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B CC A B 222C A B222()C AB .55.简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a . s 2arccos (,||1)co x a x ka k Z a .tan arctan (,)x a x k a kZ aR .特别地,有sin sin (1)()kk k Z . s cos 2()co k k Z . tan tan ()k kZ . 56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),xa a xka ka kZ .sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z . cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z . cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z .tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k kZ . tan ()(,arctan ),2xa aR xkka kZ .57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（a ）·b= （a ·b ）=a ·b= a ·（b ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c.59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b 0，则a b(b 0)12210x y x y .53. a 与b 的数量积(或内积)a ·b=|a ||b|cos θ．61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y . (2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y .(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)ABOB OA x x y y .(4)设a=(,),x y R ，则a=(,)x y . (5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y .63.两向量的夹角公式121222221122cos x x y y x y x y (a =11(,)x y ,b=22(,)x y ). 64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB 222121()()x x y y (A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b 0，则A ||b b=λa 12210x y x y . ab(a0)a ·b=012120x x y y .66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,是实数，且12PP PP ，则121211x x x y y y121OP OP OP12(1)OPtOP t OP （11t）.67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G .68.点的平移公式''''xx h x xh y y kyyk''OPOPPP .注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k .(2) 函数()yf x 的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()yf x h k .(3) 图象'C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x ,则'C 的函数解析式为()y f x h k .(4)曲线C :(,)0f x y 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f xh yk .(5) 向量m =(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .70.三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC 所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC 的外心222OA OB OC . （2）O 为ABC 的重心0OA OBOC.（3）O 为ABC 的垂心OA OB OB OCOC OA . （4）O 为ABC 的内心0aOAbOBcOC.（5）O 为ABC 的A 的旁心aOA bOB cOC . 71.常用不等式：（1）,a b R 222a b ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R 2a bab (当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c （4）柯西不等式22222()()(),,,,.ab cd ac bd a b c dR （5）b a b a b a .72.极值定理已知y x,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x 时和y x 有最小值p 2；（2）若和y x 是定值s ，则当y x时积xy 有最大值241s .推广已知R yx,，则有xyy xy x2)()(22（1）若积xy 是定值,则当||y x 最大时,||y x 最大；当||y x 最小时,||y x 最小. （2）若和||y x 是定值,则当||y x 最大时, ||xy 最小；当||y x最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bxc或2(0,40)abac，如果a 与2axbx c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x xx x x x x x x ；121212,()()0()xx x x xx xx x x 或.74.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22xaxaa x a .22x a x axa 或x a .75.无理不等式（1）()0()()()0()()f x f xg x g x f x g x .（2）2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f xg x g x g x f x g x 或.（3）2()0()()()0()[()]f x f xg x g x f x g x .76.指数不等式与对数不等式(1)当1a 时,()()()()f x g x aaf xg x ;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x .(2)当01a 时,()()()()f x g x aaf xg x ;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x 77.斜率公式2121y y kx x （111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式11()y y k x x (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式y kx b (b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x (12y y )(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x )).(4)截距式1xya b (a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b 、)（5）一般式0Ax ByC (其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b ，222:l y k x b ①121212||,l l k k b b ;②12121l l k k . (2)若1111:0l A x B y C ,2222:0l A x B y C ,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ；②1212120l l A A B B ；80.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k .(111:l y k x b ，222:l yk x b ,121k k )(2)12211212tan ||A B A B A A B B .(1111:0l A x B y C ,2222:0l A xB yC ,12120A A B B ).直线12l l 时，直线l 1与l 2的夹角是2.81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k .(111:l y k xb ，222:l yk x b ,121k k )(2)12211212tan A B A B A A B B .(1111:0l A x B yC ,2222:0l A xB yC ,12120A A B B ).直线12l l 时，直线l 1到l 2的角是2.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x (除直线0x x ),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y ,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B yC ,2222:0l A xB yC 的交点的直线系方程为111222()()0A xB yC A xB yC (除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C 平行的直线系方程是0Ax By (0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0BxAy,λ是参变量．83.点到直线的距离22||Ax By C dAB(点00(,)P x y ,直线l ：0AxBy C).84. 0AxBy C 或0所表示的平面区域设直线:0l Ax ByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是：若0B ，当B 与Ax By C 同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与AxBy C 异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B ，当A 与Ax By C 同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax ByC 异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C 或0所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A xB yC A x B y C （12120A A B B ），则111222()()0A x B y C A x B y C 或0所表示的平面区域是：111222()()0A x B y C A x B y C 所表示的平面区域上下两部分；111222()()0A xB yC A xB yC 所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()x a y b r . （2）圆的一般方程220xyDxEy F(224DEF ＞0).（3）圆的参数方程cos sinx a r yb r .（4）圆的直径式方程1212()()()()0xx xx yy yy (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x 1212()()()()()0xx xx yy y y axbyc ,其中0ax by c是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0AxBy C与圆C :220x yDxEy F的交点的圆系方程是22()0xyDx Ey FAx By C ,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x yD xE yF 与圆2C :222220x yD xE yF 的交点的圆系方程是2222111222()0xyD xE yF xy D xE yF ,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b ya x 的位置关系有三种若2200()()da xb y ，则d r 点P 在圆外;d r 点P 在圆上;d r 点P 在圆内. 89.直线与圆的位置关系直线0C By Ax 与圆222)()(r b y a x 的位置关系有三种: 0相离r d ;0相切r d ; 0相交rd.其中22BA CBb Aad.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，dO O 21条公切线外离421r r d ; 条公切线外切321r r d;条公切线相交22121r r d r r ;条公切线内切121r r d ;无公切线内含21r r d.91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是00()()022D x x E y y x xy yF. 当00(,)x y 圆外时, 000()()022D x xE y y x x y yF表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()yy k xx ，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b ，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x yr ．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y yr ;②斜率为k 的圆的切线方程为21y kx r k .92.椭圆22221(0)x y a bab的参数方程是cos sinx a yb .93.椭圆22221(0)x y a bab 焦半径公式)(21ca xe PF ，)(22x c ae PF .94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b 的内部2200221x y a b . （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y abab的外部2200221x yab .95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b ab 上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x xy y ab.（2）过椭圆22221(0)x y abab外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y ab. （3）椭圆22221(0)x y a bab 与直线0Ax By C 相切的条件是22222A aB bc .96.双曲线22221(0,0)x y ab ab的焦半径公式21|()|aPF e xc，22|()|aPF e x c .97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b 的内部2200221x y a b . (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y abab的外部2200221x ya b .98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222by ax 渐近线方程：22220x y abx ab y. (2)若渐近线方程为xa b yby ax 双曲线可设为2222by ax .(3)若双曲线与12222by ax 有公共渐近线，可设为2222by ax （0，焦点在x 轴上，0，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b ab 上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y ab.（2）过双曲线22221(0,0)x y abab外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y ab.（3）双曲线22221(0,0)x y a bab与直线0AxBy C相切的条件是22222A aB bc .100. 抛物线px y 22的焦半径公式抛物线22(0)ypx p焦半径02p CFx . 过焦点弦长p x x p x p x CD 212122. 101.抛物线px y22上的动点可设为P ),2(2y py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22ypx .102.二次函数2224()24b ac b yaxbx c a xaa(0)a 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac ba a；（3）准线方程是2414acb ya.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p的内部22(0)y px p. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p的外部22(0)ypx p . (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)ypx p 的内部22(0)ypx p.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p的外部22(0)ypx p . (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p 的外部22(0)x py p .(4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)xpy p 的内部22(0)xpy p . 点00(,)P x y 在抛物线22(0)xpy p 的外部22(0)xpy p. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p xx .（2）过抛物线px y22外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y yp x x .（3）抛物线22(0)y px p 与直线0Ax By C 相切的条件是22pB AC .105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y ,2(,)0f x y 的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y (为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xya kb k ,其中22max{,}ka b .当22min{,}ka b 时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b ka b 时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()AB x x y y 或2222211212(1)()||1tan ||1tABk x x x x y y co （弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程)y ,x (F b kx y消去y 得到02cbx ax，0,为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y 关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y .（2）曲线(,)0F x y 关于直线0Ax By C 成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A AxBy C B AxBy C F xyABAB.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220AxBxy Cy Dx Ey F，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x yxy 代xy ，用02x x代x ，用2y y代y 即得方程00000222x yxy x xy yAx xBCy y DEF，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)．(3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b 存在实数λ使a=λb ．P A B 、、三点共线||AP ABAPt AB(1)OP t OA tOB .||AB CDAB 、CD 共线且AB CD 、不共线ABtCD 且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的存在实数对,x y ,使paxby ．推论空间一点P 位于平面MAB 内的存在有序实数对,x y ,使MPxMAyMB ，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OPOMxMAyMB .119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC （x y z k ），则当1k 时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k 时，若O 平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O 平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面AD 与AB 、AC 共面ADx AByAC(1)ODxy OAxOByOC （O 平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OPxOAyOBzOC .121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A BAB 〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b ；(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ；(3)λa ＝123(,,)a a a (λ∈R)；(4)a ·b ＝112233a b a b a b ；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则ABOBOA = 212121(,,)x x y y z z .124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z r ，222(,,)b x y z r，则a br r P (0)ab b r r r r 121212x x y y z z ；abr r 0a br r 1212120x x y y z z .125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉=112233222222123123a b a b a b aaabbb.推论2222222112233123123()()()a b a b a b aaa b bb ，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为,则2222|()()|cos2ABCD BCDA AC BD.127．异面直线所成角cos|cos ,|a b r r =121212222222111222||||||||x x y y z z a b a b xy z x y z r r r r （其中（090oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m (m 为平面的法向量).129.若ABC 所在平面若与过若AB 的平面成的角,另两边AC ,BC 与平面成的角分别是1、2,A B 、为ABC 的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B .特别地,当90ACB时,有22212sinsinsin.130.若ABC 所在平面若与过若AB 的平面成的角,另两边AC ,BC 与平面成的角分别是1、2,''A B 、为ABO 的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tanA B .特别地,当90AOB时,有22212sinsinsin .131.二面角l的平面角cos||||m narc m n 或cos||||m narc m n （m ，n 为平面，的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1，AB 与AC所成的角为2，AO 与AC 所成的角为．则12cos cos cos . 133. 三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sinsinsinsin2sinsincos;1212||180()(当且仅当90时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB222212121()()()x x y y z z .135.点Q 到直线l 距离221(||||)()||h a b a b a (点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n dn (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面的距离||||AB n dn （n 为平面的法向量，AB 是经过面的一条斜线，A）.138.异面直线上两点距离公式2222cos dhmnmn .222'2cos ,dhmnmn EA AF .2222cos d hmnmn （'E AAF ）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m ,AF n ,EF d ). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c abca b b c c a2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b ca b a bb c b cc a c a140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123、、,则有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理'cosSS.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l 斜棱柱侧. ②1V Sl 斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E (简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12EnF ；（2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12EmV .146.球的半径是R ，则其体积343VR , 其表面积24SR ．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a 的正四面体的内切球的半径为612a ,外接球的半径为64a .148．柱体、锥体的体积13V Sh 柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. 13V Sh 锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m . 150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m . 151.排列数公式m nA =)1()1(m nn n =！！)(m nn .(n ，m ∈N *，且mn )．注:规定1!0.152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A ; （2）1m m n n nA An m ;（3）11m m n n A nA ; （4）11n n n nn nnA AA ; （5）11m m m n nnAAmA.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n .153.组合数公式m nC =m n m mAA=mm n n n 21)1()1(=！！！)(m nm n (n ∈N *，mN ，且m n ).154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C ; (2) m n C +1m nC =m n C1.注:规定10nC . 155.组合恒等式（1）11m m nnn m C C m ;（2）1m m nn n C Cn m ;（3）11m m nn n CC m;（4）nr r nC 0=n2; （5）1121r n rn r r r r r r C C C C C . (6)nnnrn n n n C C C C C 2210.(7)14205312n nnn nn n C CCCCC .(8)1321232n n nnnnn nCCCC. (9)r nm r nr mnr mnr mCC C CC CC 0110.(10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(.156.排列数与组合数的关系m m nnAm C ！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11m n A 种；②某（特）元不在某位有11m n mnAA （补集思想）1111m n n AA（着眼位置）11111m nm m nA A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k 个元在固定位的排列有km k n k k A A 种. ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k kk n k n A A11种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1h k），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1m n 时，无解；当1m n 时，有nm nn n m C A A 11种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n nm C.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mn nn nnnmn n nmn n mnn mn CCCCCN)!()!(22.（2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有m n nn nnnmn nnmn n mnn m mn m CCC CCN)!(!)!(!...22. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (2121)1m n n n n p n pn n n m p m CCCNm m.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必。
新教材高中数学第5章第1课时公式二公式三和公式四课件新人教A版必修第一册ppt
解决条件求值问题的技巧
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关 键．
[跟进训练]
2．(1)若 sin(π＋α)＝12，α∈－π2，0，则 tan(π－α)＝(
)
A．－12
B．－
3 2
C．－ 3
D．
3 3
(2)已知 cos6π－α＝ 33，求 cos56π＋α－sin2α－π6的值．
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情境导学·探新知
观察单位圆，回答下列问题： (1)角α与角π＋α的终边有什么关系？ (2)角α与角π＋α的终边与单位圆的交点P，P1有什么对称关系？ (3)在(2)中，点P，P1的坐标有什么关系？由此你能得到它们的正 弦、余弦、正切之间的关系吗？
知识点 公式二～四 终边关系
公 角 π＋α 与角 α 的 式 终边关于_原__点__对 二称
诱导公式中角 α 只能是锐角吗？ [提示] 诱导公式中角 α 可以是任意角，要注意正切函数中要求 α≠kπ＋π2，k∈Z.
填空：
(1)若 sin(π＋α)＝13，则 sin α＝________.
(2)若 cos(π－α)＝13，则 cos α＝________.
(3)已知 tan α＝6，则 tan(－α)＝________.
数？ [提示] 利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三
角函数，一般可按下面步骤进行：
任意负角的 三角函数
―用 三―公 或―式 一→
任意正角的 三角函数
―用―公―式―一→
0～2π的角 的三角函数
―用 二―公 或―式 四→
锐角的三 角函数
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∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2α－75°
高中数学课件-第一部分 专题二 第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
专题二
第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-13-
类型一
类型二
类型三
[感悟方法]
1．已知 Sn 求 an 的步骤 (1)求出 a1. (2)利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式． (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的表达 式，如果符合，则可以把数列的通项公式整合；如果不符合，
专题二
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专题•限时训练-3-
4．常用的拆项公式(其中 n∈N*) (1)nn1＋1＝n1－n＋1 1； (2)nn1＋k＝ 1kn1－n＋1 k； (3)2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1；
专题二
专题二
类型一
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专题•限时训练-9-
类型二
类型三
正确写出通项公式(用 n≥2，要验证 n＝1)得 1 分
写出 bn 并正确裂项得 2 分 若 bn 正确，裂项不正确扣 1 分
正确写出求和公式得 2 分
正确写出结论(无论是否合并)得 2 分
所以 an＝2n2－1(n≥2)．(4 分)
又由题设可得 a1＝2，符合上式，
从而{an}的通项公式为 an＝2n2－1.(6 分)
专题二
类型一
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高中数学《诱导公式》课件
sin
α＝y，cos
α＝x，当x≠0时，tan
α＝
y x
.
(1)如图5.2-8(1)，作点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)，则∠xOP1=－α.
由三角函数的定义可得
sin(－α)＝－y＝－sin α，
cos(－α)＝x＝cos α，
当x≠0时，tan(－α)＝
y x
y x
tan.
(1) 图5.2-8
2 诱导公式．
诱导公式揭示了终边具 有某种对称关系的两个角三 角函数之间的关系.
一 诱导公式
例
12
化简：
(1)
sin
3
2
；
(2)
cos
3
2
.
解
(1)
sin
3
2
sin
2
sin
2
cos
；
(2)
cos
3
2
cos
2
cos
2
sin
.
一 诱导公式
例
13
化简：cos cos
探究α与π －α之间的函数 关系，我们还可以从这两个角 的终边关于y轴对称来推导，试 试看.
一 诱导公式
为了使用方便，我们将上述探究得到的公式总结如下：
公式二 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
公式三 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
一 诱导公式
当角α的终边不在坐标轴上时，还可以得出以下公式：
公式六
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高中数学公式大全高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉，U x C A x A ∈⇔∉.２。
德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==。
3．包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个；非空子集有2n –１个非空的真子集有2n –2个．６．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠；(2）顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;（3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠。
７.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --< ⇔|()|22M N M N f x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--． 8．方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根，与0)()(21<k f k f 不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地， 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内，等价于0)()(21<k f k f ，或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<，或0)(2=k f 且22122k ab k k <-<+。
...文档交流 仅供参考... 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在ab x 2-=处及区间的两端点处取 得,具体如下: （1)当a>0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=; []q p ab x ,2∉-=,{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =。
(2）当ａ〈0时，若[]q p ab x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a b x ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =,{}min ()min (),()f x f p f q =． 1０.一元二次方程的实根分布依据:若()()0f m f n <,则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 ．设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩; （2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ . 11。
定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据（1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L (形如[]βα,,(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥（t 为参数）恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉．（2）在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥（t 为参数）恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.（3）0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩。
12。
真值表 ｐ q 非p 或ｐ且ｐ q ｑ真 真 假 真 真真 假 假 真 假假 真 真 真 假假 假 真 假 假１３。
常见结论的否定形式原结论 反设词 原结论 反设词是 不是 至少有一个 一个也没有都是 不都是 至多有一个 至少有两个大于 不大于 至少有n 个 至多有(1n -）个小于 不小于 至多有n 个 至少有(1n +)个对所有x ， 成立 存在某x ,不成立p 或q p ⌝且q ⌝对任何x , 不成立 存在某x ，成立p 且q p ⌝或q ⌝１5．充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2)必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3)充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注:如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件;反之亦然. 1６.函数的单调性（１）设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数; []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数。
（2）设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。
14。
四种命题的相互关系原命题 互逆 逆命题若ｐ则q 若ｑ则p互 互互 为 为 互否 否逆 逆否 否否命题 逆否命题若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非p1７。
如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内，和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数)]([x g f y =是增函数....文档交流 仅供参考...１8.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数....文档交流 仅供参考...19。
若函数)(x f y =是偶函数,则)()(a x f a x f --=+;若函数)(a x f y +=是偶函数,则)()(a x f a x f +-=+.2０．对于函数)(x f y =(R x ∈），)()(x b f a x f -=+恒成立，则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=；两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b a x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a 对称； 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项（即奇数项)的系数全为零。
多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项）的系数全为零.23．函数()y f x =的图象的对称性（1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(２)函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.２4。
两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =（即y 轴)对称．(2）函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称. （3）函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线ｙ=x 对称．25。
若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象．...文档交流 仅供参考...26。
互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1。
27。
若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-，并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数。
２8.几个常见的函数方程（1)正比例函数()f x cx =，()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=．（2）指数函数()x f x a =，()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠。
（3）对数函数()log a f x x =，()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠。
（4)幂函数()f x x α=，'()()(),(1)f xy f x f y f α==。
（５）余弦函数()cos f x x =，正弦函数()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,0()(0)1,lim 1x g x f x→==. 2９。
几个函数方程的周期(约定a>0）（1）)()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T=ａ；(2)0)()(=+=a x f x f ， 或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, 或[]21()()(),(()0,1)2f x f x f x a f x +-=+∈，则)(x f 的周期T=2a ； （3）)0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期Ｔ=3a;(4）)()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期 T=４a ；(５）()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++，则)(x f 的周期T=5a ；（６）)()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=６a ．30.分数指数幂（1）1m n n m aa =（0,,a m n N *>∈，且1n >）。